Chuyên đề Phương trình vô tỉ được viết theo chương trình SGK hiện hành nhằm dạy học sinh đại trà trên lớp cũng như ôn thi vào lớp 10, ôn thi học sinh giỏi

 1
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT 
STT CHỮ VIẾT TẮT NỘI DUNG 
1 THCS Trung học cơ sở 
2 HD Hướng dẫn 
3 HS Học sinh 
4 HSG Học sinh giỏi 
5 SGK Sách giáo khoa 
6 TXĐ Tập xác định 
7 ĐK Điều kiện 
8 ĐKXĐ Điều kiện xác định 
 2
MỤC LỤC 
PHẦN MỞ ĐẦU.................................................................................. 
1. Lý do chọn đề tài.............................................................................. 
2. Giới hạn và phạm vi nghiên cứu....................................................... 
3. Phương pháp nghiên cứu.................................................................. 
4. Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài....................................................... 
5. Cấu trúc của đề tài.......................................................  
NỘI DUNG ĐỀ TÀI 
Chương I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA VẤN 
ĐỀ........... 
1. Cơ sở lý luận..................................................................................... 
2. Cơ sở thực tiễn của vấn đề................................................................ 
Chương II: CÁC DẠNG TOÁN VÀ CÁC VÍ DỤ CỤ 
THỂ....................................................................................................... 
1. Một số phương pháp cơ bản.............................................................. 
2. Một số sai lầm mắc phải khi giải phương trình vô tỉ 
Chương III: KẾT QUẢ THỰC HIỆN CÓ SO SÁNH VÀ ĐỐI 
CHỨNG.................... 
1. Kết quả chung............................................................................... 
2. Kết quả cụ thể............................................................................. 
PHẦN KẾT LUẬN ....................................................... 
1. Kết luận............................................................................................. 
2.Khuyến nghị...................................................................................... 
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 
Trang 
3 
3 
3 
3 
4 
4 
5 
5 
5 
5 
6 
6 
13 
14 
14 
14 
16 
16 
16 
18 
 3
PHẦN MỞ ĐẦU 
1. Lý do chọn đề tài 
Phương trình vô tỉ là một đề tài lý thú vị của Đại số, đã lôi cuốn nhiều 
người nghiên cứu say mê và tư duy sáng tạo để tìm ra lời giải hay, ý tưởng 
phong phú và tối ưu. Tuy đã được nghiên cứu từ rất lâu nhưng phương trình vô 
tỉ mãi mãi vẫn còn là đối tượng mà những người đam mê Toán học luôn tìm tòi 
học hỏi và phát triển tư duy. 
 Mỗi loại bài toán phương trình vô tỉ có những cách giải riêng phù hợp. 
Điều này có tác dụng rèn luyện tư duy toán học mềm dẻo, linh hoạt và sáng 
tạo. Bên cạnh đó, các bài toán giải phương trình vô tỷ thường có mặt trong các 
kỳ thi học sinh giỏi Toán THCS và cả ở kì thi vào lớp 10 hàng năm. 
Chuyên đề '' Phương trình vô tỉ'' được viết theo chương trình SGK hiện 
hành nhằm dạy học sinh đại trà trên lớp cũng như ôn thi vào lớp 10, ôn thi 
học sinh giỏi. 
 Chuyên đề đã giới thiệu một số phương pháp hay dùng để giải phương trình 
vô tỉ: 
 Trong chuyên đề mỗi một phương pháp có dành nhiều bài tập cho học sinh tự 
luyện. Tôi hy vọng chuyên đề này sẽ mang lại cho bạn đọc nhiều điều bổ ích và 
giúp các bạn cảm nhận thêm vẻ đẹp của Toán học qua các phương trình vô tỷ. 
 Mặc dù đã cố gắng rất nhiều, nhưng chuyên đề không tránh khỏi những sai 
sót. Rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu từ các thầy cô và các 
em học sinh để chuyên đề ngày càng hoàn thiện hơn! 
2. Giới hạn và phạm vi nghiên cứu 
 Đề tài được nghiên cứu thực hiện khi giảng dạy HS lớp 9 từ năm học 2018-
2019 và tiếp tục áp dụng, có bổ sung trong năm học 2019-2020. 
3. Phương pháp nghiên cứu 
 Tôi sử dụng phối hợp các phương pháp nghiên cứu sau: 
- Tìm đọc các tài liệu tham khảo: SGK đại số 8, SGK đại số 9, Sách bồi 
dưỡng đại số 8 và 9, Toán nâng cao và các chuyên đề đại số 9, Các đề thi vào 
lớp 10, các đề thi HSG môn Toán. 
 4
- Khảo sát thực trạng HS, trắc nghiệm trên 3 đối tượng: Khá giỏi- trung 
bình- yếu kém. 
- Phương pháp quan sát; 
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm giáo dục; 
4. Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài: 
- Nghiên cứu về khái niệm của phương trình một ẩn, khái quát và giải phương 
trình đó. 
- Kỹ năng giải các phương trình: Phương trình chứa ẩn ở mẫu, phương trình 
bậc nhất một ẩn, phương trình chứa hệ số ba chữ, phương trình chứa dấu giá 
trị tuyệt đối, phương trình tích, thương, phương trình bậc cao 
- Kỹ năng giải các phương trình bậc cao đưa về phương trình bậc 1, bậc 2, 
phương trình vô tỉ  
- Làm các bài tập minh họa. 
- Một số phương pháp và dạng bài tập thường gặp. 
5. Cấu trúc của đề tài 
 Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và khuyến nghị, phần nội dung chính 
của đề tài gồm 3 chương: 
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA VẤN ĐỀ 
CHƯƠNG II: CÁC DẠNG TOÁN VÀ CÁC VÍ DỤ CỤ THỂ 
CHƯƠNG III: KẾT QUẢ THỰC HIỆN CÓ SO SÁNH VÀ ĐỐI CHỨNG 
 5
NỘI DUNG ĐỀ TÀI 
Chương I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA VẤN ĐỀ 
1. Cơ sở lý luận 
 Khi giảng dạy bộ môn đại số lớp 9, chúng ta bắt gặp môt số dạng phương 
trinh vô tỉ đã được đề cập trong sách giáo khoa nhưng không phải mọi học 
sinh đều giải được các dạng bài tập này một cách nhuần nhuyễn và thành 
thạo. Thực tế cho thấy các dạng phương trình vô tỉ rất phong phú, đa dạng và 
nó cũng là một trong các dạng bài tập khó đối với học sinh cấp 2. 
 Với suy nghĩ đó, tôi đã mạnh dạn đưa ra một số dạng phương trình vô tỉ cơ 
bản và cách giải từng dạng phương trình đó nhằm giúp các em nắm được cách 
thức giải từng dạng bài từ đó giúp các em dễ dàng hơn khi giải phương trình vô 
tỉ và bồi đắp thêm cho các em niềm say mê, hứng thú học tập bộ môn toán. 
2. Cơ sở thực tiễn của vấn đề 
 Trong quá trình giảng dạy môn Toán lớp 9, tôi thấy đa số HS có nhận dạng 
được phương trình vô tỉ, nhưng đại đa số đều thấy khó, chưa nắm được cách giải 
của từng bài. Do đó, tôi mạnh dạn phân dạng một số bài tập nhằm giúp HS nhận 
dạng nhanh phương trình đó và từ đó tìm ra hướng giải quyết vấn đề. Khi giải 
phương trình vô tỉ, chúng ta cần đị ... iỏi cấp tỉnh năm học 1999 – 2000) 
HD: Ta có: 2
2 2 2 2
x m x m
x 3 x m
x 3 x m 2mx 2mx (m 3) 0
 – Nếu m = 0: phương trình vô nghiệm 
 – Nếu m ≠ 0:
2m 3
x
2m
 . Điều kiện để có nghiệm: x ≥ m 
2m 3
m
2m
 + Nếu m > 0: m2 + 3 ≥ 2m2 m2 ≤ 3 0 m 3 
 + Nếu m < 0: m2 + 3 ≤ 2m2 m2 ≥ 3 m ≤ 3 
Tóm lại: 
 – Nếu 0 m 3 hoặc m 3 . Phương trình có một nghiệm: 
2m 3
x
2m
 – Nếu 3 m 0 hoặc m 3 : phương trình vô nghiệm 
Bài 10. Giải và biện luận theo tham số m phương trình: x x m m 
HD: Điều kiện: x ≥ 0 
– Nếu m < 0: phương trình vô nghiệm 
 9
– Nếu m = 0: phương trình trở thành x( x 1) 0 
 có hai nghiệm: x1 = 0, x2 = 1 
– Nếu m > 0: phương trình đã cho tương đương với 
 ( x m)( x m 1) 0 
x m 0
x 1 m
 + Nếu 0 < m ≤ 1: phương trình có hai nghiệm: x1 = m; x2 = 
2(1 m) 
 + Nếu m > 1: phương trình có một nghiệm: x = m 
III- BÀI TẬP ÁP DỤNG: 
Bài 1:Giải các phương trình sau: 
a) 1 13x x b) 3 34 3 3 1x x c) 2 5 3 5 2x x 
d) x 3 5 x 2 e) 2 5 0x f) x 1 x 7 12 x 
 Bài 2: Giải phương trình: 
a) 2 1 1x x b) 2 3 0x x c) 
2 1 1x x 
d) 3 6 3x x e) 3 2 1 3x x f) 3 2 1x x 
g) 9 5 2 4x x h) 3 4 2 1 3x x x i) 4 3 2x x 
Bài 3: Cho phương trình: 2 1x x m 
a) Giải phương trình khi m = 1 
b) Tìm m để phương trình có nghiệm. 
PHƯƠNG PHÁP 2: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ TUYỆT ĐỐI 
I-KIẾN THỨC: 
Sử dụng hằng đẳng thức sau: 
2 ( ) ( ) ( ( ) 0)( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ( ) 0)
f x g x f x
f x g x f x g x
f x g x f x
II-BÀI TẬP: 
Bài 1: Giải phương trình: 2x 4x 4 x 8 (1) 
HD: (1) 2(x 2) 8 x 
 |x – 2| = 8 – x 
 – Nếu x < 2: (1) 2 – x = 8 – x (vô nghiệm) 
 – Nếu x 2 : (1) x – 2 = 8 – x x = 5 (thoả mãn) Vậy: x = 5. 
Bài 2: Giải phương trình: x 2 2 x 1 x 10 6 x 1 2 x 2 2 x 1 
(2) 
HD: (2) 
x 1 0
x 1 2 x 1 1 x 1 2.3 x 1 9 2 x 1 2 x 1 1
x 1
x 1 1 | x 1 3 | 2.| x 1 1 |
 (*) 
Đặt y = x 1 (y ≥ 0) phương trình(*) đã cho trở thành: 
 y 1 | y 3 | 2 | y 1 | 
 10 
 – Nếu 0 ≤ y < 1: y + 1 + 3 – y = 2 – 2y y = –1 (loại) 
 – Nếu 1 ≤ y ≤ 3: y + 1 + 3 – y = 2y – 2 y = 3 
 – Nếu y > 3: y + 1 + y – 3 = 2y – 2 (vô nghiệm) 
Với y = 3 x + 1 = 9 x = 8 (thoả mãn) Vậy: x = 8 
Bài 3:Giải phương trình: 2 2 5 2 3 2 5 7 2x x x x 
HD:ĐK:
5
2
x 
PT 2 5 2 2 5 1 2 5 6 2 5 9 14x x x x 
 2 5 1 2 5 3 14x x 
 2 5 5x 
 15x (Thoả mãn) Vậy: x = 15 
Bài 4:Giải phương trình: 2 1 2 1 2x x x x 
HD:ĐK: 1x 
Pt 1 2 1 1 1 2 1 1 2x x x x 
 1 1 1 1 2x x 
Nếu 2x pt 1 1 1 1 2x x 2x (Loại) 
Nếu 2x pt 1 1 1 1 2x x 0 0x (Luôn đúng với x ) 
Vậy tập nghiệm của phương trình là: |1 2S x R x 
III- BÀI TẬP ÁP DỤNG: 
Giải các phương trình sau: 
a) 2 2 1 5x x b) 4 4 3x x 
c) 2 6 9 2 1x x x d) 4 4 5 2x x x 
e) 2 22 1 4 4 4x x x x f) 2 1 4 4 10x x x x 
g) 2 1 2 1 2x x x x h) 3 2 4 4 4 1x x x x 
i) 2 4 4 2 10x x x k) 2 4 4 2x x x 
PHƯƠNG PHÁP 3: ĐẶT ẨN PHỤ 
Bài 1: Giải các phương trình sau: 
a) 02 xx 
b) 0827
22 xx 
 Lời giải: 
a) Điều kiện: 0 x 
Đặt 2)0( txttx , ta có phương trình 
 2),/(1)0(02 21
2 tmttcbatt (loại). 
 1111 xxt . 
Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1. 
 11 
b) Điều kiện: 
2
2
202 22
x
x
xx 
Ta có: 0102720827 2222 xxxx . 
Đặt 
222 2)0(2 txttx , ta có phương trình ẩn t: 0107
2 tt 
 )/(2
2
37
);/(5
2
37
3910.1.4)7( 21
2 mttmtt 
Với )/(3327),/(332727525 21
22
1 mtxmtxxxt 
Với )/(6),/(66222 43
22
2 mtxmtxxxt . 
 Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt: 
 6,6,33,33 4321 xxxx . 
Bài 2: Giải phương trình: 
x-2 + 2x - 5 + x + 2 + 3 2x - 5 = 7 2 (1) 
Hướng dẫn: (Đây chính là bài 3 ở dạng trên, như vậy chúng ta có thể giải bài 
tập này theo 2 cách) 
Điều kiện: x 
5
2
Đặt: 2x - 5 = y 0 2x - 5 = y2 
(1) 2( 2) 2 2 5 2x 4 6 2x 5 14x 
 Có: 2(x – 2) + 2 2x 5 = ( 2x 5 )2 + 2 2x 5 + 1 
 = y2 + 2y + 1 = (y + 1)2 
 2x + 4 + 6 2x 5 = ( 2x 5 )2 + 6 2x 5 + 9 
 = y2 + 6y + 9 = (y + 3)2 
(1) y2 + 2y + 1 + y2 + 6y + 9 = 14 
 y + 1 + y + 3 = 14 do y 0 nên: 
 y + 1 + y + 3 = 14 
 2y = 10 
 y = 5 (thỏa mãn điều kiện y 0) 
 2x - 5 = 5 với điều kiện x 
5
2
 thì cả 2 vế không âm 
Bình phương cả 2 vế ta có: 
 2x - 5 = 25 
 2 x = 30 
 x = 15 
Phương trình đã cho có một nghiệm x = 15. 
Nhận xét : Cách này có phần phức tạp hơn cách ở phương pháp 2 nói trên. 
 12 
Bài 3: Giải phương trình: 
 x2 + x2 - 3x + 5 = 3x + 7 (1) 
 (Toán bồi dưỡng đại số lớp 9) 
Hướng dẫn: 
Điều kiện: x2 – 3x + 5 = x2 – 2x.
3
2
 + 
9
4
 + 
11
4
 = (x - 
3
2
)2 + 
11
4
 > 0; x R 
(1) x2 - 3x + 5 + x2 - 3x + 5 - 12 = 0 (2) 
Đặt: x2 - 3x + 5 = t (t 0) 
(2) t2 + t - 12 = 0 
 = 49 > 0 = 7 
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt: t1 = 3 (thỏa mãn); t2 = - 4 (loại) 
 x2 - 3x + 5 = 3 
 x2 - 3x - 4 = 0 
Vậy nghiệm của phương trình là: x = -1; x = 4. 
Bài 4: Giải phương trình: 
 2 23x 21x + 18 + 2 7x 7 2x (1) 
Hướng dẫn: 
Điều kiện: x2 + 7x + 7 0 
Đặt: 2 7x 7 0x y => x2 + 7x + 7 = y2 
(1) 3y2 – 3 + 2y = 2 
 3y2 + 2y – 5 = 0 
 (y – 1)(3y + 5) = 0 
 y1 = 1 (thỏa mãn); y2 = 
5
3
 < 0 (loại) 
2 7x 7 1x x2 + 7x + 6 = 0 (x + 1) (x + 6) = 0 
 x1 = -1; x2 = -6 (thỏa mãn điều kiện x
2 + 7x + 7 0) 
Vậy nghiệm của phương trình (1) là: x = -1; x = -6 
Nhận xét: Cách đặt ẩn phụ: 2 7x 7 0x y làm cho phương trình được 
chuyển về dạng hữu tỉ. 
Bài 5: Giải phương trình: 
 x2 + 2x + 4 = 3 3 4xx (1) 
(Trích đề thi vào 10 chuyên toán trường ĐHKHTN năm 1994) 
Hướng dẫn: 
(1) 2 24 2x 3 ( 4) 0x x x 
Điều kiện: x 0 
 13 
Đặt: 2 4 ;x u x v , thì phương trình có dạng: 
 u2 + 2v2 – 3uv = 0 
 (u – v)(u – 2v) = 0 
 u = v hoặc u = 2v 
* Với u = v: 2 24 4x x x x => Phương trình vô nghiệm 
* Với u = 2v: 2 24 2 4 4x 2x x x x (thỏa mãn) 
Vậy phương trình có nghiệm x = 2 
Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau: 
a) 1)3(13 22 xxxx 
b) 1220)3(24 33 xxxx 
c) 2)3)(1(31 xxxx 
2. Một số sai lầm mắc phải khi giải phương trình vô tỉ: 
Thông thường khi giải phương trình vô tỉ, học sinh thường hay mắc một trong 
các sai lầm sau: 
- Quên không tìm tập xác định khi giải phương trình 
- Không đặt điều kiện khi biến đổi tương đương 
2.1. Quên không tìm tập xác định của phương trình: 
Ví dụ: Giải phương trình: 
 2 + 2 1x = x (1) 
Học sinh thường giải: 
 (1) 2 1x = x- 2 
 2x – 1 = x2 – 4x + 4 
 x2 – 6x + 5 = 0 
Vậy phương trình có 2 nghiệm là: x1 = 1; x2 = 5 
* Sai lầm trong cách giải trên là: 
Học sinh không tìm điều kiện xác định của phương trình nên kết luận 
nghiệm của phương trình không chính xác (giá trị x = 1 không là nghiệm của 
phương trình) 
2.2. Không đặt điều kiện khi biến đổi tương đương: 
Ví dụ: Giải phương trình: 
 x + 2 - 2x - 6 = 2 (1) 
Học sinh giải: 
 (1) x + 2 = 4 + 4 2 6x +2x - 6 
 4 2x - 6 = 4 - x (3) 
 14 
Bình phương 2 vế ta có: 
 (3) 16 (2x - 6) = 16 - 8x + x2 
 32x - 96 = 16 - 8x + x2. 
 x2 - 40 + 112 = 0. 
 ' = 400 - 112 = 288 > 0 ' = 12 2 . 
 x1 = 20 + 12 2 ; x2 = 20 - 12 2 
Vậy nghiệm của phương trình (1) là: x = 20 12 2 . 
* Sai lầm trong cách giải là: 
+ Không tìm điều kiện của (1) là: x 3. 
+ Khi biến đổi tương đương đến phương trình (3), học sinh không đặt điều 
kiện 4 - x 0 x 4. 
+ Kết luận nghiệm không chính xác do không đặt điều kiện 
Chương III: KẾT QUẢ THỰC HIỆN CÓ SO SÁNH VÀ ĐỐI CHỨNG 
1. Kết quả chung: 
 Sau khi học sinh được thực hành sáng kiến “Phương pháp giải phương trình vô 
tỉ”, đa số học sinh khá, giỏi không những nắm vững các dạng bài và phương pháp giải 
chúng mà còn biết vận dụng linh hoạt các phương pháp giải dạng bài này. 
2. Kết quả cụ thể: 
 Qua việc dạy chuyên đề về phương trình vô tỉ đối với học sinh nói chung và đội 
tuyển học sinh giỏi nói riêng, sau khi trắc nghiệm ở một số học sinh tôi đã thu được 
kết quả dưới đây: 
 - Học sinh không còn ngại khi gặp dạng toán giải phương trình vô tỉ. 
 - Một số học sinh đã thấy hứng thú hơn khi thực hiện bài toán giải phương trình 
đặc biệt là phương trình vô tỉ 
Qua việc kiểm tra đánh giá chất lượng sau 2 lần kiểm tra đối với 28 học 
sinh với 2 đề bài như sau: 
Đề 1: Giải các phương trình: 
 1. 3 1 2 3x x 
 (Trích đề thi vào 10 chuyên ĐHQG năm 2013) 
 2. 2 6x 9 2011x x 
 (Trích đề thi vào 10 tỉnh Tuyên Quang năm 2012 - 2013) 
 3. 1 (1 ) 1x x x x 
Đề 2: Giải các phương trình sau: 
 1. 1 5x 1 3x 2x 
 2. 2 1 2 1 2x x x x 
 15 
 3. 1 3x x 
Tôi đã có kết quả cụ thể như sau: 
Điểm < 5 5 - 6 7 8 - 10 Từ 5 - 10 
 SL % SL % SL % SL % SL % 
Chưa triển khai 
chuyên đề 
16 57,1 8 28,6 4 14,3 0 0 12 42,9 
Đã triển khai 
chuyên đề 
2 7,1 9 32,2 10 35,7 7 25 26 92,9 
* Nhận xét: Kết quả trên tôi thu được từ việc kiểm tra 28 học sinh trong đợt ôn 
tập thi vào 10 với chuyên đề giải phương trình vô tỉ sau khi các em đã được làm 
quen và trực tiếp học chuyên đề “Phương pháp giải phương trình vô tỉ”. Qua kết 
quả trên tôi nhận thấy sau khi học chuyên đề này thì việc giải phương trình vô tỉ 
không còn khó đối với học sinh đối tượng khá, giỏi, điều cần lưu ý ở đây là giáo 
viên cần giúp các em nắm được các dạng bài, phương pháp giải các dạng bài và 
biết cách nhận xét với mỗi bài toán để tìm ra cách giải phù hợp nhất. 
 16 
PHẦN KẾT LUẬN 
1. Kết luận chung: 
 Sau một thời gian tự nghiên cứu cùng với các phương pháp tìm đọc tài liệu tham 
khảo, sưu tầm các bài tập và kết hợp với thực tế giảng dạy tôi thấy rằng chuyên đề 
“Phương pháp giải phương trình vô tỉ” đã phần nào có nhiều tác dụng đối với học 
sinh lớp 9 cũng như đối với các giáo viên. Sau khi học xong chuyên đề này, đa số các 
em học sinh rất hứng thú học Toán, đặc biệt là dạng bài giải phương trình vô tỉ. Khi 
xây dựng đề tài này, tôi đã có gắng xây dựng một hệ thống kiến thức từ dễ đến khó, từ 
đơn giản đến phức tạp nhằm giúp học sinh có thể vận dụng một cách linh hoạt từng 
phương pháp cụ thể trong từng trường hợp nhất định. Bên cạnh đó, các ví dụ có thể 
giúp học sinh rèn kĩ năng, làm quen được với nhiều dạng bài tập khác nhau, các loại 
phương trình vô tỉ khác nhau, góp phần nhỏ bé trong sự nghiệp phát triển trí tuệ, tính 
cẩn thận, khoa học, năng lực nhận xét, phân tích, phán đoán tổng hợp kiến thức  
Tuy nhiên không phải đối với tất cả các đối tượng học sinh chúng ta đều có thể truyền 
tải các nội dung trên mà cần xác định đúng đối tượng để cung cấp kiến thức cơ bản 
phù hợp với trình độ của học sinh. 
 Khi giảng dạy chuyên đề này, giáo viên cần lưu ý: 
- Cần phân dạng phương trình vô tỉ và hướng dẫn các em phương pháp cơ bản để giải 
các dạng bài đó. 
- Những dạng bài tập giao cho học sinh phải thực tế, dễ hiểu, gợi mở giúp kích thích 
óc sáng tạo của học sinh, không quá trìu tượng, cao siêu 
- Hướng dẫn HS trước khi giải bài cần xác định rõ dạng của phương trình bằng cách 
phân tích bài toán. 
- Rèn kĩ năng giải phương trình vô tỉ cho học sinh thông qua nhiều dạng phương trình 
và nhắc nhở những sai lầm thường gặp. 
2. Đề xuất và kiến nghị: 
 Sau khi thực tế giảng dạy, tôi xin lưu ý với các đồng chí khi vận dụng đề tài trên 
cần: 
- Dạy cho học sinh hiểu chắc chắn các khái niệm về phương trình, đặc biệt là những 
khái niệm đơn giản và rất quan trọng như: các phép biến đổi tương đương phương 
trình, các hằng đẳng thức đáng nhớ, định nghĩa và công thức bỏ dấu giá trị tuyệt đối, 
một số bất đẳng thức cơ bản và đặc biệt là các phép biến đổi liên quan đến biểu thức 
có chứa dấu căn. 
- Lựa chọn phương pháp giải phù hợp đối với từng dạng phương trình để có lời giải 
ngắn gọn và hiệu quả. 
- Cần tạo ra những bài toán mở rộng khác nhau như các liên quan đến bài tập cơ bản 
như dạng toán tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm duy nhất, vô 
nghiệm, , tính giá trị của biểu thức 
 17 
 Từ những vấn đề trên, tôi có kiến nghị như sau: 
Do thời gian có hạn và kinh nghiệm còn hạn chế nên trong quá trình viết đề tài này tôi 
khó tránh khỏi những sai sót trong cách trình bày cũng như hệ thống các dạng bài tập 
đưa ra còn hạn chế, chưa đầy đủ, chưa khoa học. Tôi rất mong được sự đóng góp ý 
kiến của các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp đề đề tài này được hoàn thiện hơn, góp 
phần nâng cao chất lượng giảng dạy và học tập của giáo viên và học sinh. 
 Tôi xin chân thành cảm ơn! 
 Phúc Thọ, ngày 04 tháng 04 năm 2020 
Người viết đề tài 
 18 
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Hệ phương trình và phương trình chứa căn thức 
- Nguyễn Vũ Lương (chủ biên), Phạm Văn Hùng, Nguyễn Ngọc Thắng. 
2. Phương trình, bất phương trình và hệ phương trình. 
- Đặng Hùng Thắng. 
3. Tạp chí Toán học tuổi trẻ- Nhà xuất bản giáo dục. 
4. Đề thi vào 10 và đề thi vào các trường chuyên môn Toán. 
 19 
Ý KIẾN NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ VÀ XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG 
KHOA HỌC CƠ SỞ 
 .......................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
................................................................................................................................. 
 Ngọc Tảo, ngày . tháng 04 năm 2020 
Chủ tịch hội đồng 
Ý KIẾN NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ VÀ XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG 
KHOA HỌC CẤP HUYỆN 
 .......................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
................................................................................................................................. 
 Ngày ....... tháng ....... năm 2020 
Chủ tịch hội đồng