Đề thi khảo sát chất lượng học sinh Lớp 12 THPT môn Toán - Năm học 2020-2021

NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM NĂM HỌC: 2020 – 2021 
https:/www.facebook.com/groups/toanvd. Trang 1 
Câu 1. Nghiệm của phương trình 3log 5 4x là
A. 76x . B. 81
5
x . C. 64
5
x . D. 3
5
x . 
Câu 2. Nếu 
3
1
d 2f x x và 
3
1
d 4g x x thì 
3
1
df x g x x bằng
A. 2 . B. 6 . C. 6 . D. 2 .
Câu 3. Thể tích khối lập phương có cạnh 2a bằng 
A. 
32
3
a . B. 
38
3
a . C. 32a . D. 38a .
Câu 4. Cho hàm số sin5 .f x x Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. cos5d
5
xf x x C . B. d cos5f x x x C .
C. d 5cos5f x x x C . D. cos5d 5
xf x x C . 
Câu 5. Cho khối nón có chiều cao 4h và bán kính đáy 5r . Thể tích khối nón đã cho bằng 
A. 80 . B. 80
3
 . C. 100
3
 . D. 100 .
Câu 6. Cho số phức 6 5z i . Số phức iz là 
A. 5 6i . B. 5 6i . C. 5 6i . D. 5 6i .
Câu 7. Nghiệm của phương trình 3 52 16x là 
A. 13
3
x . B. 1x . C. 3x . D. 1
3
x . 
Câu 8. Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng 23 a và bán kính đáy bằng a . Độ dài đường sinh 
của hình nón đã cho bằng 
A. 3
2
a . B. 3a . C. 2
3
a . D. 9a .
Câu 9. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Biết SA vuông góc với mặt 
phẳng đáy và SA a . Thể tích khối chóp đã cho bằng 
A. 
3
3
a . B. 33a . C. 3a . D. 
3
2
a . 
Câu 10. Đồ thị hàm số 3 6
2
xy
x
 cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 
A. 3 . B. 3 . C. 0 . D. 2 .
Câu 11. Nguyên hàm của hàm số 3( ) 4 1f x x là 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ
MÃ ĐỀ THI: 135
KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH
LỚP 12 THPT - NĂM HỌC 2020 - 2021 
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề khảo sát gồm có 05 trang
Họ và tên học sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh: . . . . . . . . . . . .
NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM NĂM HỌC: 2020 – 2021 
https:/www.facebook.com/groups/toanvd. Trang 2 
A. 4x x C . B. 44x x C . C. 212x x C . D. 4x C . 
Câu 12. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ? 
A. 3 3 3y x x . B. 3 3 3y x x . C. 4 3 3y x x . D. 3 3 3y x x . 
Câu 13. Với a là số thực dương tùy ý, log 100a bằng 
A. 2 log a . B. 2 log a . C. 10 log a . D. 2log a . 
Câu 14. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm 1; 2;0A và 5; 4;6B . Trọng tâm của tam giác 
OAB có tọa độ là 
A. 4; 6;6 . B. 3; 3;3 . C. 2;2;2 . D. 2; 2;2 . 
Câu 15. Cho cấp số cộng nu có 1 5u và công sai 4d . Số hạng thứ 6 của cấp số cộng bằng 
A. 19 . B. 25 . C. 15 . D. 29 . 
Câu 16. Có bao nhiêu cách sắp xếp 6 học sinh thành một hàng dọc? 
A. 66 . B. 6!. C. 8!. D. 5!. 
Câu 17. Cho hàm số f x có đồ thị như hình vẽ. 
 Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng 
A. 2. B. 3. C. 1. D. 2. 
Câu 18. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức 5 2 i có tọa độ là 
A. 2;5 . B. 5; 2 . C. 2;5 . D. 5;2 . 
Câu 19. Số phức liên hợp của số phức 5 8 z i là 
A. 5 8 . z i B. 5 8 . z i C. 5 8 . z i D. 8 5 . z i 
Câu 20. Tích phân 
4
1
d
2 
x
x
 bằng 
NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM NĂM HỌC: 2020 – 2021 
https:/www.facebook.com/groups/toanvd. Trang 3 
A. 2. B. 1 .
2
 C. 1 .
4
 D. 1. 
Câu 21. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 2 6
1
xy
x
 là đường thẳng có phương trình 
A. 1y . B. 2y . C. 6y . D. 3y . 
Câu 22. Cho hàm số f x có bảng xét dấu đạo hàm /f x như sau: 
x ‒∞ ‒2 0 1 3 +∞ 
 /f x ‒ 0 + 0 + 0 ‒ 0 + 
 Điểm cực đại của hàm số đã cho là 
A. 1x . B. 2x . C. 0x . D. 3x . 
Câu 23. Đạo hàm của hàm số 3logy x là 
A. / 1
3ln
y
x
 . B. / 1
ln 3
y
x
 . C. /
ln 3
xy . D. / 1y
x
 . 
Câu 24. Với x là số dương tùy ý, biểu thức 3 5P x bằng 
A. 
5
3x . B. 
3
5x . C. 
1
15x . D. 15x . 
Câu 25. Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau: 
x 1 0 1 
y 0 0 0 
y 
 5 
 6 6 
 Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây? 
A. ;0 . B. 0;1 . C. 1; . D. 1;0 . 
Câu 26. Tập nghiệm của bất phương trình 21
3
g 2 1lo x x là 
A. ; 1 3;  . B.   ; 1 3;  . 
C. 1;3 . D.  1;3 . 
Câu 27. Một hộp đựng 11 viên bi được đánh số từ 1 đến 11. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi, rồi cộng các số 
trên hai viên bi với nhau. Xác suất để kết quả thu được là một số lẻ bằng 
A. 9
11
. B. 8
11
. C. 6
11
. D. 4
11
. 
Câu 28. Giá trị lớn nhất của hàm số 3 6 2f x x x trên đoạn  0;2 bằng 
A. 6 2 2 . B. 2 . C. 4 2 2 . D. 3. 
Câu 29. Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC với (3;1;2), (1;3;5), (3;1; 3)A B C . Đường trung 
tuyến AM của tam giác đã cho có phương trình là 
A. 
3
1
2
x t
y t
z t
. B. 
3
1
2
x t
y t
z t
. C. 
3
1
2
x t
y t
z t
. D. 
3
1
2
x t
y t
z t
. 
NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM NĂM HỌC: 2020 – 2021 
https:/www.facebook.com/groups/toanvd. Trang 4 
Câu 30. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 3 21( ) 1
3
f x x x mx đồng biến trên R là 
? 
A. 1; . B. ( ;1] . C. ;1 . D. 1; ) [ . 
Câu 31. Cho số phức 6 2z i . Môđun của số phức 
1 3
z
i 
 bằng 
A. 2 . B. 4 . C. 4 10 . D. 2 10 . 
Câu 32. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng 
1 3
: 2
4
x t
d y t
z t
. Đường thẳng d đi qua điểm nào dưới 
đây? 
A. 10;5; 3P . B. 7;4;3Q . C. 1; 2; 4M . D. 10;5;1N . 
Câu 33. Trong không gian Oxyz , cho điểm 1; 4; 3M . Gọi I là hình ciếu của M lên trục Ox . Mặt 
cầu tâm I và đi qua điểm M có phương trình là 
A. 2 2 21 25x y z . B. 2 2 21 25x y z . 
C. 2 2 21 5x y z . D. 2 2 21 5x y z . 
Câu 34. Cho hình lăng trụ đứng .ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông cân tại ,A AB AA a . Tang 
của góc giữa 'BC và mặt phẳng ' 'ABB A bằng 
A. 2
2
. B. 3
3
. C. 3
6
. D. 2 . 
Câu 35. Nếu 
2
0
2 3sin 7f x x dx
 thì 
2
0
f x dx
 bằng 
A. 6 . B. 4 . C. 3 . D. 5 . 
Câu 36. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu 2 2 2: 2 4 4 0S x y z x y z m có bán kính bằng 
5 . Giá trị của m bằng 
A. 4 . B. 4 . C. 16 . D. 16 . 
Câu 37. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a . Biết SA vuông góc với mặt 
phẳng đáy. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD bằng 45 . Khoảng cách từ B 
đến mặt phẳng SCD bằng 
A. 6
3
a . B. 6
4
a . C. 2 6
3
a . D. 6
2
a . 
Câu 38. Trong không g ... ời giải 
Chọn D 
Trung điểm của đoạn thẳng BC là (2;2;1)M , ( 1;1; 1)AM 
 
. Đường trung tuyến AM của 
tam giác đã cho đi qua điểm A và nhận AM
 
 làm vec tơ chỉ phương có phương trình là 
3
1 .
2
x t
y t
z t
Câu 30. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 3 21( ) 1
3
f x x x mx đồng biến trên R là 
? 
A. 1; . B. ( ;1] . C. ;1 . D. 1; ) [ . 
Lời giải 
Chọn D 
Hàm số 3 21( ) 1
3
f x x x mx đồng biến trên R 2 2 0,f x x x m x R  
1 0 1.m m 
NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM NĂM HỌC: 2020 – 2021 
https:/www.facebook.com/groups/toanvd. Trang 14 
Câu 31. Cho số phức 6 2z i . Môđun của số phức 
1 3
z
i 
 bằng 
A. 2 . B. 4 . C. 4 10 . D. 2 10 . 
Lời giải 
Chọn A 
6 2 2 2
1 3
i i
i
, ( Dùng casio) 
Câu 32. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng 
1 3
: 2
4
x t
d y t
z t
. Đường thẳng d đi qua điểm nào dưới 
đây? 
A. 10;5; 3P . B. 7;4;3Q . C. 1; 2; 4M . D. 10;5;1N . 
Lời giải 
Chọn D 
Thay 3t vào phương trình tham số của d , ta được: 
10
: 5
1
x
d y
z
. Vậy 10;5;1 .N d 
Câu 33. Trong không gian Oxyz , cho điểm 1; 4; 3M . Gọi I là hình ciếu của M lên trục Ox . Mặt 
cầu tâm I và đi qua điểm M có phương trình là 
A. 2 2 21 25x y z . B. 2 2 21 25x y z . 
C. 2 2 21 5x y z . D. 2 2 21 5x y z . 
Lời giải 
Chọn B 
+ Ta có 1;0;0I . 
+ Mặt cầu có bán kính 5R IM . 
+ Phương trình mặt cầu: 2 2 21 25x y z . 
Câu 34. Cho hình lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông cân tại , 'A AB AA a . 
Tang của góc giữa 'BC và mặt phẳng ' 'ABB A bằng 
A. 2
2
. B. 3
3
. C. 3
6
. D. 2 . 
Lời giải 
NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM NĂM HỌC: 2020 – 2021 
https:/www.facebook.com/groups/toanvd. Trang 15 
Chọn A 
+ Ta có: ' ' ' ' ' ' ' ' ' '
' ' ' '
A C AA
A C ABB A A C BA
A C A B
    
+ 'BA là hình chiếu vuông góc của 'BC lên ' 'ABB A 
 ', ' ' ', ' ' 'BC ABB A BC BA A BC . 
+ Tam giác ' 'A BC vuông tại 'A , ta có: ' ' 2tan ' '
' 22
A C aA BC
A B a
 . 
Câu 35. Nếu 
2
0
2 3sin 7f x x dx
 thì 
2
0
f x dx
 bằng 
A. 6 . B. 4 . C. 3 . D. 5 . 
Lời giải 
Chọn D 
+ Ta có: 
2
0
7 2 3sinf x x dx
2 2
2
0
0 0
2. 3cos 2. 3f x dx x f x dx
2
0
5f x dx
 . 
Câu 36. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu 2 2 2: 2 4 4 0S x y z x y z m có bán kính bằng 
5 . Giá trị của m bằng 
A. 4 . B. 4 . C. 16 . D. 16 . 
Lời giải 
Chọn C 
+ Ta có: 22 25 1 2 2 5R m 9 25 16m m . 
Câu 37. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a . Biết SA vuông góc với mặt 
phẳng đáy. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD bằng 45 . Khoảng cách từ B đến 
mặt phẳng SCD bằng 
B'
B C
A
C'
A'
NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM NĂM HỌC: 2020 – 2021 
https:/www.facebook.com/groups/toanvd. Trang 16 
A. 6
3
a . B. 6
4
a . C. 2 6
3
a . D. 6
2
a . 
Lời giải 
Chọn C. 
Ta có: 
 ; 45SC ABCD SCA  SAC vuông cân tại 2 2A SA AC a . 
 / /AB SCD ; ;d B SCD d A SCD . 
Kẻ AM SD M SD . 
CD AD
CD SA
   
 CD SAD  CD AM  . 
AM SD
AM CD
   
 AM SCD  ;d A SCD AM . 
Xét tam giác SAD vuông tại A có: 
2 2
.SA ADAM
SA AD
 2 2
2 2 .2 2 6
38 4
a a a
a a
. 
 2 6;
3
ad B SCD . 
Câu 38. Trong không gian Oxyz , mặt phẳng đi qua điểm 1;2; 3A và nhận vecto 2; 1;3n 
 làm 
vecto pháp tuyến có phương trình là 
A. 2 3 9 0x y z . B. 2 3 9 0x y z . 
C. 2 3 9 0x y z . D. 2 3 9 0x y z . 
Lời giải 
Chọn C. 
Phương trình mặt phẳng đi qua 1;2; 3A và nhận 2; 1;3n 
 làm vecto pháp tuyến là: 
 2 1 1 2 3 3 0x y z 2 3 9 0x y z 
Câu 39. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 1, góc 60ABC  . Mặt bên 
SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện .S ABC 
bằng 
A. 5 15
54
 . B. 5 6
27
 . C. 5 5
216
 . D. 5 6
108
 . 
Lời giải 
NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM NĂM HỌC: 2020 – 2021 
https:/www.facebook.com/groups/toanvd. Trang 17 
Chọn A. 
Gọi O là giao điểm của AC và BD . 
H là trung điểm của AB 3;
2
SH AB SH  ( vì tam giác SAB đều). 
Ta có: 
 ;
SAB ABCD
SAB ABCD AB
SH AB SH SAB
     
 SH ABCD  . 
Tam giác ABC đều CH AB  CH SAB  . 
;G K lần lượt là trọng tâm tam giác ABC ; SAB ;G K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 
ABC và SAB . 
Qua G dựng đường thẳng d vuông góc với ABC / /d SH . 
Qua K dựng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng SAB / /d CH . 
Gọi d cắt d tại I I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp .S ABC . 
Xét tam giác IGB vuông tại G ta có: 2 2 2IB IG BG 2 2KH BG 
2 21 2
3 3
SH BO
2 2
3 2 3.
6 3 2
5
12
 15
6
IB . 
3
4 15
3 6C
V 
5 15
54
 . 
Câu 40. Cho hàm số f x có đạo hàm 21 1 2f x x x x . Giá trị nhỏ nhất của hàm số 
 31 2
3
g x f x x x trên đoạn  1;2 bằng 
A. 81
3
f . B. 0 2f . C. 42
3
f . D. 41
3
f . 
Lời giải 
Chọn A 
Ta có: 2' ' 1g x f x x 
NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM NĂM HỌC: 2020 – 2021 
https:/www.facebook.com/groups/toanvd. Trang 18 
 2 2' 0 1 1 2 1 0g x x x x x 2 1 1 2 1 0x x x 
 2 21 3 3 0x x x 2 21 3 3 0x x x . 11
x
x
. 
Bảng biến thiên: 
Vậy 
 
1;2
8min 1 1
3
g x g f
 . 
Câu 41. Cho số phức z a bi thỏa mãn 5 3 3 2 0z i z i . Giá trị của 2 3a b bằng 
A. 25
11
. B. 21
11
. C. 31
11
. D. 3
11
. 
Lời giải 
Chọn A 
Ta có 5 3 3 2 0 5 3 3 2 0z i z i a bi i a bi i 
 5 5 3 3 3 2 0 4 3 3 3 6 2 0a bi a bi ai b i a b a b i 
4
4 3 3 0 4 3 3 11
173 6 2 0 3 6 2
33
aa b a b
a b a b b
. 
Vậy 252 3
11
a b . 
Câu 42. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để tập nghiệm của bất phương trình 
 43 3 3 3 0x x m chứa không quá 9 số nguyên ? 
A. 3787 . B. 729 . C. 2188 . D. 2187 . 
Lời giải 
Chọn D 
Xét phương trình 
4
4
133 3 33 3 3 3 0 9 3
3 3
xx
x x
x
x
m
m m
Mà m nên suy ra 1
9 3
m 
 4 31 53 3 3 3 0 3 log29 3
x x xm m x m . 
3log 7 1 2187
1
m
YCBT m
m
. Mà m . Suy ra 1;2;...;2187m . 
NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM NĂM HỌC: 2020 – 2021 
https:/www.facebook.com/groups/toanvd. Trang 19 
Câu 43. Cho hàm số 13
0
( ) 4 df xf x x x x và 1 0f . Giá trị của 4f bằng. 
A. 64 . B. 60 . C. 62 . D. 63 . 
Lời giải 
Chọn C 
Đặt 
1
0
dx 0m f x m . Khi đó ta có 3( ) 4f x x mx . 
 00
2
x
f x
x m
Ta có 1 0 1 4 0 4 1f m m . Suy ra 2 1m . 
Suy ra 
23 3 3
2
2 3
1 1
0 0
1
0
2 14 4
2 2
0 2
2 2
2 2
2
3
2
d d d
d d
2 2
4 4
16 1 168 2 8
4 4 4
1
1 4
4 4 4
4
8 3 0
14
8
4
m
m
m
m
m
m
x mx x mx x mx
x mx x
m x m x x
m x x
x xm mx mx
m mm m m m
m
m
x
m
m
m
Vì 1
4
m nên ta có 1
8
m (nhận). Suy ra 3 1( )
2
f x x x . Suy ra 4 62f . 
Câu 44. Trong không gian Oxyz , cho điểm 1;3;4A , mặt phẳng : 3 3 5 16 0P x y z và đường 
thẳng 1 1 2:
2 1 2
x y zd 
. Đường thẳng Δ cắt d và P lần lượt tại M và N sao cho 
3AN AM 
  
 có phương trình là 
A. 
1 2
3 3 .
4
x t
y t
z t
 B. 
1 2
3 3 .
4
x t
y t
z t
 C. 
1 2
3 3 .
4
x t
y t
z t
 D. 
1 2
3 3 .
4
x t
y t
z t
NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM NĂM HỌC: 2020 – 2021 
https:/www.facebook.com/groups/toanvd. Trang 20 
Lời giải 
Chọn B 
Vì ΔM d  nên M d , do đó 1 2 ; 1 ; 2 2M t t t . 
 2 ; 4 ; 6 2AM t t t 
 
; 3 6 ; 12 3 ; 18 6AM t t t 
 
. 
Điểm ΔN P  ; ; ;N x y z ; 1; 3; 4AN x y z 
 
. 
Vì 3AN AM 
  1 6
3 12 3
4 18 6
x t
y t
z t
6 1
9 3
14 6
x t
y t
z t
. 
 N P nên 6 1 9 33 3 5 16 014 6t t t 2t 
13
15
2
x
y
z
 13; 15; 2N ; 5; 3;2M ; 8;12;4MN 
 
 4 2; 3; 1 
3AN AM 
  
 suy ra , ,A M N thẳng hàng. 
Đường thẳng đi qua A và nhận 2; 3; 1
4
MN 
 
 là véc tơ chỉ phương có phương trình là 
1 2
3 3
4
x t
y t
z t
. 
Câu 45. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và 
2SA a . Biết góc giữa SD và mặt phẳng SAC bằng 30 . Thể tích khối chóp .S ABC bằng 
A. 
32
3
a . B. 
34
3
a . C. 
3
3
a
. D. 
38
3
a
. 
Lời giải 
Chọn B. 
NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM NĂM HỌC: 2020 – 2021 
https:/www.facebook.com/groups/toanvd. Trang 21 
Ta có: DO SAC O là hình chiếu của D lên SAC và SD SAC S . 
Do đó ;SD SAC ;SD DO DSO 30  . 
Gọi 0AB x x 2
2
xOA OD . 
Xét SOD có: tan ODDSO
SO
tan 30
ODSO 

6
2
x . 
Xét SAO có: 2 2 2SA AO SO 
2
2 2 62
2 2
x xa
2 2
2 34
2 2
x xa 2 24a x 
2x a . 
Khi đó: .
1 .
3S ABC ABC
V SA S 
1 1.2 . .2 .2
3 2
a a a 
34
3
a . 
Câu 46. Cho phương trình 2 26 1 2 2 12 1 22 2.2 .2 7 log 6 log 3x x x xm m x x m . Có bao nhiêu giá giá trị 
nguyên dương của tham số m để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm thực phân biệt? 
A. 1024 . B. 2047 . C. 1023 . D. 2048 . 
Lời giải 
Chọn C 
+) Điều kiện: 
2
26 log 0
0
x x m
m
. 
+) Ta có 
22 2
2 2
22 2 2
log 6 1 log6 1 6 1
2 2 6 log 12 2 12 1 6 1
.2 2 .2 2
.2 2 .2 2
m x x mx x x x
x x mx x x x
m
m m
. 
+) Phương trình đã cho trở thành: 
 22 22 2 6 log 16 1 log 22 22 2 7 log 6 log 3x x mx x m x x m (1) 
O
C
A D
B
S
NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM NĂM HỌC: 2020 – 2021 
https:/www.facebook.com/groups/toanvd. Trang 22 
+) Đặt 2 26 log 0u x x m , phương trình (1), trở thành 
1 2 1
22 2 7 log 3
u u u 
2
22 2 14 log 6
u u u (2) 
+) Xét hàm số 2 22 2 14log 6u uf u u . 
 2 142 ln 2 2.2 ln 2
ln 2
u uf u
u
 2 140 2 ln 2 2.2 ln 2
ln 2
u uf u
u
 (*) 
+) Ta thấy vế trái (*) là một hàm số đồng biến trên 0; và vế phải (*) là một hàm số nghịch 
biến trên 0; . Đo đó phương trình (*) có tối đa 1 nghiệm hay 0f u có tối đa một 
nghiệm. Suy ra 0f u có đối đa hai nghiệm. 
+) Mà 1 2 0f f nên phương trình (2) có hai nghiệm 1u và 2u . 
+) 
2 2
2 2
2 2
2 2
6 log 1 log 1 61
2 6 log 2 log 2 6
x x m m x xu
u x x m m x x
. 
+) Vẽ đồ thị hàm số 2 6y x x và các đường thẳng 2 2log 1; log 2y m y m lên cùng một 
hệ trục tọa độ 
+) Dựa vào đồ thị, để phương trình có đúng nghiệm khi và chỉ khi 
10
2 2
11
2 2
log 1 9 log 10 2
1025 2047
log 2 9 log 11 2
m m m
m
m m m
. 
Vậy có 2047 1025 1 1023 số nguyên m . 
Câu 47. Cho đường cong C : 3 24 3y x x và đường thẳng d đi qua gốc tọa độ tạo thành hai miền 
phẳng có diện tích 1 2,S S như hình vẽ. 
NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM NĂM HỌC: 2020 – 2021 
https:/www.facebook.com/groups/toanvd. Trang 23 
Khi 2
135
2
S thì 1S bằng 
A. 135
16
. B. 135
8
. C. 
8019
256
. D. 
8017
256
. 
Lời giải 
Chọn C 
Gọi đường thẳng d đi qua gốc tọa độ có phương trình y ax 0a 
Phương trình hoành độ giao điểm 
3 2 3 2 2
2
0
4 3 4 3 0 4 3 0
4 3 0 *
x
x x ax x x ax x x x a
x x a
Nhìn vào đồ thị hàm số ta thấy phương trình có ba nghiệm phân biệt nên 9 16 0 0a a  
Gọi 1 20x x là hai nghiệm của phương trình * . 
Ta có: 1 2 1 2
3 3
4 4
x x x x và 22 24 3a x x 
2
3 2 4 3 2 4 3 2
2 2 2 2 2 2 2
0
1354 3 d 2 2 135
2 2
x aS x x ax x x x x x x ax . 
Từ * suy ra: 22 24 3a x x nên ta có 4 32 2 2
1
27
2 135 0 3 9
4
a
x x x
x
. 
0 2
3 2 4 3 1
1 1 1
9
4
80194 3 27 d
2 256
axS x x x x x x
 . 
Câu 48. Cho hàm số f x có đồ thị như hình vẽ: 
NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM NĂM HỌC: 2020 – 2021 
https:/www.facebook.com/groups/toanvd. Trang 24 
Hàm số 3 21 1 1
3 2 2021
g x f x f x có bao nhiêu điểm cực đại? 
A. 6 . B. 5 . C. 3 . D. 4 . 
Lời giải 
Chọn D 
Xét hàm số 3 21 1 1
3 2 2021
h x f x f x 2.h x f x f x f x 
 0h x 
0
0
1
f x
f x
f x
Phương trình 0f x có hai nghiệm đơn 1x và 3x . 
Phương trình 0f x có một nghiệm đơn 0x và một nghiệm kép 3x . 
Phương trình 1f x có một nghiệm đơn 0x a . 
Lại có: 0h x 3 21 1 1 0
3 2 2021
f x f x 
1,5
0,03
0,03
f x b
f x c
f x d
NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM NĂM HỌC: 2020 – 2021 
https:/www.facebook.com/groups/toanvd. Trang 25 
Phương trình 1,5f x b có một nghiệm đơn 1x x a . 
Phương trình 0,03f x d có một nghiệm đơn 2 ;0x x a . 
Phương trình 0,03f x c có ba nghiệm đơn 3 0;1x x ; 4 1;3x x ; 5 3x x . 
Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số g x h x : 
Vậy hàm số g x có 5 điểm cực tiểu và 4 điểm cực đại. 
Câu 49. Có bao nhiêu số phức z có phần thực và phần ảo là các số nguyên đồng thời thoả mãn 7z và 
1 1 2 2z z i z i z i ? 
A. 6 . B. 9 . C. 7 . D. 8 . 
Lời giải 
Chọn C 
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy xét các điểm 1; 1 , 0;0 , 1;1 , 2;2A O B C . 
Giả sử số phức ,z x yi x y . Suy ra điểm ;M x y là điểm biểu diễn số phức z trên mặt 
phẳng toạ độ. 
Khi đó , 1 , 1 , 2 2z MO z i MB z i MA z i MC . 
Theo đề ta có MO MB MA MC . 
Ta sẽ chứng minh MO MB MA MC . 
NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM NĂM HỌC: 2020 – 2021 
https:/www.facebook.com/groups/toanvd. Trang 26 
Dựa vào toạ độ các điểm, ta có thể chứng minh được 4 điểm , , ,A O B C cùng thuộc đường 
thẳng y x và AO OB BC . 
Gọi D là điểm đối xứng với điểm M qua điểm O . Vì O là trung điểm của MD và AB nên 
MBDA là hình bình hành. 
Ta có 2MA MB MA AD MD MO 
Tương tự, ta chứng minh được 2MO MC MB 
Suy ra 2 2MA MB MO MC MO MB MO MB MA MC (đpcm). 
Dấu “ = ” xảy ra khi điểm M thuộc đường thẳng y x sao cho điểm M không nằm giữa 2 
điểm A và C (có thể trùng điểm A hoặc điểm C ). Điều đó xảy ra khi 
*
1
**
2
y x
x
x
Mặt khác 2 2 2 2 27 49 49 2 49 4,95 4,95 ***z x y x x x x 
Vì ,x y nên từ * , ** , *** ta suy ra 
 ; 4; 4 ; 3; 3 ; 2; 2 ; 1; 1 ; 2;2 ; 3;3 ; 4;4x y 
Vậy có 7 số phức thoả mãn yêu cầu của đề bài. 
Câu 50. Trong không gian ,Oxyz cho mặt cầu 2 2 2: 2 1 2 16S x y z và hai điểm 
 5;0;3 , 9; 3;4A B . Gọi ,P Q lần lượt là hai mặt phẳng chứa AB và tiếp xúc với S tại 
,M N . Thể tích tứ diện ABMN . 
A. 
12 130
25
. B. 
36 26 .
25
 C. 
6 130
25
. D. 18 26
25
. 
Lời giải 
Chọn B 
NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM NĂM HỌC: 2020 – 2021 
https:/www.facebook.com/groups/toanvd. Trang 27 
Gọi ,H AB IMN IH MN K   .
Ta có 
IM P IM AB
AB IMN
IN ABIN Q
    
. 
5 4
: 3 5 4 ; 3 ;3
3
x t
H AB y t H t t t
z t
Mặt phẳng IMN đi qua 2; 1;2I và có vectơ pháp tuyến 4; 3;1AB 
 
. 
 : 4 3 3 0IMN x y z .
 1 1;3;2H IMN t H .
 A là trung điểm của HB . 
 2 2 12 24 95 3 ;
5 5 5
IH MH IH IM MK MN HK . 
 Ta có 1 1 9 24 108. . .
2 2 5 5 25HMN
S HK MN 
 . . 1 1 1. .3 3 3ABMN B HMN A HMN HMN HMN HMNV V V HB S AH S S HB AH . 
 1 36 26.
3 25ABMN HMN
V S AB 
____________________ HẾT ____________________