The photostimulated quantum effect in rectangular quantum wire with an infinite potential for the case of electron-acoustic phonon scattering

TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ 20/2017   67 
THE PHOTOSTIMULATED QUANTUM EFFECT IN RECTANGULAR 
QUANTUM WIRE WITH AN INFINITE POTENTIAL FOR THE CASE 
OF ELECTRON-ACOUSTIC PHONON SCATTERING 
Nguyen Vu Nhan1, Hoang Dinh Trien2, Hoang Van Ngoc3 
1Hanoi Metropolitan University 
2The University of Da Nang 
3Hanoi University of Sciences, Hanoi National University 
Abstract: Based on the quantum kinetic equation for electrons under the action of a linearly 
polarized electromagnetic wave, a dc electric field and an intense laser field, analytic 
expressions for the density of the direct current in rectangular quantum wire with an 
infinite potential for the case of electron - acoustic phonon scattering are calculated. The 
current density is studied as a function of the frequency of the laser radiation field, the 
frequency of the linearly polarized electromagnetic wave, the temperature of system and 
the size of quantum wire. The analytic expressions are numerically evaluated and plotted 
for a specific quantum wire, GaAs/AlGaAs. All these results of quantum wire are compared 
with bulk semiconductors and superlattices to show the differences. 
Keywords: Semiconductors, quantum wells, quantum wires, superlattices and quantum dot. 
Email: nvnhan@daihocthudo.edu.vn 
Received 02 December 2017 
Accepted for publication 25 December 2017 
1. INTRODUCTION 
The  photostimulated  quantum  effect  by  electromagnetic  wave  is  explained  by  the 
possibility of using this phenomenon for detecting intense electromagnetic radiation, as well 
as for characterizing kinetic properties of semiconductors [1]. It is known that the presence 
of  intense  laser  radiation  can  influence  the  electrical  conductivity  and  kinetic  effects  in 
material.  In  recent years,  it has been revealed  that  the photostimulated quantum effect  in 
superlattices and in quantum wells should be characterized by new features under the action 
of strong fields [2-4].  However, in quantum wire, the photostimulated quantum effect still 
opens for studying. 
68   TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ HÀ NỘI 
In  this  work,  we  use  the  quantum  kinetic  to  study  the  drag  of  charge  carriers  in 
rectangular quantum wire with an infinite potential by a linearly polarized electromagnetic, 
a  dc  electric  field  and  a  laser  field.  We  obtained  the  density  of  the  current  for  the  case 
electrons interacting with acoustic phonon. 
2. CALCULATING THE DENSITY OF THE CURRENT BY THE QUANTUM 
KINETIC EQUATION METHOD 
We examine the electron system, which is placed in a linearly polarized electromagnetic 
wave ( i t i tE(t) E(e e ),H(t) n,E(t)   
   ), in a dc electric field  0E
 
 and in a strong radiation field 
F(t) Fsin t. 
 The Hamiltonian of the electron - phonon system in the quantum wire can be 
written as: 
H = H0 + U = 
z z z
z
n ,l,p z n ,l,p n ,l,p q q q
n,l,p q
e
(p A(t)).a .a b b
c
    


 + 
         +
s z
z
q n,l,n ,l n ,l ,p q n,l,p q q
n,l,n ,l p ,q
C .I (q)a .a (b b ) 
   
     ,                (1) 
where  A t
 is the vector potential of laser field (only the laser field affects the probability 
of  scattering): 
0
1
A(t) F sin t
c
 
; 
zn,l,p
a and 
zn,l,p
a ( qb
   and  qb
 )  are  the  creation  and 
annihilation operators of electron (phonon);  q  is the frequency of acoustic phonon;  qC is 
the  electron-acoustic  phonon  interaction  constant: 
2
2
q
s
q
C
2 v V

,  here  V,  ,  sv   and     are 
volume, the density, the acoustic velocity and the deformation potential constant;  n ',l ',n,lI (q)
is form factor.  
The electron energy takes the simple:  
z
2 2 2 2 2
z
n,l,p 2 2
x y
p n l
2m 2m L L
 

 ( n 0, 1, 2,... ,  l 1, 2,3,... ). 
In order to establish the quantum kinetic equations for electrons in quantum wire, we 
use  general  quantum  equations  for  the  particle  number  operator  or  electron  distribution 
function: 
                                                 z
z z
n,l,p
n,l,p n,l,p t
f (t)
i a a ,H
t

 
  ,        (2) 
TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ 20/2017   69 
with 
z z zn ,l,p n,l,p n ,l,p t
f (t) a a   is distribution function. From Eqs. (1) and (2), we obtain the 
quantum  kinetic  equation  for  electrons  in  quantum  wire  (after  supplement:  a  linearly 
polarized electromagnetic wave field and a direct electric field  0E
): 
z z
z z z z z
n,,lp n,l,p
0 c z
z
2 2 0
n,l,n ,l L q n ,l ,p q n,l,p n ,l ,p q n,,lp2
n ,l ,q L
f (t) f (t)
e.E(t) e.E p ,h(t)
t p
eE q2
  D (q) . J ( )N f (t) f (t) . ( L )
m
 
   
     
 

    z z z z z zn ,l ,p q n,l,p n ,l ,p q n,l,pf (t) f (t) L                                             (3) 
where 
H
h
H
is the unit vector in the magnetic field direction,  0L 2
eE q
J ( )
m
 is the Bessel function 
of real argument;  qN  is the time-independent component of distribution function of phonon: 
B
q
s z
k T
N
v q
 ;  c  is  the  cyclotron  frequency,  ( )  is  the  relaxation  time  of  electrons  with  
energy   . 
For simplicity, we limit the problem to the case of  l 0, 1. We multiply both sides Eq. 
(2) by  z n,p( e / m)p ( )    
 are carry out the summation over n, l and  zp
, we obtained: 
 c 0
1
( i )R Q( ) S( ) R ( ),h
( )
        
,            (4) 
 * * c 0
1
( i )R Q( ) S ( ) R ( ),h
( )
        
,                      (5)          
*0
0 0 c
R ( )
Q ( ) S ( ) R( ) R ( ),h
( )

       
,       (6) 
with:  
z
z
z 1 z n,l,p
n,l,p
e
R( ) p f (p )
m
   
 ,             (7) 
z z
z
2
2
z 0 n,l,p n,l,p2
n,l,pB
e E
Q( ) p f ( )
m k T
    
,            (8)            
z z
z
2
20
0 z 0 n ,l,p n ,l,p2
n ,l,pB
e E
Q ( ) p f ( )
m k T
    
 ,            (9)               
70   TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ HÀ NỘI 
z z
z z z z z z
z z z z z z
2 2 2
22 z
0 q n,l,n ',l ' q z 10 z 2 4
n,l,n ',l ',p ,q
n ',l ',p q n,l,p q n ',l ',p q n,l,p q
n ',l ',p q n,l,p q n ',l ',p q n,l,p q
e F q2 e
S ( ) C I (q) N q f (p )
m 4m
( ) ( )
( ) (
 

           
         


zn,l,p
)
( ),
  
    
        (10)            
where 
z
0
10 z z 0
n,l,p
f
f (p ) p

 

; 
z0 0 n,l,p
e
E
m
  
;
zn ,l,p
0 0
B
f n exp( )
k T

 ;  n0  is  particle 
density; kB is Boltzmann constant; T is temperature of system. 
z z
z z z z z z
z z z z z z
2 2 2
22 z
q n,l,n ',l ' q z 1 z 2 4
n,l,n ',l ',p ,q
n ',l ',p q n,l,p q n ',l ',p q n,l,p q
n ',l ',p q n,l,p q n ',l ',p q n,l,p q
e F q2 e
S( ) C I (q) N q f (p )
m 4m
( ) ( )
( ) (
 

           
          


zn,l,p
)
( ) ,
    
               (11) 
with 
z
0
1 z z
n,l,p
f
f (p ) p

 

; 
z
z
n,l,p
n,l,p
e
E
m 1 i
 
 
  
. 
Solving the equation system (4), (5), (6), we obtain: 
2
2c
0 0 0 c2 2
S,h2 ( )
R ( ) ( )(Q S ) Q,h 2 ( )Re
1 ( ) 1 i
                  
.      (12) 
The density of current: 
 
2 2
c F F
0 0 0 2 2 2 2
F F0
2 1
j R ( )d AC D E AC D E,h
1 1
      
         
 ,         (13) 
where  
 3 2 2 2 2 2 20 F 2
n,l,n ',l '4 2 2 2 2
n,l,n ',l 's x y
n e F n l
A I exp
32 m v 2m L L
     
    
  ,           (14) 
1 1 1
2 2 2
7/2
1 N N N
(4,9/2; ) (3,7/2; ) (2,5/2; )
2m 2m 2m
7/2
2 N N N
(4,9/2; ) (3,7/2; ) (2,5/2; )
2m 2m 2m
C 4N 12 24
4N 12 24 ,
  
  
    
    
                           (15) 
TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ 20/2017   71 
2 2 2 2
2 2 2 2
1 2 2 2
x y
2m
N (n n ) (l l )
2mL 2mL
  
 

,                    (16) 
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
x y
2m
N (n n ) (l l )
2mL 2mL
  
 

,                         (17) 
22 2 2 2 2 2
0
F2 2 2
n,lB x y
n e n l
D exp
4 m k T 2m 2m L L
  
      

 
,                         (18) 
zx a 1 b a 1
(a,b,z)
(a) 0
1
e x (1 ax) dx
  
  is the Hypergeometrix function. 
We obtain the expressions for the current density 0j
, and select:  E 0x
;  h 0y
: 
 0x 0xj AC D E ;   0y 0yj AC D E                 (19) 
 
2 2
c F F
0z 0z 2 2 2 2
F F
2 1
j AC D E AC D E
1 1
      
       
              (20) 
Equation (13) shows the dependent of the direct current density on the frequency  of 
the laser radiation field, the frequency  of the linearly polarized electromagnetic wave, the 
size of the wire. We also see the dependence of the constant current density on characteristic 
parameters for quantum wire such as: wave function; energy spectrum; form factor In,l,n’,l’ 
and potential barrier, that is the difference between the quantum wire, superlattices, quantum 
wells, and bulk semiconductors. 
3. NUMERICAL RESULTS AND DISCUSSION 
In this section, we will survey, plot and discuss the expressions for  0zj  for the case of a 
specific GaAs/GaAsAl quantum wire. The parameters used in the calculations are as follows 
[2-12]:  m  =  0,0665m0  (m0  is  the  mass  of  free  electron);  F   =  50meV;  F( )     10
-11s-1;
23 3
0n 10 m
 ; 3 35.3 10 kg / m ;  82.2 10 J  ; E = 106 V/m; E0 = 5.106V/m; F = 105N. 
Fig.1 shows the dependence of  0zj on the frequency  of the intense laser radiation. 
From these figure, we can see the nonlinear dependence of j0z on the frequency  of  the 
intense  laser  radiation,  when  the  frequency   of  the  intense  laser  radiation  increases  joz 
increases. 
72   TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ HÀ NỘI 
Fig.1. The dependence of jz on the frequency  of 
 the laser radiation with different values of T 
Fig.2. The dependence of jz on the frequency  of 
the electromagnetic wave with different values of T 
Fig.2 shows  the dependence of  0zj on  the frequency  of  the electromagnetic wave. 
From these figure, we can see the nonlinear dependence of  j0z on the frequency  of  the 
electromagnetic  wave,  when  the  frequency    of  the  electromagnetic  wave  increases  joz 
decreases and j0z will have a stable value when  có giá trị cỡ 1013 . 
Fig.3 shows the dependence of j0z on the size of the wire. From this figure, when radius 
increase joz increases, when Lx, Ly continue to increase then j0z will have a stable value. 
j0z 
j0z 
TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ 20/2017   73 
4. CONCLUSION 
In  this  paper,  we  have  studied  the  photostimulated  quantum  effect  in  rectangular 
quantum wire with a infinite potential for the case of electron – acoustic phonon scattering. 
In  this  case,  one  dimensional  electron  systems  is  placed  in  a  linearly  polarized 
electromagnetic wave, a dc electric field and a laser radiation field at high frequency. We 
obtain  the  expressions  for  current  density  vector  0j
,  in  which,  plot  and  discuss  the 
expressions for  0zj . The expressions of  0zj  show the dependence of  0zj  on the frequency  
of the linearly polarized electromagnetic wave, on the size of the wire, the frequency  of 
the    intense  laser  radiation;  and  on  the  basic  elements  of  quantum  wire  with  a  infinite 
potential. The analytical results are numerically evaluated and plotted for a specific quantum 
wire GaAs/AlGaAs.  
Acknowledgment:  This  work  was  completed  with  financial  support  from  project 
B2016.DNA.25, thanks also basic research program of the Hanoi Metropolitan University. 
REFERENCES 
1. G.M.Shmelev,  G.I.Tsurkan  and  É.M.Épshtein  (1982),  “Photostumilated  radioelectrical 
transverse effect in semiconductors”, Phys. Stat. Sol. B, Vol. 109, p.53. 
2. B.D.Hung, N.V.Nhan, L.V.Tung,  and N.Q.Bau  (2012),  “Photostimulated quantum effects  in 
quantum wells with a parabolic potential”, Proc. Natl. Conf. Theor. Phys, Vol 37, p.168.  
  Fig. 3. The dependence of on the size of the wire 
j0z 
74   TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ HÀ NỘI 
3. S.V.Kryuchkov, E.I.Kukhar’ and E.S.Sivashova (2008), “Radioelectric effect in a superlattice 
under the action of an elliptically polarized electromagnetic wave”, Physics of the Solid State, 
Vol 50, No. 6, p.1150. 
4. A.Grinberg and Luryi (1988), “Theory of the photon - drag effect in a two-dimensional electron 
gas”, Phys. Rev. B 38, p.87. 
5. N.Q.Bau and B.D.Hoi (2012), “Influence of a strong electromagnetic wave (Laser radiation) on 
the Hall effect in quantum well with a parabolic potential”, J. Korean Phys. Soc, Vol.60, p.59. 
6. V.L.Malevich Izv (1977), “High-frequency conductivity of semiconductors in a laser radiation 
field”, Radiophysics and quantum electronics, Vol. 20, Issue 1, p.98. 
7. M.F.Kimmitt, C.R.Pidgeon, D.A.Jaroszynski, R.J.Bakker, A.F.G.Van Der Meer, and D.Oepts 
(1992), “Infrared free electron laser measurement of the photon darg effect in P-Silicon”, Int. J. 
Infrared Millimeter Waves, Vol 13, No 8, p.1065. 
8. S.D.Ganichev, H.Ketterl, and W.Prettl (1999), “Spin-dependent terahertz nonlinearities at inter-
valance-band absorption in p-Ge”, Physica B 272, p.464. 
9. G.M.Shmelev,  L.A.Chaikovskii  and  N.Q.Bau  (1978),  “HF  conduction  in  semiconductors 
superlattices”, Sov. Phys. Tech. Semicond, Vol 12, No. 10, p.1932. 
10. N.Q.Bau,  D.M.Hung  and  L.T.Hung  (2010),  “The  influences  of  confined  phonons  on  the 
nonlinear  absorption  coefficient  of  a  strong  electromagnetic  wave  by  confined  electrons  in 
doping superlattices”, PIER Letters, Vol. 15, p.175. 
11. N.Q.Bau  and  D.M.Hung,  “Calculating  of  the  nonlinear  absorption  coefficient  of  a  strong 
electromagnetic wave by confined electrons in doping superlattices”, PIER B 25 (2010) 39. 
12. N.Q.Bau, D.M.Hung and N.B.Ngoc (2009), “The nonlinear absorption coefficient of a strong 
electromagnetic wave caused by confined electrons in quantum wells”, J. Korean Phys. Soc 54, 
p.765. 
HIỆU ỨNG KÍCH THÍCH QUANG LƯỢNG TỬ TRONG DÂY 
LƯỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT VỚI HỐ THẾ CAO VÔ HẠN 
TRONG TRƯỜNG HỢP TÁN XẠ ELECTRON – PHONON ÂM 
Tóm tắt: Thu được biểu thức giải tích cho mật độ dòng điện trên cơ sở phương trình động 
lượng tử cho các eletrons dưới ảnh hưởng của các trường sóng điện từ phân cực thẳng, 
điện trường không đổi và laze cường độ mạnh trong dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế 
cao vô hạn trong trường hợp tán xạ electron-phonon âm. Mật độ dòng điện là một hàm số 
phụ thuộc vào tần số của laze, tần số của sóng điện từ phân cực thẳng, nhiệt độ hệ và kích 
thước của dây lượng tử. Biểu thức giải tích của mật độ dòng được đánh giá số và vẽ đồ thị 
cho dây lượng tử đặcbiệt GaAs/AlGaAs. Các kết quả nhận được trong dây lượng tử được 
so sánh với các kết quả tương ứng trong bán dẫn khối và siêu mạng cho thấy sự khác biệt. 
Từ khóa: Bán dẫn, hố lượng tử, dây lượng tử, siêu mạng, chấm lượng tử.