Xây dựng các thuật toán mật mã khóa công khai dựa trên tính khó của việc giải đồng thời 2 bài toán logarit rời rạc và phân tích số/khai căn

Công nghệ thông tin 
N. V. Thái, L. H. Dũng, “Xây dựng các thuật toán mật mã  và phân tích số/khai căn.” 24 
XÂY DỰNG CÁC THUẬT TOÁN MẬT MÃ KHÓA CÔNG KHAI 
DỰA TRÊN TÍNH KHÓ CỦA VIỆC GIẢI ĐỒNG THỜI 2 BÀI TOÁN 
LOGARIT RỜI RẠC VÀ PHÂN TÍCH SỐ/KHAI CĂN 
Nguyễn Vĩnh Thái1*, Lưu Hồng Dũng2 
Tóm tắt: Bài báo đề xuất xây dựng thuật toán mật mã khóa công khai từ mức độ 
khó của việc giải đồng thời 2 bài toán: bài toán logarit rời rạc trên Zp và bài toán 
phân tích một số nguyên lớn ra các thừa số nguyên tố, hoặc: bài toán logarit rời rạc 
trên Zp và bài toán khai căn trên vành Zn. 02 thuật toán mới đề xuất đảm bảo mức 
độ an toàn trước các tấn công: làm lộ khóa bí mật, thám mã bản tin. Đồng thời xác 
thực nguồn gốc văn bản điện tử, cũng như đảm bảo việc xác thực người gửi. 
Từ khóa: Logarit rời rạc; Phân tích số; Khai căn; Thuật toán khóa mật mã; Hệ thống mã khóa khóa công khai. 
1. ĐẶT VẤN ĐỀ 
Hiện tại, RSA [1] vẫn đang được sử dụng trong các giao dịch điện tử (Chính 
phủ điện tử, thương mại điện tử...) do tính mềm dẻo và độ an toàn của nó. Tuy 
nhiên, thuật toán hệ mật này cũng có một nhược điểm căn bản so với các hệ mật 
được xây dựng trên bài toán logarit rời rạc (ElGamal, DSA, GOST R34.10-94...) 
[3] đó là các thực thể đầu cuối không được phép dùng chung modulo n với nhau. 
Nói cách khác: mỗi thực thể đầu cuối phải sở hữu một cặp tham số (, ) nguyên 
tố riêng biệt. Hơn nữa, cặp tham số này phải được giữ bí mật tuyệt đối. Trên thực 
tế, việc tạo ra các số nguyên tố lớn và mạnh theo các tiêu chuẩn an toàn (FIPS 186 
- 4) [2] và giữ bí mật tuyệt đối cho chúng là không đơn giản, nên nhược điểm trên 
đã ảnh hưởng không nhỏ đến khả năng ứng dụng rộng rãi của hệ mật này (RSA) 
trong thực tế. 
Nâng cao độ an toàn cho các thuật toán mật mã khóa công khai dựa trên tính 
khó của việc giải đồng thời 2 bài toán khó là một hướng tiếp cận đang nhận được 
nhiều sự quan tâm của các nhà nghiên cứu [4 - 9]. 
Cũng với mục đích nâng cao độ an toàn cho thuật toán trước một số dạng tấn 
công trong thực tế, nhóm tác giả bài báo này đề xuất xây dựng 02 thuật toán: mật 
mã khóa công khai; mã hóa - xác thực dựa trên tính khó của việc giải đồng thời 2 
bài toán logarit rời rạc và phân tích số/khai căn, cho phép nhiều người dùng (thực 
thể cuối) sử dụng chung một 	, nghĩa là chỉ cần tạo ra một cặp tham số 
(, ) duy nhất cho tất cả các thực thể cuối. Ngoài ra, các tham số này không cần 
phải được giữ bí mật như ở hệ RSA mà vẫn có thể chống lại các dạng tấn công đã 
biết trong thực tế, đảm bảo độ an toàn của hệ thống. 
2. MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÓ ỨNG DỤNG TRONG MẬT MÃ 
2.1. Bài toán phân tích số 
Bài toán phân tích số được phát biểu như sau: Cho số  ∈ ℕ, hãy tìm biểu diễn: 
 = Π
 
 với:  ≥ 	1( = 1, , ) nguyên dương; 
  ≥ 1	( = 1, , ) nguyên tố. 
Nghiên cứu khoa học công nghệ 
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san CNTT, 04 - 2019 25
Một trường hợp riêng của bài toán phân tích số được ứng dụng để xây dựng hệ 
mật RSA mà ở đó  là tích của hai số nguyên tố  và . Khi đó, bài toán phân tích 
số hay còn gọi là bài toán () được phát biểu như sau: 
Với mỗi số nguyên dương , hãy tìm số nguyên tố  hoặc  thỏa mãn phương 
trình sau:	 ×  = . 
Giải thuật cho bài toán ()	có thể được viết như một thuật toán tính hàm 
(.) với biến đầu vào là , còn giá trị hàm là  hoặc  của phương trình sau: 
 = () hoặc:  = () 
Trong hệ mật RSA, bài toán phân tích số được sử dụng trong việc hình thành 
cặp khóa công khai/bí mật cho mỗi thực thể ký. Với việc giữ bí mật các tham số 
(, ) thì việc tính được khóa bí mật () từ khóa công khai () và () là 
một bài toán khó nếu ,  được chọn đủ lớn và mạnh. Hiện tại bài toán trên vẫn 
được coi là bài toán khó do chưa có giải thuật thời gian đa thức hay đa thức xác 
suất cho nó và hệ mật RSA là một minh chứng thực tế cho tính khó giải của bài 
toán này. Trong thực tế, các tham số ,  có thể chọn theo FIPS 186 - 4 của Hoa 
Kỳ cho hệ mật RSA. 
2.2. Bài toán khai căn trên  
Cho cặp số nguyên dương (, ) với  là tích 2 số nguyên tố  và  sao cho bài 
toán phân tích số là khó giải trên Z, còn  là một giá trị thỏa mãn: 1 <  < () 
và gcd, () = 1, ở đây: () = ( − 1). ( − 1). Khi đó, bài toán khai căn 
trên Z hay còn gọi là RSAP(,) được phát biểu như sau: 
Với mỗi số nguyên dương  ∈ ℤ
∗ , hãy tìm  thỏa mãn phương trình sau: 
 = 		 
Bài toán RSAP(,) cũng là một cơ sở quan trọng để xây dựng nên hệ mật RSA. 
Ở hệ mật RSA nếu giải được RSAP(,), kẻ thám mã có thể tìm được bản rõ (M) từ 
bản mã (C) và các tham số công khai (, ), hoặc dễ dàng tạo được chữ ký giả mạo 
(S) cho một bản tin bất kỳ (M) mà không cần biết khóa bí mật (d) của đối tượng ký 
(bị mạo danh). Tuy nhiên, hiện tại vẫn chưa có giải thuật thời gian đa thức cho bài 
toán này và do đó việc tấn công hệ mật RSA bằng việc giải RSAP(,) là vẫn chưa 
khả thi. 
2.3. Bài toán logarit rời rạc trên  
Cho cặp số nguyên dương (, ) với  là số nguyên tố, còn  là một phần tử 
của nhóm 
∗ . Khi đó, bài toán logarit rời rạc trên Z	hay còn gọi là bài toán 
DLP(,) được phát biểu như sau: 
Với mỗi số nguyên dương  ∈ ℤ
∗ , hãy tìm  thỏa mãn phương trình sau: 
		 =  
Giải thuật cho bài toán DLP(,)	có thể được viết như một thuật toán tính hàm 
DLP(,)(. )	với biến đầu vào là , còn giá trị hàm là  của phương trình sau: 
Công nghệ thông tin 
N. V. Thái, L. H. Dũng, “Xây dựng các thuật toán mật mã  và phân tích số/khai căn.” 26 
 = DLP(,)() 
Bài toán DLP(,)	là cơ sở để xây dựng nên hệ mật ElGamal. Hiện tại chưa có 
giải thuật hiệu quả cho DLP(,)	và độ an toàn của thuật toán DSA trong chuẩn 
chữ ký số DSS của Hoa Kỳ là một minh chứng thực tế cho tính khó giải của bài 
toán này. 
3. XÂY DỰNG THUẬT TOÁN MẬT MÃ KHÓA CÔNG KHAI 
3.1. Thuật toán hình thành tham số và khóa 
Các tham số hệ thống hay tham số miền được nhà cung cấp dịch vụ chứng thực 
s ...  số ,  nguyên tố với: 
() = , () =  sao cho |( − 1) 
Bước 2. Chọn  là phần tử sinh của nhóm 
∗	theo: 
 = 

 		 , với  ∈ (1, ) 
Chú thích: (. ): hàm tính độ dài (theo bit) của một số. 
Mỗi thực thể cuối/người sử dụng trong hệ thống hình thành khóa của mình bằng 
thuật toán như sau: 
b) Thuật toán 2. Hình thành khóa 
Input: , , , ,  - độ dài (tính theo bit) của các số nguyên tố , . 
Output: , , (), . 
Bước 1. Chọn cặp số ,  là các nguyên tố với: () = , () =  
Bước 2. Tính  = . , nếu  ≤ 	thì thực hiện lại Bước 1. 
Bước 3. Tính () = ( − 1). ( − 1) 
Bước 4. Chọn khóa bí mật thứ nhất  trong khoảng 1, () 
Bước 5. Tính khóa công khai theo:  = ±		 (1) 
Kiểm tra nếu:  ≥ () hoặc: gcd	(, ()) ≠ 1 thì thực hiện lại từ Bước 4. 
Bước 6. Tính khóa bí mật thứ hai  theo:  = 
		() (2) 
Bước 7. Chọn hàm băm : {0,1}∗ →  với  < ℎ <  
3.2. Thuật toán mật mã khóa công khai 
Thuật toán mật mã được đề xuất ở đây bao gồm thuật toán mã hóa (Thuật toán 
MTA 01.19-02) và giải mã (Thuật toán MTA 01.19-03) với các tham số hệ thống 
được hình thành theo (1) và khóa hình thành theo (2). Giả thiết người gửi/mã hóa 
là A, người nhận/giải mã là B và B có cặp khóa bí mật/công khai tương ứng là 
Nghiên cứu khoa học công nghệ 
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san CNTT, 04 - 2019 27
(, , ), trong đó:  được chọn ngẫu nhiên trong khoảng (1, ), còn 
(, ) được tính theo (1) và (2) như sau: 
 = 
		,  = ()
		() (3) 
a) Thuật toán mã hóa (MTA 01.19 - 02) 
Input: p, q , g, , 	, M. 
Output: , . 
Bước 1. Biểu diễn bản tin cần mã hóa M thành một giá trị m tương ứng trong 
khoảng [1,  − 1], chọn ngẫu nhiên một giá trị  trong khoảng (1, ) rồi tính thành 
phần thứ nhất của bản mã:  = 	 × ()
		 (4) 
Bước 2. Tính thành phần thứ 2 của bản mã:  = 	(		)		 (5) 
Bước 3. Gửi bản mã (, ) cho B. 
b) Thuật toán giải mã (MTA 01.19 - 03) 
Input: p, q , g, , 	 , 	, (C, R). 
Output: . 
Bước 1. B sử dụng khóa bí mật thứ hai để tính  theo:  = ()		 (6) 
Bước 2. Người nhận sử dụng khóa bí mật thứ nhất của mình để giải mã bản tin 
nhận được:	 =  × ()		 (7) 
Bước 3. Chuyển giá trị 	thành bản tin M. 
c) Tính đúng đắn của thuật toán 
Điều cần chứng minh ở đây là: Cho p, q, , 		là các số nguyên tố thỏa mãn: 
|(p − 1), 	n = p × q, 	 > , 	1 <  < , 	 = 

 	, 1 <  < , 	 
 = 
		,  = ()
		(), 	1 <  < , 	0 ≤  ≤  − 1, 	 
 =  × ()
		, 	 = (		)		 
Nếu:  = ()		, =  × ()
		 thì  =  
Chứng minh: 
Từ (3), (5) và (6) ta có: 
 = ()		 = ((
		)		)
		 
	= 		
.
		 = 
			 (8) 
Nên từ (3), (4), (7) và (8) ta có điều cần chứng minh: 
 =  × ()		 =  × 		

× (		)		 
 =  × . × .		 =  
3.3. Độ an toàn của thuật toán MTA 01.19 - 02; MTA 01.19 - 03 
a) Tấn công khóa bí mật 
Công nghệ thông tin 
N. V. Thái, L. H. Dũng, “Xây dựng các thuật toán mật mã  và phân tích số/khai căn.” 28 
Ở thuật toán mới đề xuất, tính an toàn của lược đồ sẽ bị phá vỡ khi cặp khóa 
, 		có thể tính được bởi một hay các đối tượng không mong muốn. Từ Thuật 
toán 2 cho thấy, để tìm được  cần phải giải được (), còn để tính được  cần 
phải giải được DLP(,). Nói một cách khác, độ an toàn về khóa của thuật toán 
được đảm bảo bằng độ khó của việc giải đồng thời 2 bài toán () và DLP(,). 
b) Tấn công thám mã bản tin 
Để giải mã bản tin có thể thực hiện tấn công vào thuật toán mã hóa hoặc giải mã 
như sau: 
- Tấn công thuật toán mã hóa 
Có thể giải mã bản tin nếu tính được  trong (4) theo 2 cách: 
 Cách thứ nhất: giải được bài toán RSAP(,)	để tìm X = RSAP(,)(), sau đó 
phải giải tiếp bài toán DLP(,)	để tìm k = DLP(,)(). 
 Cách thứ hai: giải bài toán () để tìm  để tìm X = ()
		, sau 
đó giải tiếp DLP(,)	để tìm k như cách thứ nhất. 
Như vậy, để giải mã bản tin bằng cách tấn công trực tiếp vào thuật toán mã 
hóa, kẻ tấn công cần phải giải được đồng thời hai bài toán RSAP(,) và DLP(,) 
hoặc () và DLP(,) đã chỉ ra ở trên. Nên độ an toàn của thuật toán trước dạng 
tấn công này được quyết định bằng độ khó của việc giải đồng thời 2 bài toán: bài 
toán logarit rời rạc và bài toán khai căn, hoặc: bài toán logarit rời rạc và bài toán 
phân tích số. 
- Tấn công thuật toán giải mã 
Để giải mã bản tin bằng cách tấn công vào thuật toán giải mã, kẻ tấn công cần 
phải tính được các khóa bí mật của người nhận B, nghĩa là phải giải được đồng 
thời hai bài toán bài toán () và DLP(,).	Hay, độ an toàn của thuật toán trước 
dạng tấn công này được quyết định bằng độ khó của việc giải đồng thời 2 bài toán 
phân tích số và bài toán logarit rời rạc trên Zp. 
3.4. Thuật toán mã hóa - xác thực 
Thuật toán mã hóa - xác thực được đề xuất ở đây thực hiện đồng thời chức năng 
bảo mật thông tin và xác thực nguồn gốc cũng như tính toàn vẹn của bản tin được 
mã hóa, thuật toán được đề xuất bao gồm thuật toán mã hóa (Thuật toán MTA 
01.19 - 04) và giải mã (Thuật toán MTA 01.19 - 05), với các tham số hệ thống 
cũng được hình thành theo Thuật toán 1 và khóa hình thành theo Thuật toán 2. Giả 
thiết người gửi/mã hóa là A, người nhận/giải mã là B có cặp khóa bí mật/công khai 
tương ứng là (, /) và (, /), trong đó: (, ) được chọn ngẫu 
nhiên trong khoảng (1, ), (, ) và (, ) được tính theo (1) và (2) như sau: 
 = 
		,  = ()
	 	() (9) 
 = 
		,  = ()
	 	() 
a) Thuật toán mã hóa (MTA 01.19 - 04) 
Input: p, q , g, , , , , M. 
Nghiên cứu khoa học công nghệ 
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san CNTT, 04 - 2019 29
Output: , , . 
Bước 1. Biểu diễn bản tin cần mã hóa M thành một giá trị m tương ứng trong 
khoảng [1,  − 1], chọn ngẫu nhiên một giá trị  trong khoảng (1, ) rồi tính thành 
phần thứ nhất của bản mã:  = ( × ()
		)		 (10) 
Bước 2. Tính giá trị:  = 		 (11) 
Bước 3. Tính thành phần thứ hai của bản mã:	 = (‖)		 (12) 
Bước 4. Tính thành phần thứ ba của bản mã:  = ()
 × ( +
	2		 (13) 
Bước 5. Gửi bản mã (, , ) cho B. 
b) Thuật toán giải mã (MTA 01.19 - 05) 
Input: p, q , g, , , , , , , (, , ). 
Output: , (, ) = /. 
Bước 1. Người nhận sử dụng khóa bí mật thứ hai để tính ̅ theo: 
 = 		 (14) 
Bước 2. Tính giá trị:  = ()		 (15) 
 và 	 = ()
	 × () 		 (16) 
Bước 3. Từ , 	giải mã bản tin nhận được:  =  × ()		 (17) 
Bước 4. Chuyển giá trị  thành bản tin 	và tính:  = 		 (18) 
Bước 5. Nếu  =  thì  =  và khẳng định người gửi chính xác là A. 
c) Tính đúng đắn của thuật toán MTA 01.19 - 04; MTA 01.19 - 05 
Điều cần chứng minh ở đây là: Cho p, q, , 		là các số nguyên tố thỏa mãn: 
|(p − 1), 	n = p × q, 	 > , 	1 <  < , 	 = 

 	, 1 < ,  < , 	 
 = 
		,  = 
		,  = ()
		(),	1 <  < , 
 = ()
		(), 0 ≤  ≤  − 1,  = 
		, 
: {0,1}∗ → 	với |q| ≤ |h| < ||,  = (‖)		,	 
 =  × (( +  × )	)		() 
Nếu  = 		,  = ()
		, 	 = ()
	 × () 		, 
 =  × ()		,  = 		 thì  =  và  =  
Chứng minh: 
Từ (9), (10) và (14) ta có:  = 		 
= (( × ()
		)		)
		 
=  × 		

		
.
		 (19) 
Công nghệ thông tin 
N. V. Thái, L. H. Dũng, “Xây dựng các thuật toán mật mã  và phân tích số/khai căn.” 30 
= ( × 		)		 = 	 × .		 
Từ (9), (13) và (15) ta lại có:  = ()		 
= (()
 × ( + )		))

		)
		 (20) 
= (()
 × ( + )		)).			 
= ()
 × ( + )			 
Thay (9) và (20) vào (16) ta được:  = ()
	 × () 		 
= (		)()
.() × ()		 
= .()
.() × 		 = ( ×  × )		 (21) 
= 		 =  
Từ (9), (19) và (21) ta suy ra điều cần chứng minh thứ nhất: 
 =  × ()		 =  × . × (		)		 
= ( × . × .)		 =  (22) 
Từ (17), (18), (21) và (22) ta suy ra điều cần chứng minh thứ hai: 
 = 		 = (‖)		 =  
3.5. Độ an toàn của thuật toán MTA 01.19 - 04; MTA 01.19 - 05 
Thuật toán mã hóa - xác thực được đề xuất ở đây thực chất là sự kết hợp giữa 
thuật toán mật mã ở mục 3.2 của bài báo này với thuật toán chữ ký số, nhằm cung 
cấp tính năng bảo mật nội dung của bản tin và xác thực nguồn gốc cùng với tính 
toàn vẹn của bản tin được thực hiện một cách đồng thời. Nhờ đó, thuật toán này 
cho phép chống lại các dạng tấn công giả mạo rất hiệu quả. Có một điểm cần lưu ý 
là dạng tấn công giả mạo ở đây cần được hiểu theo nghĩa một kẻ thứ 3 (T) muốn 
mạo danh A để gửi cho B bản tin M hoặc là T gửi một bản tin không phải M cho B 
trong khi B hiểu rằng A đã gửi bản tin M cho mình. Từ thuật toán kiểm tra cho 
thấy, điều kiện để B nhận biết chính xác bản tin M được A gửi đến khi nhận được 
1 cặp (C,E,S) là: 
(23) 
Kẻ tấn công giả mạo có thể thực hiện được (23) nếu thực hiện được các bước 
tính toán sau: 
- Chọn giá trị ∗ và tính:  =  × ()
∗		

		; 
Nghiên cứu khoa học công nghệ 
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san CNTT, 04 - 2019 31
- Giải bài toán DLP(,) để tìm 
∗ từ: ()
∗ ≡ ∗ × 		 
- Giải bài toán RSAP(,) hoặc () để tìm  từ: 
∗ = ()		 
Tuy nhiên, để thực hiện được các bước tính toán như trên, kẻ tấn công cũng 
buộc phải giải được đồng thời 2 bài toán toán DLP(,)và RSAP(,) hoặc DLP(,)và 
(). Như vậy, độ an toàn của thuật toán trước kiểu tấn công giả mạo chữ ký 
cũng được đảm bảo bằng độ khó của việc giải đồng thời 2 bài toán. Bên cạnh đó 
nếu (. ) được chọn là hàm băm có tính kháng va chạm cao (SHA 256/512,...) thì 
việc tạo ngẫu nhiên được cặp (C,E,S) thỏa mãn điều kiện của thuật toán kiểm tra là 
không khả thi trong các ứng dụng thực tế. 
4. KẾT LUẬN 
Bài báo đề xuất xây dựng thuật toán mã hóa khóa công khai, thuật toán mã hóa - 
xác thực dựa trên độ khó giải của 2 bài toán khó, các thuật toán được thiết kế để 
các thực thể cuối trong cùng một hệ thống có thể sử dụng chung một bộ tham số. 
Qua phân tích đánh giá cho thấy các thuật toán mới đề xuất có độ an toàn được 
đảm bảo bằng mức độ khó của việc giải đồng thời 2 bài toán: bài toán logarit rời 
rạc và bài toán phân tích số hoặc: bài toán logarit rời rạc và bài toán khai căn. 
Hoàn toàn có thể khẳng định rằng không có bất kỳ kiểu tấn công nào vào các thuật 
toán thành công được mà không phải giải được đồng thời 2 bài toán khó nêu trên, 
do đó thuật toán mới (MTA 01.19 - 02; 03; 04; 05) đề xuất có thể phù hợp với các 
ứng dụng yêu cầu cao về độ an toàn trong thực tế. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1]. R. L. Rivest, A. Shamir, and L. M. Adleman, “A Method for Obtaining Digital 
Signatures and Public Key Cryptosystems”, Commun. of the ACM, Vol. 21, 
No. 2, 1978, pp. 120-126 
[2]. National Institute of Standards and Technology, NIST FIPS PUB 186-4. 
Digital Signature Standard, U.S. Department of Commerce, 2013. 
[3]. T. ElGamal, “A public key cryptosystem and a signature scheme based on 
discrete logarithms”, IEEE Transactions on Information Theory 1985, Vol. IT-
31, No. 4. pp.469–472. 
[4]. Eddie Shahrie Ismail, Tahat N.M.F., Rokiah. R. Ahmad, “A New Digital 
Signature Scheme Based on Factoring and Discrete Logarithms”, Journal of 
Mathematics and Statistics, 04/2008; 12(3). 
[5]. Qin Yanlin, Wu Xiaoping,“New Digital Signature Scheme Based on both 
ECDLP and IFP”, Computer Science and Information Technology, 2009. 
ICCSIT 2009. 2nd IEEE International Conference on, 8-11 Aug. 2009, E-
ISBN : 978-1-4244-4520-2, pp 348 - 351. 
[6]. Swati Verma1, Birendra Kumar Sharma, “A New Digital Signature Scheme 
Based on Two Hard Problems”, International Journal of Pure and Applied 
Sciences and Technology, ISSN 2229 – 6107, Int. J. Pure Appl. Sci. Technol., 
5(2) (2011), pp. 55-59. 
[7]. Sushila Vishnoi, Vishal Shrivastava, “A new Digital Signature Algorithm 
based on Factorization and Discrete Logarithm problem”, International 
Journal of Computer Trends and Technology, volume 3, Issue 4, 2012. 
Công nghệ thông tin 
N. V. Thái, L. H. Dũng, “Xây dựng các thuật toán mật mã  và phân tích số/khai căn.” 32 
[8]. A.N. Berezin, N.A. Moldovyan, V.A. Shcherbacov, “Cryptoschemes Based on 
Difficulty of Simultaneous Solving Two Different Difficult Problems”, 
Computer Science Journal of Moldova, vol.21, no.2(62), 2013. 
[9]. Lưu Hồng Dũng, Trần Trung Dũng, Tống Minh Đức, “Nghiên cứu xây dựng 
hệ tích hợp mật mã khóa công khai - chữ ký số”, Tạp chí Khoa học và Kỹ thuật 
(Học viện KTQS), số 149 (08-2012). ISSN: 1859 - 0209., 01/08/2012. 
ABSTRACT 
A NEW PUBLIC - KEY CRYPTOGRAPHY ALGORITHM BASED 
ON TWO HARD PROBLEMS 
The paper proposes to build a new Public - Key Cryptography algorithm based 
on two hard problems: Discrete Logarithm and Factorization/Root problems. 02 
new algorithms proposed to ensure the level of security against attacks: reveal the 
secret key, decrypting messages. At the same time verify the origin of documents, as 
well as ensure the sender authentication. 
Keywords: Discrete Logarithm; Factorization; Root Problems; Public - Key Cryptography Algorithm; Public - 
Key CryptoSystem. 
Nhận bài ngày 19 tháng 12 năm 2018 
Hoàn thiện ngày 10 tháng 3 năm 2019 
Chấp nhận đăng ngày 25 tháng 3 năm 2019 
Địa chỉ: 1 Viện CNTT, Viện KH và CNQS; 
 2 Khoa CNTT, Học viện KTQS. 
 * Email: nguyenvinhthai@gmail.com.