Các tính chất phi cổ điển của trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích su(1,1) chẵn

CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN CỦA TRẠNG THÁI
HAI MODE KẾT HỢP THÊM HAI PHOTON TÍCH
SU(1,1) CHẴN
TRẦN DIỆP TUẤN 1
TRƯƠNG MINH ĐỨC 1, TRẦN QUANG ĐẠT 2
1 Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế
Email: tmduc2009@gmail.com
2Phân hiệu trường Đại học GTVT tại TP HCM
Email: quangdatsp08@gmail.com
Tóm tắt: Chúng tôi nghiên cứu các tính chất phi cổ điển của trạng
thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1) chẵn. Kết quả khảo
sát cho thấy trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1)
chẵn thể hiện tính chất nén tổng hai mode nhưng lại không thể hiện tính
chất nén hiệu hai mode. Trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon
tích SU(1,1) chẵn thể hiện tính phản kết chùm và tương ứng với các giá
trị q và r càng nhỏ thì mức độ phản kết chùm càng lớn. Ngoài ra, các
kết quả khảo sát khác cho thấy trạng thái này vi phạm bất đẳng thức
Cauchy-Schwarz và là một trạng thái đan rối hoàn toàn theo các tiêu
chuẩn đan rối Hillery – Zubairy và entropy von Newmann.
Từ khóa: Các tính chất phi cổ điển, trạng thái hai mode kết hợp thêm
hai photon tích SU(1,1) chẵn
1. GIỚI THIỆU
Vào năm 1991, Agarwal và Tara đã đề xuất ý tưởng về trạng thái kết hợp thêm
photon [1]. Sự thú vị của điều này là sự xuất hiện các tính chất phi cổ điển ở trạng thái
được thêm photon mà trước đó trạng thái kết hợp không hề tồn tại chúng. Do sự hấp dẫn
của việc thêm photon mà cho đến nay, nhiều tài liệu vẫn nghiên cứu về các trạng thái phi
cổ điển sử dụng các thao tác non-Gaussian này. Khi các kết quả ứng dụng những trạng
thái phi cổ điển trong nhiều nhiệm vụ lượng tử càng thể hiện tính ưu việt của mình thì
các thao tác thêm hay hủy photon lại càng khẳng định tầm quan trọng khi có thể nâng
cao độ phi cổ điển như độ nén, độ rối,... Hòa chung xu thế đó, trong bài báo này chúng
tôi nghiên cứu ảnh hưởng của thêm photon lên trạng thái hai mode SU(1,1) chẵn đối với
một số tính chất phi cổ điển như nén tổng, nén hiệu, phản kết chùm, sự vi phạm bất đẳng
thức Cauchy-Schwarz và đan rối trên cơ sở là trạng thái hai mode SU(1,1) của Perelomov
[2]. Trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1) chẵn được chúng tôi viết
như sau
|ψ〉ab = N
(
aˆ†bˆ†
)
(|ϕ〉ab + |−ϕ〉ab) , (1)
Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế
ISSN 1859-1612, Số Số 01(45)/2018: tr. 68-76
Ngày nhận bài: 06/10/2017; Hoàn thành phản biện: 11/10/2017; Ngày nhận đăng: 23/10/2017
CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN... 69
trong đó aˆ†(aˆ) và bˆ†(bˆ) là toán tử sinh (hủy) photon của mode a và mode b, |±ϕ〉ab là các
trạng thái hai mode SU(1,1) có dạng
|±ϕ〉ab =
(
1− |ξ|2
) 1+q
2
∞∑
n=0
[
(n+ q)!
n!q!
] 1
2
(±ξ)n|n+ q, n〉ab, (2)
và N là hệ số chuẩn hóa được xác định bởi
N =
[
2
(
1− |ξ|2
)1+q ∞∑
n=0
(n+ q)!
n!q!
[1 + (−1)n]|ξ|2n(n+ q + 1)(n+ 1)
]− 1
2
, (3)
trong đó ξ = tanh re−iϕ với r, ϕ thực. Trong không gian Fock, trạng thái hai mode kết hợp
thêm hai photon tích SU(1,1) chẵn được viết như sau
|ψ〉ab =N
(
1− |ξ|2
) 1+q
2
∞∑
n=0
[
(n+ q)!
n!q!
] 1
2
[1 + (−1)n] ξn
×
(√
n+ q + 1
√
n+ 1|n+ q + 1, n+ 1〉ab
)
. (4)
Như vậy, để thu được trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1) chẵn
chúng tôi thực hiện thêm hai photon ở mỗi mode a và b dưới dạng tích vào trạng thái kết
hợp hai mode SU(1,1) chẵn.
2. TÍNH CHẤT NÉN TỔNG
Nén là một tính chất được ứng dụng rất nhiều trong các nhiệm vụ lượng tử hiện nay
như giảm độ nhiễu, khuếch đại tín hiệu và độ trung thực của thông tin nhận được. Có
nhiều tiêu chuẩn để phát hiện tính chất nén như tiêu chuẩn nén đơn mode, hai mode và
đa mode, nén tổng và nén hiệu, nén thông thường và nén bậc cao. Tuy nhiên, ở đây chúng
tôi sử dụng tiêu chuẩn nén tổng do Hillery đưa ra [3,4]. Toán tử nén tổng được định nghĩa
như sau
Vˆφ =
1
2
(
eiφaˆ†bˆ† + e−iφaˆbˆ
)
, (5)
trong đó φ là góc xác định hướng của 〈aˆ†bˆdag〉 trong mặt phẳng phức. Một trạng thái thể
hiện tính nén tổng nếu
S =
〈
Vˆ 2φ
〉
−
〈
Vˆφ
〉2 − 1
4
〈nˆa + nˆb + 1〉 < 0, (6)
trong đó nˆa và nˆb lần lượt là toán tử số hạt của mode a và b. Độ nén càng cao nếu S càng
âm. Đối với trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1) chẵn
S =
1
4
〈(eiφaˆ†bˆ†)2 + (e−iφaˆbˆ)2 + 2aˆ†bˆ†aˆbˆ〉 = 1
2
(
<〈(eiφaˆ†bˆ†)2〉+ 〈aˆ†bˆ†aˆbˆ〉
)
. (7)
70 TRẦN DIỆP TUẤN và cs.
Từ đó tham số nén tổng có dạng như sau
S =N 2(1 + |ξ|2)1+q
(
tanh2r cos 2(ϕ+ φ)
∞∑
n=0
(n+ q + 3)!(n+ 3)|ξ|2n(1 + (−1)n)
n!q!
+
∞∑
n=0
(n+ q)!(n+ q + 1)2(n+ 1)2|ξ|2n(1 + (−1)n)
n!q!
)
. (8)
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
-20
-15
-10
-5
0
r
S
Hình 1: Sự phụ thuộc của S vào r và q, cố định cos 2(ϕ + φ) = −1, từ trên (đường
liền) xuống dưới ứng với q = 0, 1 và 2.
Kết quả khảo sát cho thấy trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1)
chẵn có nén tổng. Tính chất này càng biểu hiện rõ khi r càng lớn hoặc q càng cao. Tuy vậy
khi q nhận giá trị nguyên dương thì xuất hiện không có nén trong miền hẹp của r (khoảng
r < 0.5) (xem hình 1).
3. TÍNH CHẤT NÉN HIỆU
Toán tử nén hiệu được định nghĩa như sau [3]
Wˆφ =
1
2
(
eiφaˆbˆ† + e−iφaˆ†bˆ
)
. (9)
Một trạng thái thể hiện tính nén hiệu nếu
D =
〈
Wˆ2φ
〉
−
〈
Wˆφ
〉2 − 1
4
| 〈nˆa − nˆb〉 | < 0. (10)
Tham số nén hiệu được viết một cách tường minh như sau
D =
1
4
〈(
eiφaˆbˆ†
)2
+
(
e−iφaˆ†bˆ
)2
+ aˆbˆ†aˆ†bˆ+ aˆ†bˆaˆbˆ†
〉
− 1
4
{〈
eiφaˆbˆ†
〉
+
〈
e−iφaˆ†bˆ
〉}2 − 1
4
| 〈nˆa − nˆb〉 |. (11)
CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN... 71
Đối với trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon tích SU(1,1) chẵn, sau khi bỏ đi các
trung bình lượng tử có số hạng bằng 0, ta có
D = 〈nˆb(nˆa + 1)/2〉. (12)
Dựa vào biểu thức trên có thể thấy rằng D > 0. Như vậy trạng thái hai mode kết hợp
thêm hai photon tích SU(1,1) chẵn không thể hiện tính chất nén hiệu.
4. TÍNH CHẤT PHẢN KẾT CHÙM VÀ SỰ VI PHẠM BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-
SCHWARZ
4.1. Tính chất phản kết chùm
Phản kết chùm có vai trò quan trọng trong việc tạo ra các trạng thái đơn photon
dùng cho các nhiệm vụ lượng tử. Tiêu chuẩn cho sự tồn tại tính phản kết chùm