Sáng kiến kinh nghiệm Kinh nghiệm dạy dạng Toán rút gọn và các bài toán liên quan đến rút gọn trong ôn thi vào lớp 10

Kinh nghiệm dạy dạng Toán rút gọn và các bài toán liên quan đến rút gọn trong 
ôn thi vào lớp 10 ” 
1 | 2 3 
A. PHẦN MỞ ĐẦU 
I. Lý do chọn đề tài: 
 Nâng cao chất lượng giáo dục trong nhà trường THCS nơi tôi đang công tác 
là nhiệm vụ rất quan trọng và cũng là mục tiêu phấn đấu của mỗi giáo viên .Đặc 
biệt là vấn đề chất lượng giáo dục đối với học sinh lớp 9 .Bởi vì đây là lớp cuối 
cấp , quyết định kết quả thi tuyển vào lớp 10 THPT, đánh dấu một bước ngoặt 
chuyển tiếp quan trọng trên con đường học tập của học sinh . 
 Là một giáo viên đang giảng dạy môn Toán 9 . Tôi luôn trăn trở một điều 
làm thế nào để nâng cao chất lượng bộ môn .Muốn vậy tôi cho rằng giáo viên 
cần nâng cao chất lượng ngay từng giờ lên lớp , chú trọng đến việc đổi mới 
phương pháp dạy học , tích cực kiểm tra và theo dõi sát sao việc học tập của học 
sinh . Từ đó người Thầy uốn nắn , giải đáp vướng mắc cho các em và điều chỉnh 
phương pháp dạy sao cho phù hợp với từng đối tượng học sinh . Đồng thời 
người Thầy thường xuyên ôn tập , hệ thống kiến thức , phân loại bài tập , hình 
thành phương pháp và kỹ năng giải Toán cho học sinh . 
 Chủ đề rút gọn biểu thức và các bài toán liên quan trong tài liệu ôn thi vào 
10 đòi hỏi học sinh phải có kiến thức tổng hợp và kỹ năng nhất định . 
 Cho nên, trong thời gian đầu học sinh làm quen dạng toán này , nếu giáo 
viên cho học sinh ôn tập ngay theo các bài tập của tài liệu thì nhiều em không có 
khả năng tiếp thu bài học ,dẫn đến hiệu quả của tiết dạy chưa đạt theo mong 
muốn . Bởi vì các em quên kiến thức cũ như : Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ ,các 
phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử , cách quy đồng mẫu , kỹ năng 
biến đổi đồng nhất biểu thức , giải phương trình, bất phương trìnhCác em 
chưa thể tiếp cận ngay được với các bài toán cần sự biến đổi tổng hợp , liên quan 
đến nhiều kiến thức . 
 Vì vậy vấn đề đặt ra là người Thầy cần dạy dạng toán biến đổi các biểu 
thức chứa căn cho học sinh , đặc biệt là học sinh đại trà như thế nào để các em 
nắm được bài , có kết quả cao , góp phần nâng cao tỷ lệ tuyển sinh . Sau đây bản 
thân Tôi xin nêu ra một số phương pháp giải các dạng Toán liên quan đến rút 
gọn trong ôn thi vào lớp 10 , nhằm rèn luyện kỹ năng giải Toán cho học sinh lớp 
9 và nâng cao chất lượng thi tuyển sinh mà bản thân Tôi đã áp dụng trong hai 
năm học vừa qua và sẽ tiếp tục áp dụng trong năm học này . 
II.Mục đích , yêu cầu và nhiệm vụ của đề tài . 
1.Mục đích 
Kinh nghiệm dạy dạng Toán rút gọn và các bài toán liên quan đến rút gọn trong 
ôn thi vào lớp 10 ” 
2 | 2 3 
 Sáng kiến này nhằm rèn kỹ năng giải toán về các bài toán về biến đổi biểu 
thức chứa căn bậc hai của học sinh lớp 9 , giúp các em phân loại và giải được 
các dạng toán về căn thức bậc hai một cách hệ thống , giúp cho các em yêu thích 
môn toán .Giúp cho giáo viên hệ thống các dạng bài tập về rút gọn biểu thức , 
xây dựng cho học sinh một phương pháp học toán tích cực . Góp phần nâng cao 
chất lượng môn Toán ở trường THCS tôi đang công tác cũng như nâng cao chất 
lượng thi tuyển sinh vào lớp 10 . 
2.Yêu cầu 
 Với các dạng bài tập được phân loại từ dễ đến khó và phương pháp giải của 
từng dạng giúp học sinh nhanh chóng nhớ và liên hệ được các đơn vị kiến thức 
liên quan đã học từ lớp 6 đến lớp 9 . Hệ thống bài tập vận dụng kiến thức cơ bản 
bám sát chương trình sách giáo khoa . 
3.Nhiệm vụ của đề tài 
 Nghiên cứu tài liệu ,hướng dẫn về đổi mới chương trình sách giáo khoa môn 
Toán ,đổi mới phương pháp theo hướng tích cức hóa hoạt động của học sinh . 
 Nghiên cứu mục tiêu , chương trình sách giáo khoa, sách giáo viên và chuẩn 
kiến thức kỹ năng môn Toán , sách ôn thi vào lớp 10 của nhà xuất bản giáo dục 
các năm, sách nâng cao, tham khảo ý kiến các thầy cô, đồng nghiệp có nhiều 
kinh nghiệm và sự “ủng hộ, hợp tác” tích cực của các em học sinh. 
 Xây dựng ý tưởng thường xuyên nghiên cứu, lựa chọn các bài toán cơ 
bản phù hợp với đối tượng học sinh để tăng hứng thú học tập nhằm nâng cao 
chất lượng thi tuyển sinh của nhà trường. 
III.Phạm vi và giả thuyết khoa học của đề tài 
1.Phạm vi của đề tài 
Để nghiên cứu vấn đề được sâu và đạt kết quả tốt , tôi chỉ đi nghiên cứu 
về “ phương pháp giải các dạng toán liên quan đến rút gọn trong ôn thi vào lớp 
10 “ 
Sáng kiến này áp dụng cho học sinh khối lớp 9 trường THCS tôi đang công tác . 
2.Giả thuyết khoa học 
 Nếu đề tài nghiên cứu được nhân rộng sẽ giúp cho học sinh lớp 9 rèn được 
kỹ năng giải toán ,giúp cho các em yêu thích môn toán hơn ,phát huy được tính 
tích cực của học sinh và hứng thú hơn trong học tập .Từ đó các em có khả năng 
Kinh nghiệm dạy dạng Toán rút gọn và các bài toán liên quan đến rút gọn trong 
ôn thi vào lớp 10 ” 
3 | 2 3 
nhìn nhận bao quát, toàn diện , định hướng giải toán đúng đắn và nắm kiến thức 
sâu sắc .Giúp cho các em có kiến thức cơ bản nhất khi tuyển sinh vào lớp 10 . 
 Giúp cho giáo viên phân loại có hệ thống các bài toán về biến đổi căn thức 
bậc hai .Xây dựng phương pháp dạy phù hợp với đối tượng học sinh ,nhằm nâng 
cao chất lượng môn toán ở trường đồng thời nâng cao chất lượng thi tuyển sinh 
IV.Phương pháp nghiên cứu 
 Phương pháp nghiên cứu lý thuyết . 
 Phương pháp nghiên cứu thực tiễn . 
 Phương pháp dạy học đổi mới theo hướng tích cực hóa hoạt động của học 
sinh 
V. Thời gian thực hiện 
 Đề tài này tôi đã nghiên cứu trong năm học 2017-2018 và được áp dụng 
trong năm học 2018-2019 đến nay tại trường THCS tôi đang công tác . 
B.NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI 
I.Cơ sở lý thuyết 
1.Thực trạng 
* Thuận lợi 
 Là giáo viên đang trực tiếp giảng dạy môn toán ở bậc THCS và đã có 
điều kiện giảng dạy đủ các khối lớp 6,7,8,9. Tôi được trực tiếp giảng dạy với 
nhiều đối tượng học sinh từ Giỏi ,Khá ,Trung bình ,Yếu , vì thế biết được chỗ 
mạnh, chỗ yếu và những sai lầm học sinh thường mắc phải. 
Được sự giúp đỡ nhiệt tình của các đồng nghiệp, các em học sinh. Có sự tích lũy 
kinh nghiệm của những năm giảng dạy ,sự đa dạng của tài liệu tham khảo. ... hỏ nhất của biểu thức: A= 
x 2
x
 với x>0 
Ta có A= 
x 2 2
x 2 2
x x
 (Bất đẳng thức Côsi cho hai số dương) 
2
min A 2 2 x x 2
x
 (tmđk) 
Vậy min A = 2 2 x 2 . 
3.7.5 Loại 5 : Biểu thức P có dạng 
m x n
P
ax b x c
 (a, b, c, m, n là hằng số, 0x ) 
*Phương pháp : 
- Bước 1: Nhân chéo rồi đặt ( 0)x y y để đưa biểu thức P về dạng 1 pt bậc 
hai có ẩn là y và tham số là P . 
 - Bước 2 : Tìm P để pt bậc 2 ẩn y trên có nghiệm không âm . 
 - Bước 3 : Tìm điều kiện của x để có dấu = xảy ra . 
 - Bước 4: Dựa vào điều kiện của P để suy ra GTLN hoặc GTNN của P và kết 
luận . 
*Ví dụ minh họa : 
Kinh nghiệm dạy dạng Toán rút gọn và các bài toán liên quan đến rút gọn trong 
ôn thi vào lớp 10 ” 
21 | 2 3 
Bài 1 : Cho P = 
2 1
( 0)
2 1
x
x
x x
 . Tìm GTLN của P 
*Lưu ý : Với dạng toán tìm GTLN hoặc GTNN của biểu thức ,HS thường hay 
quên tìm điều kiện để dấu = xảy ra . 
 Tùy theo thời gian và khả năng của hs mà GV có thể chọn nhiều bài tập cơ 
bản, nâng cao ,cần đi sâu vào dạng toán nào nhiều hơn để rèn luyện kỹ năng 
giải toán để khắc sâu kiến thức . 
III. Kết quả thực hiện có so sánh đối chứng 
 Sau một năm áp dụng đề tài vào giảng dạy môn Toán ở trường tôi thấy rất 
thuận lợi cho bản thân tôi trong quá trình giảng dạy , ngoài ra nó cũng là tài liệu 
tham khảo cho đồng nghiệp .Hơn thế nữa nó đã khơi dậy niềm đam mê, hứng 
thú học tập cho học sinh và giúp các em nắm chắc kiến thức .Kết quả so sánh 
đối chứng như sau : 
Năm 
học 
So sánh 
đối 
chứng 
Số HS lớp 
9 được 
khảo sát 
Kết quả điểm kiểm tra 
Giỏi Khá Trung 
bình 
Yếu 
2017
-
2018 
Chưa 
thực hiện 
đề tài 
107 em 
5em=5% 
22em=20% 
37em=35% 
43em=40% 
2018
-
2019 
Đã áp 
dụng đề 
tài 
107em 
35em=33% 40em=37% 20em=19% 12em=11% 
Kinh nghiệm dạy dạng Toán rút gọn và các bài toán liên quan đến rút gọn trong 
ôn thi vào lớp 10 ” 
22 | 2 3 
C. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 
 Môn Toán rất phong phú và đa dạng về các dạng Toán và để HS nắm vững 
kiến thức và có kỹ năng làm bài tốt thì ngoài việc các em phải không ngừng học 
tập trau dồi kiến thức và có phương pháp học hợp lý thì vai trò của người GV 
cũng vô cùng quan trọng . GV không ngừng tìm tòi , học hỏi, đúc rút kinh 
nghiệm và có phương pháp chuyền đạt kiến thức tới HS làm sao dễ hiểu , dễ nhớ 
,tạo hứng thú và niềm đam mê học tập .Đề tài “ Phương pháp giải các dạng toán 
liên quan đến rút gọn trong đề thi vào 10 “ có 4 phần : 
-Phần 1: Kiến thức lý thuyết liên quan đến đề tài 
-Phần 2: Các dạng bài tập rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai cơ bản 
-Phần 3: Các dạng toán liên quan đến rút gọn và phương pháp giải 
-Phần 4 : Một số bài tập tổng hợp 
 Để hoàn thành đề tài này tôi mất khá nhiều thời gian , xong không tránh 
khỏi thiếu sót . Tôi rất mong được sự đóng góp ý kiến của hội đồng khoa học để 
đề tài của tôi được hoàn thiện hơn .Tôi rất mong được Phòng giáo dục, Sở giáo 
dục tổ chức thêm nhiều chuyên đề môn Toán để cho giáo viên được bồi dưỡng 
chuyên môn nghiệp vụ ,được học tập kinh nghiệm trực tiếp từ đồng nghiệp để 
chất lượng môn Toán ngày càng cao . 
Tôi xin chân thành cảm ơn ! 
Kinh nghiệm dạy dạng Toán rút gọn và các bài toán liên quan đến rút gọn trong 
ôn thi vào lớp 10 ” 
23 | 2 3 
CAM ĐOAN 
Tôi xin cam đoan, đề tài này do tôi tự nghiên cứu .Nếu sai tôi xin chịu trách 
nhiệm trước hội đồng khoa học các cấp . 
Ng­êi viÕt ®Ò tµi 
D .TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. SGK – SBT Toán 9. 
2. “ Phương pháp giải toán 9” – Phan Doãn Thoại. 
3. “ Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 9” – Bùi Văn Tuyên. 
4. “ Toán nâng cao và các chuyên đề đại số 9” – Vũ Dương Thụy. 
5. Sách “ Nâng cao và phát triển toán 9” – Vũ Hữu Bình. 
6. Sách “ Ôn tập thi vào lớp 10. Môn Toán ” 
 - Nguyễn Ngọc Đạm – Đoàn Văn Tề - Tạ Hữu Phơ 
7. Những vấn đề đổi mới phương pháp giáo dục môn Toán THCS. 
8. Tạp chí Toán học . 
9. Tài liệu từ các Website giáo dục. 
Kinh nghiệm dạy dạng Toán rút gọn và các bài toán liên quan đến rút gọn trong 
ôn thi vào lớp 10 ” 
24 | 2 3 
PHỤ LỤC VỀ CÁC MINH CHỨNG ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN 
*BÀI TẬP TỰ LUYỆN CÁC DẠNG 
1.Các dạng toán rút gọn biểu thức 
1.1. Dạng 1 : Rút gọn các biểu thức sau : 
a)
11 3 2 1
9 3 3
x x x
A
x x x
 với 0; 9x x 
b) 
12 1 4
4 2 2
x
B
x x x
 với 0; 4x x 
c) 
3 6 4
11 1
x x
C
xx x
 (TK đề thi vào 10 năm 2007 - 2008) 
 d) 
1 1
4 2 2
x
D
x x x
 với 0; 4x x 
 (TK đề thi vào 10 năm 2009 - 2010) 
e) 
10 5
255 5
x x
E
xx x
 với 0; 25x x 
 (TK đề thi vào 10 năm 2011 - 2012) 
f) 
1 2 2 5
42 2
x x x
F
xx x
 với 0; 4x x 
g) 
1 1
1 1
x x
G
x x
 với 0; 1x x 
Kinh nghiệm dạy dạng Toán rút gọn và các bài toán liên quan đến rút gọn trong 
ôn thi vào lớp 10 ” 
25 | 2 3 
h) 
2 1 1y
H
x y x y x y
 với 0; 0;x y x y 
i) I = 
1 2
: 0; 4
4 2 2
x
x x
x x x
j) J = 
2 4
0; 1
11 1
x x x
x x x
xx x
k) K = 
3 3 4 5 4 2
: 0; 9
93 3 3 3
x x x x
x x
xx x x x x
l) 
4 16
:
4 4 2
x x
B
x x x
 ( 0; 16x x ) 
 ( TK đề thi vào 10 - HN năm 2012 – 2013 ) 
m) 
2 3 3 2 2
: 1
93 3 3
x x x x
A
xx x x
 với 0; 9x x 
1.2.Dạng 2: 
Bài 1: Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức 
a. 
2
2
x x
A
x
 b. 
2
3
9
x x
B
x
 c. 
2
2 1
x x
C
x
Bài 2 : Rút gọn biểu thức 
1) a. 
2 1
2 2
x x
A
x x
 b. 
4 4
2
x x
B
x x
 c. 
6 9
3
x x
C
x
2) a. 
4 4
2
x x
A
x x
 b. 
8 16
16
x x
B
x
 c. 
4 4 1
4 1
x x
C
x
Bài 3 : Rút gọn biểu thức 
2 2
:
12 1 1
x x x
A
xx x x
 với 0; 1x x 
B = 
1 1
: (x 0)
1 2 1
x
x x x x x
C = 
2 2 1
. ( 0; 1)
12 1
x x x
x x
xx x x
1.3.Dạng 3 : Rút gọn các biểu thức sau . 
1)a
15 11 3 2 2 3
2 3 1 3
x x x
A
x x x x
 với 0; 1x x 
2 )a
3 2 2 3 15 11
1 3 2 3
x x x
A
x x x x
 với 0; 1x x 
1)b
26 19 2 3
2 3 1 3
x x x x x
B
x x x x
 với 0; 1x x 
2 )b
26 19 2 3
2 3 1 3
x x x x x
B
x x x x
 với 0; 1x x 
Kinh nghiệm dạy dạng Toán rút gọn và các bài toán liên quan đến rút gọn trong 
ôn thi vào lớp 10 ” 
26 | 2 3 
1)c
1 1 1
1 3 2 3
C
x x x x
 với 0; 1x x 
2)c
1 1 1
1 3 3 2
C
x x x x
 với 0; 1x x 
Gợi ý c2 : Nhận thấy 1 3 2 3x x x x mà mẫu riêng thứ ba là 
3 2 ( 2 3)x x x x , ta phán đoán sẽ đổi dấu ở mẫu 3 2x x rồi tìm MTC 
và rút gọn. 
1.4.Dạng 4: 
Bài 1 : Rút gọn các biểu thức sau : 
 1) 
1
1
x x
A
x x
 với x > 0 (gợi ý: 
3
31 1x x x ) 
8
2
x x
B
x
 2) 
27
3 9
x x
A
x
125
25
x x
B
x
 3) 
2 2
1
x x
A
x x
16
64
x
B
x x
Bài 2 : Rút gọn các biểu thức sau : 
2 1
1 1 1
x x
A
x x x x x
 với 0; 1x x 
2 1
1 1
x x
B
x x x
 với 0; 1x x 
3
2 1
11
x x
C
x xx
 với 0; 1x x 
3 2
3
1
1
x x
D
x x
 với 0; 1x x 
E = 
2 1 2
: ( 0; 1)
1 1 1
x x x
x x
x x x x x
Gợi ý : HS phân tích các mẫu thành nhân tử sử dụng HĐT mũ 3 ( có những bài 
phải đổi dấu ) sau đó tìm MTC và quy đồng rồi rút gọn biểu thức như bài trên . 
2. Các dạng toán liên quan đến rút gọn 
2.1.Dạng 1 
Bài 1: Cho biểu thức 
4
2
x
A
x
( 0; 4)x x . Tính giá trị của biểu thức A khi: 
a. x = 
4
9
 d. |x| = 5 
b. x = 0 e. |x – 1| = 4 với 0x 
c. x= 0,25 
Bài 2: Cho biểu thức 
7
3
x
M
x
. Tính giá trị của biểu thức M khi: 
a. 
2
2 1 2x gợi ý: 
2
2 1 2 2 1 2 2 1 2 1x 
Kinh nghiệm dạy dạng Toán rút gọn và các bài toán liên quan đến rút gọn trong 
ôn thi vào lớp 10 ” 
27 | 2 3 
b. 
2
1 3 3x 
c. 6 2 5 5x 
d. 
1 1 1 1
........
2 1 3 2 100 99x
Chú ý: HS có thể tham khảo dạng bài này trong sách ôn thi vào lớp 10 và sách 
tham khảo 
2.2.Dạng 2 
Bài 1 : Cho P = 
2 1
( 0; 1)
1
x
x x
x
. Tìm x để : 
a) P = 0 b) P = 1 c) P = 
2
3
Bài 2 : Cho P = 
1
( 0; 1)
1
x x
x
. Tìm x để : 
a) P = - 2 b) P = 
2
3
 c) P = 
2
x
Bài 3 : Cho P = 
2
( 0; 1)
1
x x
x
. Tìm x để : 
 a) P = - 5 b) P = 
1
2
 c) x.P = 
8
3
Bài 4 : Cho P = 
1
( 0)
x x
x
x
 . Tìm x để : 
 a) | | 1P b) 2 9P c) 2
3
2
P P 
2.3.Dạng 3 
Bài 1 : Cho P = 
3
( 0; 1)
1
x
x x
x
 . Tìm các giá trị của x để : 
a) P > 
3
4
 b) P 2 c) P 
1
2
Bài 2 : Cho P = ( 0; 1)
1
x
x x
x
 . Tìm các giá trị của x để : 
a) P P b) P P c) P P d) P P e) P P 
2.4.Dạng 4 
Bài 1 : Cho P = 
1
2
x
x
 . So sánh P và 
1
2
 (với x > 0) 
Bài 2 : Cho P = 
3x
x
 . So sánh P và 2P (với x > 0) 
Bài 3 : Cho P = 
2
3
x
x
 . So sánh P và P (với x > 0) 
2.5.Dạng 5 
Kinh nghiệm dạy dạng Toán rút gọn và các bài toán liên quan đến rút gọn trong 
ôn thi vào lớp 10 ” 
28 | 2 3 
Bài 1: Cho P = ( 0; 1)
1
x
x x
x x
 . Chứng minh P < 
1
3
 . 
Bài 2: Cho P = 
3
( 0)
2
x
x
x
 . Chứng minh P > 1 . 
Bài 3: Cho P = 
1
( 0)
3
x
x
x
 . Chứng minh P > 
1
3
 . 
2.6.Dạng 6 
2.6.1.Loại 1 
Bài 1: Cho P = 
5
( 0; 4)
2
x
x x
x
 . Tìm x để P . 
Bài 2: Cho P = ( 0; 4)
2
x
x x
x
. Tìm x để P nhận giá trị nguyên dương . 
Bài 3: Cho P = 
2 1
( 0; 1)
1
x
x x
x
. Tìm x N để P . 
Bài 4: Cho P = 
3
( 0; 1)
1
x
x x
x
 . Tìm x để 2 P . 
Bài 5: Cho P = 
1
( 0; 1)
x
x x
x
 . Tìm x để biểu thức A = 
1 3
.
x
Z
Px
 . 
2.6.2.Loại 2 
Bài 1 : Cho 
11
3
P
x
 với 0x . Tìm x để P . 
Bài 2 : Cho P = 
6
1
x
x 
 với 0x . Tìm x để P . 
Bài 3 : Cho P = 
2 1
2
x
x
 với 0x . Tìm x để P . 
2.7.Dạng 7 
2.7.1.Loại 1 
Bài 1 :Tìm GTLN của biểu thức: 
a) P = 2 2020x x với 0x 
b) P = 4 4 2021x x với 0x 
c) 2 3P x x với 0x 
d) P = 4 2019x x với 0x 
e) 2016 6 9P x x với 0x 
2.7.2.Loại 2 
Bài 1 : Tìm GTNN của 
 a) 
1
2016 2
P
x x
 với 0x 
b) 
1
2 1
M
x x
 với 0x 
Kinh nghiệm dạy dạng Toán rút gọn và các bài toán liên quan đến rút gọn trong 
ôn thi vào lớp 10 ” 
29 | 2 3 
c) 
4
4 2015
P
x x
 với 0x 
2.7.3.Loại 3 
Bài 1 : Cho P = 
3
( 0; 9)
3
x
x x
x
 .Tìm GTLN của P 
Bài 2 : Cho P = 
2 1
( ; 4)
2
x
x x
x
 .Tìm GTLN của P 
Bài 3 : Cho P = 
1
( 0; 1)
1
x
x x
x
 .Tìm GTNN của P 
Bài 4 : Cho P = ( 0; 4)
2
x
x x
x
 .Tìm GTNN của P 
Bài 5 : Cho P = 
3 1
( 0 1)
1
x
x x
x
 .Tìm GTNN của P 
2.7.4.Loại 4 
Bài 1 :Tìm Giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 
3
( 0)
1
x
x
x
Bài 2 :Tìm Giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 
12
( 0)
2
x
x
x
Bài 3 :Tìm Giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 
1
( 0)
x x
x
x
Bài 4 :Cho biểu thức: P = 
2
( 0)
1
x
x
x
a) Tìm GTLN của P 
b) Đặt A = 3 4 .x x P . Tìm GTNN của A 
c) Đặt B = 1x P . Tìm GTNN của B 
2.7.5.Loại 5 
Bài 1 : Cho P = 
2 1
( 0)
2 1
x
x
x x
 . Tìm GTLN của P 
*BÀI TẬP TỔNG HỢP 
Bài 1: Cho A = 
4
2
x
x
 ; B = 
4 16
:
4 4 2
x x
x x x
 ( Với x >0 ; x 16) 
1.Tính giá trị của biểu thức A khi x = 4 
2. Rút gọn biểu thức B 
3. Với các biểu thức A và B nói trên : 
 a) Tìm C = B.(A – 1) 
 b) Cho C =1 . Tìm x 
Kinh nghiệm dạy dạng Toán rút gọn và các bài toán liên quan đến rút gọn trong 
ôn thi vào lớp 10 ” 
30 | 2 3 
 c) Tìm x để C > 0 
 d) Tìm x để C C 
 e) Tìm x để C  
Bài 2: Cho A 
2
2 2
2 2 4 3
;
2 2 4 2
x x x x
B
x x x x x
 (Với 0; 2; 3x x x ) 
1. Tính giá trị của B khi x = 1 
2. Rút gọn A 
3. Cho P = A : B Tính giá trị của P khi 1x 
4. Tìm x để P = 64 
5. Tìm giá trị nhỏ nhất của P 
Bài 3: Cho biểu thức 
1 1 3 1
11 1
x x x
A
xx x
 với 0; 1x x 
1. Rút gọn A 
2. Tính giá trị của A khi x = 16 
3. Tìm các giá trị của x để 
5
4
A 
4. Tìm các giá trị nguyên của x để A là số nguyên 
5. Tìm các giá trị của x để 
1
2
A 
6. Tìm GTNN của biểu thức A 
7. Tìm x để : ,a A A ,b A A 
8. Tìm m để phương trình . 2m A x có hai nghiệm phân biệt (gợi ý: Sử 
dụng khiến thức chương IV toán 9) 
Bài 4: Cho A =
2 1 1
1 1 1
x x
A
x x x x x
 ( với x 0; x 1 ) 
 1. Rút gọn A. 
2. Cho: a) x = 3 2 2 2 .Tính giá trị của A 
 b) x = 4 Tính giá trị của A 
3. Cho A = 
2
7
 Tìm x . 
4. Chứng minh rằng : A < 
1
3
5. Cho M = A . ( 1x x ).( 4x ) 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của M 
Bài 5: Cho biểu thức P = 
1 1 1x x x x x
x x x x x
 ( Với x 1; 0x ) 
1. Rút gọn P 
2. Tìm x để P = 
9
2
3. Tính giá trị của P khi x = 4 
4. Cho A = .x P - 4 x Tìm giá trị nhỏ nhất của A 
5. So sánh P và 4 
Kinh nghiệm dạy dạng Toán rút gọn và các bài toán liên quan đến rút gọn trong 
ôn thi vào lớp 10 ” 
31 | 2 3 
Bài 6: Cho A = 
1
: 1
1 11
x x x
x xx
 ( Với x 0; 1x ) 
1. Rút gọn A 
2. Tính giá trị của A khi 4x 
3. Tính giá trị của x để A = 
7
4
4. Tìm x để A < 
3
2
5. Tìm x  để A  
6. Tìm x để A A 
7. Tìm giá trị nhỏ nhất của A 
Bài 7: Cho B = 
9 2 3 2 1
5 6 2 3
x x x
x x x x
 ( x 0; 4; 9x x ) 
1. Rút gọn B 
2. Tìm x để B = -1 
3. Tìm giá trị của B khi x = 16 
4. Tìm x để B 0 
5. Tìm x để B > 1 
6. Tìm x  để B  
7. Cho A = x B . Tìm giá trị nhỏ nhất của A 
MỤC LỤC 
Trang 
A.PHẦN MỞ ĐẦU.. 1 
I.Lý do chọn đề tài.. 1 
II.Mục đích ,yêu cầu và nhiệm vụ của đề tài 1 
1.Mục đích......... 2 
2.Yêu cầu... 2 
3.Nhiệm vụ của đề tài 2 
III.Phạm vi và giả thuyết khoa học của đề tài. 2 
1.Phạm vi đề tài.. 2 
Kinh nghiệm dạy dạng Toán rút gọn và các bài toán liên quan đến rút gọn trong 
ôn thi vào lớp 10 ” 
32 | 2 3 
2.Giả thuyết khoa học 2 
IV.Phương pháp nghiên cứu... 3 
V.Thời gian thực hiện.. 3 
B.NỘI DUNG ĐỀ TÀI. 3 
I.Cơ sở lý thuyết .. 3 
1.Thực trạng.. 4 
2.Cơ sở khoa học......................... .. 4 
3.Biện pháp thực hiện.. 4 
II.Các dạng toán và phương pháp giải. 4 
Phần 1:Kiến thức lý thuyết liên quan đến đề tài.. 4 
Phần 2:Các dạng bài tập rút gọn biểu thức.. 6 
Phần 3:Các dạng toán liên quan đến rút gọn. 12 
III.Kết quả thực hiện có so sánh đối chứng. 22 
C.PHẦN KẾT LUẬN KIẾN NGHỊ... 23 
1.Kết luận.. 23 
2.Kiến nghị 23 
D.TÀI LIỆU THAM KHẢO... 23 
DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT 
Tên đầy đủ Viết tắt 
Giáo viên, học sinh GV, HS 
Trung học phổ thông THPT 
Trung học cơ sở THCS 
Thỏa mãn điều kiện TMĐK 
Thỏa mãn, tham khảo TM, TK 
Giá trị lớn nhất (Max) GTLN 
Giá trị nhỏ nhất (Min) GTNN 
Hằng đẳng thức, mẫu thức chung HĐT, MTC 
Kinh nghiệm dạy dạng Toán rút gọn và các bài toán liên quan đến rút gọn trong 
ôn thi vào lớp 10 ” 
33 | 2 3