Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng

PHẦN MỞ ĐẦU 
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: 
Trong môn hình học nói chung và môn hình học cấp trung học cơ sở nói riêng, 
mảng nghiên cứu về điểm và đường thẳng luôn là đề tài xuyên suốt quá trình 
học của các em học sinh, nó  là nền tảng của các hình, các góc, các cạnh,  
Trong đó, việc chứng minh ba điểm  thẳng hàng đóng một vai  trò không nhỏ 
trong việc tìm ra lời giải của các bài toán liên quan đến điểm và đường thẳng. 
Bộ môn toán hình học đòi hỏi tư duy và trừu tượng, chính vì thế người thầy 
giáo  trong khi giảng dạy cần rèn  luyện cho học sinh của mình với khả năng 
sáng tạo, ham thích học và giải được các dạng bài tập mà cần phải thông qua 
chứng minh ba điểm thẳng hàng, nâng cao chất lượng học tập, đạt kết quả tốt 
trong  các  kỳ  thi.  Từ  đó  tôi    mạnh  dạn  chọn  đề  tài  sáng  kiến  kinh  nghiệm 
"Phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng" nhằm giúp giúp học sinh 
của mình nắm vững các phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng, giúp 
học sinh tư duy logic với từng bài cụ thể ở các dạng khác nhau. 
2. MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI: 
Giúp  HS  hiểu  và  nắm  chắc  cách  giải,  dạng  toán  về  “Chứng  minh  ba  điểm 
thẳng hàng”. Đồng  thời rèn cho HS khả năng phân tích, khái quát hóa,  tổng 
hợp phát huy tính tích cực,  tư duy sáng tạo, nhạy bén, tự học tạo sự say mê, 
hứng thú không còn lúng túng, ngần ngại khi gặp bài toán này. Giúp HS thấy 
được ý nghĩa của việc chứng minh thẳng hàng nhằm giải quyết những bài toán 
khác. 
3. NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI: 
- Xây dựng kế hoạch thực hiện ngay từ đầu năm học. 
- Tổ chức cho học sinh ôn luyện theo chuyên đề,  trao đổi trực  tiếp. Sau mỗi 
chuyên đề ra một bài kiểm tra kiến thức của học sinh (đề ra dạng như đề thi để 
học sinh làm quen dần). 
- Giáo viên say mê, tích cực, giảng dạy và tự học; tìm tòi nhiều dạng bài tập 
phong phú cho học sinh luyện tập không chỉ trên lớp mà cả ở nhà. 
- Thổi vào học sinh sự tự tin, niềm tin chiến thắng, ý chí kiên cường và quyết 
tâm thi đạt giải cao trong kỳ thi chọn học sinh năng khiếu. Động viên, khích lệ 
học  sinh  thường  xuyên  và  liên  tục.  Đồng  thời  kết  hợp  tốt  với  việc  uốn  nắn 
hướng dẫn cụ thể học sinh trong từng buổi học.  
- Mỗi dạng toán cần hướng dẫn học sinh phương pháp giải một cách tỉ mỉ, khai 
thác  triệt để phương pháp giải và cho các em  luyện  tập  ít nhất  là 2  lần bằng 
những bài toán tương tự trên lớp. Sau mỗi buổi học Giáo viên giao bài tập về 
nhà cho các em  luyện tập để các em được khắc sâu hơn về các dạng toán đã 
được ôn tâp. 
- Trong việc giảng dạy bộ môn toán giáo viên cần phải rèn luyện cho học sinh 
tính tư duy, tính độc lập, tính sáng tạo và linh hoạt, tự mình tìm tòi ra kiến thức 
mới,  ra  phương  pháp  làm  toán  ở  dạng  cơ  bản  như  các  phương  pháp  thông 
thường mà còn phải dùng một số phương pháp khó hơn đó là phải có thủ thuật 
riêng đặc trưng, từ đó giúp các em có hứng thú học tập, ham mê học toán và 
phát huy năng lực sáng tạo khi gặp các dạng toán khó. 
4. PHẠM VI VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI: 
Đề tài được áp dụng cho HS lớp 7, 8,  
Đề tài thực hiện trong những giờ luyện tập, ôn tập, phụ đạo, ôn thi. 
PHẦN NỘI DUNG 
A. CƠ SỞ KHOA HỌC: 
Chương  trình  Giáo  dục  của  nước  ta  trong  giai  đoạn  hiện  nay  với  mục  tiêu 
nhằm tạo ra con người phát triển một cách  toàn diện. Muốn vậy,  ta phải đổi 
mới phương pháp dạy học, khắc phục cách truyền thụ kiến thức một chiều, thụ 
động mà cần phải hình thành và rèn luyện cho HS tư duy độc lập sáng tạo, áp 
dụng được phương pháp  tiên  tiến, phương  tiện hiện đại,  sử dụng công nghệ 
thông tin vào giảng dạy và học tập.Tích cực tự học, tự nghiên cứu để tìm hiểu 
vấn  đề  một  cách  sâu  sắc.  Vận  dụng  kiến  thức  vào  thực  tiễn  một  cách  linh 
động, từ đó tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui hứng thú cho học sinh. 
B. THỰC TRẠNG: 
- Học sinh chưa hiểu sâu rộng các bài toán về chứng minh ba điểm thẳng hàng 
đặc biệt là các bài toán khó, do các em chưa có điều kiện đọc nhiều sách tham 
khảo và cũng chưa thấu hiểu các định lý cũng như các tiên đề của hình học. 
- Khi gặp một bài  toán chứng minh ba điểm thẳng hang học sinh không biết 
làm gì? Không biết đi  theo hướng nào? Không biết  liên hệ những  gì đã cho 
trong đề bài với các kiến thức đã học. 
- Suy  luận kém,  chưa biết vận dụng các phương pháp đã học vào  từng dạng 
toán khác nhau. 
- Trình bày không rõ ràng, thiếu khoa học, lôgic. 
- Các em chưa có phương pháp học tập tốt thường học vẹt, học máy móc thiếu 
nhẫn nại khi gặp bài toán khó. 
- Khảo sát thực tiễn: 
Khi chưa thực hiện đề tài này, thì hầu hết các em làm bài tập rất lúng túng, thời 
gian làm mất nhiều, thậm chí không tìm ra cách giải. Để thực hiện đề tài này 
tôi đã tiến hành khảo sát năng lực của học sinh thông qua một số bài kiểm tra 
kết quả như sau: 
Tæng sè 
HS 
XÕp lo¹i 
Giái Kh¸ 
Trung 
b×nh 
YÕu 
SL % SL % SL % SL % 
84 5 6% 21 25% 39 46% 19 23% 
Thông qua kết quả khảo sát tôi đã suy nghĩ cần phải có biện pháp thích hợp để 
giảng dạy, truyền đạt cho học sinh nắm vững những yêu cầu trong quá trình 
giải những bài toán về chứng minhba điểm thẳng hàng. Tôi mạnh dạn nêu ra 
một số biện pháp dưới đây: 
C. NỘI DUNG: 
1. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI: 
- Dạng toán chứng minh ba điểm thẳng hàng là một dạng toán thường có trong 
các đề thi học kỳ cũng như tuyển sinh, không lạ mấy nhưng khó chứng minh 
đối  với  học  sinh,  học  sinh  thường  lúng  túng  khi  giải  vì  chưa  nắm  cơ  sở  để 
chứng minh, không thấy mối liên hệ mật thiết giữa lý thuyết hình học liên quan 
đến dạng toán  này. 
-  Ta  có  thể  hiểu  ba  điểm  thẳng  hàng  là  ba  điểm  cùng  nằm  trên  một đường 
thẳng, và việc chứng minh ba điểm thẳng hàng cần phải xây dựng trên các cơ 
sở hình học, ví dụ như: tiên đề Ơclit, tính chất ba đường trong tam giác, ... 
- Các bài tập chứng minh ba điểm thảng hàng có rất nhiều trong các loại sách 
tham khảo, sách nâng cao, hay các  thông  tin khác nhưng chỉ ở tính chất còn 
chung chung, chưa phân ... ính 
AC và AD của hai đường tròn. Chứng minh rằng ba điểm C, B, D thẳng hàng. 
Chứng minh:  
Ta có: Góc ABC là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn  
            ABC = 90o 
    Góc ABD là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn  
            ABD = 90o 
              oABC   ABD   CBD  180    Ba điểm C, B, D thẳng hàng. 
Bài 2: Cho  ABC nội tiếp trong đường tròn (O), M là một điểm trên cung BC 
không chứa điểm A. Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu của M trên BC, AC, AB. 
Chứng minh ba điểm D, E, F thẳng hàng. 
Chứng minh: 
   O
E
H A B
C
  Xét tứ giác MDBF, ta có: 
                  oMDB   90  (vì MD BC) 
                   oMFB   90  (vì MF AB) 
                oMDB   MFB  180  
                      Tứ giác MDBF nội tiếp đường tròn. 
               BDF   BMF   
                (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF) 
          Xét tứ giác MDEC, ta có:  oMDC   90 (vì MD BC) 
             oMEC   90 (vì ME AC) 
          Hai đỉnh D và E cùng nhìn xuống cạnh MC dưới một góc bằng 90o 
Nên tứ giác MDEC nội tiếp được trong đường tròn. 
 EDC   EMC  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EC) 
Ta có tứ giác ABMC nội tiếp đường tròn vì bốn đỉnh cùng nằm trên đường tròn 
 oABM   ACM  180  
Mà  oABM   MBF =180 (hai góc kề bù) 
 ACB   MBF  
Xét  vuông BMF và  vuông CME có  oECM   EMC   90  
    oMBF   BMF   90 , mà  ECM   MBF    EMC   BMF  
   BDF   EDC   , mà   oBDF   FDC  180  
            oEDC   FDC   180  
  Ba điểm D, E, F thẳng hàng. 
Bài 3:  Cho  đường  tròn  (O;R)  đường  kính  AB,  dây  CD  vuông  góc  với  AB 
(CA<CD). Hai tia BC và DA cắt nhau tại E. Từ E kẻ EH vuông góc với AB tại 
H; EH cắt CA ở F. Chứng minh rằng: 
a) Tứ giác CDFE nội tiếp; 
b) Ba điểm B, D, F thẳng hàng 
Chứng minh: 
a) Ta có: EF//CD (cùng vuông góc với AB) 
   HEA   ADC  (slt)                    (1) 
F
G
O
A D
B
C
E
H
Vì ABCD   AB là trung trực của CD,  
hay tam giác ACD cân tại A 
   ADC   ACD   (2) 
Từ (1) và (2) suy ra  FED   FCD  
  Tứ giác CDFE nội tiếp  
b) Vì tứ giác CDFE nội tiếp,  
mà  0ECF 90  (do góc nội tiếp ACB chắn đường kính) 
          0EDF   ECF 90  
Mà  0ADB 90  (góc nội tiếp chắn đường kính) 
        0EDF EDB 90 , hay ba điểm B, D, F thẳng hàng. 
4.5. Sử dụng tính chất đồng quy của ba đường trong tam giác: 
* Tính chất: Trong một tam giác, ba đường cao, ba đường trung tuyến, ba 
đường phân giác, ba đường trung trực thì đồng quy 
* Bài tập: Cho hình bình hành ABCD, gọi O là giao điểm của hai đường chéo; E 
là điểm đối xứng của A qua B; F là giao điểm của BC và ED; G là giao điểm của 
BC và OE; H là giao điểm của EC và OF. Chứng minh rằng ba điểm A, G và H 
thẳng hàng. 
Chứng minh: 
* Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD 
Nên OA = OC   EO là trung tuyến của  EAC. 
Điểm E đối xứng với A qua B nên B là trung điểm  
của EA. Suy ra CB là trung tuyến của  EAC. 
Điểm G là giao điểm của BC và EO,  
nên G là trọng tâm của  EAC           (1) 
* Mặt khác ta có: ABCD là hình bình hành nên AB//CD và AB = CD 
  BE//CD và BE = CD   BECD là hình bình hành. 
  F là trung điểm của BC và ED 
A B
D C
H
K
O
Ta có OF là đường trung bình của  BAC nên OF//AB  
  OH//AE, mà O là trung điểm của AC   HE = HC 
Do đó AH là đường trung tuyến của  EAC                                                (2) 
Từ (1) và (2) suy ra ba điểm A, G và H thẳng hàng (đpcm). 
4.6. Điểm nằm trên đường thẳng chứa các điểm còn lại: 
Ví dụ: Hình bình hành ABCD có O là trung điểm của đường chéo BD thì O 
cũng là trung điểm của AC hay ba điểm O, A, C thẳng hàng. 
O
D C
A B
Bài 1: (Bài 47/trang 93 sgk hình học 8 tập I ) 
Cho hình  vẽ, trong đó ABCD là hình bình hành. 
a) Chứng minh rằng: tứ giác AHCK là hình bình hành. 
b) Gọi O là trung điểm HK. Chứng minh: Ba điểm A, O, C thẳng hàng. 
     Chứng minh: 
  a) Xét   vuông ADH và   vuông BCK có:  
AD = BC (vì tứ giác ABCD là hình bình hành) 
  ADH  CBK   (so le trong)  
  ADH  =   BCK (c.h-g.n) 
 AH = CK  
Mà  AH // CK  (vì cùng vuông góc với BD) 
 Tứ giác AHCK là hình bình hành.  
b) Xét hình bình hành AHCK có: O là trung điểm của HK (gt) 
 O cũng  là trung điểm của AC 
 Ba điểm  A, O, C thẳng hàng. 
Bài 2: Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB, C là một điểm trên đường tròn. 
Tiếp tuyến tại A và C của (O) cắt nhau tại P. CH là đường cao của  ABC  (H   
AB). M là trung điểm của CH. Chứng minh rằng ba điểm B, M, P thẳng hàng. 
C
O
A B
E
H
M
P
H O
A
B C
E
F
M
K
Chứng minh: 
Gọi E là giao điểm của AP và BC, 
Ta có   oACB   90   (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 
          oACE   90  
       PA và PC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại P  
         PA = PC                                            (1)  
           PAC cân tại P      
           PAC   PCA  
    Mà:  oPAC   AEC   90  
  oPCA   PCE   90  
  PAC   PCA    PEC   PCE  
    PEC cân tại P   PC = PE           (2)  
Từ (1) và (2)   PA = PE  
EA  AB  (vì EA là tiếp tuyến của (O))  
CH  AB  (vì  CH là đường cao của   ABC)  
    EA // CH  
       * Gọi M’ là giao điểm của CH và BP  
              Trong   BEP có CM’ // EP 
' 'CM BM
=
EP BP
      (3 ) 
              Trong   BPA có M’H// PA 
' 'M H BM
=
PA BP
       (4 ) 
             Từ (3) và (4)  
' 'CM M H
=
EP PA
    mà  PE = PA (cmt)   CM’ = M’H  
                                    Hay M’ là trung điểm của CH   M’ trùng với M  
                                      Ba điểm B, M, P thẳng hàng. 
Bài 3: Cho  tam giác nhọn  ABC  nội  tiếp đường  tròn  tâm O.  BE  và CF  là  các 
đường cao. Gọi H là giao điểm của BE và CF, M là trung điểm của BC, gọi K là 
điểm đối xứng với H qua M. 
a) Chứng minh BHCK là hình bình hành 
b) Chứng minh ba điểm A, O và K thẳng hàng 
Chứng minh: 
a) Tứ giác BHCK là hình bình hành (có hai đường  
chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường) 
b) BHCK là hình bình hành, suy ra BK//CF, KC//BE 
Mà  CF AB,  BE AC   
    KB AB,  KC AC   hay  0ABK ACK 180  
   ABKC nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính AK, hay ba điểm A, O và K 
thẳng hàng. 
*** 
Trên đây là những định hướng ban đầu về các phương pháp chứng minh 
ba điểm thẳng hàng, nhằm giúp học sinh chọn được phương pháp giải phù hợp 
với từng bài toán. Vì đây là kiến thức thuộc dạng khó chứng minh đối với học 
sinh, nên bước đầu bản thân tôi chỉ chọn những bài tập nhỏ, đơn giản, những 
bài  tập chủ yếu vận dụng kiến  thức đã  học để qua đó  giới  thiệu cách chứng 
minh ba điểm thẳng hàng. Tuy nhiên dù dễ hay khó giáo viên cần phân tích kỹ 
đề bài để học sinh  tìm được phương pháp giải phù hợp, tránh những lập luận 
sai hoặc lập luận quanh co dẫn đến những sai lầm đáng tiếc. 
D. HIỆU QUẢ: 
Áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này vào giảng dạy ở trường THCS NGUYỄN 
TẤT THÀNH  trong HKI năm học 2018 – 2019, tôi đã thu được các kết quả 
khả quan.  
Kết quả học tập của học sinh được nâng lên rõ rệt qua các giờ học, qua mỗi kỳ 
thi,  đặc biệt  là  các  em hứng  thú  học  toán hơn,  nhất  là  bộ môn hình  học,  sử 
dụng thành thạo các phương pháp phù hợp để làm các dạng toán có liên quan 
đến việc chứng minh hình học nói chung và chứng minh ba điểm thẳng hàng 
đạt kết quả tốt. Bên cạnh đó các phương pháp này giúp các em dễ dàng tiếp 
cận với các dạng toán khó và các kiến thức mới cũng như việc hình thành một 
số kỹ năng trong quá trình học tập và kỹ năng giải khi học bộ môn toán. 
Kết quả đánh giá tỉ lệ môn Toán của học sinh lớp 8A4 trong HKI: 
 XÕp lo¹i 
Tæng sè 
HS 
Giái Kh¸ 
Trung 
b×nh 
YÕu 
SL % SL % SL % SL % 
KẾT LUẬN: 
Trên đây là những suy nghĩ và việc làm mà tôi đã thực hiện được  ở lớp 
8.10, 8.11 trong học kỳ qua đã có những kết quả đáng kể đối với học sinh. Tôi 
nghĩ  rằng  với  mỗi  vấn đề  của  toán học,  ta  cần  đi  sâu  vào  từng dạng  tìm  ra 
hướng giải, phát triển hướng tư duy cho mỗi bài thì chắc chắn HS sẽ nắm chắc 
vấn đề hơn. 
 Đề tài chứng minh ba điểm thẳng hàng là một kiến thức rộng và sâu, tương 
đối khó đối với học sinh, rất cần thiết trong chương trình hình học trung học cơ 
sở. Với  lượng  kiến  thức  ngày  một nâng  cao,  khó và  còn hạn  chế  nên  tôi đã 
hình thành và cung cấp cho các em cách nhận dạng, cách giải, cách trình bày 
lời giải nên học sinh có thể giải được dạng toán này. Do đó các em không còn 
cảm thấy e ngại mà ngược lại còn say mê với dạng toán này.  
Do khả năng có hạn, kinh nghiệm giảng dạy chưa nhiều, tầm quan sát tổng 
thể chương trình môn toán chưa cao, nên khó tránh khỏi những thiếu sót nhất 
định. Vì vậy để đề tài của tôi thật sự có hiệu quả trong quá trình giảng dạy, tôi 
rất  mong nhận được  sự đóng góp, giúp đỡ nhiệt  tình của hội đồng khoa học 
giáo dục nhà trường và Phòng GD&ĐT CƯMGAR để đề tài được hoàn thiện 
hơn. 
Xin trân trọng cảm ơn ! 
 ....................................................................................................................  
 ....................................................................................................................  
 ....................................................................................................................  
 ....................................................................................................................  
 ....................................................................................................................  
 ....................................................................................................................  
 ....................................................................................................................  
 ....................................................................................................................  
 ....................................................................................................................  
 ....................................................................................................................  
 ....................................................................................................................  
 ....................................................................................................................  
 ....................................................................................................................  
 ...............................................................................................................  
 ...............................................................................................................  
 ...............................................................................................................  
 ...............................................................................................................  
 ...............................................................................................................  
 ...............................................................................................................  
 ...............................................................................................................  
 ...............................................................................................................  
 ...............................................................................................................  
 ...............................................................................................................  
 ...............................................................................................................  
 ...............................................................................................................  
 ...............................................................................................................  
 ...............................................................................................................  
 ...............................................................................................................  
 ...............................................................................................................  
 ...............................................................................................................  
 ...............................................................................................................  
 ...............................................................................................................  
 ...............................................................................................................  
 ...............................................................................................................  
 ...............................................................................................................  
 ...............................................................................................................  
 ...............................................................................................................  
 ...............................................................................................................  
 ...............................................................................................................  
 ...............................................................................................................  
 ...............................................................................................................  
 ...............................................................................................................  
PHẦN MỞ ĐẦU 
1. Lí do chọn đề tài 
2. Mục đích của đề tài 
3. Nhiệm vụ của đề tài 
4. Phạm vi và phương pháp nghiên cứu đề tài 
PHẦN NỘI DUNG 
A .CƠ SỞ KHOA HỌC 
B. THỰC TRẠNG 
C . NỘI DUNG 
 1. Nội dung kiến thức 
 2. Phương pháp dạy học 
3. Sử dụng đồ dùng dạy học 
4. Các biện pháp thực hiện 
D. HIỆU QUẢ 
KẾT LUẬN