Một số ứng dụng của nguyên lý ánh xạ co trong không gian Metric

TẠP CHÍ KHOA HỌC 
Khoa học Tự nhiên và Công nghệ, Số 10 (9/2017) tr 14 - 21 
14 
MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA NGUYÊN LÝ ÁNH XẠ CO 
TRONG KHÔNG GIAN METRIC 
Hoàng Tùng Lâm, Hoàng Việt Anh, Nguyễn Bích Ngọc, Đinh Thị Thu Uyên2 
Trường Đại học Tây Bắc 
Tóm tắt: Bài báo này trình bày ứng dụng của nguyên lý ánh xạ co trong không gian metric giải một lớp 
các bài toán tìm điều kiện cho số hạng đầu đối với dãy truy hồi để dãy số đã cho hội tụ. Ngoài ra, nhóm tác giả 
nghiên cứu và đánh giá sai số giữa dãy lặp dạng 
1
( )
n n
u f u
 với giới hạn của nó. 
Từ khóa: Ánh xạ co, dãy lặp, điểm bất động, không gian metric, sai số, xấp xỉ. 
1. Mở đầu 
Lý thuyết điểm bất động có nhiều ứng dụng trong toán học cũng như trong các ngành 
khoa học khác. Điển hình như trong việc chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của trình 
vi phân, tích phân,... 
Mặt khác, trong nhiều vấn đề của giải tích, việc nghiên cứu sự hội tụ của dãy số nói 
chung là một trong những vấn đề đáng quan tâm, đặc biệt là câu hỏi về sự tồn tại giới hạn của 
một dãy được cho bởi công thức truy hồi. Như đã biết, việc nghiên cứu sự hội tụ của dãy truy 
hồi có nhiều phương pháp khác nhau. Bài báo này tập trung vào nghiên cứu sự tồn tại giới hạn 
của dãy số cho bởi công thức truy hồi dựa vào nguyên lý ánh xạ co trong không gian metric 
đầy. Một tính chất hữu ích đó là đối với một ánh xạ co trong không gian metric đầy, có thể 
tìm được (thông qua giới hạn của dãy lặp) điểm bất động của ánh xạ đã cho. Ngoài ra, nhiều 
trường hợp gặp khó khăn trong việc tìm giới hạn của dãy số (mặc dù ta biết dãy đã hội tụ), 
điều này đặt ra vấn đề nghiên cứu tốc độ hội tụ cũng như sai số đối với điểm bất động của dãy 
lặp đã cho. Phần cuối của bài báo, đền cập đến việc nghiên cứu vấn đề nói trên. 
2. Định lý Banach về điểm bất động trong không gian metric 
Một số khái niệm cần thiết và Định lý Banach về ánh xạ co trong không gian metric 
([1], [2]). 
Định nghĩa 2.1. Cho f là ánh xạ từ không gian metric (X, d) vào chính nó. Khi đó 
ta gọi: 
(i) f là ánh xạ co trên X nếu tồn tại số  0,1k sao cho: 
 , , , , ,x y X d f x f y kd x y 
hằng số k nói trên được gọi là hệ số co. 
(ii) f là ánh xạ không giãn trên X nếu: 
2 Ngày nhận bài: 7/2/2017. Ngày nhận kết quả phản biện: 8/5/2017. Ngày nhận đăng: 20/9/2017 
Liên lạc: Hoàng Việt Anh, e - mail: hoangvietanh2000@gmail.com 
 15 
 , , , ,x y X d f x f y d x y 
(iii) f là ánh xạ co yếu trên X nếu 
 , , , , ,x y X x y d f x f y d x y 
(iv) 
0x X là điểm bất động của ánh xạ f nếu 0 0.f x x 
Từ đó đưa ra định lý của Stefan Banach về điểm bất động trong không gian metric. 
Định lý 2.2. (Banach) Mọi ánh xạ co từ một không gian metric đầy X vào chính nó có 
duy nhất một điểm bất động. Hơn nữa, với mọi 
0x X dãy lặp 0n nf x hội tụ tới điểm 
bất động duy nhất của f. 
Chứng minh. Tham khảo [1]. 
Nhận xét 2.3. (i) Từ Định lý 2.2, bài toán ngược được đưa ra như sau. Giả sử đã biết 
điểm bất động *x của f. Hãy tìm một dãy xấp xỉ cho *x , từ đó đánh giá sai số của dãy xấp xỉ 
đã xây dựng so với *x . 
(ii) Tiếp tục theo Định lý 2.2, với mọi 
0 ,x X dãy lặp 0n nf x hội tụ tới điểm bất 
động duy nhất *x X của .f Đánh giá tốc độ hội tụ về *x của dãy lặp nói trên. Thêm nữa, 
với sai số cho trước, hãy ước lượng n bé nhất có thể hay không? 
(iii) Trường hợp f là ánh xạ co yếu, có thể thấy Định lý 2.2 không đúng, xét ánh xạ: 
  
: 1, 1,
1
f
x f x x
x
Rõ ràng  1,X là không gian đầy và: 
1 1
, | | | |
1
| ||1 |
| | , ., ,,
d f x f y f x f y x y
x y
x y
xy
x y d x y x yy X x
  
Tuy nhiên , ,f x x x X  chứng tỏ f không có điểm bất động trên .X 
Như vậy nếu f là ánh xạ co yếu trên không gian metric (thậm chí là đầy) X nói chung 
thì f có thể không tồn tại điểm bất động trong X. Tuy nhiên, khi X là không gian metric 
compact thì mọi ánh xạ co yếu trong X đều có điểm bất động duy nhất (Định lý 1.2 trong [3]). 
Ngoài ra, trong các bài toán được trình bày dưới đây, chỉ xét minh họa không gian với 
metric thông thường. Đồng thời như đã biết, mỗi tập con đóng và bị chặn X  đều là 
không gian metric compact với metric cảm sinh bởi metric thông thường trên . 
 16 
(iv) Trong Định lý 2.2, ánh xạ f được giả thiết là ánh xạ co. Tuy nhiên, có thể thấy (ví 
dụ Hệ quả 1.5 trong [4]) nếu mf f f f  (với m lần tích hợp thành) là ánh xạ co trên 
không gian metric đầy X, với m 1 nào đó thì f cũng có điểm bất động duy nhất *.x Hơn 
nữa, với mọi a X thì nf a hội tụ về *.x Như vậy giả thiết f là ánh xạ co chỉ là điều kiện 
đủ để f có điểm bất động. 
3. Ứng dụng nguyên lý ánh xạ co xây dựng một số dãy xấp xỉ 
3.1. Tìm điều kiện để dãy số có giới hạn 
Xét bài toán (thuộc đề thi Olympic sinh viên toàn quốc năm 2016 môn Giải tích) sau 
đây (xem [6]): 
Bài toán 1. Cho *{ }n nu là dãy số xác định bởi các điều kiện 
2
1 1, 2016 , 1n n nu a u u u n  
Hãy tìm tất cả các giá trị thực của a để dãy  *n nu hội tụ. Từ đó tìm giới hạn của dãy 
đã cho khi nó hội tụ. 
Trong bài báo này, chúng ta sẽ tìm một hướng giải khác cho bài toán trên bằng cách dựa 
trực tiếp vào nguyên lý ánh xạ co nói trên. Cụ thể như sau: 
Đặt 
2
2016 ,f x x x x thì dãy đã cho là một dãy lặp xác định bởi 
 1 ( , 1n nu u n  
Tìm một tập X mà trên đó f là ánh xạ co sao cho X là không gian metric đầy của 
. Thật vậy, nếu dãy đã cho hội tụ thì rõ ràng nó là dãy tăng và có giới hạn là 2016. Khi đó 
nếu 2016,a từ công thức quy nạp, dãy đã cho không hội tụ. Hơn nữa cũng có thể thấy nếu 
2015a thì khi đó 2016f a và tương tự như trên dãy cũng không hội tụ. Như vậy, nếu 
dãy  *n nu hội tụ thì  2015, 2016 .a 
Ngược lại, giả sử  2015, 2016 ,a thì sẽ chứng minh trong trường hợp này f là ánh xạ 
co yếu trên không gian metric đầy [2015,2016].X Như vậy, sẽ có: 
 ,
1 2.2016
, , , .
d f x f y f x f y
x y x y
x y x y X x y
  
Trong trường hợp này f là ánh xạ co yếu, tuy nhiên do  2015,2016X là không gian 
metric compact với metric cảm sinh bởi metric thông thường trên , theo Nhận xét 2.3 (iii