Giáo trình môn Toán kinh tế

BỘ NÔNG NGHIỆP VÀ PHÁT TRIỂN NÔNG THÔN
TRƯỜNG CAO ĐẲNG CƠ GIỚI NINH BÌNH
GIÁO TRÌNH
MÔN HỌC: TOÁN KINH TẾ
NGHỀ: KẾ TOÁN DOANH NGHIỆP
TRÌNH ĐỘ: CAO ĐẲNG
Ban hành kèm theo Quyết định số: /QĐ-TCGNB ngày.tháng.năm 2017 của Trường cao đẳng nghề Cơ giới Ninh Bình
Ninh Bình, năm 20
TUYÊN BỐ BẢN QUYỀN
Tài liệu này thuộc loại sách giáo trình nên các nguồn thông tin có thể được phép dùng nguyên bản hoặc trích dùng cho các mục đích về đào tạo và tham khảo.
Mọi mục đích khác mang tính lệch lạc hoặc sử dụng với mục đích kinh doanh thiếu lành mạnh sẽ bị nghiêm cấm.
LỜI NÓI ĐẦU
Toán học và kinh tế là hai lĩnh vực có mối quan hệ gắn bó với nhau. Kinh tế là nguồn cảm hứng cho toán học thực hiện khả năng tiềm năng của mình, còn toán học là công cụ giúp cho việc phân tích, giải quyết các vấn đề kinh tế một cách chặt chẽ, hợp lý và hiệu quả. Toán kinh tế là việc nghiên cứu để mô tả các vấn đề kinh tế dưới dạng mô hình toán học thích hợp và từ góc độ toán học sẽ tìm ra lời giải cho mô hình đó, từ đó giúp các nhà kinh tế tìm ra các giải pháp tối ưu cho bài toán kinh tế.
Để đáp ứng nhu cầu giảng dạy và học tập môn Toán kinh tế cho sinh viên hệ Cao đẳng, chúng tôi đó biên soạn cuốn giáo trình này. Giáo trình không đi sâu vào các vấn đề lý luận và các kỹ thuật toán học phức tạp mà chỉ tập trung trình bày những nội dung cơ bản và các thuật toán chính của lý thuyết tối ưu tuyến tính. 
Nhằm giúp sinh viên rèn luyện kỹ năng trong giáo trình có đầy đủ các ví dụ cụ thể mô tả từng tình huống, hướng dẫn tỉ mỉ toàn bộ quá trình giải quyết vấn đề.
Nội dung giáo trình gồm 4 chương:
	Chương 1: Đại số tuyến tính 
	Chương 2: Phương pháp đơn hình và bài toán đối ngẫu
	Chương 3: Toán xác suất
Chương 4: Thống kê toán
Mặc dù có nhiều cố gắng, nhưng giáo trình này chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi rất mong được bạn đọc góp ý để cuốn sách ngày càng hoàn thiện.
 	 Các tác giả
	An Thị Hạnh
	Đỗ Quang Khải
	Phạm Thị Hồng
MỤC LỤC
GIÁO TRÌNH MÔN HỌC
Tên môn học: Toán kinh tế
Mã số môn học: MH 16
Vị trí, tính chất, ý nghĩa và vai trò của môn học:
- Vị trí: Môn học được bố trí giảng dạy sau các môn học chung.
- Tính chất: Là môn học giúp người học vận dụng tốt các môn học chuyên môn của nghề.
- Ý nghĩa và vai trò của môn học:
+ Chương trình trang bị cho sinh viên những kiến thức cơ bản về các mô hình kinh tế, các phương pháp tiếp cận khác nhau để lý giải sự tồn tại và vận động của quá trình kinh tế - xã hội.
+ Trang bị cho sinh viên những kỹ năng tính toán thông qua việc giải quyết các bài toán, dựa vào bài toán có thế tiến hành phân tích và dự báo biến động trong nhiều lĩnh vực khác nhau như giá cả và tài chính.
+ Giúp cho sinh viên có những nhận thức cơ bản, có phương hướng đúng đắn và tự tin trong công tác tài chính thực tiễn sau khi tốt nghiệp ra trường.
+ Ngoài ra học sinh còn có năng lực để theo học liên thông lên các bậc học cao hơn để phát triển kiến thức và kỹ năng nghề.
Mục tiêu môn học:
- Về kiến thức:
	+ Trình bày được các kiến thức cơ bản về kinh tế học và công cụ toán học để xây dựng mô hình bài toán kinh tế;
	+ Trình bày mối liên hệ định tính, định lượng giữa các biến số kinh tế trong nhiều lĩnh vực và sử dụng các phương pháp như: Phân tích cân bằng, phân tích tối ưu, quy hoạch tuyến tính, thống kê toán.... 
- Về kỹ năng: 
	+ Xây dựng được mô hình bài toán kinh tế và phân tích được mô hình;
	+ Giải được bài toán quy hoạch tuyến tính, xác suất và thống kê toán;
	+ Kiểm định được các giả thuyết thống kê toán.
- Về năng lực tự chủ và trách nhiệm: Có phẩm chất đạo đức, kỷ luật tốt, có ý thức tự rèn luyện để nâng cao trình độ.
Nội dung môn học:
CHƯƠNG 1: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Mã chương: TKT 01
Giới thiệu: 
	Trang bị cho người học những kiến thức chung về vectơ, ma trận, hướng dẫn người học các cách xác định giá trị định thức và phương pháp giải bài toán quy hoạch tuyến tính.
Mục tiêu:
	- Trình bày được khái niệm Vectơ n chiều và khái niệm về ma trận; 
	- Trình bày được các phép toán vectơ;	
	- Trình bày được cách xác định giá trị định thức;	
	- Giải được hệ phương trình và bài toán quy hoạch tuyến tính;
	- Có ý thức học tập nghiêm túc, cẩn thận, chính xác.
Nội dung chính:
1. Vectơ n chiều và các phép tính 
1.1. Định nghĩa
- Véc tơ là một đoạn thẳng được cấu thành bởi 2 yếu tố là độ dài véctơ và hướng.
- Véctơ n chiều là một bộ gồm n số thực được sắp xếp có thứ tự và ký hiệu là 
 X = (x1, x2, ..., xn ) = {xj }; j = 1 - n
VD: X1 = (1, 4, 0)	 X2 = (3, -1, 2, 1, 5)
- Mỗi số xj gọi là thành phần hoặc toạ độ thứ j của x.
x1 gọi là thành phần thứ 1
x2 gọi là thành phần thứ 2
...
xn gọi là thành phần thứ n
- Véctơ 0 là véctơ mà tất cả các thành phần đều bằng 0
- Véctơ đối của véctơ X là - X = (- x1, - x2, ..., - xn )
- Véctơ bằng nhau: 2 véctơ có cùng thành phần được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi các thành phần tương ứng của chúng bằng nhau từng đôi một.
X = (x1, x2, ..., xn ); Y = (y1, y2, ..., yn )
Ta có X = Y 	 x1 = y1
 x2 = y2
 ...
 xn = yn
Như vậy, 2 véctơ bằng nhau là 2 véctơ có các thành phần giống hệt nhau
- Véctơ hàng là n số thực được sắp xếp theo hàng.
- Véctơ cột là n số thực được sắp xếp theo cột.
- Véctơ đơn vị là véctơ có 1 thành phần bằng 1 còn các thành phần còn lại đều bằng 0.
1.2. Các phép toán vectơ
1.2.1. Phép cộng 2 véctơ có cùng thành phần
Ta gọi tổng của 2 véctơ n chiều X và Y là một véctơ n chiều Z mà các thành phần của nó là tổng các thành phần tương ứng của X và Y, nghĩa là:
X + Y = Z; zj = xj + yj ; j = 1 - n
Như vậy, phép cộng chỉ thực hiện được trên những véctơ có cùng số chiều và thực chất là qui về phép cộng các số, do đó nó cũng có đầy đủ các tính chất của phép cộng các số.
1.2.2. Phép nhân vectơ với một số
Ta gọi tích của một vectơ n chiều X với 1 hằng số k là một vectơ n chiều ký hiệu kX mà các thành phần của nó là các thành phần tương ứng của X được nhân lên với k, nghĩa là: kX = {kxj} (j = 1¸ n)
Thực chất của phép tính này cũng quy về phép tính trên các số.
Các tính chất cơ bản của 2 phép tính  ... thường đặt mã hóa để chuyển hóa thành con số. Chi tiết và phân loại và mã hóa có thể xem trong giáo trình. Trong chương trình môn học này, ta chỉ xét loại biến định tính có hai trạng thái: Có và Không có một tính chất nào đó, ví dụ chỉ xét giới là Nam và Không phải nam, tốt nghiệp loại Giỏi và không phải loại Giỏi, sở hữu Tư nhân và Không phải sở hữu tư nhân. Do đó nếu gán 1 cho trường hợp Có và 0 cho trường hợp Không có thì biến ngẫu nhiên gốc có dạng Không – một. 
Như vậy với tổng thể có kích thước N, biến ngẫu nhiên gốc X trong tổng thể có thể viết dưới dạng: X = {x1, x2,, xN} với xi là các giá trị có thể có, i = 1,2,, N. Nếu dấu hiệu nghiên cứu định tính thì xi chỉ có thể là 0 hoặc 1.
Mô tả tổng thể 
Khi biến ngẫu nhiên gốc X gồm các phần tử {x1, x2,, xN}, việc liệt kê tất cả các phần tử có thể rất dài khi số lượng phần tử là rất lớn. Nếu ta không quan tâm từng phần tử gắn với giá trị nào mà chỉ quan tâm đến độ lớn và sự phân bố của giá trị của X, thì việc liệt kê đủ N con số là không cần thiết. Khi đó ta chỉ cần xét trên các con số khác nhau. 
Các tham số đặc trưng của tổng thể 
Cũng giống như nghiên cứu biến ngẫu nhiên, khi nghiên cứu tổng thể ta cũng xét một số giá trị đặc trưng cơ bản để có thể phán đoán, phân tích, nhận xét. 
Định nghĩa Tham số tổng thể: Các đại lượng tính trên các đại lượng nghiên cứu của tổng thể, hay trên biến ngẫu nhiên gốc, phản ánh về một khía cạnh của tổng thể, gọi là tham số tổng thể, gọi tắt là tham số. 
Có rất nhiều loại tham số, ta tập trung vào các tham số là Trung bình tổng thể, Phương sai tổng thể, Độ lệch chuẩn tổng thể, Tỷ lệ tổng thể. 
Định nghĩa Trung bình tổng thể: Trung bình tổng thể, ký hiệu là m, là trung bình cộng tất cả các giá trị của biến ngẫu nhiên gốc trong tổng thể. 
Phương sai tổng thể : Nếu trung bình tổng thể cho biết giá trị bình quân của đại lượng trong tổng thể, thì khi cần đo sự biến động của các phần tử trong tổng thể, ta cần một đại lượng để đánh giá, là phương sai tổng thể. 
Định nghĩa Phương sai tổng thể: Phương sai tổng thể, ký hiệu là s 2 , được tính theo công thức
Độ lệch chuẩn tổng thể 
Định nghĩa: Độ lệch chuẩn tổng thể, ký hiệu là s , là căn bậc hai của phương sai tổng thể: 2s = s2
 Độ lệch chuẩn có đơn vị là đơn vị của X.
 Tương tự như phương sai, độ lệch chuẩn cũng là một thước đo sự phân tán, dao động, đồng đều, ổn định của biến ngẫu nhiên. Độ lệch chuẩn càng lớn thì tổng thể càng phân tán, độ lệch chuẩn càng nhỏ thì tổng thể càng đồng đều. 
Ví dụ 6. Nếu nghiên cứu hai khu vực A và B, với cùng biến ngẫu nhiên gốc X là thu nhập hộ gia đình, mA , mB lần lượt là trung bình tổng thể của khu vực A và khu vực B. 
Nếu mA > mB thì có thể nói rằng thu nhập trung bình ở khu vực A cao hơn khu vực B, hoặc ngắn gọn hơn nữa là khu vực A có thu nhập cao hơn khu vực B (bỏ bớt chữ trung bình). 
Nếu s2A và s2B lần lượt là phương sai tổng thể của khu vực A và khu vực B, và s2A >s2B thì có thể nói rằng thu nhập ở khu vực B đồng đều hơn khu vực A, hay thu nhập của khu vực A là phân tán hơn khu vực B. Cũng có thể nói rằng xét về thu nhập thì khu vực B bình đẳng hơn khu vực A. 
Tỷ lệ tổng thể 
Định nghĩa : Tỷ lệ tổng thể (hay còn gọi là tần suất tổng thể) của một dấu hiệu A, ký hiệu là p, là tỉ số giữa số phần tử của tổng thể mang dấu hiệu đó và kích thước tổng thể. 
Các tham số đặc trưng của mẫu ngẫu nhiên 
Phương pháp chọn mẫu 
Để phản ánh về tổng thể một cách chính xác nhất, người nghiên cứu mong muốn mẫu phải có tính đại diện tốt nhất. Để có một mẫu đại diện tốt nhất cho tổng thể người ta thường phải tiến hành xây dựng mẫu theo một quy định chọn ngẫu nhiên các phần tử của mẫu. Một mẫu như vậy được gọi là mẫu ngẫu nhiên. 
Có rất nhiều phương pháp chọn mẫu ngẫu nhiên để thỏa mãn tính đại diện tốt nhất cho tổng thể và phù hợp với mục tiêu nghiên cứu: 
- Mẫu ngẫu nhiên đơn; 
- Mẫu ngẫu nhiên hệ thống; 
- Mẫu chùm;
- Mẫu phân tổ; 
- Mẫu nhiều cấp. 
Trong nội dung bài giảng, ta không đi sâu vào các phương pháp lấy mẫu. Sinh viên có thể đọc thêm trong giáo trình. Ta sẽ đi sâu vào khái niệm về mẫu ngẫu nhiên trong mục sau.
Mẫu ngẫu nhiên và mẫu cụ thể 
Trong mục trên có đề cập khái niệm mẫu ngẫu nhiên. Hiểu một cách đơn giản, mẫu là một bộ phận nhỏ hơn tương đối so với tổng thể, được rút ra từ tổng thể để điều tra. Phương pháp lấy mẫu ngẫu nhiên tức là làm sao để mỗi phần tử trong tổng thể đều có khả năng được điều tra là như nhau, hay xác suất để mỗi phần tử bị chọn là như nhau trong mỗi lần chọn. Vì trong mỗi lần chọn mẫu lấy ra một phần tử, và các phần tử đó có khả năng bị chọn là như nhau, nên chúng là độc lập với nhau, và các phần tử trong mỗi lần chọn có các đặc tính là như nhau. Vì vậy kỳ vọng, phương sai của đại lượng nghiên cứu với mỗi phần tử được chọn đều giống nhau.
 Để lấy một mẫu gồm n phần tử, hay còn gọi là mẫu kích thước n, cần thực hiện n lần chọn ngẫu nhiên. Nếu mỗi lần chọn được một phần tử, và đại lượng nghiên cứu của phần tử đó chính là X, thì X là ngẫu nhiên và giống nhau ở mọi lần. Từ đó ta có định nghĩa về mẫu ngẫu nhiên. 
Định nghĩa Mẫu ngẫu nhiên: Một mẫu ngẫu nhiên kích thước n là tập hợp n biến ngẫu nhiên độc lập X1 , X2,, Xn được thành lập từ biến ngẫu nhiên X trong tổng thể và có cùng phân phối với biến ngẫu nhiên gốc X. 
Ký hiệu mẫu ngẫu nhiên: W = (X1, X2,,Xn) 
Do mỗi lần lấy phần tử cho mẫu, biến ngẫu nhiên X đều là như nhau, do đó kỳ vọng và phương sai của chúng đều bằng nhau. 
E(X1) = E(X2) =  = E(Xn) = E(X) = m 
V(X1) = V(X2) =  = V(Xn) = V(X) = σ2
 Mẫu ngẫu nhiên như vậy là mẫu lấy một cách trừu tượng, chưa thực hiện. Khi thực hiện chọn n phần tử một cách thực sự, được một bộ số. Nếu lần chọn đầu tiên được giá trị là X1 = x1; lần chọn thứ hai X2 = x2,, cho đến Xn = xn với x1, x2,, xn là các con số, thì ta có một mẫu đã điều tra, gọi là mẫu cụ thể, gồm n con số, hay chính là một bộ số liệu. 
Định nghĩa Mẫu cụ thể: Mẫu cụ thể là một bộ n số thực (x1, x2,, xn), là kết quả khi thực hiện một phép thử của mẫu ngẫu nhiên (X1, X2, , Xn). 
Ký hiệu mẫu cụ thể là w = (x1, x2,  , xn). 
Mỗi con số gọi là một quan sát. Do đó mẫu kích thước n sẽ có n quan sát. Như vậy: 
- Mẫu ngẫu nhiên là một bộ n biến ngẫu nhiên, ký hiệu viết hoa. 
- Mẫu cụ thể là một bộ số liệu gồm n con số cụ thể, ký hiệu viết thường. 
 2. Ước lượng tham số 
2.1. Ước lượng điểm cho kỳ vọng, phương sai và xác suất.
 2.1.1.  Ước lượng điểm: Giả sử tổng thể có tham số Θ, sau khi khảo sát mẫu ta tính được các thống kê, dựa vào các thống kê để đưa ra 1 số T thay thế Θ gọi là ước lượng điểm của Θ.
- Không chệch: hiểu 1 cách đơn giản là ước lượng không chứa sai số hệ thống, tức là không thiên về phía đưa ra các giá trị bé hơn Θ hoặc không thiên về phía đưa ra các giá trị lớn hơn Θ.
- Hiệu quả: trong các ước lượng có cùng tính chất, chọn ước lượng có phương sai nhỏ nhất.
- Vững: khi tăng dung lượng mẫu n lên vô hạn thì ước lượng sẽ dần đến Θ (dần đến theo xác suất).
- Chắc hay bền: không thay đổi nhiều khi trong mẫu có các số liệu quá nhỏ hay quá lớn.
Nếu không thể chọn ước lượng tốt trên mọi phương diện thì, tùy theo mục đích, có thể chọn ước lượng thỏa mãn 1 số tiêu chuẩn trong rất nhiều tiêu chuẩn đưa ra.
Ví dụ:
- Khi có phân phối chuẩn N(μ;σ2) thì ước lượng trên nhiều mặt là trung bình cộng và phương sai mẫu σ2
- Khi có phân phối nhị thức B(n,p) thì ước lượng tốt của tham số p là tần suất
2.1.2. Ước lượng khoảng
Đây là cách tiếp cận có nhiều ứng dụng trong các ngành khoa học đòi hỏi phải thường xuyên xử lí số liệu như sinh học, y học, hóa học, kinh tế Theo cách tiếp cận này sau khi tính các thống kê của mẫu quan sát, ta đưa ra khoảng [a;b] chứa tham số Θ . Cận dưới a và cận trên b tính theo 1 quy tắc cụ thể dựa trên các thống kê và dựa trên mức độ tin cậy P.
Sau khi chọn mẫu, ta đưa ra khoảng tin cậy [a; b], nếu Θ ở trong [a; b] thì khoảng tin cậy đưa ra đúng, nếu Θ  ở ngoài khoảng [a; b], thì khoảng tin cậy đưa ra sai. Như vậy mỗi khoảng tin cậy chỉ có thể đúng hoặc sai, xác suất đúng là P, xác suất sai a = 1 – P, hiểu đơn giản là nếu tính khoảng tin cậy theo quy tắc đã đưa ra thì trung bình trong 100 trường hợp, P.100 trường hợp có khoảng tin cậy đúng.
Không đi sâu vào lý thuyết, ta đưa ra quy tắc ước lượng tham số cho ba trường hợp:
Ước lượng kỳ vọng μ của phân phối chuẩn khi biết phương sai σ2
Các bước cần làm để ước lượng μ:
+ Chọn mẫu kích thước n, tính trung bình cộng . Chọn mức tin cậy γ (α = 1 – γ gọi là mức sai cho phép hay mức ý nghĩa).
+ Dùng bảng tích phân hàm Laplace  để tính giá trị tới hạn  , tức là giá trị u sao cho:
+ Ước lượng m theo bất đẳng thức kép:
Lưu ý: nếu hàm phân phối chuẩn là  thì tính  , tức là giá trị u sao cho:   . Giá trị này ở 1 số sách còn được cho bởi bảng phân vị chuẩn 
2.2. Ước lượng khoảng tin cậy cho tham số P của biến ngẫu nhiên phân phối theo quy luật không – một 
TH1: Khi n đủ lớn (n>30): thay σ ở công thức (1) bằng độ lệch chuẩn hiệu chỉnh s.
TH2: Khi n < 30
Các bước cần làm để ước lượng m:
+ Chọn mẫu kích thước n, tính trung bình cộng . Tính phương sai mẫu 
+ Dùng bảng phân phối Student, tính giá trị tới hạn  , tức là giá trị t ở cột α, dòng n – 1
+ Ước lượng m theo bất đẳng thức kép:
Ví dụ: Để ước lượng năng suất một giống ngô, người ta theo dõi 25 mảnh ruộng. Sau khi thu hoạch được (đơn vị tạ/ha). Giả thiết năng suất ngô phân phối chuẩn. Mức tin cậy P = 0,95.
Ta có: . 
Tra bảng phân phối Student ta được: t(24; 0,05) = 2,064
Vậy khoảng ước lượng năng suất trung bình của giống ngô:
Hay: 
2.3. Ước lượng kỳ vọng của biến ngẫu nhiên phân phối theo quy luật chuẩn 
Một tổng thể gồm 2 loại cá thể  với số lượng rất lớn, tỉ lệ loại A là p (chưa biết). Lấy ngẫu nhiên 1 cá thể, có thể coi xác suất được các thể loại A là p. Lấy ngẫu nhiên n cá thể, trong đó có m cá thể loại A.
Nếu n lớn (n > 100):
+ Lấy mẫu kích thước n, đếm tần số (m) xuất hiện cá thể loại A, tính tần suất 
+ Dùng bảng tích phân hàm Laplace  để tính giá trị tới hạn  , tức là giá trị u sao cho:
+ Ước lượng m theo bất đẳng thức kép: 
2.4. Ước lượng phương sai của biến ngẫu nhiên phân phối theo quy luật chuẩn. 
Theo (1), nửa chiều dài khoảng ước lượng:. Nếu muốn ước lượng đạt độ chính xác ε thì phải lấy L ≤ ε. Từ đó:
3. Kiểm định giả thuyết thống kê 
3.1. Khái niệm 
Khi thực hiện một nghiên cứu định lượng (quantitative research), chúng ta phải cố gắng trả lời các câu hỏi nghiên cứu (research questions) hay các giả thuyết đặt ra. Một phương pháp đánh giá các giả thuyết này thông qua một thủ tục được gọi là kiểm định giả thuyết (hypothesis testing) mà đôi khi còn được gọi là kiểm định ý nghĩa thống kê (significance testing).
Ví dụ: hai giáo viên môn thống kê, Tom và Jerry, đều muốn sử dụng phương pháp tốt nhất để giảng dạy cho sinh viên của mình. Mỗi giáo viên giảng dạy một lớp gồm 50 sinh viên. Trong lớp của Tom, các sinh viên phải thực hiện một bài tiểu luận bên cạnh việc tiếp thu trên lớp. Tom nghĩ rằng việc làm tiểu luận là phương pháp dạy quan trọng trong môn thống kê, trong khi Jerry tin tưởng rằng sẽ tốt hơn nếu sinh viên tập trung lắng nghe tiếp thu trên lớp. Đây là năm đầu tiên mà Tom cho sinh viên làm tiểu luận, và cô ta mong muốn việc làm tiểu luận sẽ giúp sinh viên nâng cao hiệu quả học tập.
3.2. Kiểm định về trung bình tổng thể 
Cũng tương tự bài toán ước lượng khoảng, ta chỉ xét bài toán kiểm định với tổng thể phân phối Chuẩn. 
Xét biến ngẫu nhiên gốc trong tổng thể phân phối chuẩn X ~ N(μ ; s 2 ) với các tham số tổng thể là chưa biết, hay m chưa biết, trong đó m chính là trung bình của tổng thể theo dấu hiệu nghiên cứu. Ta kiểm định giả thiết về tham số m, với việc so sánh với một số thực m0 cho trước. Các chứng minh đã được trình bày trong giáo trình, tại đây ta áp dụng các công thức để thực hiện kiểm định và đưa ra kết luận phù hợp với từng trường hợp. 
Ví dụ 1. Xem xét về trọng lượng một loại quả (tính bằng gam), người ta tiến hành cân thử một số quả lấy ngẫu nhiên, đựợc số liệu cho trong bảng dưới đây. 
Trọng lượng (gam)
25 – 27
27 – 29
29 – 31
31 – 33
33 – 35
35 – 37
Số quả tương ứng
3
5
7
5
3
2
Biết rằng trọng lượng quả là đại lượng có phân phối chuẩn. 
(a) Tiêu chuẩn đặt ra cho trọng lượng trung bình của quả là 30g. Với mức ý nghĩa 5%, có thể nói loại quả trên đạt tiêu chuẩn hay không? 
(b) Mùa vụ trước trọng lượng trung bình của loại quả này là 29g. Với mức ý nghĩa 5% có thể nói trọng lượng trung bình đã tăng lên không?
3.3. Kiểm định giả thuyết về phương sai tổng thể 
Giả sử trong tổng thể có biến ngẫu nhiên gốc phân phối chuẩn, X ~ N(m , s2), trong đó tham số s2 đặc trưng cho độ phân tán/độ biến động/độ ổn định/độ đồng đều của tổng thể theo dấu hiệu nghiên cứu, là chưa biết. 
Ta kiểm định giả thuyết về mối quan hệ giữa phương sai tổng thể s2 với một số s20 cho trước. Sử dụng một mẫu kích thước n với phương sai mẫu là S2 , độ lệch chuẩn là S. 
Ví dụ 2: Với số liệu của ví dụ 1 trong phần trên, cân thử 25 quả thấy trọng lượng trung bình mẫu là 30,48 gam, phương sai mẫu 8,4267 gam2 , độ lệch chuẩn mẫu 2,903 gam. Biết trọng lượng quả là đại lượng phân phối chuẩn
(a) Với mức ý nghĩa 5%, kiểm định ý kiến cho rằng phương sai trọng lượng quả là bằng 5 gam2 . Nếu mức ý nghĩa là 2% thì kết luận có thay đổi không? 
(b) Mùa vụ trước trọng lượng quả có độ phân tán bằng 4 gam, với mức ý nghĩa 5% thì có thể nói mùa vụ này trọng lượng quả đã đồng đều hơn không? 
3.4. Kiểm định về tỷ lệ tổng thể
Tỷ lệ tổng thể, hay còn gọi là tần suất tổng thể được kí hiệu là p. Từ yêu cầu thực tế đặt ra, ta đưa đến việc kiểm định giả thuyết về mối quan hệ giữa tham số p với một số p0 cho trước. Ta lập một mẫu ngẫu nhiên kích thước n, từ đó xác định được tần suất mẫu là f.
Ví dụ 3. Tổng điều tra trên một khu vực 5 năm trước cho thấy có 10% dân số ở độ tuổi trưởng thành không biết chữ. Năm nay điều tra ngẫu nhiên 400 người thì có 22 người ở độ tuổi trưởng thành không biết chữ. Với mức ý nghĩa 5%: (a) Nhận xét ý kiến cho rằng tỷ lệ mù chữ không giảm đi so với 5 năm trước. (b) Phải chăng tỷ lệ mù chữ vẫn còn trên 3%? (c) Có thể cho rằng tỷ lệ mù chữ đã giảm đi còn 5% hay không?