SKKN Một số giải pháp nâng cao hiệu quả giải toán về căn thức bậc hai thông qua phân tích và sửa chữa sai lầm của học sinh

1 
Mã số 
-Tên sáng kiến: “Một số giải pháp nâng cao hiệu quả giải toán về căn 
thức bậc hai thông qua phân tích và sửa chữa sai lầm của học sinh” 
- Lĩnh vực áp dụng: Lĩnh vực tự nhiên 
- Họ tên tác giả: : Nguyễn Thị Lụa 
- Đơn vị công tác: Trường TH & THCS Tân Phong 
Tháng 1năm 2019 
2 
Họ tên, chữ ký người chấm điểm Điểm Mã số 
Người số 1:. 
Người số 2:. 
-Tên sáng kiến: “Một số giải pháp nâng cao hiệu quả giải toán về 
căn thức bậc hai thông qua phân tích và sửa chữa sai lầm của học 
sinh” 
-Mô tả sáng kiến: 
+Nội dung của sáng kiến: 
*Thực trạng: 
. Khái niệm về căn bậc hai đã được giới thiệu ở lớp 7 và tiếp tục được sử 
dụng qua một số bài tập ở lớp 8. Trong chương I- Đại số lớp 9 Nội dung kiến 
thức phong phú, xuất hiện dày đặc trong một chương với số tiết không nhiều nên 
một số kiến thức chỉ giới thiệu làm cơ sở để hình thành kỹ năng tính toán, biến 
đổi, thậm chí một số kiến thức chỉ nêu ở dạng tên gọi mà không giải thích như: 
điều kiện xác định căn thức bậc hai, phương pháp rút gọn biểu thức có chứa căn 
thức bậc hai.Tên gọi (thuật ngữ toán học) nhiều và dễ nhầm lẫn, tạo nguy cơ khó 
hiểu khái niệm (chẳng hạn như căn bậc hai, căn bậc hai số học, khai phương, các 
phép biến đổi đơn giản biểu thức có chứa các căn thức bậc hai). 
Qua tình thực tế tại đơn vị mình tôi nhận thấy việc giải toán của HS về căn 
bậc hai rất lúng túng khi vận dụng các khái niệm, định lý, các công thức toán 
học. Sự vận dụng lý thuyết vào việc giải các bài tập cụ thể của học sinh chưa 
linh hoạt, khi gặp một bài toán đòi hỏi phải vận dụng và có sự tư duy thì học 
sinh không xác định được phương hướng để giải bài toán dẫn đến lời giải sai 
hoặc không làm được bài. Để giúp học sinh có thể làm tốt các bài tập về căn bậc 
hai trong chương I đại số 9 thì người thầy phải biết được các sai lầm mà học 
sinh thường mắc phải, từ đó có phương án giúp học sinh phát hiện và sửa chữa 
những sai lầm khi giải toán về căn bậc hai. 
Những sai lầm học sinh thường gặp: 
-Sai lầm về tên gọi hay thuật ngữ toán học 
-Sai lầm khi HS chưa nắm vững hằng đẳng thức: 2A A 
-Những khó khăn , sai lầm thường gặp của HS khi tính giá trị của các căn 
thức, mà phải biến đổi biểu thức lấy căn dưới dạng bình phương. 
-Sai lầm khi HS chưa nắm vững các căn thức đồng dạng. 
3 
-Sai lầm khi HS không chú ý đến điều kiện để một biểu thức có căn bậc 
hai, 
A có nghĩa; các quy tắc nhân các căn bậc hai, chia căn bậc hai. 
 -Những sai lầm của HS khi đưa thừa số ra ngoài dấu căn, đưa thừa số vào 
trong dấu căn, sử dụng định nghĩa căn bậc hai số học để giải phương trình. 
 -Khi trục căn thức ở mẫu, khai phương một tích, khai phương một thương 
HS thường mắc phải một số sai lầm: 
 * Các bước thực hiện giải pháp: 
Bước 1. Hệ thống các kiến thức cơ bản 
+Định nghĩa căn bậc hai số học: 
Với số dương a, số a được gọi là căn bậc hai số học của a 
+Các phép biến đổi biểu thức chứa căn bậc hai 
2A A 
 0, 0AB A B A B 
 0, 0
A A
A B
B B
 2 | | 0A B A B B 
2
2
0, 0
0, 0
A B A B A B
A B A B A B
1
0, 0
A
AB AB B
B B
 0
A A B
B
BB
 22
( )
0,
C C A B
A A B
A BA B

( )
0, 0,
C C A B
A B A B
A BA B

Bước 2. Xác định những sai lầm thường gặp và biện pháp khắc phục những 
sai lầm đó: 
2.1. Sai lầm về tên gọi hay thuật ngữ toán học: 
 Định nghĩa CBHSH: 
 Ví dụ: Bài tập1(sgk): 
 Tìm căn bậc hai số học của mỗi số sau rồi suy ra căn bậc hai của chúng. 
 *HS hay mắc sai lầm như sau: 
 169 =13 
 số 169 có 2 căn bậc hai là 169 = 13 
 *Cách giải đúng là: 
4 
Căn bậc hai số học của 169 là: 169 = 13, 
còn căn bậc hai của 169 là: 169 = 13; - 169 = - 13 . 
 *Nguyên nhân: 
 Học sinh hiểu sai về căn bậc hai của số a không âm và căn bậc hai số học của 
một số a không âm, từ đó không phân biệt được hai vấn đề này. 
 *Biện pháp khắc phục: 
 + GV cần phải làm rõ cho HS: 
-Với số dương a, số a được gọi là căn bậc hai số học của a. 
- Số dương a có hai căn bậc hai là hai số đối nhau: số dương kí hiệu là a và số 
âm kí hiệu là - a . 
- Số 0 có đúng một căn bậc hai số học là số 0. 
- Khi nói đến a ta phải có: a 0 và a 0, nghĩa là a không thể âm. Vì vậy 
không được viết : Số 169 có hai căn bậc hai là 169 = 13. 
2.2. Sai lầm khi HS chưa nắm vững hằng đẳng thức: 2A A 
 Ví dụ 1: Bài tập 9d (sgk toán 9) 
 Tìm x, biết: 29 12x 
 - HS hay mắc sai lầm như sau: 
 29 12x 29 12x 
 Vì 2 29 (3 ) 3x x x nên ta có: 3 12 4x x 
 - Cách giải đúng là: 
 Vì 2 29 (3 ) 3x x x nên ta có: 3 12x 
 3 12x hoặc 3 12x . Vậy 4x hoặc 4x 
 Ví dụ 2: Bài tập 14c (sgk toán 9) 
 Rút gọn biểu thức: 2(4 17) 
 - HS hay mắc sai lầm như sau: 
 HS: 2(4 17) 4 17 4 17 
 - Cách giải đúng là: 
 2(4 17) 4 17 17 4 
 Ví dụ 3: Khi so sánh hai số a và b. Một HS phát biểu như sau: “Bất kì 
hai số nào cũng bằng nhau” và lập luận như sau: 
 Ta lấy hai số ,a b tùy ý. Gỉa sử a b 
 Ta có : 2 2 2 22 2a ab b b ab a hay 
2 2
a b b a (1) 
 Khai phương hai vế ta được: 
2 2
a b b a 
 Do đó: a b b a 
5 
 Từ đó : 2 2a b a b 
 Vậy bất kì hai số nào cũng bằng nhau. 
 HS này sai lầm ở chỗ : Sau khi khai phương hai vế của đẳng thức (1) 
phải được kết quả: a b b a , chứ không thể có a b b a . 
 Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức sau: 22 5 0A a a a 
- HS hay mắc sai lầm như sau: 
 22 5 2 5 2 5 3 0A a a a a a a a a 
 - Cách giải đúng là: 
 A = 22 5a a = 2 5 2 5 7 0a a a a a a 
 * Nguyên nhân: 
 HS chưa nắm vững hằng đẳng thức 2A A , giá trị tuyệt đối của một số âm. 
*Biện pháp khắc phục: 
 Để tránh sai lầm khi giảng dạy phần này GV cần giải thích cho HS hiểu 
rõ hằng đẳng thức 2A A , với mọi biểu thức A . 
2.3. Những khó khăn , sai lầm thường gặp của HS khi tính giá trị của 
các căn thức mà phải biến đổi biểu thức lấy căn dưới dạng bình phương: 
 Ví dụ: Tính 
 23 8 7 
 - HS hay mắc sai lầm như sau: 
2
23 8 7 1 8 7 1 8 7 
- Cách giải đúng 
2
23 8 7 4 7 4 7 
 * Nguyên nhân: 
+ HS chưa biết tách để xuất hiện hằng đẳng thức bình phương của tổng. 
 *Biện pháp khắc phục: 
+ Củng cố lại các hằng đẳng thức bình phương của tổng hoặc hiệu: 
+GV có thể hướng dẫn HS một số dạng biến đổi tổng quát như sau: 
 Đối với biểu thức có dạng: 
 2x a b với 0, 0a b và x a b thì 
2
2x a b a b 
2.4. Sai lầm khi HS chưa nắm vững các căn thức đồng dạng. 
 Ví dụ: Bài tập 58c (SGK toán 9) 
 Rút gọn biểu thức sau: 20 45 3 18 72 
 -HS hay mắc sai lầm như sau: 
6 
20 45 3 18 72 4.5 9.5 3 2.9 36.2
2 5 3 5 9 2 6 2 5 15 2 14 7
 -Cách giải đúng là: 
20 45 3 18 72 4.5 9.5 3 2.9 36.2
2 5 3 5 9 2 6 2 15 2 5
 *Nguyên nhân: 
 Sai lầm ở chỗ HS chưa nắm vững các căn thức đồng dạng. 
 x A y B z A m x z A y B m ( 0, 0A B ; , , ,x y z m R ) 
 *Biện pháp khắc phục: 
Khi dạy phần tổng các căn thức đồng dạng, GV nhấn mạnh để HS khắc sâu mà 
tránh những sai sót. 
2.5. Sai lầm khi HS không chú ý đến điều kiện để một biểu thức có căn 
bậc hai, A có nghĩa; các quy tắc nhân các căn bậc hai, chia căn bậc hai. 
 -Ví dụ 1 Có HS giải thích : 2 . 8 2. 8 và 
50 50
22
 như 
sau: 
 + Vì 2 . 8 16 4 và 2. 8 2 . 8 16 4 
 nên 2 . 8 2. 8 
 + Vì 
75 75
25 5
33
 và 
50
25 5
2
nên 
50 50
22
 - Ví dụ 2: Giải bài tập sau: Tính 6 2 11 
 HS hay mắc sai lầm như sau: 
2
6 2 11 9 6 2 2 9 6 2 2
2 3 2 3 3 2 
 - Ví dụ 3: Bài tập 1.29 (Sách nâng cao ĐS 9). 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x x 
-HS hay mắc sai lầm như sau: 
Ở bài này HS thường không tìm điều kiện để x xác định mà vội vàng tìm giá 
trị nhỏ nhất của A bằng cách biến đổi 
2
1 1
2 4
x x x
2
1 1 1
2 4 4
A x x x
 min A 
1 1 1
0
4 2 4
x x 
Vậy min A 
1
4
1
4
x 
7 
 - Cách giải đúng: 
 x xác định khi 0x . Do đó: 0 min 0 0A x x A x 
 * Nguyên nhân: 
+ Khi làm bài HS chưa nắm vững và cũng không chú ý điều kiện để A tồn tại. 
+ HS chưa nắm rõ các quy tắc nhân các căn bậc hai, chia hai căn bậc hai. 
 *Biện pháp khắc phục: 
 Khi dạy phần này GV cần khắc sâu cho HS điều kiện để một biểu thức có căn 
bậc hai, điều kiện để A xác định,. 
 2.6. Những sai lầm của HS khi đưa thừa số ra ngoài dấu căn, đưa thừa 
số vào trong dấu căn, sử dụng định nghĩa căn bậc hai số học để giải phương 
trình. 
 Ví dụ1: Rút gọn: 
225 3 4A x x x (với 0x ) 
-HS hay mắc sai lầm như sau: 
225 3 9 5 3 3A x x x x x x x 
 -Cách giải đúng là : 
 Với 0x . Ta có: 
225 3 9
5 3 3 5 3 3 5
A x x x
x x x x x x x
 Ví dụ 2: Bài 3b (SBT toán 9 – trang 27) 
 Rút gọn biểu thức: 
3
2 48M x x
x
 -HS hay mắc sai lầm như sau: 
23 3
2 48 2 4 3
2 3 4 3 6 3 
x
M x x x
x x
x x x
 - Cách giải đúng là: 
3
2 48M x x
x
 . Điều kiện để M xác định là: 0x . 
 Khi đó:
2
3
2 16. 3 2 3 4 3 2 3
x
M x x x x
x
 Ví dụ 3: Bài tập1 (Sách nâng cao toán 9) 
 Giải phương trình : 14 2x x (*) 
 -HS hay mắc sai lầm như sau: 
 (*) 
2
2 14x x 
8 
2 23 10 0 5 2 10 0
5
5 2 0
2
x x x x x
x
x x
x
 Vậy phương trình (*) có hai nghiệm 1 5x ; 2 2x 
 -Cách giải đúng là : 
 (*) 
2
2 0
2 14
x
x x
2
2
4 4 14
x
x x x
 2
2 2
5 2 10 0 5 2 0
x x
x x x x x
2
55
2
x
xx
x
 Vậy phương trình đã cho có một nghiệm: 5x 
 Ví dụ 4: Giải tập sau: 
 Rút gọn biểu thức:
2y xy x
M
y y
 -HS hay mắc sai lầm như sau: 
 2 2
.
1 1 1 
y x yy xy xy yx x x
M
y y y y yy y
x y x x x x x
y yy y y y
 -Cách giải đúng là : 
 Đk để M xác định: 0xy ; 0y . Ta xét hai trường hợp: 
 * 0x ; 0y . 
2 2
2
1 1 2
y xy y xyx x
M
y y yy
x x x
y y y
 * 0x ; 0y . 
 2
.
1 1
y y xy xy x x
M
y y yy y
y x x x x
yy y y
 Vậy: nếu 0x ; 0y thì 1 2
x
M
y
 và nếu 0x ; 0y thì 1M 
9 
 *Nguyên nhân: 
HS năm chưa vững quy tắc 2A B A B với 0B , Cách đưa một thừa số vào 
trong dấu căn bậc hai, điều kiện để A tồn tại, định nghĩa căn bậc hai số học, 
quy tắc khai phương một thương. 
 *Biện pháp khắc phục: 
 Khi dạy GV cần cho HS nắm vững: 
 + 2A B A B với 0B 
 + 
2
2
0, 0
0, 0
A B A B A B
A B A B A B
 + A tồn tại khi 0A 
 + 0a , 
2
2
0x
a x
x a a
 + Nếu 0A , 0B thì 
A A
B B
 2.7. Khi trục căn thức ở mẫu, khai phương một tích, khai phương một 
thương HS thường mắc phải một số sai lầm: 
 Ví dụ 1: Bài tập 32b ( SGK toán 9) 
 Tính 
 - Cách giải đúng là: 
 1, 44.1, 21 1,44.0,4 1,44 1, 21 0, 4 1, 44.0,81 1, 2.0,9 1,08 
 Ví dụ 2: Giải các bài tập sau: 
 Tính: a. 81.256 ; b.
625
16
 -HS hay mắc sai lầm như sau: 
 a. 81.256 9. 16 3. 4 12 
 b. 
625 25 5 5
16 24 2
 - Cách giải đúng là: 
 a. 81.256 81. 256 9.16 144 
 b. 
625 625 25
16 416
 Ví dụ 3: Khi giải bài toán về trục căn thức ở mẫu 
 -HS hay mắc sai lầm như sau: 
10 
 a. 
2
5 2 7. 5 2 35 2
77 7
 b. 
2
2 5 1 2 5 12 5 1
5 1 25 1 5 1
 hoặc 
 2 5 1 2 5 12 5 1
5 1 35 1 5 1 5 1
 hoặc 
2
2 5 1 2 5 1 2 5 12 5 1
25 1 125 1 5 1 5 1 5 1
 hoặc 
2 5 1 2 5 12
2 5 1
15 1 5 1 5 1
 hoặc 
 2 5 1 2 5 12 5 1
5 1 25 1 5 1 5 1
 c. 
5 5 7 5 7 5 7
2.7 3 172 7 3 2 7. 7 3
 hoặc 
 5 7 3 5 7 3 5 7 3 5 7 35
2. 7 9 4 42 7 3 2 7 3 . 7 3
 - Cách giải đúng là: 
a. 
2
5 2 7( 5 2) 35 14
77 7
 b. 
 2 5 1 2 5 12 5 1
5 1 25 1 5 1 5 1
 c. 
5 2 7 35 10 7 15 10 7 15
28 9 192 7 3 (2 7 3) 2 7 3
 *Nguyên nhân: 
+ Hs chưa biết biến đổi biểu thức dưới dấu căn bậc hai thành dạng tích để khai 
phương mà ngộ nhận sử dụng “ A B A B ” tương tự như . .A B A B 
( với 0A và 0B ) để tính . 
+ HS hiểu mơ hồ về quy tắc khai phương một tích, khai phương một thương. 
+ HS mất kiến thức căn bản ở lớp dưới nhất là các hằng đẳng thức và tính chất 
cơ bản của phân thức. 
11 
+ HS chưa hiểu rõ quy tắc trục căn thức bậc hai ở mẫu và như thế nào là hai biểu 
thức liên hợp của nhau, hai biểu thức này liên quan đến hằng đẳng thức: 
 2 2A B A B A B 
 *Biện pháp khắc phục: 
+ GV cần nhấn mạnh và làm rõ quy tắc khai phương một tích, khai phương một 
thương và lưu ý HS không được ngộ nhận sử dụng A B A B tương tự 
như . .A B A B ( với 0A và 0B ) . 
+ Khi cần thiết GV cũng cố lại kiến thức có liên quan. Chẳng hạn như hằng 
đẳng thức, tính chất cơ bản của phân thức. 
+ Nhấn mạnh thế nào là hai biểu thức liên hợp của nhau. 
+ Cần khắc sâu các công thức: 
A A B
BB
 , với 0B 
2
C A BC
A BA B

, với 0A và 2A B 
 C A BC
A BA B

, với 0, 0A B và A B 
+Về khả năng áp dụng của sáng kiến: 
Qua thời gian nghiên cứu và áp dụng bản thân tôi thấy sáng kiến này có 
tác dụng nhiều trong quá trình giảng dạy học sinh đại trà môn toán 9, tôi đã vận 
dụng sáng kiến này sau mỗi tiết học lý thuyết và tiết luyện tập, các buổi chuyên 
đề và ôn thi vào thpt. 
-Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng 
kiến theo ý kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia 
áp dụng sáng kiến lần đầu: 
+ Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng 
sáng kiến theo ý kiến của tác giả. 
 1. Lợi ích đối với giáo viên: 
-Qua sáng kiến này tôi cũng tự đúc rút cho bản thân mình những kinh nghiệm 
quý báu trong quá trình giảng dạy bộ môn toán của bản thân tôi trong những 
năm tiếp theo. 
- Giúp giáo viên nâng cao chuyên môn nghiệp vụ trong giảng dạy. 
2. Lợi ích đối với người học: 
- Nâng cao hứng thú và động lực học tập giúp các em khắc phục nhưng sai lầm. 
+Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng 
sáng kiến theo ý kiến của tổ chức, các nhân: 
1. Đối với lớp: 
 Học kì I ( năm học 2016-2017) Học kì I ( năm học 2017-2018) 
12 
 Lớp
/Sĩ 
số 
 trước khi áp dụng sau khi áp dụng 
Giỏi Khá TB Yếu Giỏi Khá TB Yếu 
SL % SL % SL % SL % SL % SL % SL % SL % 
9A 
(31) 
5 16,1 15 48,4 10 32,3 1 3,2 7 22,5 17 54,8 7 22,6 0 0 
9B 
(31) 
6 19.4 16 51,6 8 25,8 1 3,2 8 25,8 18 58,1 5 16,1 0 0 
2. Đối với trường: 
- Tăng về số lượng học sinh giỏi và học sinh khá, giảm số lượng học sinh 
TB và yếu của bộ môn Toán. Đạt kết quả cao đối với thi vào lớp 10 THPT. (xếp 
thứ 4/14 trường trong huyện) 
-Thông tin cần được bảo mật: Không có. 
 d. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến 
- Đối với giáo viên thường xuyên nghiên cứu các tài liệu tham khảo, các 
đề thi vào THPT. 
- Đối với học sinh cần chủ động, tích cực học tập tham khảo các tài liệu, 
sưu tầm thêm các đề thi vào 10. 
- Phương tiện dạy học: bảng phụ, máy chiếu thiết bị dạy học thông minh 
upointer, máy tính cầm tay. 
đ.Về khả năng áp dụng của sáng kiến 
Qua thời gian nghiên cứu và áp dụng bản thân tôi thấy sáng kiến này có 
thể áp dụng trong quá trình giảng dạy học sinh đại trà môn toán 9 cho tất cả các 
trường THCS trong Huyện. Tôi đã vận dụng sáng kiến này sau mỗi tiết học lý 
thuyết và tiết luyện tập, các buổi chuyên đề và ôn thi vào thpt. 
Danh sách các tổ chức/ cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng 
kiến lần đầu 
STT Tên tổ chức/ 
cá nhân 
Địa chỉ Phạm vi/ Lĩnh vực áp 
dụng sáng kiến 
1 Lớp 9A,9B 
thuộc khối 9 
Trường THCS – huyện 
Bình Xuyên- Vĩnh Phúc 
Phạm vị: Áp dụng tại 
trường THCS cho các 
khối lớp, cho tổ KHTN. 
Lĩnh vực áp dụng: Khối 
KHTN 
13 
Tân Phong, ngày .... tháng 01 năm 
2019 
Hiệu trưởng 
 (Ký tên, đóng dấu) 
Nguyễn Thị Thủy 
..., ngày ... tháng ... năm2019 
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG 
SÁNG KIẾN CẤP 
HUYỆN 
(Ký tên, đóng dấu) 
Tân Phong, ngày 10 tháng 01 năm 
2019 
Tác giả sáng kiến 
(Ký, ghi rõ họ tên) 
Nguyễn Thị Lụa 
14 
15 
16