Đề thi Olympic môn Toán Lớp 11 - Năm học 2019-2020

Trường THPT Mỹ Đức A
ĐỀ CHÍNH THỨC
--------
KỲ THI OLYMPIC LỚP 11 NĂM HỌC 2019 - 2020
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
------------------- oOo -------------------
Họ và tên thí sinh: .... Số báo danh: 
Câu 1. (5 điểm)
Giải phương trình lượng giác: .
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: .
Câu 2. (4 điểm)
Cho hãy tính tổng sau: .
Ba bạn A, B, C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn Tính xác suất để tổng các lập phương của ba số được viết ra chia hết cho 3. 
Câu 3. (5 điểm)
Một tứ giác có bốn góc tạo thành một cấp số nhân và số đo góc lớn nhất gấp 8 lần số đo góc nhỏ nhất. Tính số đo các góc của tứ giác.
Cho dãy số được xác định bởi .
Tìm công thức của số hạng tổng quát theo .
Câu 4. (5 điểm)
Cho mặt phẳng và hai đường thẳng chéo nhau cắt tại . Gọi là đường thẳng thay đổi luôn song song với , cắt tại cắt tại Đường thẳng qua luôn song song với cắt tại .
a) Tứ giác là hình gì?
b) Tìm tập hợp các điểm 
c) Gọi là trung điểm của là trung điểm của Chứng minh rằng là đường thẳng cố định khi di động.
Câu 5. (1 điểm)
	Cho các số thực dương thỏa mãn điều kiện: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức biết:
------------------- HẾT -------------------
HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC MÔN TOÁN LỚP 11
Câu 1
5,0 đ
Nội dung
Điểm
a)
3,0 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
b)
2,0 đ
0,5 đ
0,5 đ
Giá trị nhỏ nhất của hàm số : đạt được tại 
0,5 đ
Giá trị lớn nhất của hàm số : đạt được tại 
0,5 đ
Câu 2
4,0 đ
Nội dung
Điểm
a)
2,0 đ
Số hạng tổng quát 
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
b)
2,0 đ
Số phần tử của không gian mẫu là: 
0,25 đ
Đoạn có 6 số chia hết cho 3; có 7 số chia cho 3 dư 1; 7 số chia cho 3 dư 2.
0,25 đ
Với mọi số tự nhiên ta luôn có .
Do đó tổng lập phương của ba số chia hết khi và chỉ khi tổng của ba số đó chia hết cho 3.
0,5 đ
TH1: Cả 3 số được viết chia hết cho 3: có khả năng xảy ra
TH2: Cả 3 số được viết chia cho 3 dư 1: có khả năng xảy ra.
TH3: Cả 3 số đều chia cho 3 dư 2 : có khả năng xảy ra.
TH4: Cả 3 số được viết gồm 1 số chia hết cho 3; 1 số chia 3 dư 1 và 1 số chia 3 dư 2: có khả năng xảy ra 
0,5 đ
Số kết quả thuận lợi là 	 
0,25 đ
Xác suất cần tính là 
0,25 đ
Câu 3
5,0 đ
Nội dung
Điểm
a)
2,5 đ
Giả sử bốn góc A, B, C, D theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội . Ta có 
0,5 đ
Ta có hệ 
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
Suy ra 
0,5 đ
b)
2,5 đ
Với mọi , ta có : 
0,5 đ
Xét dãy số , với . ta có .
Do đó, dãy số là 1 cấp số nhân có công bội và số hạng đầu bằng -2
0,5 đ
0,5 đ
Suy ra 
0,5 đ
Vậy 
0,5 đ
Câu 4
5,0 đ
Nội dung
Điểm
a)
2,0 đ
0,5 đ
Có AM // NN’
Do d // d1 nên tồn tại mặt phẳng chứa d và d1
0,5 đ
0,5 đ
 là hình bình hành
0,5 đ
b)
2,0 đ
Gọi (P) là mặt phẳng chứa d và d2, vì d // d1 nên (P) // d1. 
0,5 đ
Do (P) chứa đường thẳng cố định d2 và song song với đường thẳng cố định d1 nên (P) cố định.
0,5 đ
N’ là điểm chung của (α) và (P) nên 
0,5 đ
Gọi Vậy tập hợp các điểm N’ là đường thẳng b.
0,5 đ
c)
1,0 đ
0,5 đ
Dựng đường thẳng qua E và song song với d1 cắt d2 tại N0, Dựng đường thẳng qua N0 song song với AE, đường thẳng này cắt d1 tại M0. 
0,5 đ
Câu 5
1,0 đ
Nội dung
Điểm
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
0,25 đ
Đặt: 
0,25 đ
Khi đó 
0,25 đ
 khi . Vậy giá trị nhỏ nhất của H bằng 2.
0,25 đ
Chú ý: Nếu học sinh làm theo cách giải khác ngoài đáp án và vẫn đúng thì vẫn cho điểm tối đa của câu đó.