Một số không gian xác suất trên R

TẠP CHÍ KHOA HỌC 
Khoa học Tự nhiên và Công nghệ, Số 10 (9/2017) tr 22 - 29 
22 
MỘT SỐ KHÔNG GIAN XÁC SUẤT TRÊN 
Phạm Thị Thái, Đoàn Thị Chuyên, Đặng Kim Phƣơng3 
Trường Đại học Tây Bắc 
Tóm tắt: Bài báo này đưa ra một số không gian xác suất và từ đó xây dựng một số biến ngẫu nhiên trên 
không gian xác suất nói trên. Ngoài ra, bài báo cũng xây dựng một số không gian xác suất trên tập số thực cảm 
sinh bởi các không gian xác suất đã xây dựng. Cuối cùng, một số ví dụ được đưa ra để minh họa cho việc tính kì 
vọng và phương sai của một số biến ngẫu nhiên trên không gian xác suất đã đề cập đến. 
Từ khóa:  - đại số Borel, biến ngẫu nhiên, độ đo xác suất, không gian xác suất, kì vọng, phương sai. 
1. Mở đầu 
Trong toán học, không gian xác suất là nền tảng của lý thuyết xác suất hiện đại (cả trong 
lý thuyết xác suất cổ điển). Trong lịch sử phát triển của lý thuyết xác suất cổ điển, khái niệm 
xác suất của biến cố được phát biểu dưới nhiều dạng khác nhau, tuy nhiên có thể thấy những 
định nghĩa đó đều không nói lên được bản chất toán học của vấn đề. Ngày nay, lý thuyết xác 
suất được phát triển dựa trên phương pháp tiên đề và lý thuyết độ đo. Điều này đã làm cho lý 
thuyết xác suất thực sự là một khoa học toán học. Bài báo này xây dựng một số ví dụ minh 
họa cho một số khái niệm quan trọng trong lý thuyết xác suất hiện đại. Đó là không gian xác 
suất, biến ngẫu nhiên, không gian xác suất cảm sinh và kì vọng, phương sai của biến ngẫu 
nhiên trên không gian xác suất tổng quát. Tất cả những vấn đề nêu trên được xây dựng dựa 
vào lý thuyết chặt chẽ của độ đo, tích phân Lebesgue, 
Bài báo được trình bày theo bố cục như sau. Trước hết, dựa vào các tài liệu [1], [2] và 
[3] trình bày các khái niệm cơ bản cần dùng trong lý thuyết xác suất tổng quát như không gian 
xác suất, biến ngẫu nhiên, không gian xác suất cảm sinh và kì vọng, phương sai của biến ngẫu 
nhiên ở phần đầu mỗi mục. Tiếp sau đó, trong phần cuối mỗi mục, một số ví dụ minh họa cho 
những khái niệm đã nêu được xây dựng với tiêu chí là đơn giản, tinh giản và chặt chẽ, làm 
phong phú thêm các khái niệm được đưa ra. 
2. Không gian xác suất 
2.1. Một số khái niệm 
Định nghĩa 2.1. Cho X là tập tùy ý khác rỗng. Một họ các tập con của X được gọi là 
một  - đại số trên X nếu thỏa mãn các điều kiện: 
a) ;X 
b) Nếu A thì ;CA 
c) Nếu 
*n n
A
 thì 
1
.n
n
A
3 Ngày nhận bài: 26/2/2017. Ngày nhận kết quả phản biện: 14/4/2017. Ngày nhận đăng: 20/9/2017 
Liên lạc: Phạm Thị Thái, e - mail: phamthithai68@gmail.com 
 23 
Nhận xét 2.2. Có thể thay một cách tương đương điều kiện c) bởi điều kiện: 
c’) Nếu 
*n n
A
 thì 
1
.n
n
A
Định nghĩa 2.3. Một hàm tập hợp  xác định trên  - đại số các tập con của tập hợp 
X được gọi là một độ đo trong X nếu  thỏa mãn các điều kiện sau: 
a) 0 A với mọi ;A 
b) 0;  
c)  là  - cộng tính, tức là với mọi 
1 2, ,..., ,...nA A A là dãy tập con rời nhau thì 
1
1
n nn
n
A A 
 
Hơn nữa, là một độ đo xác suất nếu 1.X 
Định nghĩa 2.4. Gọi bộ ba , ,X  là không gian xác suất, ở đó là  - đại số trên 
X và  là độ đo xác suất trên X. Khi đó, X là không gian mẫu, là không gian biến cố và  
là hàm xác suất. 
Ví dụ 2.5. Xét phép thử gieo con xúc xắc một lần. Gọi s là số chấm xuất hiện ở mặt trên 
con xúc xắc khi gieo. Khi đó không gian mẫu 1, 2, 3, 4, 5, 6 .X Xét là họ tất cả các 
tập con của X (bao gồm 62 phần tử) thì là một  - đại số trên X. Vậy là không gian 
biến cố. Tiếp theo, xác định hàm xác suất  trên X như sau. Với mỗi phần tử của X, có định 
nghĩa  
1
, 1,6.
6
ss Từ công thức này, có thể xác định được tất cả các biến cố của . 
Chẳng hạn xác suất của biến cố số chấm chẵn    2, 4, 6 = 2 4 6E   ta thấy ngay 
3
.
6
E Vậy , ,X  là một không gian xác suất. 
Định nghĩa 2.6. Giả sử ,  là hai độ đo trên một  - đại số trên X. Khi đó độ đo  
liên tục tuyệt đối đối với độ đo  nếu với mọi : 0E E thì 0.E Kí hiệu 
là .  
2.2. Một số không gian xác suất trên 
Ví dụ 2.7. Đặt  0,1 .X Kí hiệu là  - đại số trên X sinh bởi các tập con mở của X 
(khi đó cũng là  - đại số trên X sinh bởi các tập con đóng của X). Mặt khác, có thể thấy 
các biểu diễn sau đây: 
i) Với mọi  , 0, 1a b thì: 
 24 
 
0
0
1
1 1 1 1 1
, = , ; ( , )= , ;
2j j j
a b a b a b a b j
j j j j b a
ii)   
1 1 1
1 1 1
= 0, ; = , , 0,1 ; 1 = 1 ,1
j j j
a a a a
j j j
  
Bởi vì mọi tập mở trên đều là hợp không quá đếm được của các khoảng mở nên 
cùng với biểu diễn trên, cũng là  - đại số trên X sinh bởi họ các khoảng nửa đóng của X. 
Như vậy, các tập như 
1 2 1 2
, ; 0, ,1 ;
3 3 3 3
 
1 1 2
; ; ;...
3 3 3
  
  
  
 đều thuộc . Hơn nữa có 
thể thấy cũng được sinh bởi họ các tập     0, , 0, 1a a hoặc bởi họ 
   0, , 0, 1 .a a Thật vậy, chẳng hạn với họ     0, , 0, 1 .a a  Khi đó với mọi 
khoảng đóng    , , , 0, 1 ,a b a b để không mất tính tổng quát coi , 0, 1 .a b Sẽ có: 
    , = \ 0, ,1 .a b X a b
Mặt khác vì  0, b nên   \ 0, = ,1X b b và do đó   .,a b J Từ đó suy ra 
điều phải chứng minh. 
Xác định hàm xác suất  trên X như sau. Với mỗi ,E đặt E là độ đo Lebesgue 
([2]) của E. Rõ ràng mỗi tập thuộc đều đo được Lebesgue bởi mỗi tập con mở trên X đều 
là hợp của nhiều nhất là đếm được các khoảng mở, hơn nữa mỗi khoảng mở đều là đo được 
Lebesgue. Hơn nữa   0, 1.1X  Như vậy  là độ đo xác suất trên X. Chẳng hạn ta 
có độ đo (xác suất) của một số tập con (biến cố) sau: 
1 2 1 1 2 2
, = ; 0, ,1 ;
3 3 3 3 3 3
 
 
1 1 2
=0; ; =0;...
3 3 3
 
  
   
   
Vậy , ,X  là một không gian xác suất. 
Ví dụ 2.8. Đặt 
*
1
.
2 j j
X
 
 
 
 Xét  - đại số trên X cho bởi gồm tất cả các tập con 
của X. Xác định hàm xác suất  trên X như sau. Với mọi tập ,E đặt: 
1
,
2kk I
E
 
ở đó I là tập bao gồm các chỉ số k mà 
1
.
2k
E Rõ ràng khi đó  là độ đo xác suất bởi vì 
*
1
1
2kk
X
  
Vậy , ,X  là một không gian xác suất. 
 25