Về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ Cyclic co yếu kiểu Chatterjea suy rộng trong không gian mêtric

TAÏP CHÍ KHOA HOÏC ÑAÏI HOÏC SAØI GOØN Soá 24 (49) - Thaùng 01/2017 
22 
Về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ Cyclic co yếu 
kiểu Chatterjea suy rộng trong không gian mêtric 
About the existence of fixed point results for generalized Chatterjea-type Cyclic 
weakly contractive mappings in metric spaces 
PGS.TS. Đinh Huy Hoàng, Trường Đại học Vinh 
Dinh Huy Hoang, Assoc.Prof., Ph.D., Vinh University 
ThS. Đậu Hồng Quân, Trường Đại học Vinh 
Dau Hong Quan, Vinh University 
Nguyễn Hoài Phương, Trường Đại học Vinh 
Nguyen Hoai Phuong, Vinh University 
Tóm tắt 
Trong bài báo này chúng tôi đưa ra một vài kết quả về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ cyclic co yếu 
kiểu Chatterjea suy rộng trong không gian metric đầy đủ. Các kết quả này là mở rộng thực sự của một 
số kết quả trong các tài liệu [1], [2], [4], [6]. 
Từ khóa: điểm bất động, ánh xạ cyclic co yếu, không gian mêtric. 
Abstract 
In this paper, we obtain fixed-point results for generalized Chatterjea-type cyclic weakly contractive 
mappings in complete metric spaces. Our results extend and generalize well-known comparable results 
in [1], [2], [4], [6]. 
Keywords: fixed point, cyclic weakly contractive maps, metric space. 
1. Mở đầu 
Nguyên lý Banach về sự tồn tại duy 
nhất điểm bất động của ánh xạ co trong 
không gian mêtric đầy đủ là một trong 
những kết quả quan trọng đầu tiên của lý 
thuyết điểm bất động. Nó có nhiều ứng 
dụng quan trọng trong toán học và các 
ngành kỹ thuật khác. Do đó, việc mở rộng 
nguyên lý Banach đã thu hút được sự quan 
tâm của nhiều nhà toán học. Người ta đã 
mở rộng nguyên lý Banach cho nhiều loại 
ánh xạ và nhiều loại không gian. Một trong 
những hướng mở rộng đó là thay đổi các 
điều kiện co. Năm 1972, Chatterjea [1] đã 
đưa ra định nghĩa sau. 
1.1. Định nghĩa ([1]). Giả sử ( , )X d 
là không gian mêtric và :f X X . Ánh 
xạ f được gọi là co kiểu Chatterjea nếu 
tồn tại 
1
0;
2
 sao cho 
 ( , ) ( , ) ( , )d fx fy d x fy d y fx , .x y X 
Trong [1], Chatterjea đã chứng minh 
được rằng, mọi ánh xạ co kiểu Chatterjea 
23 
trong không gian mêtric đầy đủ có duy 
nhất một điểm bất động. Sau đó, 
Choudhury [2] đưa ra khái niệm ánh xạ co 
yếu kiểu Chatterjea như sau. 
1.2. Định nghĩa ([2]). Giả sử ( , )X d 
là không gian mêtric và :f X X . Ánh xạ 
f được gọi là co yếu kiểu Chatterjea nếu 
 
1
( , ) ( , ) ( , ) ( ( , ), ( , ))
2
d fx fy d x fy d y fx d x fy d y fx 
 ,x y X , 
trong đó : [0, + )2 [0, + ) là 
hàm liên tục và ( , ) 0u t khi và chỉ khi 
0u t . 
Trong [2], Choudhury đã chứng minh 
được rằng, mọi ánh xạ co yếu kiểu 
Chatterjea trong không gian mêtric đầy đủ 
có duy nhất một điểm bất động. Vào năm 
2003, Kirk và các cộng sự [5] đã đưa ra 
khái niệm ánh xạ cyclic và nghiên cứu sự 
tồn tại điểm bất động của nó trong không 
gian mêtric. 
1.3. Định nghĩa ([5]). Giả sử A1 ,, 
Am là các tập con khác rỗng của không gian 
mêtric (X, d) và f : 
1 1
m m
i ii i
A A
 . Ánh 
xạ f được gọi là m-cyclic (nói gọn là 
cyclic) nếu 1( )i if A A  với mọi i = 1, 
2,, m; trong đó Am+1 = A1. Khi đó, tập 
1
m
ii
Y A
 được gọi là biểu diễn cyclic 
của Y tương ứng với f. 
Sau đó, vào năm 2011 và 2012, 
Karapinar và các cộng sự trong ([3], [4]) đã 
giới thiệu các khái niệm ánh xạ cyclic - 
co yếu, co yếu kiểu Chatterjea, co yếu kiểu 
Chatterjea suy rộng và chứng minh một số 
định lý về sự tồn tại điểm bất động của các 
lớp ánh xạ này trong không gian mêtric. 
1.4. Định nghĩa ([3]). Giả sử (X, d) là 
không gian mêtric, A1,,An là các tập con 
khác rỗng của X. Ánh xạ f : 
1 1
m m
i ii i
A A
 được gọi là cyclic - co 
yếu nếu f là ánh xạ cyclic và tồn tại ánh xạ 
 : [0, + ) [0, + ) liên tục, tăng và 
 (t) = 0 khi và chỉ t = 0 sao cho 
( , ) ( , ) ( ( , ))d fx fy d x y d x y , với mọi x 
 Ai, y Ai+1, i=1,,m, trong đó Am+1 = A1. 
Ta kí hiệu   21 : 0, 0,F 
nửa liên tục dưới và ( , ) 0 0t u t u 
và 
   
4
2 : 0, 0,F nửa liên 
tục dưới và ( , , , ) 0 0x y t u x y t u . 
1.5. Định nghĩa ([4]). Giả sử (X, d) là 
không gian mêtric, A1, A2,, Am là các tập 
con khác rỗng của X và f : 
1 1
m m
i ii i
A A
 . 
1) Ánh xạ f được gọi là cyclic co yếu 
kiểu Chatterjea nếu f là cyclic và tồn tại 
1
1
, 0,
2
F 
 sao cho 
 ( , ) ( , ) ( , ) ( ( , ), ( , ))d fx fy d x fy d y fx d x fy d y fx 
với mọi 1, , 1,2,...,i ix A y A i m , trong 
đó 1 1.mA A 
2) Ánh xạ f được gọi là cyclic co yếu 
kiểu Chatterjea suy rộng nếu f là cyclic và 
tồn tại 2
1
, 0,
4
F 
 sao cho 
 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ,, )d fx fy d x fx d y fy d x fy d y fx 
( ( , ), ( , ), ( , ), ( , ))d x fx d x fy d y fy d y fx 
với mọi 
1, , 1,2,...,i ix A y A i m , trong đó 
1 1.mA A 
Trong [3], [4] Karapinar cùng các 
cộng sự đã đưa ra các định lý khẳng định 
rằng, trong không gian mêtric đầy đủ các 
ánh xạ cyclic co yếu kiểu Chatterjea suy 
rộng có suy nhất một điểm bất động trong 
1
.
m
ii
A
24 
Trong bài báo này, chúng tôi đưa ra 
một định lý và một số hệ quả của nó về sự 
tồn tại điểm bất động của các ánh xạ cyclic 
co yếu kiểu Chatterjea suy rộng trong 
không gian mêtric. Các kết quả này là sự 
mở rộng của một số kết quả chính trong 
[1], [2], [4], [6]. 
2. Các kết quả chính 
Ta kí hiệu 
   
4
3 : 0, 0, ( , , , ) 0 0F x y u v x y u v  
 và 
liminf ( , , , ) (liminf , liminf , liminf , liminf )}.n n n n n n n
n n n n n n
x y u v x y u v 
2.1. Định lí. Giả sử (X, d) là không 
gian mêtric đầy đủ, A1, A2,.., An là các tập 
con đóng khác rỗng của X và f : 
1 1
m m
i ii i
A A
 là ánh xạ cyclic. Khi đó, 
nếu tồn tại F3 và các số không âm 
1 2 5, ,..., thỏa mãn 
1 2 3 52 1 , (1) 
1 3 4 1 (2) 
và 
1 2 3 4( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )d fx fy d x y d x fx d x fy d y fx 
5 ( , ) ( ( , ), ( , ), ( , ), ( , ))d y fy d x fx d x fy d y fy d y fx (3) 
với mọi x 1, , 1,2,...,i iA y A i m , 
trong đó 1 1mA A thì f có điểm bất động 
duy nhất 
1
m
ii
z A
 . 
Chứng minh. Lấy 0 1
m
ii
x A
 và