Sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng bài tập áp dụng đại số tổ hợp trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6

1 
MỤC LỤC 
Tên đề mục Trang 
MỤC LỤC 1 
PHỤ LỤC: CÁC TỪ VIẾT TẮT TRONG ĐỀ TÀI 2 
PHẦN THỨ NHẤT: ĐẶT VẤN ĐỀ 4 
PHẦN THỨ HAI: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 4 
1. Những nội dung lí luận liên quan 4 
2. Thực trạng vấn đề 4 
3. Các biện pháp tiến hành 5 
3.1. Nghiên cứu, phân loại các dạng bài tập sao cho phù hợp với từng 
đối tượng học sinh và từng phần kiến thức cụ thể. 
5 
3.1a. Quy tắc nhân, quy tắc cộng, chỉnh hợp lặp 5 
3.1b. Chỉnh hợp 6 
3.1c. Hoán vị 7 
3.1d. Tổ hợp 9 
3.1e. Một số dạng bài tập 10 
3.2.Thực hiện giảng dạy theo phương pháp mới là hướng người học 
làm trung tâm. 
32 
3.3. Thường xuyên động viên, khuyến khích học sinh trong quá trình 
giảng dạy trên lớp để các em thêm tự tin, hứng thú học tập. 
32 
4. Kết quả thực hiện 33 
Phần thứ ba: Kết luận, kiến nghị 34 
Tài liệu tham khảo 35 
2 
PHỤ LỤC: CÁC TỪ VIẾT TẮT TRONG ĐỀ TÀI 
1) THCS: trung học cơ sở 
2) THPT: trung học phổ thông 
3) SKKN: sáng kiến kinh nghiệm 
3 
PHẦN THỨ NHẤT 
ĐẶT VẤN ĐỀ 
Căn cứ vào thực tế dạy và học hệ thống bài tập về đại số tổ hợp (chỉnh hợp, 
hoán vị, tổ hợp,... tôi thấy hệ thống bài tập SGK, SBT do Bộ giáo dục – Đào tạo ấn 
hành còn đơn điệu, chưa sâu, chưa đáp ứng đủ yêu cầu của dạng toán này. Bởi trên 
thực tế bài tập về đại số tổ hợp rất đa dạng, phong phú (chỉnh hợp, hoán vị, tổ hợp) 
và là một loại toán khó của Đại số THCS. Khi dạy phần này, nhất là đối với học 
sinh khá, giỏi đòi hỏi giáo viên phải tự biên soạn, sưu tầm, lựa chọn các dạng bài 
tập, các ví dụ ...Vì thế mà nội dung giảng dạy chưa có hệ thống, chưa chuyên sâu. 
Là giáo viên chúng ta luôn mong muốn cung cấp cho học sinh “chiếc chìa khóa” để 
giải từng dạng bài tập. 
 Chính vì nhìn thấy tầm quan trọng của việc khải thác có hệ thống các đơn vị 
kiến thức theo dạng bài tập cơ bản liên quan và được sự hướng dẫn, giúp đỡ tận 
tình của tập thể giáo viên dạy bộ môn Toán trong nhà trường, tôi mạnh dạn đi sâu 
suy nghĩ khai thác và đúc kết thành sáng kiến kinh nghiệm “Một số dạng bài tập 
áp dụng đại số tổ hợp trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6” trong dạy 
học. 
PHẦN THỨ HAI 
GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 
1. Những nội dung lý luận liên quan 
1.1.Cơ sở lý luận: 
Muốn đổi mới phương pháp dạy học phù hợp với mục tiêu của chương trình 
cải cách và nội dung SGK mới thì giáo viên trước hết phải dạy cho học sinh những 
tri thức, phương pháp để học sinh biết cách học, biết cách đọc tài liệu, biết cách suy 
luận, biết cách tìm lại những cái đã quên và phát hiện kiến thức mới. Bên cạnh đó 
đòi hỏi học sinh phải cố gắng, có trí tuệ và nghị lực cao trong quá trình nghiên cứu 
kiến thức mới. Muốn dạy cho học sinh nắm được những tri thức về phương pháp 
học tập thì người giáo viên phải thường xuyên suy nghĩ dạy một vấn đề, một đơn vị 
kiến thức đặt ra trước mắt theo cách nào, theo hướng nào, để học sinh hiểu và vận 
dụng hiệu quả cao hơn. 
4 
1.2. Cơ sở thực tiễn: 
Trong chương trình toán THCS và THPT thì đại số tổ hợp vẫn luôn là một đề 
tài hay và khó đối với học sinh . Các bài toán về đại số tổ hợp thường xuyên có mặt 
tại các kì thi. Đặc biệt là trong các kỳ thi học sinh giỏi các khối lớp ở THCS. Đây là 
một dạng bài tập tương đối khó và chỉ áp dụng vào đối tượng học sinh khá, giỏi. Vì 
vậy, qua quá trình bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi tôi đã tích luỹ được một số 
kinh nghiệm với mong muốn giúp các em học sinh khá, giỏi, đặc biệt là học sinh 
lớp 6 làm quen với dạng toán này, bước đầu hình thành cho mình một số vấn đề cơ 
bản và một số dạng bài tập áp dụng đại số tổ hợp. 
2. Thực trạng vấn đề 
Trong chương trình bộ môn toán cấp THCS nhiều bài tập, đặc biệt là các bài 
thi đối với học sinh giỏi có liên quan rất nhiều đến đại số tổ hợp, nhưng thời lượng 
chương trình dành cho học sinh vận dụng không nhiều. Các dạng toán áp dụng đại 
số tổ hợp tương đối trừu tượng, khó nên học sinh ngại học, ngại nghiên cứu các 
dạng toán này. Ngoài ra tài liệu chuyên sâu về việc áp dụng đại số tổ hợp trong giải 
toán chưa nhiều, còn rất thiếu và chưa có hệ thống. Vì vậy muốn học sinh đọc hiểu 
và có khả năng vận dụng kiến thức vào giải các bài tập liên quan nên tôi đã mạnh 
dạn thực hiện sưu tầm, lựa chọn một số dạng bài tập áp dụng về đại số tổ hợp và 
tiến hành nghiên cứu trong đề tài: “Một số dạng bài tập áp dụng đại số tổ hợp 
trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6” giúp cho việc dạy và học, bồi 
dưỡng học sinh khá, giỏi đạt kết quả cao. 
3. Các biện pháp tiến hành 
 3.1. Nghiên cứu, phân loại các dạng bài tập sao cho phù hợp với từng đối 
tượng học sinh và từng phần kiến thức cụ thể. 
 3.1.a. Quy tắc nhân, quy tắc cộng, chỉnh hợp lặp: 
3.1.a1. Quy tắc nhân: 
 Giả sử một hành động H được tiến hành gồm k giai đoạn liên tiếp. Ở giai 
đoạn 1 có m1 cách chọn, ở giai đoạn 2 có m2 cách chọn,..., ở giai đoạn k có mk cách 
chọn (với );...;; *21 Nmmm k . Khi đó có tất cả: m1m2...mk cách chọn để thực hiện 
hành động H. 
5 
Ví dụ: Khi đi từ A đến B phải qua C, biết rằng từ A đến C có 3 đường đi và từ C 
đến B có 2 đường đi. Như vậy có 3.2 = 6 đường đi từ A đến B 
 3.1.a2. Quy tắc cộng: 
 Một hành động H được tiến hành gồm k hành động H1, H2, ...,Hk độc lập 
nhau và mỗi hành động Hi có mi cách chọn. Khi đó hành động H sẽ có m1 + m2 + 
m3 + ....+mk cách chọn. 
Ví dụ: Khi đi từ A đến B phải qua C và D. Biết rằng từ A đến C có 3 đường đi, từ C 
đến B có 2 đường đi, từ A đến D có hai đường đi và từ D đến B có 4 đường đi. Hỏi 
có bao nhiêu đường đi từ A đến B, biết rằng giữa C và D không có đường đi. 
 Bài giải: 
Từ A đến B qua C có: 3.2 = 6 đường đi 
Từ A đến B qua D có : 2.4 = 8 đường đi 
Vậy từ A đến B có tất cả: 6 + 8 = 14 
đường đi 
 3.1.a3. Chỉnh hợp lặp: 
 a) Định nghĩa: cho tập hợp X gồm n phần từ. Một dãy có độ dài m các phần 
tử của X, trong đó mỗi phần tử có thể lặp lại nhiều lần, sắp xếp theo một thứ tự 
nhất định được gọi là một chỉnh hợp lặp chập m của n phần tử. 
 Kí hiệu chỉnh hợp lặp chập m của n phần tử là Fn
m 
Ví dụ: các dãy: (a, a, d); (b, d, d);  ... o thẳng hàng thì có 4950 đường thẳng. Vì có 
ba điểm thẳng hàng nên số đường thẳng giảm đi: 3 – 1 = 2 (nếu ba điểm không 
thẳng hàng thì vẽ được 3 đường thẳng, nếu ba điểm thẳng hàng thì chỉ vẽ được 1 
đường thẳng). Vậy có tất cả: 4950 = 2 = 4948 đường thẳng. 
Bài toán 2: Trên mặt phẳng có bốn đường thẳng. Số giao điểm của các đường thẳng 
có thể bằng bao nhiêu? 
 Bài giải: 
 Ta xét các trường hợp sau: 
25 
 Trường hợp 1: Bốn đường thẳng đồng quy: có 1 giao điểm (H.1a) 
 Trường hợp 2: Có đúng ba đường thẳng đồng quy: 
Có hai đường thẳng song song: 3 giao điểm (H.1b) 
Không có hai đường thẳng nào song song: 4 giao điểm (H.1c) 
 Trường hợp 3: Không có ba đường thẳng nào đồng quy: 
Bốn đường thẳng song song: 0 giao điểm ( H.2a) 
Có đúng ba đường thẳng song song: 3 giao điểm (H.2b) 
Có hai cặp đường thẳng song song: 4 giao điểm (H.2c) 
Có đúng một cặp đường thẳng song song: 5 giao điểm (H.2d,e) 
Không có hai đường thẳng nào song song: 6 giao điểm (H.2g) 
Bài toán 3: Cho n điểm (n ≥ 2). Nối từng cặp hai điểm trong n điểm đó thành các 
đoạn thẳng. 
26 
 a) Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng nếu trong n điểm đó không có ba điểm nào 
thẳng hàng? 
 b) Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng nếu trong n điểm đó có đúng ba điểm đó 
thẳng hàng 
 c) Tính n biết rằng có tất cả 1770 đoạn thẳng? 
 Bài giải: 
 a) Chọn một điểm. Nối điểm đó với từng điểm trong n – 1 điểm còn lại, ta vẽ 
được n – 1 đoạn thẳng. Làm như vậy với n điểm, ta được n(n – 1) đoạn thẳng. Như 
mỗi đoạn thẳng đã được tính hai lần, do đó tất cả chỉ có n ( n – 1) : 2 đoạn thẳng. 
 b) Tuy trong hình vẽ có ba điểm thẳng hàng, như số đoạn thẳng phải đếm 
vẫn không thay đổi, do đó vẫn có n.(n – 1):2 đoạn thẳng. 
 c) Ta có: n.(n – 1) : 2 = 1770. Suy ra: n = 60. 
Bài tập tự luyện: 
Bài 1: Cho 10 điểm trên mặt phẳng, không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai 
điểm, ta kẻ một đường thẳng. Có tất cả bao nhiêu đường thẳng? 
Bài 2: Có n điểm trên mặt phẳng. Kẻ các đoạn thẳng nối hai trong n điểm ấy. Có tất 
cả 91 đoạn thẳng. Tính số n. 
Bài 3: Vẽ n tia chung gốc. Có bao nhiêu góc trên hình vẽ? 
Bài 4: Cho n tia chung gốc tạo thành tất cả 153 góc. Tính n 
Bài 5: Có bao nhiêu cách gọi tên hình vuông ABCD? 
Bài 6: Cho hình vuông kích thước 4x4. Trên hình vẽ: 
 a) Có bao nhiêu hình chữ nhật (kể cả hình vuông). 
 b) Có bao nhiêu hình vuông. 
Bài 7: Có 12 điểm trên mặt phẳng trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Hai 
điểm bất kì nào cũng được nối với nhau bởi một đoạn thẳng. Có bao nhiêu tam giác 
có đỉnh là 3 trong 12 điểm nói trên? 
Bài 8: Cho góc xAy (khác góc bẹt). Trên tia Ax lấy 6 điểm khác A, trên tia Ay lấy 
5 điểm khác A. Trong 12 điểm nói trên kể cả điểm A hai điểm nào cũng được nối 
27 
với nhau thành một đoạn thẳng. Có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh là 3 trong 12 
điểm ấy. 
Bài 9: Cho 100 điểm trong đó có đúng bốn điểm thẳng hàng, ngoài ra không có ba 
điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta vẽ một đường thẳng. Hỏi có tất cả bao 
nhiêu đường thẳng. 
Bài 10: Cho n điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta 
vẽ một đường thẳng. Biết rằng có tất cả 105 đường thẳng. Tính n. 
Gợi ý + đáp số: 
Bài 1: có 10.9:2 = 45 (đường thẳng). 
Bài 2: Ta có: n(n-1): 2 = 91 nên n(n – 1) = 91.2= 182 
 Mà 182 = 2.7.13 = 13.14 
 Vậy n = 14 
Bài 3: Có n ( n – 1): 2 góc 
Bài 4: Ta có: n(n – 1):2 = 153. Từ đó tìm được n = 18 
Bài 5: Có 4 cách gọi tên đỉnh đầu tiên. 
 Với mỗi cách trên, có hai cách gọi tên ba đỉnh còn lại (chẳng hạn nếu A là 
đỉnh đầu tiên thì có hai cách gọi tên ba đỉnh còn lại là BCD hoặc DCB. 
 Vậy có tất cả: 4.2 = 8 cách. 
Bài 6: a) Có 100 hình chữ nhất 
 b) Hình vuông cạnh 1 có 16 hình, cạnh 2 có 9 hình, cạnh 3 có 4 hình, cạnh 4 
có 1 hình. 
 Vậy tất cả có: 30 hình. 
Bài 7: Số tam giác là: 12.11.10 : 3! = 220. 
Bài 8: Số cách chọn 3 trong 12 điểm là: 12.11.10 : 3! = 220. Số bộ 3 điểm thẳng 
hàng trong 7 điểm thuộc tia Ax là: 7.6.5 : 3! = 35. Số bộ 3 điểm thẳng hàng trong 6 
điểm thuộc tia Ay là: 6.5.4 : 3! = 20. 
 Vậy có tất cả: 220 – 35 – 20 = 165 tam giác. 
Bài 9: có 4945 đường thẳng. 
28 
Bài 10: Ta có: n.(n – 1) : 2 = 105 suy ra n = 15. 
3.1.e3. Áp dụng đại số tổ hợp giải các bài toán có nội dung thực tế: 
Bài toán 1: Có một số con mèo chui vào chuồng bồ câu. Người ta đếm trong 
chuồng bồ câu thấy tổng cộng có 34 cái đầu và 80 cái chân. Tính số mèo. 
 Bài giải: 
 Giả sử mỗi con mèo vào chuồng đều dấu đi 2 chân 
 Khi đó có: 34 . 2 = 68 chân 
 Số chân mèo bị dấu đi là 80 – 68 = 12 chân 
 Số mèo có là: 12 : 2 = 6 con 
Bài toán 2: Một ô tô có 8 chỗ kể cả chỗ của người lái xe. Có bao nhiêu cách xếp 
chỗ 8 người trên xe, biết rằng trong đó có hai người biết lái xe. 
 Bài giải: 
 Ở chỗ người lái xe, có 2 cách xếp 
 Ở 7 chỗ còn lại có 7! = 5040 cách xếp 
 Do đó có 2.5040 = 10080 cách xếp 
Bài toán 3: Có hai cặp bạn ngồi trên một ghế băng có bốn chỗ để chụp ảnh. Có bao 
nhiêu cách sắp xếp sao cho hai người cùng cặp phải ngồi cạnh nhau. 
 Bài giải: 
 Có 4 cách xếp vị trí số 1 
 Ứng với mỗi cách, có 1 cách xếp ở vị trí số 2 
 Ứng với mỗi cách, có 2 cách xếp ở vị trí số 3. 
 Ứng với mỗi cách, có 1 cách xếp ở vị trí số 4. 
 Vậy có tất cả: 4.1.2.1 = 8 cách xếp 
Bài toán 4: Có bao nhiêu cách sắp xếp năm bạn A, B, C, D, E ngồi trên một ghế dài 
sao cho A và B phải ngồi cạnh nhau? 
 Bài giải: 
29 
Cách 1: Bốn cặp vị trí mà hai bạn A và B ngồi cạnh nhau là (1; 2); (2, 3); (3, 4); 
(4,5) 
 Ứng với mỗi cặp vị trí đó, có 2 cách xếp A và B, có 3! Cách xếp ba bạn còn 
lại, nên có 2.3! = 12 cách xếp. 
 Vậy có tất cả: 4.12 = 48 cách xếp năm người mà A và B ngồi cạnh nhau. 
Cách 2: Không xét A và B thì ba người còn lại có 3! Cách xếp chỗ trên ghế dài 
 Khi A và B ngồi vào ghế và ngồi cạnh nhau, họ ngồi vào một trong bốn chỗ 
trống (mỗi chỗ trống ghi bởi một mũi tên ở hình vẽ dưới đây) mỗi chỗ trống có 2 
cách xếp A và B 
 Vậy tất cả có: 3!.4.2 = 48 cách xếp 
Bài toán 5: Có bao nhiêu cách sắp xếp năm bạn A, B, C, D, E ngồi chung quanh 
một bàn tròn sao cho A và B phải ngồi cạnh nhau? 
 Bài giải: 
 Không xét A và B thì ba người còn lại có 2! Cách xếp chỗ quanh bàn tròn. 
 Khi A và B ngồi vào bàn cạnh nhau, họ ngồi vào một trong ba chỗ trống. 
Mỗi chỗ trống có 2 cách xếp A và B 
 Vậy có tất cả: 2.3.2 = 12 cách xếp 
Bài toán 6: Một nhóm 5 bạn gồm ba nam và hai nữ xếp thành một hàng ngang để 
chụp ảnh, sao cho hai bạn nữ không đứng cạnh nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp 
xếp? 
 Bài giải: 
30 
Cách 1: Số cách xếp năm bạn thành hàng ngang là 5! = 120 cách 
 Ta xét xem có bao nhiêu cách sắp xếp năm bạn mà hai bạn nữ đứng cạnh 
nhau. 
 Có bốn cập vị trí mà hai bạn nữ đứng cạnh nhau 
Ứng với mỗi vị trí đó, có 2 cách xếp hai bạn, có 3! Cách xếp ba bạn còn lại 
nên có: 
 2.3! = 12 cách xếp 
 Vậy có 4.12 = 48 cách xếp 
 Do đó số cách xếp năm bạn mà hai bạn nữ không đứng cạnh nhau là: 
 120 – 48 = 72 cách xếp. 
Cách 2: Có 6 cặp vị trí mà hai bạn nữ không đứng cạnh nhau là (1,3); (1,4); (1, 5); 
(2, 4); (2, 5); (3; 5). 
 Trong mỗi cặp vị trí đó, có 2 cách xếp hai bạn nữ, có 3! Cách xếp ba bạn 
nam nên có: 
 2.3! = 12 cách xếp 
 Vậy số cách xếp năm bạn mà hai bạn nữ không đứng cạnh nhau là: 
 6.12 = 72 cách xếp. 
Bài toán 7: Bạn Thúy có 6 tấm ảnh khác nhau. Thúy muốn chọn ba tấm ảnh đem 
tặng bạn. Thúy có bao nhiêu cách chọn? 
 Bài giải: 
 Số cách chọn là số tổ hợp chập 3 của 6 phần tử 
 Vậy có tất cả: 6.5.4 : 3! = 20 cách chọn. 
Bài toán 8: Một tổ có 10 người. Có bao nhiêu cách lập nhóm ba người để làm 
nhiệm vụ trực nhật? 
 Bài giải: 
 Số cách lập nhóm là số tổ hợp chập 3 của 10 phần tử 
 Vậy có tất cả: 10.9.8 : 3! = 120 cách chọn 
31 
Bài toán 9: Một tổ học sinh có 5 nam, 3 nữ. Có bao nhiêu cách lập nhóm 5 người 
gồm 3 nam, 2 nữ? 
 Bài giải: 
 Số cách chọn 3 bạn nam trong 5 bạn nam là: 5.4.3 : 3! = 10 cách chọn 
 Số cách chọn 2 bạn nữ trong 3 bạn nữ là 3 
 Vậy có tất cả: 10.3 = 30 cách chọn. 
Bài toán 10: Tâm có 5 tờ tiền mệnh giá 2000 đồng và 4 tờ tiền mệnh giá 5000 
đồng. Tâm có bao nhiêu cách khác nhau để trả tiền bằng cách dùng một hoặc cả hai 
loại tiền trên? 
 Bài giải: 
 Tâm có 6 cách chọn tờ tiền mệnh giá 2000 đồng (chọn 0, 1, 2, 3, 4, 5 tờ), có 
5 cách chọn tờ tiền mệnh giá 5000 đồng nên có 6.5 = 30 cách chọn 
 Loại đi cách chọn 0 tờ tiền 2000 đồng và 0 tờ tiền 5000 đồng nên có tất cả 
 30 -1 = 29 cách chọn. 
Bài tập tự luyện: 
Bài 1: Có chín đội bóng tham dự một giải bóng đá, mỗi đội phải đấu hai trận với 
mỗi đội khác (ở sân nhà và ở sân khách). Có tất cả bao nhiêu trận đấu? 
Bài 2: Có hai viên bi đỏ giống nhau và 8 viên bi xanh giống nhau. Có bao nhiêu 
cách xếp thành một hàng gồm cả 10 viên bi ấy? 
Bài 3: Ở một bến cảng có 15 con tàu, mỗi con tàu có 3 cột buồm hoặc 5 cột buồm, 
tổng cộng có 68 cột buồm. Hỏi có bao nhiêu con tàu có 5 cột buồm? 
Bài 4: Đội tuyển của một trường tham dự một cuộc thi đấu được chia đều thành 6 
nhóm, mỗi học sinh dự thi đạt 8 điểm hoặc 10 điểm. Tổng số điểm của cả đội là 
160 điểm. Tính số học sinh đạt điểm 10? 
Bài 5: Có 64 bạn tham gia giải bóng bàn theo thể thức đấu loại trực tiếp. Những 
người được chọn ở mỗi vòng chia thành từng nhóm hai người, hai người trong 
nhóm đấu với nhau một trận để chọn lấy một người. Tìm số trận đấu ở: 
 a) Vòng 1 b) Vòng 5 
32 
Gợi ý + đáp án: 
Bài 1: có tất cả: 9.8 = 72 (trận đấu) 
Bài 2: Chỉ cần xem có bao nhiêu cách xếp 2 bi đỏ ở 10 vị trí, đó là tổ hợp chập 2 
của 10 phần tử. 
 (Đáp số: có 45 cách xếp). 
Bài 3: có 8 con tàu có 5 cột buồm 
Bài 4: Giải bằng phương pháp giả thiết tạm, tìm được số học sinh đạt điểm 10 là 8 
học sinh 
Bài 5: a)Vòng 1 có: 64 : 2 = 32 trận b)Vòng 5 có: 64 : 25 = 2 trận 
3.2.Thực hiện giảng dạy theo phương pháp mới là hướng người học làm trung 
tâm. 
Trong giảng dạy, tôi luôn đổi mới phương pháp, lấy học sinh làm trung tâm. 
Tôi luôn quan tâm đến việc làm như thế nào để phát huy ở học sinh tính tự giác tích 
cực sáng tạo, độc lập chủ động trong quá trình tìm tòi và chiếm lĩnh tri thức mới. 
Trong mỗi buổi ôn tập phải làm sao cho các em học sinh có cơ hội làm việc thật 
nhiều, tự tìm ra những dạng bài và tìm cách giải các dạng bài đó, nên giảm bớt vị 
trí công việc của người giáo viên trên lớp – giáo viên chỉ đóng vai trò như một 
người “trọng tài” chốt lại những kiến thức mà các em vừa khám phá ra, tránh tình 
trạng dạy học áp đặt “Thầy giảng còn trò chỉ biết lắng nghe và làm theo” sẽ làm 
cho các em thụ động trong quá trình tiếp thu bài, không khắc sâu được kiến thức 
cho học sinh. 
3.3. Thường xuyên động viên, khuyến khích học sinh trong quá trình giảng 
dạy trên lớp để các em thêm tự tin, hứng thú học tập. 
 Với mỗi bài giải đúng hoặc các em có cách giải hay, tìm ra dạng bài tập mới 
tôi thường khen và tặng điểm các em tự tin và tạo hứng thú trong buổi học. Với 
những học sinh còn chưa hiểu hoặc chưa tích cực tôi chú ý giảng kỹ hơn với riêng 
em và động viên để em cố gắng hơn. Với các nhóm hoàn thành tốt nhiệm vụ tôi 
luôn có phần quà nhỏ để khuyến khích các em trong các hoạt động tiếp theo. 
33 
4. Kết quả thực hiện 
 Việc vận dụng sáng kiến kinh nghiệm này đã mang lại nhiều hiệu quả 
trong việc giải các bài toán có liên quan và các bài toán thuộc dạng này. Phần đông 
các em đều có hứng thú giải các bài tập nếu như bài tập có phương pháp giải hoặc 
vận dụng các phương pháp giải của một loại toán khác và giải. 
 Đối với học sinh đại trà thì việc học của các em chỉ dừng lại ở phạm 
vi sách giáo khoa, sách bài tập chính khóa. Còn đối với dạng toán này thì các em 
học sinh khá, giỏi không những áp dụng được vào cấp học mà các em còn vận dụng 
vào toán THPT rất nhiều, phục vụ cho các cấp học cao hơn. 
 Kết quả: Qua thời gian tham gia giảng dạy và thử nghiệm sáng kiến 
kinh nghiệm của mình tôi đã đạt được một số kết quả nhất định. 
 Qua các lần khảo sát năm học 2014 – 2015 và học kì 2 năm học 2015- 
2016 có kết quả như sau: 
 Số H/S Giỏi Khá Trung Bình Yếu 
Lần 1 28 8 = 28,6% 10 = 35,7% 9 = 28,6 % 2 = 7,1% 
Lần 2 28 8 = 28,6 % 12 = 42,6% 7 = 25 % 1 = 3,6% 
Lần 3 28 10 = 35,7% 13 = 46,4% 5 = 17,6% 0 
34 
PHẦN THỨ BA 
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 
1. Kết luận: 
Là một giáo viên trẻ, kinh nghiệm giảng dạy chưa nhiều, tôi nhận thấy bản 
thân phải thường xuyên tìm hiểu, tích lũy kinh nghiệm qua thực tế giảng dạy là 
những bài toán hay, sáng tạo trong việc dạy và học nhằm phát huy tính tích cực , 
chủ động, yêu thích học toán của học sinh. Đặc biệt là sự vận dụng linh hoạt của 
học sinh trong đội tuyển học sinh giỏi các khối, lớp. Từ việc nghiên cứu lý luận và 
qua thực tiễn giảng dạy làm việc với học sinh khá, giỏi và học sinh đại trà tôi nhận 
thấy việc hệ thống các các dạng bài tập áp dụng về đại số tổ hợp rất hữu ích đối với 
cả người dạy và người học. Từ đó giúp giáo viên có được hệ thống phương pháp và 
giúp các em học sinh dễ dàng nghiên cứu học tập dạng toán này. 
2.Kiến nghị: 
Qua đề tài này tôi đã trình bày lượng kiến thức trong một phạm vi nhỏ nên 
có thể còn nhiều khiếm khuyết mong được các đồng nghiệp đóng góp ý kiến giúp 
tôi hoàn thiện đề tài, từ đó có thể áp dụng rộng rãi trong công tác bồi dưỡng học 
sinh giỏi môn Toán. 
Tôi xin trân trọng cảm ơn! 
35 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Vũ Hữu Bình: Nâng cao và phát triển Toán 7 – NXB Giáo dục Việt Nam 
2. Vũ Hữu Bình – Tôn Thân – Đỗ Quang Thiều: Toán bồi dưỡng học sinh lớp 6 
– NXB giáo dục Việt Nam 
3. Vũ Hữu Bình – Nguyễn Tam Sơn: Tài liệu chuyên Toán THCS Toán 6 – Số 
học – NXB Giáo dục Việt Nam. 
4. Vũ Hữu Bình – Đàm Hiếu Chiến: Tài liệu chuyên Toán THCS Toán 6 – hình 
học – NXB giáo dục Việt Nam. 
5. Vũ Hữu Bình – Đàm Hiếu Chiến: Tài liệu chuyên Toán THCS Toán 7 – đại 
số – NXB giáo dục Việt Nam. 
6. Nguyễn Vũ Thanh: chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS – Số học 
– NXB giáo dục Việt Nam. 
36 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI 
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
Một số dạng bài tập áp dụng đại số tổ 
hợp trong công tác bồi dưỡng học sinh 
giỏi Toán 6 
Lĩnh vực / Môn: Toán 
Cấp học : THCS 
Năm học 2015 – 2016