Sự hội tụ của hệ tựa gradient chứa số hạng giảm xóc

Năm học 2015 - 2016 
35 
SỰ HỘI TỤ CỦA HỆ TỰA GRADIENT CHỨA SỐ HẠNG GIẢM XÓC 
 Bùi Nhựt Minh 
 (Sinh viên năm 4, Khoa Toán – Tin học) 
 GVHD: TS Nguyễn Thành Nhân 
TÓM TẮT 
Bài viết khảo sát dáng điệu tiệm cận của nghiệm bị chặn của phương trình 
trong đó, g là một metric Riemann, với một số điều kiện khác nhau của hàm . 
Thêm vào đó, bài viết bàn về những hướng mở rộng của các kết quả và những vấn đề liên 
quan. 
1. Giới thiệu 
Trong [1], các tác giả đã trình bày về việc khảo sát dáng điệu tiệm cận (tức là 
khảo sát giới hạn tại vô cực) của nghiệm bị chặn của phương trình 
trong đó g là một metric Riemann trên không gian Hilbert . Xuất phát từ bài 
toán này, bài viết trình bày về việc khảo sát dạng điệu tiệm cận của nghiệm bị chặn của 
phương trình 
với các điều kiện khác nhau của lượng “nhiễu nhỏ” . Sự mở rộng này là cần 
thiết, vì (1) “quá lí tưởng” để có thể bắt gặp thường xuyên. Hình thức mở rộng tương tự 
có thể được tìm thấy trong [4,5,6] đối với hệ gradient bậc nhất và bậc 2. 
2. Một số định nghĩa và kí hiệu 
Trong suốt bài viết này, ta giả sử là không gian Hilbert thực, với tích vô hướng 
 và chuẩn tương ứng . Ngoài ra, ta kí hiệu là tập tất cả các tích vô 
hướng trên . Cuối cùng, ta quy ước và . 
Metric Riemann và gradient ứng với metric Riemann 
Ta kí hiệu là không gian các dạng song tuyến tính bị chặn trên , tức 
là các ánh xạ song tuyến tính sao cho có một số thỏa mãn 
Ta có thể dễ dàng kiểm tra được rằng là không gian vectơ trên với 
phép toán cộng hai ánh xạ và phép toán nhân vô hướng một số thực với ánh xạ thông 
thường. Hơn nữa, là không gian Banach với chuẩn 
Kỉ yếu Hội nghị sinh viên NCKH 
36 
trong đó, . Do định nghĩa của tích vô hướng và bất đẳng 
thức Cauchy-Schwarz, ta suy ra ; do đó, ta có thể bàn về sự hội tụ 
trên . Một metric Riemann trên là một ánh xạ liên tục . Với 
mỗi , để thuận tiện về mặt kí hiệu, ta viết thay cho . 
Cho là một ánh xạ khả vi Fréchet và cho g là một metric Riemann 
trên . Ta kí hiệu 
Cho , không khó để kiểm tra được rằng phần tử nói trên là duy 
nhất; do đó, ta có thể kí hiệu . Ngoài ra, ta gọi là gradient của 
ứng với metric g. Ta có nhận xét đơn giản sau 
trong đó, là gradient Fréchet của trên . 
Tập - giới hạn của một ánh xạ liên tục trên 
Cho là một không gian metric và cho là một ánh xạ liên tục. 
Tập 
được gọi là tập -giới hạn của ánh xạ u. 
3. Sự hội tụ của hệ gradient 
Trong mục này, ta giả sử là một ánh xạ khả vi Fréchet, hàm 
 và g là một metric Riemann trên . Mục tiêu của ta trong mục này là 
nghiên cứu sự hội tụ của phương trình 
với một trong hai điều kiện sau của hàm : 
(i) Điều kiện thứ nhất 
(ii) Điều kiện thứ hai 
Cho tới thời điểm hiện tại, tác giả vẫn chưa tìm được mối liên hệ giữa các điều 
kiện (4) và (5). Tuy nhiên, do nên ta có thể dự đoán rằng không có 
Năm học 2015 - 2016 
37 
điều kiện nào là hệ quả của điều kiện còn lại. Ngoài ra, sự khác nhau giữa hai điều kiện 
này dẫn tới sự khác biệt đôi chút trong chứng minh mà người đọc có thể dễ dàng nhận 
ra. 
Cho . Ta nói u là nghiệm của phương trình (3) nếu , 
với mọi t thì và phương trình (3) được thỏa. Từ giờ về sau, nếu không 
nói gì thêm, ta hiểu là nghiệm của phương trình (3). 
Trước khi vào kết quả chính, ta nhắc lại một khái niệm về bất đẳng thức gradient 
được trình bày trong [4, Definition 2.2]. 
Định nghĩa 3.1. Cho và . Khi đó, ta nói thỏa mãn bất đẳng 
thức gradient lớp gần nếu có hàm và thỏa mãn các điều kiện 
sau: 
(i) và ; 
(ii) . 
3.1. Sự hội tụ với điều kiện (4) 
Kết quả chính trong mục này của ta được phát biểu như sau 
Định lí 3.2. Giả sử: 
(i) và thỏa (4); 
(ii) Tập compact tương đối trong ; 
(iii) Có các hằng số dương a,b sao cho 
; 
(iv) Có sao cho thỏa bất đẳng thức gradient lớp gần (với các dữ 
kiện như trong Định nghĩa 3.1). 
Khi đó 
Chứng minh. 
Xét 
Ta có với hầu hết , 
Kỉ yếu Hội nghị sinh viên NCKH 
38 
Ngoài ra, ta có 
Tiếp theo, ta định nghĩa 
Cố định sao cho và đặt 
Do tính liên tục của u, ta suy ra . Với hầu hết , ta có 
và do (9), ta được 
kết hợp với (8), ta suy ra 
Năm học 2015 - 2016 
39 
Từ đó và (9), với hầu hết , ta có 
Từ đây, ta có thể chứng tỏ 
Nhận xét 3.3. Thực ra giả thiết có số sao cho 
 có thể bỏ được. Vì trong chứng minh, ta chỉ cần 
sử dụng 
tuy nhiên, điều này có thể được suy ra từ tính liên tục của metric g và tính tiền compact 
của tập bằng cách áp dụng nguyên lí bị chặn đều. 
3.2. Sự hội tụ với điều kiện (5) 
Định lí 3.4. Giả sử các điều kiện (ii)&(iii)&(iv) của Định lí 3.2 được thỏa. Ngoài 
ra, ta giả sử và thỏa (5). Khi đó, 
Chứng minh. Dễ thấy rằng hàm cho bởi 
Kỉ yếu Hội nghị sinh viên NCKH 
40 
xác định đúng. Hơn nữa, do u là nghiệm của phương trình (3) nên với hầu hết t thì 
Tiếp theo, ta định nghĩa 
Cố định sao cho và đặt 
Do tính liên tục của u, ta suy ra . Với hầu hết , ta có 
thêm vào đó, theo giả thiết về hàm và (9), ta được 
trong đó . Tổng hợp lại, ta có 
Năm học 2015 - 2016 
41 
và do đó 
Từ đây, ta có thể chứng tỏ 
Nhận xét 3.5. So với chứng minh của Định lí 3.2, ta thấy chứng minh của định lí 
trên không cần sử dụng giả thiết có số b dương sao cho 
4. Kết luận 
Bài viết đã trình bày việc khảo sát dáng điệu tiệm cận của nghiệm bị chặn của 
phương trình 
với hàm điều kiện khác nhau của hàm . Tuy nhiên, vấn đề còn sót lại là mối liên hệ 
giữa hai điều kiện đã trình bày trong bài viết. Liệu rằng hai điều kiện này là độc lập với 
nhau, hay có một điều kiện là hệ quả của điều kiện còn lại? Câu hỏi này xin để lại cho 
bạn đọc và những thế hệ sinh viên sau của khoa Toán-Tin. 
Dựa vào [2, Theorem 1], các kết quả trong bài viết có thể dùng để khảo sát hệ 
với hàm thỏa một số điều kiện nhất định. Đây chính là mở rộng của kết quả có trong 
[3]. Ngoài ra, tác giả tin rằng, bằng phương pháp nghiên cứu và lí luận như đã làm 
trong bài viết, ta cũng có thể mở rộng kết qua cho hệ 
(được khảo sát trong [6]) thành kết quả cho hệ 
trong đó, g là một metric Riemann trên không gian Hilbert đang xét. 
Kỉ yếu Hội nghị sinh viên NCKH 
42 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Ralph Chill, Eva Faˇsangova (2010), Gradient Systems, 13th International Internet 
Seminar, June 7. 
2. Tomaˇs Barta, Ralph Chill, Eva Faˇsangova (2012), “Every ordinary differential 
equation with a strict Lyapunov function is a gradient system”, Monatsh Math, 
166:57-72. 
3. Ralph Chill, Alain Haraux, and Mohamed Ali Jendoubi (2009), “Applications of 
the Lojasiewicz-Simon gradient inequality to gradient-like evolution equations”, 
Anal. Appl. (Singap.), 7(4): 351-372. 
4. Sen-Zhong Huang (2006), Gradient Inequalities with Applications to Asymptotic 
Behavior and Stability of Gradient-like Systems, American Mathematical Society. 
5. H. Attouch, X. Goudou, P. Redont (2000), "The heavy ball with friction method", 
I. The continuous dynamical system: Global exploration of the local minima of a 
real-valued function by asymptotic analysis of a dissipative dynamical system”, 
Commun Contemp Math.02, 1. DOI: 
6. Mohamed Ali Jendoubi, Ramzi May (2014), “Asymptotics for a second-order 
differential equation with nonautonomous damping and an integrable source term”, 
Applicable Analysis, DOI: