Nghiên cứu Didactic về khái niệm hình và hình vẽ biểu diễn trong hình học

TAÏP CHÍ KHOA HOÏC ÑAÏI HOÏC SAØI GOØN Soá 33 (58) - Thaùng 10/2017 
29 
Nghiên cứu Didactic về khái niệm hình và 
hình vẽ biểu diễn trong hình học 
Didactic research on concepts of figure and drawing in geometry 
TS. Nguyễn Ái Quốc, 
Trường Đại học Sài Gòn 
Nguyen Ai Quoc, Ph.D., 
Saigon University 
Tóm tắt 
Bài báo này trình bày một số quan điểm của các nhà Didactic Toán trên hai đối tượng của Hình học là 
"hình vẽ biểu diễn" và "hình", trong tiếng Anh là "drawing" và "figure", hay trong tiếng Pháp là 
"dessin" và "figure". Hơn nữa, bài báo cũng đề cập đến một số đối tượng khác liên quan đến hai đối 
tượng trên như "mô thức hình học" và "hình vẽ hình học". 
Từ khóa: hình vẽ biểu diễn, hình, mô thức, hình hình học. 
Abstract 
- the two 
objects in geometry which are called "dessin" and "figure" respectively in French. Moreover, the paper 
refers to some miscellaneous objects in association with two previous objects called "paradigm" and 
"geometric drawing". 
Keywords: drawing, figure, paradigm, geometric drawing. 
1. Mô thức hình học 
1.1. Mô thức của Kuhn 
"Từ mô thức, theo phương diện tổng 
thể, chỉ tập hợp các niềm tin, kỹ thuật và 
các giá trị mà một nhóm nhà khoa học chia 
sẽ với nhau. Nó cố định cách thức đúng 
đắn để đặt ra và thực hiện việc giải quyết 
một vấn đề. Theo nghĩa này, Kuhn cũng 
nói đến ma trận môn học, cái mà cho phép 
nhóm các lý thuyết, và tổng quát hơn, các 
kiến thức của một nhóm làm việc trên cùng 
một chủ đề. 
Theo nghĩa thứ hai, khá thú vị trong 
quan điểm didactic Toán, mô thức nêu lên 
đặc trưng các ví dụ có ý nghĩa cho sinh 
viên để dạy cho họ nhận biết, tách riêng và 
phân biệt các thực thể cấu thành của mô 
thức tổng thể. Điều này đề cập đến thực 
hành của các cá thể của trường môn học 
này." [11] 
1.2. Mô thức hình học của 
Houdement – Kuzniak 
"Tốt hơn hết là xem sự tiến triển của 
hình học là một chuỗi đứt gãy không thể 
hòa hợp được, chúng ta chấp nhận một tầm 
nhìn thống nhất của hình học nhờ vào ý 
tưởng tổng hợp biện chứng tiến hóa giữa 
các cực khác nhau" [9, tr.11] 
 "Hình học tự nhiên hay sự lẫn lộn 
giữa hình học và thực tế (GI): 
Hình học tự nhiên là nguồn đánh giá 
thế giới thực, cảm nhận được. Nó bao gồm 
NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ KHÁI NI M HÌNH VÀ HÌNH VẼ BIỂU DIỄN TRONG HÌNH HỌC 
30 
ba phương diện trực quan, kinh nghiệm, 
suy diễn, nhưng suy diễn được thực hiện 
chủ yếu trên các đối tượng vật chất nhờ 
trực quan và thao tác các dụng cụ. Điều 
này sẽ đặt ra vấn đề về tính hợp thức 
Đây là một bằng chứng rõ ràng trên 
giác quan, không phải trên suy diễn logic 
và trừu tượng thuần túy. Theo nghĩa này, ta 
có thể nói đến một "hình học thực 
nghiệm" 
Việc xây dựng và nhận thức là trái tim 
của hình học tự nhiên kiểu thực nghiệm." 
[10, tr.97-98] 
 "Hình học tiên đề tự nhiên hay hình 
học như một sơ đồ của thực tế (GII): 
Trong tổng hợp tiên đề Eulide, các 
phương diện "không chặt chẽ" và các yêu 
cầu trực quan nhường chỗ cho suy diễn 
logic và chứng minh nằm trong một hệ 
thống tiên đề chính xác nhất có thể 
Hình học này không đòi hỏi như hình 
học tự nhiên là một thực tế, nhưng nó khao 
khát là một sơ đồ thực tế." [9, tr.12-13] 
"Các tiên đề của nó tương ứng với một 
mô hình không gian thực mang tính địa 
phương." [10, tr.98] 
 "Hình học tiên đề hình thức chủ 
nghĩa hay sự độc lập của Hình học với thực 
tế (GIII): 
Lần này dây chằng buộc hình học và 
thực tế bị chặt đứt. Các tiên đề không còn 
được dựa trên tri giác và tính ưu việt của 
suy luận logic là cần thiết." [9, tr.11-13] 
Như vậy, trong GI, học sinh làm việc 
trên các đối tượng vật chất nhờ vào nhận 
thức và thao tác các dụng cụ. Các đối 
tượng vật chất này là các đối tượng hình vẽ 
hình học trong trường hợp hình học phẳng. 
Trong GII, hình vẽ biểu diễn chỉ là một 
biểu diễn của đối tượng hình học lý thuyết 
và chúng ta làm việc trên chính các đối 
tượng hình học lý thuyết này. 
Đối với Houdement và Kuzniak, đối 
tượng hình học của GII không có nghĩa 
trong lý thuyết vì nó là mô hình của một 
đối tượng thực. Theo quan điểm này, rõ 
ràng là đối tượng thứ nhất là đối tượng 
thực, đối tượng lý thuyết của GII là một 
mô hình của thực tế. Vai trò của hình vẽ 
biểu diễn trong GII rất phức tạp vì nó là 
biểu diễn của một đối tượng hình học lý 
thuyết mà bản thân nó chính là mô hình 
của một đối tượng thực. 
1.3. Mô thức hình học của Parzysz 
Nhận xét về mô thức hình học của 
Houdement và Kuzniak, Parzysz cho rằng: 
"Sự nối khớp giữa GI và GII – về mặt 
bản chất khoa học luận – cơ bản hơn sự nối 
khớp tách đôi GII và GIII Thực vậy, 
trong GI, các đối tượng vẫn còn là đối 
tượng vật lý lý tưởng nhiều hơn hay ít hơn 
các tình huống của "thực tế" (mô hình ngôi 
nhà, hình vẽ một cánh đồng) và việc 
đánh giá vẫn còn theo bậc nhận thức (dụng 
cụ hóa hay không). Ngược lại, trong GII 
cũng như GIII, các đối tượng liên quan là 
các yếu tố nằm ngoài thực tế (nhưng được 
biểu diễn bởi các đối tượng vật lý), việc 
đánh giá các khẳng định theo bậc suy diễn: 
"học sinh được gợi ý từ bỏ một kiểm tra 
mang tính kinh nghiệm chủ nghĩa các 
tuyên bố của họ vì lợi ích của một kiểm tra 
bằng phương thức suy luận." [3, tr.32]. 
Như vậy, theo Parzysz, sự phân biệt 
của GII với GI và GIII chủ yếu dựa trên hai 
phương diện: 
1/ GII là một mô hình hóa của không 
gian "vật lý" (nghĩa là GI), trong khi GIII 
không còn tham chiếu đến "thực tế" nào 
khác; 
2/ GII có thể gọi là một GIII tiên đề 
hóa không hoàn toàn, hay tốt hơn là một 
hình học trong đó các "tiên đề" (có tính 
kinh điển hay không) ngầm ẩn theo từng 
NGUYỄN ÁI QUỐC 
31 
phần (có ý thức hay không). Nói chính xác 
hơn, GII dựa trên các lập luận suy diễn có 
hiệu lực xuất phát từ một số thực tế được 
xem xét như "hiển nhiên"; với điều này nó 
tương tự với GIII (phiên bản Euclide). Nói 
chung, ở một vài chỗ, nơi mà GIII bao hàm 
một tiên đề và có thể cả các định nghĩa và 
các định lý bắt nguồn từ nó thì GII đành 
c ...  trình 
bày các tính chất của đối tượng này nhưng 
chỉ thực hiện được từng phần. Người ta có 
thể gắn liền một miền hoạt động với hình 
vẽ biểu diễn (là tập hợp các tính chất hình 
học được biểu diễn bởi một số tính chất 
không gian của hình vẽ biểu diễn)." [13, 
tr.171] 
Đối tượng hình học lý thuyết có một 
số tính chất có thể không thấy được trên 
hình vẽ biểu diễn. Miền hoạt động là miền 
trong đó hình vẽ biểu diễn có khả năng 
cung cấp các thông tin thỏa đáng. Bởi vì 
hình vẽ biểu diễn không nói được hết tất cả 
mọi thứ của đối tượng hình học lý thuyết, 
do đó cần thiết phải có văn bản mô tả. 
Chẳng hạn, trong hình 4, làm thế nào biết 
hình vẽ biểu diễn một đoạn thẳng hay một 
đường thẳng? Chúng ta có thể lưu ý rằng, 
từ một văn bản mô tả, có thể thực hiện một 
hình vẽ biểu diễn, thậm chí là nhiều hơn, vì 
đối tượng hình học lý thuyết hoàn toàn 
được xác định bởi một văn bản mô tả, 
nhưng từ một hình vẽ biểu diễn, không thể 
tái tạo lại văn bản mô tả và do đó không 
thể xác định được đối tượng hình học lý 
thuyết một cách chắc chắn. 
Hình 1 
Hình 2 
Hình 3 
Hình 4 
NGUYỄN ÁI QUỐC 
35 
2.3.3. Miền diễn giải bị giới hạn 
"Tất cả các tính chất của hình vẽ biểu 
diễn không thể được diễn giải như đề cập 
đến các thuộc tính của đối tượng, do đó có 
một miền diễn giải gắn liền với hình vẽ 
biểu diễn. Chẳng hạn, vị trí của hình vẽ 
biểu diễn trong trang giấy nằm ngoài miền 
diễn giải của các hình vẽ như các biểu đạt 
của các đối tượng của hình học Euclide. 
Một số vấn đề học sinh gặp phải cho thấy 
chính xác rằng họ hoạt động với một miền 
diễn giải khác với miền diễn giải của hình 
học Euclide." [13, tr.172] 
Thực tế cho thấy học sinh cấp trung 
học phổ thông dễ dàng sử dụng các biểu 
thức kiểu "ở phía trên", "ở trên", "bên 
phải", "ngang", "thẳng đứng", mà không 
phải là một phần của "miền diễn giải các 
hình vẽ biểu diễn như biểu đạt của các đối 
tượng của hình học Euclide." 
Chẳng hạn, trong hình 5, một điểm 
thuộc miền 3 có thể được học sinh diễn giải 
nằm phía dưới mặt phẳng và một điểm 
thuộc miền 4 có thể được học sinh diễn giải 
nằm phía trên mặt phẳng. Các diễn giải này 
bắt nguồn từ xu hướng của học sinh mở 
rộng mặt phẳng theo phương nằm ngang 
nhiều hơn so với phương thẳng đứng. 
2.3.4. Vắng bóng đẳng cấu và mô tả 
suy lý logic 
Tính phức tạp của diễn giải hình vẽ 
biểu diễn cho thấy rõ sự vắng bóng của 
"đẳng cấu" giữa tập hợp các hình vẽ biểu 
diễn và tập hợp các đối tượng hình học lý 
thuyết bởi vì cùng một hình vẽ biểu diễn có 
thể tương ứng với nhiều đối tượng hình 
học lý thuyết, chẳng hạn trường hợp hình 
vuông và quả cầu trong mục 2.2.1., và 
ngược lại nhiều hình vẽ biểu diễn có thể 
tương ứng với cùng một đối tượng hình 
học lý tưởng, chẳng hạn nhiều hình vẽ biểu 
diễn thể hiện cho một tam giác bất kỳ. Từ 
đó, không thể xác định đối tượng hình học 
lý thuyết bằng một hình vẽ và cần thiết 
phải có một mô tả suy lý logic để: 
 tháo gỡ các nhập nhằng gắn kết với 
hình vẽ biểu diễn 
"Một mô tả suy lý logic nêu đặc trưng 
đối tượng hình học lý thuyết là cần thiết để 
tháo gỡ các nhập nhằng gắn kết với hình vẽ 
biểu diễn." [13, tr.171] 
 lựa chọn đối tượng được biểu diễn: 
"Một hình chỉ có thể biểu diễn một 
tình huống hình học trong một phạm vi mà 
ý nghĩa của một số đơn vị biểu trưng và 
một số quan hệ của chúng được cố định 
tường minh ngay từ đầu cùng một hình 
vẽ có thể biểu diễn nhiều tình huống toán 
học rất khác nhau và như vậy phục vụ hỗ 
trợ trực quan cho các suy luận khác nhau. 
Do đó cần phải có một sự chỉ dẫn bằng lời 
nói để cố định hình vẽ như sự biểu diễn 
cho đối tượng toán học nào đó." [7, tr.188] 
 hay chỉ đơn giản định nghĩa đối 
tượng này: 
"Hình là đối tượng hình học được mô 
tả bằng văn bản định nghĩa cho nó." 
[14, tr.80] 
2.4. Hình vẽ biểu diễn – đối tượng 
của hình học 
Đối với học sinh tiểu học và trung học 
cơ sở, trong giai đoạn đầu khi học hình 
học, đối tượng hình học lý thuyết là một 
đối tượng tư duy không thể tiếp cận được. 
Khi đó, hình vẽ biểu diễn là đối tượng hình 
học mà học sinh làm việc trên đó. Học sinh 
Hình 5 
NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ KHÁI NI M HÌNH VÀ HÌNH VẼ BIỂU DIỄN TRONG HÌNH HỌC 
36 
trước hết trích ra các tính chất bằng tri 
giác, sau đó dẫn đến việc sử dụng các dụng 
cụ hình học để kiểm chứng các giả thuyết 
được phát biểu. Do đó, các hoạt động hình 
học được thực hiện trực tiếp trên các hình 
vẽ hình học mà không tham chiếu đến một 
đối tượng hình học lý thuyết. Mục đích 
chính của các hoạt động này là cho phép 
học sinh làm quen với các đối tượng của 
mặt phẳng và của không gian và chuyển 
dần dần từ một hình học trong đó các đối 
tượng và các tính chất của chúng được 
kiểm tra bằng tri giác sang một hình học 
trong đó họ nhờ đến các công cụ và kiến 
thức về một số tính chất của đối tượng hình 
học lý thuyết. Chẳng hạn, ở bài tập 13, 
trang 79, Sách giáo khoa Toán 6, tập hai 
[18], học sinh được yêu cầu đo các góc 
, , ở hình 6: 
Việc xác định số đo của ba góc trong 
tam giác IKL được học sinh thực hiện bằng 
cách sử dụng thước đo độ thao tác trực tiếp 
trên hình vẽ biểu diễn để đo các góc. Trong 
trường hợp này, đối với học sinh, hình vẽ 
biểu diễn tam giác IKL được xem là đối 
tượng hình học và không được xem là hình 
vẽ biểu diễn cho đối tượng hình học lý 
thuyết. 
Trong tất cả các trường hợp như trên, 
đối tượng làm việc là hình vẽ, không có bất 
cứ sự mã hóa cũng như mô tả suy lý logic 
nào cho phép xem xét một đối tượng hình 
học lý thuyết. Tuy nhiên, việc đưa vào mã 
hóa không có nghĩa là người ta cần quan 
tâm đến đối tượng hình học lý thuyết. 
Chẳng hạn, trong một bài tập được trích ra 
từ Sách giáo khoa Toán của Pháp Maths 
CM1 [5, tr.79], tương đương lớp 4 của Việt 
Nam, học sinh được yêu cầu dựng lại một 
hình với các số đo thực trên giấy kẻ ô lưới 
1cmx1cm với các dụng cụ hình học từ một 
sơ đồ vẽ bằng tay cho trước trên đó có ghi 
số đo của các cạnh (Hình 7). 
Sơ sồ trong hình 7 có thể được diễn 
giải như một biểu diễn của một đối tượng 
vật lý hay một đối tượng lý thuyết, nhưng 
nó không được quan tâm trong bài tập này. 
Hoạt động của học sinh trong trường hợp 
này là giải mã sơ đồ trong 7 để thực hiện 
dựng hình. Việc dựng hình ở đây được 
xem xét đơn giản là tạo ra một hình vẽ hình 
học tương ứng với mô tả bằng mã hóa. Do 
đó, đối tượng làm việc ở đây là hình vẽ mà 
trên đó học sinh cần đo độ dài các cạnh, sử 
dụng thước êke, 
3. Hình 
3.1. Hình là hình vẽ biểu diễn 
Duval định nghĩa hình theo nghĩa vết 
vẽ vật chất trên trang giấy, hay nói cách 
khác, Duval sử dụng từ hình cho cái mà 
chúng ta gọi là hình vẽ biểu diễn hay hình 
vẽ hình học, đối tượng hình học hay biểu 
diễn của một đối tượng hình học lý thuyết. 
3.2. Hình là đối tượng hình học lý 
thuyết 
Theo quan điểm cổ điển của Arsac và 
Parzysz, từ hình để chỉ một số đối tượng 
hình học lý thuyết. 
"chúng tôi dành riêng (là một quy 
ước, có thể tranh luận như mọi quy ước 
Hình 6 
Hình 7 
NGUYỄN ÁI QUỐC 
37 
khác) từ HÌNH cho bản thể hình học, trong 
khi chúng tôi sử dụng từ HÌNH VẼ BIỂU 
DIỄN cho một biểu diễn đồ họa (mặt 
phẳng) của hình này." [15, tr.14] 
Tuy nhiên, trong thực tế, từ hình được 
sử dụng để chỉ một đối tượng phức tạp hơn 
các đối tượng của hình vẽ biểu diễn hay 
của đối tượng hình học lý thuyết. 
3.3. Hình là lớp tương đương các 
hình vẽ biểu diễn 
Arsac, trong một số trường hợp, xem 
xét hình như một lớp tương đương các hình 
vẽ biểu diễn cùng một đối tượng hình học 
lý thuyết. Chính là cái mà Arsac gọi là 
quan điểm toán học trên hình. 
"Một hình xuất hiện như một lớp tương 
đương: cụ thể, hai hình vẽ biểu diễn cùng 
một hình khi chúng đồng dạng và đẳng cự 
(tùy theo loại thuộc tính mà chúng ta muốn 
nghiên cứu) hay thậm chí chúng tương ứng 
trong một phép biến đổi affine." [2, tr.174] 
Trong trường hợp của hai hình vẽ biểu 
diễn trong hình 8, không tồn tại một phép 
biến đổi affine biến hình vẽ biểu diễn này 
thành hình vẽ biểu diễn kia. 
Tuy nhiên, nếu xét từ một quan điểm 
khác, chúng biểu diễn cùng một đối tượng 
hình học : một tứ giác bất kỳ và đường tròn 
ngoại tiếp của nó. Vậy chúng ta có thể mở 
rộng định nghĩa ở trên của Arsac và xem 
xét hình như tập hợp tất cả các hình vẽ biểu 
diễn của một đối tượng hình học được định 
nghĩa bằng một phát biểu mô tả các đối 
tượng, các thuộc tính, các mối quan hệ: 
một tứ giác bất kỳ, nghĩa là không có góc 
vuông, không có hai cạnh song song và 
đường tròn ngoại tiếp của nó. 
Labord và Capponi phát triển khái 
niệm lớp tương đương theo cách phức tạp 
hơn: đưa khái niệm hình vào trong tam 
giác cái biểu đạt – cái được biểu đạt – cái 
quy chiếu. Hình vẽ biểu diễn là cái biểu 
đạt, sự biểu diễn; đối tượng hình học lý 
thuyết là quy chiếu, đối tượng được biểu 
diễn. 
"Hình hình học bao gồm sự ghép cặp 
một quy chiếu cho trước với tất cả các hình 
vẽ biểu diễn, do đó nó được định nghĩa như 
tập hợp các cặp được hình thành từ hai từ, 
từ thứ nhất là quy chiếu, từ thứ hai là một 
trong các hình vẽ biểu diễn; từ thứ hai 
được lấy từ trong không gian tất cả các 
hình vẽ biểu diễn có thể của quy chiếu. 
Trong sự chấp nhận này, từ hình hình học 
phản chiếu việc thiết lập một quan hệ giữa 
một đối tượng hình học và các biểu diễn có 
thể có của nó. Trong cách tiếp cận này, các 
mối liên quan giữa hình vẽ biểu diễn và 
quy chiếu của nó được xây dựng bởi một 
chủ thể, người đọc hay người tạo ra hình vẽ 
biểu diễn, bao gồm cái được biểu đạt của 
hình hình học liên kết với chủ thể này. Cái 
được biểu đạt này tương ứng với cái mà 
Fischbein (1993) gọi là khái niệm hình." 
[12, tr.168] 
4. Kết luận 
Việc làm rõ các quan điểm về hình và 
hình vẽ biểu diễn cũng như mối quan hệ 
giữa chúng là điều cần được quan tâm 
trong công tác đào tạo giáo viên Toán bậc 
phổ thông từ tiểu học đến trung học phổ 
thông. 
Sự phân biệt giữa hai đối tượng hình 
và hình vẽ biểu diễn mở ra một miền rộng 
lớn cho các nghiên cứu liên quan đến 
chúng. Các đặc trưng của mối quan hệ giữa 
hai đối tượng này trong hình học phẳng đã 
được nhiều nhà didactic toán làm rõ trong 
các công trình nghiên cứu của họ. 
Hình 8 
NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ KHÁI NI M HÌNH VÀ HÌNH VẼ BIỂU DIỄN TRONG HÌNH HỌC 
38 
Thực tế dạy học cho thấy trong hình 
học không gian, mối quan hệ giữa hình và 
hình vẽ biểu diễn rất phức tạp vì vấn đề 
biểu diễn một đối tượng hình học lý thuyết 
của không gian 3D trong không gian 2D 
được thực hiện qua phép chiếu song song 
và việc chọn lựa một môi trường làm việc 
trên đó, môi trường giấy-bút chì hay máy 
tính, sẽ ít nhiều ảnh hưởng đến mối quan 
hệ này. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Arsac, G., (1989): La construction du concept 
de figure chez des éleves de 12 ans. Actes de 
la 13
ème
 conference PME. Paris. P85-92. 
Artigue M., Rogalski J. et Vergnaud G. 
2. Arsac, G., & al. (1992): Initiation au 
raisonnement déductif au college. Ed. Presses 
Universitaires de Lyon. 
3. Arsac, G., (2004): Bases élementaires de 
l’étude de la démonstration mathematique. 
Séminaire de Didactique, Histoire et 
Épistemologie des Mathematiques, des 
Sciences et des Techniques du PREMST. 
IUFM de Lyon. 28 janvier 2004. 
4. Berthelot, R., & Salin, M. (1992): Espace et 
géométrie dans la scolarite obligatoire. Thèse 
de doctorat. Université de Bordeaux 1. 
5. Charney, R., & Combier, G., & Dussuc M. P. 
(2003): Cap Maths. CM1. Ed. Hatier. 
6. Duval, R. (1994): Les differents 
fonctionnements d’une figure dans une 
démarche géometrique. Reperes IREM. n
0
17. 
P121-138. Ed. IREM de Grenoble. 
7. Duval, R. (1995): Sémiosis et pensée 
humaine. Ed. Springer. Berne. 
8. Fischbein, E. (1993): The theory of figural 
concepts. Educational Studies in 
Mathematics. Vol. 24. n
0
2. P139-162. Ed. 
Kluwer Academic Publishers. 
9. Houdement, C., & Kuzniak, A. (1999.3): 
Géométrie et paradigmes géométriques. Petit 
x. n
0
 51. P5-21. Ed. IREM de Grenoble. 
10. Houdement, C., & Kuzniak, A. (2000): 
Formation des maitres et paradigmes 
géométriques. Recherches en Didactique des 
Mathematiques. Vol. 20. n
0
1. P 89-116. Ed. 
La Pensée Sauvage. Grenoble. 
11. Kuhn, T. (1977). The Essential Tension: Selected 
Studies in Scientific Tradition and Change. 
Chicago: University of Chicago Press. 
12. Labord, C., & Capponi, B. (1994): Cabri-
Géometre constituant d’un milieu pour 
l’apprentissage de la notion de figure 
géometrique. Recherches en Didactique des 
mathematiques. Vol. 14. n
0
1.2. p165-210. Ed. 
La Pensée Sauvage. Grenoble. 
13. Labord, C., & Capponi, B. (1995): 
Modelisation à double sens. Actes de la 8
ème
Ecole d’éte de Didactique des mathematiques. 
Saint Sauves d’Auvergne. Aout 1995. Ed. 
IREM de Clemont-Ferrand. 
14. Parzysz, B. (1988): "Knowing" vs "seeing". 
Problems of the plane representation of space 
geometry figures. Educational Studies in 
Mathematics. n
0
19. P79-92. Ed. Kluwer 
Academic Publishers. 
15. Parzysz, B. (1989): Représentations planes et 
enseignement de la géométrie de l’espace au 
lycée. Contribution à l’étude de la relation 
voir/savoir. Thèse de doctorat. Université 
Paris-7. Ed. IREM Paris-7. 
16. Parzysz, B. (2002): Articulation entre 
perception et déduction dans une démarche 
géometrique en PÉ. Actes du 28
ème
 colloque 
Inter-IREM des formateurs et professeurs 
chargés de la formation des maitres. Tours. 
Mai 2001. P.99-110. Ed. Presses 
Universitaires d’Orléans. 
17. Parzysz, B. (2004): Preuve perceptive ou 
démonstration? Le rapport des PE1 à la 
géometrie, étudie à travers leur discours 
"méta". Actes du 31
ème
 colloque Inter-IREM 
des formateur et professeurs charges de la 
formation des maitres. Foix. Mai 2004. Ed. 
IREM de Toulouse. 
18. Phan Đức Chính, Tôn Thân, Phạm Gia Đức (2012), 
Toán 6 – tập hai, Nxb Giáo Dục Việt Nam. 
Ngày nhận bài: 02/9/2017 Biên tập xong: 15/10/2017 Duyệt đăng: 20/10/2017