Đề thi khảo sát chất lượng Lần 2 môn Toán - Năm học 2020-2021 - Mã đề thi 311

Trang 1/6 - Mã đề 311 
SỞ GD&ĐT HÀ NỘI 
THPT LÝ THÁNH TÔNG 
KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN 2 
NĂM HỌC 2020 - 2021 
Môn: TOÁN - Lớp 12 - Chương trình chuẩn 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
(Đề này có 06 trang) 
Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian phát đề) 
Họ và tên thí sinh:.............................................................................. SBD:..................... 
Mã đề thi 
311 
Câu 1. Kí hiệu ,a b lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức 3 2 2i− . Tìm a , b . 
 A. 3; 2a b= = B. 3; 2 2a b= = C. 3; 2a b= = D. 3; 2 2a b= = − 
Câu 2. Trong không gian Oxyz , mặt phẳng ( ) : 5 7 2 0x y zα − − + = nhận vectơ nào sau đây làm vectơ 
pháp tuyến? 
 A. ( )3 5; 7;1n = −
 
. B. ( )1 5;7;1n =
 
. C. ( )4 5; 7;1n = − −
 
. D. ( )2 5;7;1n = −
 
. 
Câu 3. Tập xác định của hàm số ( )2log 1= −y x là 
 A. ( );−∞ +∞ . B. [ )1;+∞ . C. [ )0;+∞ . D. ( )1;+∞ . 
Câu 4. Cho f x là hàm số liên tục trên đoạn  a;b . Giả sử F x là một nguyên hàm của f x trên 
đoạn  a;b .Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? 
 A. d
b
b
a
a
f x x F x F b F a B. d
b
b
a
a
f x x F x F a F b 
 C. d
b
b
a
a
f x x f x f b f a D. d
b
a
b
a
f x x F x F a F b 
Câu 5. Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm ( )3; 1;1M − trên trục Oz có tọa độ là 
 A. ( )3;0;0 . B. ( )3; 1;0− . C. ( )0;0;1 . D. ( )0; 1;0− . 
Câu 6. Khối cầu có bán kính 3=R có thể tích bằng bao nhiêu? 
 A. 36π . B. 72 .π C. 112π . D. 48π . 
Câu 7. Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên tập xác định của nó? 
 A. ( )xy 2= B. 
x
3
y
2
 =  
 
 C. 
x
y
e
π =  
 
 D. ( )xy 0,5= 
Câu 8. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 
1
1
+
=
−
x
y
x
 là 
 A. 1=x . B. 1= −x . C. 2=x D. 0=x . 
Câu 9. Cho hàm số ( )y f x= có bảng biến thiên như sau: 
Hàm số ( )y f x= đạt cực đại tại 
 A. 4x = . B. 3x = . C. 2x = − . D. 2x = . 
Trang 2/6 - Mã đề 311 
Câu 10. Khối trụ tròn xoay có đường kính bằng 2a , chiều cao 2h a= có thể tích là 
 A. 3.V aπ= B. 22V aπ= . C. 32V aπ= . D. 22π=V a . 
Câu 11. Cho hàm số ( )y f x= liên tục trên [ ; ].a b Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đường cong 
( ),y f x= trục hoành, các đường thẳng , x a x b= = được xác định bằng công thức nào sau đây ? 
 A. ( ) d .
b
a
S f x x= ∫ B. ( )d .
b
a
S f x x= −∫ C. ( )d .
a
b
S f x x= ∫ D. ( )d .
b
a
S f x x= ∫ 
Câu 12. Phương trình 2 15 125x+ = có nghiệm là: 
 A. 
5
2
x = . B. 1x = . C. 3
2
x = . D. 3x = . 
Câu 13. Cho hình chóp .S ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a , 3 2SA a= và ( )SA ABCD⊥ . 
Thể tích hình chóp .S ABCD bằng: 
 A. 3 2a . B. 33 2a . C. 
34 3
3
a
. D. 
3 2
2
a
. 
Câu 14. Cho hàm số ( )y f x= có bảng biến thiên như hình vẽ bên. 
Hàm số ( )y f x= đồng biến trên khoảng nào dưới đây? 
 A. ( );0−∞ . B. ( )2;0− . C. (0;2). D. ( )2; +∞ . 
Câu 15. Tập nghiệm của bất phương trình là 
 A. . B. . C. . D. . 
Câu 16. Cho số phức 2z i= + . Tính z . 
 A. 3z = B. 5z = C. 2z = D. 5z = 
Câu 17. Khẳng định nào sau đây sai? 
 A. 
1e
e d
1
x
x x C
x
+
= +
+∫ . B. 
1 d lnx x C
x
= +∫ . 
 C. 
2
1
d tan
cos
x x C
x
= +∫ . D. ( )
e 1
ed 1
e 1
+
= + ≠ −
+∫
xx x C e . 
Câu 18. Số phức 3 7i− + có phần ảo bằng: 
 A. 3− B. 7− C. 7 D. 3 
Câu 19. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): Tính 
bán kính của mặt cầu (S). 
 A. . B. . C. . D. 
Câu 20. Thể tích khối lập phương cạnh 2 bằng 
 A. 6 . B. 8 . C. 4 . D. 2 . 
Câu 21. Tính thể tích V của khối nón có bán kính đáy bằng 3 và chiều cao bằng 6. 
 A. 18V π= . B. 108V π= . C. 36 .V π= D. 54V π= . 
2 13 27x− >
1
;
2
 +∞ 
 
1
;
3
 +∞ 
 
( )2; +∞ ( )3; +∞
( ) ( ) ( )2 2 25 1 2 9.x y z− + − + + =
R
3R = 9R = 18R = 6.R =
Trang 3/6 - Mã đề 311 
Câu 22. Cho hình phẳng ( )H giới hạn bởi đồ thị 22y x x= − và trục hoành. Tính thể tích V vật thể 
tròn xoay sinh ra khi cho ( )H quay quanh Ox . 
 A. 
4
3
V = . B. 16
15
V π= . C. 16
15
V = . D. 4
3
V π= . 
Câu 23. Cho số phức z thỏa mãn 2 3 4 3 13 4 .i z i i Môđun của z bằng 
 A. 10. B. 2 2. C. 2. D. 4. 
Câu 24. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là khẳng định 
đúng? 
 A. . B. . C. . D. . 
Câu 25. Nguyên hàm ( )F x của hàm số ( ) s inxf x x= + thỏa mãn ( )0 19F = là: 
 A. ( )
2
osx+
2
x
F x c= − . B. ( )
2
osx+ 20
2
x
F x c= − + 
 C. ( )
2
osx+ 2
2
x
F x c= − + . D. ( )
2
osx+ 20
2
x
F x c= + . 
Câu 26. Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm ( ) ( )1;2;1 , 2;1;0A B− . Mặt phẳng qua B và vuông góc 
với AB có phương trình là: 
 A. 3 5 0x y z+ + − = . B. 3 6 0x y z+ + − = . 
 C. 3 5 0x y z− − − = . D. 3 5 0x y z− − + = . 
Câu 27. Giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 22 3 1y x x= + − trên đoạn [ ]1;1− là 
 A. 1. B. 1− . C. 5− . D. 4 . 
Câu 28. Trong không gian Oxyz , cho A(1;2;3), mặt phẳng ( ) : 15 0.+ + − =P x y z Viết phương trình 
mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) biết (Q) cách điểm A một khoảng bằng 3 3 . 
 A. 
3 0
3 0
x y z
x y z
+ + + =
 + + − =
. B. 
3 0
15 0
x y z
x y z
+ + + =
 + + − =
 C. 3 0+ + + =x y z D. 15 0+ + − =x y z 
Câu 29. Cho hàm số ( )y f x= có bảng biến thiên như sau 
Mệnh đề nào dưới đây đúng? 
 A. Hàm số đồng biến trên ( );2−∞ . B. Hàm số nghịch biến trên ( ) ( );0 1;−∞ ∪ +∞ . 
 C. Hàm số đồng biến trên ( )0;1 . D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( );1−∞ . 
ax b
y
cx d
+
=
+
O x
y
0
0
ad
bc
>
 >
0
0
ad
bc
<
 >
0
0
ad
bc
>
 <
0
0
ad
bc
<
 <
Trang 4/6 - Mã đề 311 
Câu 30. Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba vectơ ( ) ( ) ( )3;0;1 , 1; 1; 2 , 2;1; 1a b c− − −
. Tính 
( )T a b c= +
. 
 A. 9T = . B. 0T = . C. 3T = . D. 6T = . 
Câu 31. Xét các số phức z thỏa mãn ( )( )2z i z+ + là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất 
cả các điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn có bán kính bằng 
 A. 
5
4
 B. 1 C. 5
2
 D. 
3
2
Câu 32. Cho hình nón có bán kính đáy 4r = và diện tích xung quanh bằng 20π . Thể tích của khối 
nón đã cho b ... 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 
B C B A D C D A C D A C C C A D C C D A 
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 
A B D C D B D A B A 
Mã đề [313] 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 
C B C B D C A B C D C D A C A A A C A A B B A A D 
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
C D A B B A C A C B B A D D A B A C A A A A A C D 
Mã đề [314] 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
A C A B B C D B D B A B D B B A D B D C 
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 
B B B A B B B A D B B C D B A B A C C C 
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 
A C B C D D A D C B 
Mã đề [315] 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 
C C C B B D C B A C A B C A C C B A A C A A D D A 
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
C B D D A C C C D C C A B D C D A B A C D C D A A 
Mã đề [316] 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
C A A A B A D A D A C B C C B B D B C A 
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 
C B A B B D A A A D D B A A D D C C D C 
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 
B D B C C A C B D C 
Mã đề [317] 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 
A A B A B D C C D A A B A D C A C D A A B A D A A 
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
A D A D B B B B B D D C B D D D D B D D A D C D A 
Mã đề [318] 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
C B B C D C B D C D B C D C B B A A D B 
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 
C A D A C B B C D B D C C D A C B D C A 
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 
B A B A D A B B D A 
9 
BẢNG ĐÁP ÁN 
1-D 2-D 3-D 4-A 5-C 6-A 7-D 8-A 9-D 10-C 
11-A 12-B 13-A 14-C 15-C 16-B 17-A 18-C 19-A 20-B 
21-A 22-B 23-A 24-C 25-B 26-C 27-B 28-C 29-C 30-D 
31-C 32-D 33-D 34-C 35-D 36-B 37-A 38-B 39-A 40-B 
41-C 42-B 43-A 44-B 45-C 46-C 47-D 48-A 49-C 50-D 
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 
Câu 1: Chọn D. 
Theo lý thuyết, ta có số phức 3 2 2i− có: 
Phần thực của số phức là 3.a = 
Phần ảo của số phức là 2 2.b = − 
Câu 2: Chọn D. 
Trong không gian ,Oxyz mặt phẳng ( ) : 5 7 2 0x y zα − − + = nhận vectơ sau làm vectơ pháp tuyến: 
( )5; 7; 1 .n = − −
Câu 3: Chọn D. 
ĐKXĐ: 1 0 1x x− > ⇔ > 
Tập xác định của hàm số là ( )1; .D = +∞ 
Câu 4: Chọn A. 
Vì ( )F x là một nguyên hàm của ( )f x trên [ ];a b nên ( ) ( ) ( ) ( ).
b
a
b
f x dx F x F b F a
a
= = −∫ 
Câu 5: Chọn C. 
Hình chiếu vuông góc của điểm ( )3; 1;1M − trên trục Oz là ( )0;0;1 . 
Câu 6: Chọn A. 
Thể tích của khối cầu có bán kính 3R = là 3 34 4 .3 36
3 3
V Rπ π π= = = (đvtt). 
Câu 7: Chọn D. 
Hàm số ( )0,5 xy = là hàm số mũ có cơ số ( )0,5 0;1a = ∈ nên nghịch biến trên tập xác định của nó. 
Câu 8: Chọn A. 
10 
Tập xác định { }\ 1 .D = 
Ta có 
1
1lim 1
1x
x x
x+→
+
= +∞⇒ =
−
 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. 
Câu 9: Chọn D. 
Dựa vào bảng biến thiên, nhận thấy hàm số đạt cực đại tại điểm 2.x = 
Câu 10: Chọn C. 
Bán kính của khối trụ là 
2 .
2
aR a= = 
Thể tích khối trụ là: 2 2 3. .2 2 .V R h a a aπ π π= = = 
Câu 11: Chọn A. 
Ta có ( ) .
b
a
S f x dx= ∫ 
Câu 12: Chọn B. 
Ta có: 2 1 2 1 35 125 5 5 2 1 3 1.x x x x+ += ⇔ = ⇔ + = ⇔ = 
Câu 13: Chọn A. 
2 31 1. . 3 2. 2.
3 3ABCD
V SA S a a a= = = 
Câu 14: Chọn C. 
Hàm số ( )y f x= đồng biến trên khoảng ( ); 2−∞ − và ( )0;2 . 
Câu 15: Chọn C. 
2 1
33 27 2 1 log 27 2 1 3 2.
x x x x− > ⇔ − > ⇔ − > ⇔ > 
Câu 16: Chọn B. 
Ta có 2 22 1 5.z = + = 
Câu 17: Chọn A. 
Ta có x xe dx e C= +∫ do đó khẳng định sai là 
1
.
1
x
x ee dx C
x
+
= +
+∫ 
Câu 18: Chọn C. 
Số phức 3 7i− + có phần ảo bằng 7. 
Câu 19: Chọn A. 
Bán kính mặt cầu 9 3.R = = 
Câu 20: Chọn B. 
11 
Thể tích khối lập phương là 32 8.V = = 
Câu 21: Chọn A. 
Theo đề ta có 3r = và 6.h = 
Thể tích của khối nón là 2 2
1 1 .3 .6 18 .
3 3
V r hπ π π= = = 
Câu 22: Chọn B. 
Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị 22y x x= − và trục hoành: 
 2
0
2 0
2
x
x x
x
=
− = ⇔  =
Suy ra thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi cho ( )H quay quanh Ox là: 
 ( )
2
22
0
162 .
15
V x x dx Vπ π= − = =∫ 
Câu 23: Chọn A. 
Ta có: ( )2 3 4 3 13 4 .i z i i+ + − = + 
( ) ( )13 4 4 3 3
2 3
i i
z z i
i
+ − −
⇔ = ⇔ = −
+
Môđun của z là: ( )223 1 10.z = + − = 
Câu 24: Chọn C. 
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang 0 0 0 ,
ay y a c
c
= > ⇒ > ⇒ cùng dấu (1). 
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng 0 0 0 0 ,
d dx x d c
c c
= ⇒ cùng dấu (2). 
Từ (1), (2) ,a d⇒ cùng dấu 0.ad⇒ > 
Mặt khác đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm 0 ,b b d
d
⇒ < ⇒ trái dấu (3). 
Từ ( ) ( )2 , 3 ,b c⇒ trái dấu 0.bc⇒ < 
Vậy chọn đáp án đúng là C. 
Câu 25: Chọn B. 
( ) ( ) ( )
2
sin cos .
2
xF x f x dx x x dx x C= = + = − +∫ ∫ 
12 
Theo bài ( )
20
0 19 cos 0 19 20.
2
F C C= ⇔ − + = ⇔ = 
Vậy ( )
2
cos 20.
2
xF x x= − + 
Câu 26: Chọn C. 
Mặt phẳng qua B và vuông góc với AB nhận vectơ ( )3; 1; 1AB − −
 
 làm vectơ pháp tuyến. 
Phương trình mặt phẳng cần tìm là 
 ( ) ( )3 2 1 0x y z− − − − = 
3 5 0x y z⇔ − − − = 
Câu 27: Chọn B. 
2 1' 6 6 ; ' 0 .
0
x
y x x y
x
= −
= + = ⇔  =
( ) ( ) ( )1 0, 0 1; 1 4.y y y− = = − = 
Giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 22 3 1y x x= + − trên [ ]1;1− là 1.− 
Câu 28: Chọn C. 
Vì ( ) ( )/ /Q P nên phương trình ( )Q có dạng: 0x y z D+ + + = với 15.D ≠ − 
( )( ) ( )
36
; 3 3 6 9 .
153
DD
d A Q D
D L
=+
= = ⇔ + = ⇔  = −
 Vậy ( ) : 3 0.Q x y z+ + + = 
Câu 29: Chọn C. 
Vì ( )' 0, 0;1y x> ∀ ∈ nên hàm số đồng biến trên ( )0;1 . 
Câu 30: Chọn D. 
( )3;0; 3b c+ = −
( ) ( )3.3 0.0 1. 3 6.T a b c= + = + + − =
Câu 31: Chọn C. 
Gọi , , .z a bi a b= + ∈ 
Ta có ( )( ) ( )( ) ( ) ( )2 22 2 2 2 2 .z i z a bi i a bi a a b b a b i+ + = − + + + = + + − + − + 
Vì ( )( )2z i z+ + là số thuần ảo nên ( )
2
22 2 1 52 0 1 .
2 4
a a b b a b + + − = ⇔ + + − = 
 
13 
Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn tâm 11;
2
I  − 
 
 có bán kính 5 .
5
R = 
Câu 32: Chọn D. 
Ta có 
20 5.
.4
xq
xq
S
S rl l
r
ππ
π π
= ⇒ = = = 
Chiều cao khối nón 2 2 2 25 4 3.h l r= − = − = 
Thể tích khối nón 2 2
1 1 .4 .3 16
3 3
V r hπ π π= = = (đvtt). 
Câu 33: Chọn D. 
Số tiền cả gốc lẫn lãi sau n năm bà Hoa có ( )120 1 0,08 n+ (triệu đồng) ( )* .n∈ 
Khi đó ( ) ln1.5120 1 0,08 180 1.08 1.5 5.27
ln1.08
n n n+ > ⇔ > ⇔ > ≈ 
Vì *n∈ suy ra 6.n ≥ 
Do đó sau ít nhất 6 năm thì bà Hoa có số tiền cả gốc lẫn lãi lớn hơn 180 triệu đồng. 
Câu 34: Chọn C. 
Từ bảng biến thiên ta thấy đạo hàm của hàm số đổi dấu ba lần tại các điểm 1; 0; 1x x x= − = = nhưng tại 0x = 
hàm số không xác định nên hàm số chỉ có hai điểm cực trị là 1.x = ± 
Câu 35: Chọn D. 
Ta có: Mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng ( )P có bán kính ( )( )
( )22 2
2.2 1 2.1 1
, 2.
2 1 2
r d A P
− + +
= = =
+ − +
Do đó phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng ( )P là ( ) ( ) ( )2 2 22 1 1 4.x y z− + − + − = 
Câu 36: Chọn B. 
Từ hình vẽ ta thấy đồ thị có hướng đi xuống trên khoảng ( )1;3 . 
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng ( )1;3 . 
Câu 37: Chọn A. 
Ta có: 
4 1 0
16 5.4 4 0 .
14 4
x
x x
x
x
x
 ≤ ≤
− + ≥ ⇔ ⇔  ≥≥ 
Tập nghiệm của bất phương trình đã cho có dạng ( ] [ );0 1;T = −∞ ∪ +∞ . 
Vậy 0 1 1.M = + = 
Câu 38: Chọn B. 
14 
Ta có: ( ) ( ) ( )
7 5 7
2 2 5
3 9 12.f x dx f x dx f x dx= + = + =∫ ∫ ∫ 
Câu 39: Chọn A. 
Gọi ( ),z a bi a b= + ∈ , khi đó 
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )1 2 3 1 2 3 2 3 3i z i z i a bi i a bi a a b i+ − − = ⇔ + + − − − = ⇔ − + + = 
3 3
3 2 .
2 3 0 2
a a
z i
a b b
= − = − 
⇔ ⇔ ⇒ = − + + = = 
Khi đó, 
( )2 3 22 6 3 9 3 .
1 1 1 2 2
i ii z i
w i
i i i
− − +− −
= = = = +
− − −
Vậy 
3 10 .
2
w = 
Câu 40: Chọn B. 
Đặt 2 5 .t x x= + − 
Suy ra ( )22 2 2 2
5 5 15 5 2 5 .
2 2 2 2
tt x x t x x t tx x dx dt
t t
 + = + ⇔ + = + ⇔ + = ⇔ = − ⇒ = − − 
 
Đổi cận: 2 5, 2 1.x t x t= − ⇒ = = ⇒ = 
Khi đó ( ) ( ) ( )
2 1 5
2
2 2
2 5 1
5 1 1 51 5 1
2 2 2
f x x dx f t dt f t dt
t t−
   = + − = − − = +   
   ∫ ∫ ∫ 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5 5 5 5 5
2 2 2
1 1 1 1 1
52 1 2 5 2 5
f t f x
f t dt dt f x dx dx f x dx
t t x
 ⇔ = + ⇔ = + ⇔ = + 
 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( )
5 5
1 1
2 5.3 13.f x dx f x dx⇔ = + ⇔ = −∫ ∫ 
Câu 41: Chọn C. 
Ta có ( ) ( )
( )
( )
2 1
3 2 0 .
2
f x
f x f x
f x
=
− + = ⇔    =
15 
Dựa vào đồ thị ta thấy mỗi phương trình ( ) ( )1, 2f x f x= = đều có 3 nghiệm phân biệt. 
Vậy đồ thị hàm số có 6 tiệm cận đứng. 
Câu 42: Chọn B. 
Ta có: ( ) ( ) ( )1; 1;2 , 2;0;1 , , 1;3;2 .AB AC AB AC = − = = − 
    
Diện tích tam giác ( )2 2 21 1 14: , 1 3 2 .
2 2 2
ABC S AB AC = = − + + = 
  
( )1;1; 1 3.BC BC= − ⇒ =
 
Mặt khác ta có diện tích tam giác 
2 14
1 2 422: . .
2 33
SABC S AH BC AH
BC
= ⇒ = = = 
Câu 43: Chọn A. 
TXĐ: 
1; .
2
D  = −∞  
Ta có: ( )
22 4 2 2' 2 .
1 2 1 2
x xf x x
x x
− + +
= + =
− −
( ) 2
1
' 0 4 2 2 0 .1
2
x
f x x x
x
=
= ⇔ − + + = ⇔
 = −

Tính: ( ) ( ) 1 12 4 ln 5; 0 0; ln 2.
2 4
f f f  − = − = − = − 
 
[ ]
( )
2;0
1 1
min ln 2
2 4
m f x f
−
 ⇒ = = − = − 
 
 khi 1 .
2
x = − 
[ ]
( ) ( )
2;0
1 17
max 2 4 ln 5 4 ln 5 ln 2 ln 2 ln 5.
4 4
M f x f M m
−
= = − = − ⇒ + = − + − = − − 
17 9, 1, 1 .
4 4
a b c a b c⇒ = = − = − ⇒ + + = 
Câu 44: Chọn B. 
Ta có: 2' 3 2 3 .y x x m= − + 
Để hàm số đồng biến trên ' 0,y x⇒ ≥ ∀ ∈ (dấu “=” xảy ra tại hữu hạn điểm) 
0 1 0 1 .
' 0 1 9 0 9
a
m
m
> > 
⇔ ⇔ ⇔ ≥ ∆ ≤ − ≤ 
Vì [ ] { }10;2 1;2 .m m∈ − ⇒ ∈ 
16 
Vậy có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn ycbt. 
Câu 45: Chọn C. 
Gọi 1V là thể tích lõi của ống cống (phần ống cống rỗng), 1 0,15r m= là bán kính đường tròn đáy của phần này. 
Gọi 2V là thể tích của toàn bộ ống cống, 2 0, 25r m= là bán kính đường tròn đáy của phần này. 
Thể tích bê tông cần dùng để làm ra ống thoát nước này là: 
 ( ) ( )2 2 2 2 32 1 2 1 2 1. . 0,08 .V V V r h r h h r r mπ π π π= − = − = − = 
Câu 46: Chọn C. 
Từ hình chiếu đứng, hình chiếu cạnh và hình chiếu bằng của vật thể ta suy ra hình thực của vật thể như hình vẽ: 
17 
Gọi 1V là thể tích của khối hộp chữ nhật có ba kích thước là 236,30,12;V là thể tích của khối hộp chữ nhật có ba 
kích thước là 336,24,28;V là thể tích của khối hộp chữ nhật có ba kích thước là 416,20,12;V là thể tích khối bán 
trụ có bán kính đáy bằng 11, chiều cao bằng 28. 
Thể tích của khối đồ chơi đó là: 
( ) 21 2 3 4
136.30.12 36.24.28 16.20.12 .11 .28 27990.
2
V V V V V π = + − + = + − + ≈ 
 
Câu 47: Chọn D. 
Ta có: ( ) ( ) ( )1 1 23 1 3 3 3
3
log 3 1 2 log 2 log 3 1 log 3 log 2.x x xx+ +− = + ⇔ − = − 
( )
( )
2
3 3 2
2
1 13 33 3 3log 3.3 1 log .
2 3 3 6.3 2 0 13.3 1
2
x
xx
x
x
x xx
 > > ⇔ − = ⇔ ⇔ 
  − + =− = 
Giả sử hai nghiệm của phương trình ban đầu là 1x và 2;x khi đó phương trình (1) có hai nghiệm là 13
x và 23 .x 
Theo định lý Vi-et ta có: 
1 2
1 2
3 .3 2
3 3 6
x x
x x
 =

+ =
Vậy ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 23 3 3 327 27 3 3 3 3 3.3 .3 3 3 6 3.2.6 180.x x x x x x x x x xS = + = + = + − + = − = 
Câu 48: Chọn A. 
Xét hàm số ( ) 3 23f x x x m= − + trên đoạn [ ]1;3 , ta có 
( ) [ ]
2
0
' 3 6 0 .
2 1;3
x
f x x x
x
=
= − = ⇔  = ∈
Khi đó ( ) ( ) ( )1 2; 2 4; 3 .f m f m f m= − = − = 
Suy ra 
[ ]
( )
[ ]
( )
1;31;3
max ;min 4.f x m f x m= = − 
TH1: Nếu ( )4 0 0 4m m m− ≤ ⇔ ≤ ≤ thì 
[ ]
{ }3 2
1;3
max 3 max ; 4 .x x m m m− + = − 
Để 
[ ]
3 2
1;3
4 4 4
max 3 4
0 84 4
m m
x x m
mm
 ≤ − ≤ ≤
− + ≤ ⇔ ⇔  ≤ ≤− ≤ 
So sánh điều kiện suy ra 0 4.m≤ ≤ Trường hợp này có 5 giá trị { }0;1;2;3;4m = thỏa mãn yêu cầu bài toán. 
TH2: Nếu 0m < thì 
[ ]
3 2
1;3
max 3 4 4 0 8.x x m m m− + = − ≤ ⇔ ≤ ≤ So sánh điều kiện thấy không thỏa mãn. 
18 
TH3: Nếu 4 0 4m m− > ⇔ > thì 
[ ]
3 2
1;3
max 3 4 4 4.x x m m m− + = ≤ ⇔ − ≤ ≤ So sánh điều kiện thấy không thỏa 
mãn. 
Vậy có 5 giá trị của m thỏa mãn bài toán. 
Câu 49: Chọn C. 
Ta có ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )13 3log 1 1 9 1 1 1 log 1 1 9 1 1
y
x y x y y x y x y
+
+ + = − − + ⇔ + + + = − − +   
( )( ) ( ) ( ) ( )3 3 3
9 9
log 1 1 1 log 1 log 1 1.
1 1
x y x x y x
y y
⇔ + + = − − ⇔ + + + = − +
+ +
( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3
9 9 9
log 1 1 log 1 log 1 1 log 1 .
1 1 1
x x y x x
y y y
⇔ + + − = − + + ⇔ + + + = +
+ + +
Xét hàm số ( ) 3logy f t t t= = + có ( ) ( )
1' 1 0, 0; ,
ln 3
f t t
t
= + > ∀ ∈ +∞ nên hàm số ( )f t đồng biến trên 
( )0; .+∞ 
Từ ( )1 , ta có ( ) ( )( )9 91 1 1 1 9 8.
1 1
f x f x x y xy x y
y y
 
+ = ⇔ + = ⇔ + + = ⇔ + + = + + 
Khi đó ( ) ( ) ( ) ( )33 3 57 3 57P x y x y x y xy x y x y= + − + = + − + − + 
( ) ( )( ) ( )3 3 8 57x y x y x y x y= + − − − + − + 
Đặt ( ) ( )3 3 2, 2 3 8 57 3 81t x y t g t t t t t t t t= + > ⇒ = − − − = + − với 2.t > 
Ta có ( )
( )
( )
2
1 2 7
' 3 6 81 0 .
1 2 7
t n
g t t t
t l
 = − +
= + − = ⇔
 = − −
Ta có bảng biến thiên của hàm ( )g t trên ( )2; .+∞ 
Nhìn vào bảng biến thiên, ta thấy ( )min 1 2 7 83 112 7.P g= − + = − 
Suy ra 
83
29.
112
a
a b
b
=
⇒ + = − = −
19 
Câu 50: Chọn D. 
Ta có ( )( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2; 1
12 1 0;1 .
2
1;2
f x a
f f x f f x f x b
f x c
= ∈ − −

= ⇔ = ⇔ = ∈
 = ∈
Dựa vào đồ thị, ta thấy 
Phương trình ( ) ( )2; 1f x a= ∈ − − có duy nhất 1 nghiệm. 
Phương trình ( ) ( )0;1f x b= ∈ có 3 nghiệm phân biệt. 
Phương trình ( ) ( )1;2f x c= ∈ có 3 nghiệm phân biệt. 
Các nghiệm của phương trình ( ) ( ) ( ), ,f x a f x b f x c= = = phân biệt với nhau. 
Tóm lại, phương trình đã cho có tất cả 7 nghiệm phân biệt. 
____________________ HẾT ____________________ 
https://toanmath.com/