Thế tương tác Coulomb trong lớp ba graphene

TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC ÑOÀNG THAÙP Taïp chí Khoa hoïc soá 39 (08-2019) 
 82 
THẾ TƢƠNG TÁC COULOMB TRONG LỚP BA GRAPHENE 
 Nguyeãn Vaên Meän(*) 
Toùm taét 
Thế tương tác Coulomb có đóng góp đáng kể vào các đặc tính quan trọng của hệ nhiều hạt mang 
điện. Bài báo này nhằm xác định biểu thức giải tích của thế tương tác Coulomb giữa các điện tử 
trong một cấu trúc lớp được cấu tạo từ ba lớp graphene song song nhau, được ngăn cách bởi những 
lớp điện môi khác nhau bằng cách giải phương trình Poisson. Kết quả giải tích và khảo sát bằng số 
cho thấy các hàm thế Coulomb trong không gian xung lượng chịu ảnh hưởng mạnh bởi sự không 
đồng nhất của điện môi nền. Thế Coulomb xuyên lớp giảm rất nhanh theo vector sóng và khoảng 
cách giữa các lớp trong khi các thế nội lớp bị ảnh hưởng yếu hơn và phụ thuộc vào môi trường xung 
quanh các lớp graphene lân cận. 
Từ khóa: Thế tương tác Cloulomb, graphene, điện môi nền không đồng nhất. 
1. Giới thiệu 
Bài toán hệ nhiều hạt tương tác là một trong 
những bài toán quan trọng của vật lý hiện đại vì 
việc giải bài toán loại này sẽ giúp giải quyết 
được nhiều bài toán quan trọng khác, giúp xác 
định những đặc tính quan trọng của hệ khảo sát. 
Tương tác Coulomb là loại tương tác có cường 
độ khá lớn vì thế không thể bỏ qua trong hệ 
nhiều hạt mang điện. Đặc biệt hơn, trong các cấu 
trúc lớp thì thế Coulomb được xem là thế chủ 
yếu, nó đóng góp đáng kể vào nhiều đặc trưng cơ 
bản của cấu trúc như năng lượng trạng thái cơ 
bản, điện trở Coulomb drag, kích thích tập thể  
Việc xác định được biểu thức tường minh của thế 
tương tác Coulomb trong hệ là cơ sở để xác định 
các đặc trưng cơ bản của hệ. 
Thế Coulomb bắt nguồn từ tương tác tĩnh 
điện giữa các điện tích điểm, tuân theo định luật 
Coulomb và có biểu thức khá đơn giản đối với hệ 
hai điện tích, đã được xác định và sử dụng từ lâu 
trong các bài toán vật lý. Tuy nhiên, đối với hệ 
gồm số rất lớn các hạt đồng nhất và phân bố tập 
trung trong vùng không gian hẹp như trong các 
cấu trúc lớp thì biểu thức của thế, cần xác định 
trong không gian xung lượng cho tiện sử dụng, là 
không đơn giản. Vấn đề càng phức tạp hơn đối 
với các hệ có chứa graphene – cấu trúc chỉ gồm 
một lớp nguyên tử với hàm phân bố là dạng hàm 
delta Dirac. 
Trong graphene đơn lớp, thế tương tác 
Coulomb đã được xác định như một hàm tỷ lệ 
nghịch với vector sóng và hằng số điện môi nền 
trung bình bao bọc lớp graphene. Kết quả này đã 
được sử dụng để xác định các tính chất khác 
trong graphene như kích thích tập thể, hệ số dẫn 
quang, tốc độ sóng âm [3], [14]. Trong cấu 
trúc graphene nhiều lớp có điện môi nền đồng 
nhất, ngoài thế tương tác Coulomb nội lớp (có 
dạng giống như đối với graphene đơn lớp) thì thế 
Coulomb xuyên lớp, đặc trưng cho tương tác 
giữa các điện tử trong hai lớp khác nhau, có sự 
xuất hiện của hàm lũy thừa âm cơ số tự nhiên 
của khoảng cách giữa hai lớp và vector sóng [4], 
[15], [16]. Các hàm này giảm rất nhanh khi 
khoảng cách giữa hai lớp và vector sóng tăng lên 
nhưng lại có đóng góp đáng kể đối với vùng 
sóng dài và khoảng cách hai lớp nhỏ nên đã gây 
ra nhiều đặc tính mới lạ cho cấu trúc lớp đôi so 
với các lớp đơn cấu thành [4], [13], [15], [16]. 
Đối với hệ gồm hai lớp graphene được ngăn cách 
bởi những lớp điện môi khác nhau, biểu thức thế 
tương tác Coulomb được xác định nhờ việc giải 
phương trình Poisson và có dạng khá phức tạp 
theo vector sóng, khoảng các giữa hai lớp và đã 
được Badalyan các cộng sự công bố và sử dụng 
[1]. Sau đó, thế tương tác cho hệ loại này cũng 
được nhóm nghiên cứu của Nguyễn Quốc Khánh 
sử dụng để xác định phổ kích thích tập thể và các 
tính chất khác của lớp đôi [5], [6], [10]. Biểu 
thức thế tương tác Coulomb trong cấu trúc lớp 
đôi gồm một lớp graphene và một lớp khí điện tử 
hai chiều với điện môi nền không đồng nhất cũng 
đã được tính toán và được sử dụng để tính điện 
trở Coulomb drag, tần số plasmon và tốc độ phân 
rã plasmon [7], [8], [11], [12]. Cấu trúc gồm 
nhiều lớp graphene đã được Zhu và các cộng sự 
nghiên cứu với điện môi nền đồng nhất [17]. 
Theo tìm hiểu của tác giả, những hệ ba lớp (*) Trường Đại học An Giang. 
TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC ÑOÀNG THAÙP Taïp chí Khoa hoïc soá 39 (08-2019) 
83 
graphene có điện môi nền không đồng nhất hiện 
chưa thấy có công bố khoa học nào mặc dù các 
công bố trước đây cho thấy có sự khác biệt đáng 
kể trong biểu thức thế tương tác Coulomb từ đó 
dẫn tới sự khác biệt về những đặc tính điện của hệ 
không đồng nhất so với hệ đồng nhất mang cùng 
các thông số đặc trưng [1], [5], [7], [8], [9], [11]. 
Chính vì vai trò quan trọng của thế tương tác 
Coulomb và sự không đồng nhất của điện môi nền 
đối với các đặc tính của cấu trúc lớp, bài báo này 
nhằm xác định thế tương tác Coulomb cho các 
điện tử trong một cấu trúc gồm ba lớp graphene, 
được ngăn cách nhau bằng những lớp điện môi 
nền khác nhau, làm cơ sở cho việc xác định các 
đặc tính khác nữa của cấu trúc loại này. Các biểu 
thức giải tích của thế Coulomb nội lớp và xuyên 
lớp được xác định từ nghiệm của phương trình 
Poisson trong không gian xung lượng. 
2. Lý thuyết 
Lớp ba graphene với hằng số điện môi nền 
không đồng nhất có cấu tạo được mô tả trên 
Hình 1. Ba lớp graphene song song nhau và song 
song với mặt phẳng Oxy, cách đều nhau một 
khoảng cách bằng d, lần lượt ở các vị trí 0z , 
z d và 2 .z d 
Hình 1. Lớp ba graphene với bốn lớp điện môi có 
hằng số điện môi khác nhau 
Thế tương tác Coulomb trong không gian 
xung lượng được xác định bằng biểu thức [13]: 
22
, ,ij i jU q e dz dz q z z z z  
 (1) 
với , 1,2,3i j là các chỉ số cho từng lớp 
graphene. Các hàm ,i j z là hàm sóng xác định 
trạng thái của các điện tử trong các lớp graphene. 
Các hàm này có dạng: 
2
1 ,z z  (2) 
2
2 ,z z d  (3) 
2
3 2 .z z d  (4) 
Lần lượt thay các phương trình (2), (3), (4) 
vào phương trình (1) với chú ý tính chất của hàm 
delta Dirac ta được biểu thức các thế Coulomb 
nội lớp và xuyên lớp trong không gian xung 
lượng là: 
 11 ,0,0 ,U q e q (5) 
 22 , , ,U q e q d d (6) 
 33 ,2 ,2 ,U q e q d d (6) 
 12 21 ,0, ,U q U q e q d (7) 
 13 31 ,0,2 ,U q U q e q d (8) 
 23 32 , ,2 .U q U q e q d d (9) 
Để tìm dạng tường minh của các biểu thức 
thế tương tác này ta cần xác định dạng tường 
minh của hàm , , .q z z Hàm , ,q z z là ảnh 
Fourrier của hàm , , ,z z hàm thế biểu 
thị tương tác của hai phần tử điện tích và 
tại các vị trí z và z trong không gian. Hàm 
 , ,z z là nghiệm của phương trình 
Poisson [13] 
 , , 4 .z z z e z z      (10) 
Hàm z là hằng số điện môi nền dọc 
theo trục Oz. Với hệ trên Hình 1, hàm này có thể 
xác định là 
1
2
3
4
, 0
, 0
.
, 2
, 2
z
z d
z
d z d
z d





 (11) 
Sử dụng phép biến đổi Fourier cho hàm  
ta dẫn tới phương trình [13] 
 2
, ,
, , 4 .
d q z zd
z z q q z z e z z
dz dz

   
 (12) 
Giải phương trình (12) với hàm z xác 
định từ phương trình (11) ta thu được hàm  
ứng với các trường hợp khác nhau rồi lần lượt 
TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC ÑOÀNG THAÙP Taïp chí Khoa hoïc soá 39 (08-2019) 
 84 
thay vào các phương trình (5)-(9) ta sẽ thu được 
biểu thức thế tương tác Coulomb. 
3. Kết quả và thảo luận 
Việc xác định nghiệm của phương trình (12) 
chỉ nhằm mục đích tìm thế tương tác ijU q 
trong các phương trình (5)-(9) nên ta chỉ cần tìm 
nghiệm ứng với ba trường hợp sau: 
 Trường hợp 1 ( 0z , ứng với các điện 
tử trong lớp graphene 1): nghiệm của (12) là: 
1
2 3
4 5
6
, 0
, 0
, ,0 .
, 2
, 2
qz
qz qz
qz qz
qz
A e z
A e A e z d
q z
A e A e d z d
A e z d

 (13) 
Để xác định các hằng số 1 6A A trong 
phương trình (13), ta sử dụng điều kiện liên tục 
của hàm  , của đạo hàm hàm  và gián đoạn 
hữu hạn của đạo hàm hàm  tại 0z z [2]: 
1 2 3
2 3 4 5
2 2 2
4 5 6
2 2 2 3 1 1
2 2 3 3 4 5
2 2 2
3 4 5 4 6
.4
qd qd qd qd
qd qd qd
qd qd qd qd
qd qd qd
A A A
A e A e A e A e
A e A e A e
A A A q e
A e A e A e A e
A e A e A e
   
 
 
 (14) 
Hệ các phương trình (14) cho phép ta xác 
định các hệ số iA của hàm thế .q 
+ Trường hợp 2 và 3 ( z d và 2 ,z d 
ứng với các điện tử trong lớp graphen thứ hai 
và thứ ba): dạng nghiệm cũng giống như (13) 
nhưng hệ các phương trình xác định hệ số 
(thay vì A ta ký hiệu là B và C) có khác do đạo 
hàm gián đoạn tại z d và 2z d [2]: 
1 2 3
2 3 4 5
2 2 2
4 5 6
2 2 2 3 1 1
3 4 5 2 2 3
2 2 2
3 4 5 4 6
.
4
qd qd qd qd
qd qd qd
qd qd qd qd
qd qd qd
B B B
B e B e B e B e
B e B e B e
B B B
B e B e B e B e q e
B e B e B e
  
  
 
 (15) 
Và 
1 2 3
2 3 4 5
2 2 2
4 5 6
2 2 2 3 1 1
3 4 5 2 2 3
2 2 2
4 6 3 4 5
.
4
qd qd qd qd
qd qd qd
qd qd qd qd
qd qd qd
C C C
C e C e C e C e
C e C e C e
C C C
C e C e C e C e
C e C e C e q e
  
 
  
 (16) 
Giải hệ các phương trình (14)-(16) để được 
các hệ số , ,i i iA B C ( 1,2,...,6i ) rồi thay vào 
biểu thức của hàm . Biểu thức thế tương tác 
(5)-(9) có thể viết lại thành: 
 11 1,U q eA (17) 
 22 2 3 ,qd qdU q e B e B e (18) 
 233 6 ,
qdU q eC e (19) 
 12 21 1,U q U q eB (20) 
 13 31 1,U q U q eC (21) 
 23 32 2 3 .qd qdU q U q e C e C e (22) 
Các tính toán chi tiết cho thấy, biểu thức thế 
Coulomb cho lớp ba graphene có dạng: 
22
,ij ij
e
U q f q
q
 (23) 
trong đó: 
2 4
2 3 3 4 3 2 3 2 3 3 4
11
2 2
,
qd qde e
f q
N qd
           
(24) 
2
1 2 3 4
22
8 cosh sinh cosh sinh
,
qde qd qd qd qd
f q
N qd
    (25) 
2 4
2 3 2 1 2 3 2 1 2 2 3
33
2 2
,
qd qde e
f q
N qd
           
 (26) 
2
2 3 4
12 21
8 cosh sinh
,
qde qd qd
f q f q
N qd
   
 (27) 
2
2 3
13 31
8
,
qde
f q f q
N qd
 
 (28) 
2
3 2 1
32 23
8 cosh sinh
.
qde qd qd
f q f q
N qd
   
 (29) 
Với 
2
1 2 2 3 3 4 2 3 1 3 2 4
4
1 2 2 3 3 4
2
.
x
x
N x e
e
           
     
 (30) 
Các biểu thức tương tự cho lớp đôi 
graphene đã được Badalyan và Peeters công bố 
[1]. Thế tương tác Coulomb nội lớp (intra-layer), 
được xác định từ các biểu thức (24)-(26), bị ảnh 
hưởng bởi hằng số điện môi của môi trường 
TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC ÑOÀNG THAÙP Taïp chí Khoa hoïc soá 39 (08-2019) 
85 
xung quanh các lớp graphene lân cận và không 
chịu ảnh hưởng nhiều bởi vector sóng q và 
khoảng cách giữa hai lớp d (do tử số và mẫu số 
chứa lũy thừa cơ số tự nhiên cùng bậc). Trong 
khi đó, thế tương tác Coulomb xuyên lớp (inter-
layer) bị ảnh hưởng mạnh bởi tích qd (do chứa 
thừa số lũy thừa cơ số tự nhiên ở mẫu số có bậc 
lớn hơn so với ở tử số) như có thể nhận thấy từ 
các biểu thức (27)-(29). 
Hình 2. Thế tƣơng tác Coulomb nội lớp (a) và xuyên 
lớp (b) trong lớp ba graphene với điện môi nền 
không đồng nhất. Các tham số sử dụng là 
20 d nm , 11 210n cm , 
31 SiO
3,8  , 
2 32 3 Al O
9,1   , 4 air 1,0  
Hình 2 biểu diễn các hàm thế tương tác như 
một hàm theo vector sóng q. Trong hình vẽ, 
2
0 2U e và Fk là vector sóng Fermi của 
graphene, n là mật độ hạt tải trong graphene. 
Các hằng số điện môi nền được sử dụng là 
21 SiO
3,8,  
2 32 3 Al O
9,1,   
4 air 1,0  [13]. Các Hình 2(a) và 2(b) cho 
thấy, các thế tương tác nội lớp có giá trị lớn hơn 
đáng kể so với thế tương tác xuyên lớp ở cùng 
một giá trị vector sóng, khoảng cách lớp và mật 
độ hạt tải. 
Hình 3. Thế tƣơng tác Coulomb nội lớp (a) và xuyên 
lớp (b) trong lớp ba graphene với điện môi nền 
không đồng nhất. Các tham số sử dụng là 
20 d nm và 50 d nm , 11 210 ,n cm 
31 SiO
3,8,  
2 32 3 Al O
9,1,   
4 air 1,0  
Để tìm hiểu kỹ hơn ảnh hưởng của khoảng 
cách giữa các lớp đối với các thế Coulomb đã 
tìm được, Hình 3(a) và 3(b) vẽ các thế này với 
hai giá trị khoảng cách lớp khác nhau 
20 d nm và 50 .d nm Kết quả cho thấy, ở 
hai khoảng cách lớp khác nhau, đồ thị các hàm 
 iiU q nằm gần nhau trong khi đồ thị các hàm 
 ijU q tách làm hai nhóm rõ rệt. Điều này chứng 
tỏ các hàm thế ijU q phụ thuộc mạnh hơn vào 
khoảng cách lớp so với các hàm iiU q như đã 
nhận định từ các biểu thức giải tích. 
Đối với hệ có điện môi nền đồng nhất, ta 
thay 1 2 3 4     vào các biểu thức 
(23)-(30) và thu được: 
2
ij
2
.
i j qde
U q e
q

 (31) 
Biểu thức (31) là thế tương tác Coulomb đã 
được Zhu và các cộng sự sử dụng để tính phổ 
kích thích tập thể cho hệ gồm nhiều lớp graphene 
có điện môi nền đồng nhất [17]. Để có được 
những so sánh chi tiết hơn, Hình 4 vẽ đồ thị các 
hàm thế với điện môi nền đồng nhất và không 
đồng nhất. Hệ đồng nhất sử dụng hằng số điện 
môi nền là trung bình của hằng số điện môi hai 
lớp xung quanh hệ ( 1 4 / 2 2,4    ). 
Hình 4. Thế tƣơng tác Coulomb nội lớp (a) và xuyên 
lớp (b) trong lớp ba graphene với điện môi nền đồng 
nhất và không đồng nhất. Các tham số sử dụng là 
20 ,d nm 11 210 ,n cm 
31 SiO
3,8,  
2 32 3 Al O
9,1,   4 air 1,0.  Hệ đồng nhất 
so sánh có hằng số điện môi trung bình bằng 
 1 4 / 2 2,4    
Hình 4(a) cho thấy, đối với hệ đồng nhất, 
thế Coulomb nội lớp trong mỗi lớp graphene là 
như nhau được biểu diễn bằng đường liền nét 
đậm. Trong khi đó, các hàm này có giá trị khác 
nhau đáng kể đối với hệ không đồng nhất do 
chúng phụ thuộc khác nhau vào các hằng số điện 
môi của môi trường. Sự khác biệt xảy ra nhiều 
nhất đối với thế 22U q do lớp graphene 2 nằm 
cách xa hai lớp điện môi bao bọc hệ ( 1 và 4 ) 
TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC ÑOÀNG THAÙP Taïp chí Khoa hoïc soá 39 (08-2019) 
 86 
nhất. Hình 4(b) cho thấy các thế tương tác 
Coulomb xuyên lớp trong hệ không đồng nhất có 
giá trị không khác nhau nhiều. Trong hệ đồng 
nhất, các hàm 12U q và 23U q có cùng giá trị 
(đường liền nét đậm) trong khi thế 13U q nhận 
giá trị nhỏ hơn nhiều và giảm nhanh hơn theo 
vector sóng (đường chấm gạch). 
4. Kết luận 
Bài báo đã sử dụng phương trình Poisson để 
tìm biểu thức giải tích của thế tương tác 
Coulomb nội lớp và xuyên lớp trong không gian 
xung lượng của một cấu trúc gồm ba lớp 
graphene được ngăn cách bởi những lớp điện 
môi nền khác nhau. Kết quả tính toán cho thấy 
các thế tương tác nội lớp bị tác động bởi điện 
môi bao bọc các lớp graphene lân cận, nhận giá 
trị khác nhau nhiều đối với từng lớp graphene và 
ít chịu tác động bởi khoảng cách giữa các lớp. 
Trong khi đó, các thế Coulomb xuyên lớp giảm 
nhanh theo vector sóng và khoảng cách giữa các 
lớp. Cả thế tương tác nội lớp và xuyên lớp bị ảnh 
hưởng đáng kể bởi sự không đồng nhất của hằng 
số điện môi nền trong hệ. Các kết quả giải tích về 
thế Coulomb trong bài báo này có thể sử dụng để 
khảo sát những đặc tính quan trọng khác như 
điện trở Coulomb drag, tính chất vận chuyển 
hoặc phổ kích thích tập thể của hệ. 
Lời cảm ơn 
Nghiên cứu này được tài trợ bởi Quỹ Phát 
triển khoa học và công nghệ Quốc gia 
(NAFOSTED) trong đề tài mã số 103.01-
2017.23./.
Tài liệu tham khảo 
[1]. Badalyan, S. M. and Peeters, F. M. (2012), “Effect of nonhomogenous dielectric background 
on the plasmon modes in graphene double-layer structures at finite temperatures”, Physical Review B, 
(85), p. 195444. 
[2]. Chow T. (2003), Mathematical Methods for Physicists: A concise introduction, Cambridge 
University Press, Virtual Publishing. 
[3]. Hwang, E. H. and Sarma, S. D. (2007), “Dielectric function, screening, and plasmons in 2D 
graphene”, Physical Review B, (75), p. 205418. 
[4]. Hwang, E. H. and Sarma, S. D. (2009), “Exotic plasmon modes of double layer graphene”, 
Phys. Rev. B, (80), p. 205405. 
[5]. Nguyen Quoc Khanh and Nguyen Van Men (2018), “Plasmon modes in bilayer-monolayer 
graphene heterostructures”, Physica Status Solidi (b), https://doi.org/10.1002/pssb.201700656. 
[6]. Dang Khanh Linh and Nguyen Quoc Khanh (2018), “Electrical conductivity of bilayer-
graphene double layers at finite temperature”, Superlattices and Microstructures, (114), p. 406-415. 
[7]. Nguyen Van Men and Nguyen Quoc Khanh (2018), “Plasmon modes in Dirac/Schrödinger 
hybrid electron systems including layer-thickness and exchange-correlation effects”, Canadian 
Journal of Physics, (96), p.615-621, dx.doi.org/10.1139/cjp-2017-0542. 
[8]. Nguyen Van Men and Nguyen Quoc Khanh (2017), “Plasmon modes in graphene-GaAs 
heterostructures”, Physics Letters A, (381), p. 3779. 
[9]. Nguyen Van Men, Nguyen Quoc Khanh and Dong Thi Kim Phuong (2019), “Plasmon 
modes in MLG-2DEG heterostructures: Temperature effects”, Physics Letters A, (383), p. 1364-1370. 
[10]. Nguyen Van Men, Nguyen Quoc Khanh and Dong Thi Kim Phuong (2019), “Plasmon 
modes in double bilayer graphene heterostructures”, Solid State Communications, (294), p. 43-48. 
[11]. Nguyen Van Men and Dong Thi Kim Phuong (2018), “Plasmon modes in bilayer-graphene 
- GaAs heterostructures including layer-thickness and exchange-correlation effects”, International 
Journal of Modern Physics B, 32(23), p. 1850256. 
[12]. Principi, A., Carrega, M., Asgari, R., Pellegrini, V., and Polini, M. (2012) “Plasmons and 
Coulomb drag in Dirac/Schrödinger hybrid electron systems”, Physical Review B, (86), p. 085421. 
TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC ÑOÀNG THAÙP Taïp chí Khoa hoïc soá 39 (08-2019) 
87 
[13]. Scharf, B. and Matos-Abiague, A. (2012), “Coulomb drag between massless and massive 
fermions”, Physical Review B, (86), p. 115425. 
[14]. Hồ Sỹ Tá (2017), Các đặc trưng plasmon và tính chất động lực học của hệ điện tử trong 
graphene, Luận án tiến sĩ, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, Việt Nam. 
[15]. Dinh Van Tuan and Nguyen Quoc Khanh (2013), “Plasmon modes of double-layer 
graphene at finite temperature”, Physica E, (54), p. 267-272. 
[16]. Vazifehshenas, T., Amlaki, T., Farmanbar, M., and Parhizgar, F. (2010), “Temperature effect 
on plasmon dispersions in double-layer graphene systems”, Physics Letters A, (374), p. 4899-4903. 
[17]. Zhu J. J., Badalyan S. M., Peeters F. M. (2013), “Plasmonic excitations in Coulomb 
coupled N-layer graphene structures”, Physical Review B, (87), p. 085401. 
COULOMB BARE INTERACTION IN THREE-LAYER GRAPHENE 
Summary 
The Coulomb bare interaction has significant contributions to important characters of charged 
multibody systems. This paper is to determine the analytical expressions for Coulomb interactions 
between electrons in a structure made up of three parallel monolayer graphene sheets, separated by 
different dielectric layers via solving Poisson equations. Analytical and numerical results show that 
Coulomb potential functions in momentum space are affected strongly by the inhomogeneity of 
dielectric background. Inter-layer Coulomb potentials decrease remarkably with an increase in wave 
vector q and separated distance d, while intra-layer ones are only weak functions of q and d, and 
depend on the environment around other graphene sheets. 
Keywords: Coulomb bare interaction, graphene, inhomogeneous background dielectric. 
Ngày nhận bài: 26/3/2019; Ngày nhận lại: 11/7/2019; Ngày duyệt đăng: 15/7/2019.