Vận dụng định lý giá trị trung bình giải một số bài toán phép tính vi phân và tích phân

TẠP CHÍ KHOA HỌC 
Khoa học Tự nhiên và Công nghệ, Số 10 (9/2017) tr 30 - 38 
30 
VẬN DỤNG ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH 
GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN PHÉP TÍNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN 
 Nguyễn Hữu Thận1, Đỗ Văn Lợi24 
1Trường THPT Hàm Rồng - Thanh Hóa 
2Trường Đại học Hồng Đức 
Tóm tắt: Bài báo này trình bày một vài ứng dụng quan trọng của các định lý giá trị trung bình trong việc 
giải quyết một lớp các bài toán vi phân và tích phân. Việc xây dựng một số bài toán tổng quát cũng như việc ứng 
dụng định lý giá trị trung bình trong việc giảng dạy toán học ở bậc THPT đã được chỉ ra trong bài báo. 
Từ khóa: Định lý giá trị trung bình, phép tính tích phân, phép tính vi phân. 
1. Mở đầu 
Trong giải tích, định lý giá trị trung bình khẳng định rằng: Cho một cung phẳng, trơn 
nối hai điểm phân biệt, khi đó tồn tại một điểm trên cung mà tiếp tuyến của cung tại điểm này 
song song với đường thẳng nối hai đầu cung. 
Định lý này được sử dụng đe chứng minh các kết quả toàn cục về một hàm trên một 
khoảng xuất phát từ các giả thuyết địa phương về đạo hàm tại các điểm của khoảng đó. Chính 
xác hơn, nếu một hàm số liên tục trên khoảng đóng  ;a b với a b và khả vi trên khoảng 
mở ;a b thì tồn tại một điểm c a,b sao cho: 
( ) ( )
'
f b f a
f c
b a
Một trường hợp đặc biệt của định lý này được mô tả lần đầu tiên bởi Parameshvara 
(1370 - 1460). Định lý giá trị trung bình ở dạng hiện đại của nó được phát biểu sau đó 
bởi Augustin Louis Cauchy (1789-1857). Nó là một trong những kết quả quan trọng của phép 
tính vi phân, cũng như một trong những định lý quan trọng của giải tích toán học và được sử 
dụng để chứng minh định lý cơ bản của giải tích. Định lý giá trị trung bình có thể được suy ra 
từ một trường hợp đặc biệt của nó là Định lý Rolle và có thể được sử dụng để chứng minh 
một kết quả tổng quát hơn là Định lý Taylor (với phần dư dạng Lagrange). Các định lý về giá 
trị trung bình có liên quan chặt chẽ với phép tính vi phân và tích phân, một lĩnh vực rất quan 
trọng trong lịch sử phát triển của toán học. 
Có thể nói, các bài toán về phép tính vi phân và tích phân không còn quá xa lạ với nhiều 
sinh viên ngành Toán, nhất là với các bạn yêu thích môn học này. Tuy nhiên, không phải bất 
kỳ sinh viên nào cũng có thể giải quyết được một số lượng lớn các bài toán có liên quan đến 
phép tinh vi phân và tích phân, bởi lẽ đây là một lớp bài toán khá phong phú và đa dạng. Nó 
4 Ngày nhận bài: 26/5/2017. Ngày nhận kết quả phản biện: 28/7/2017. Ngày nhận đăng: 20/9/2017 
Liên lạc: Đỗ Văn Lợi, e - mail: dovanloi@hdu.edu.vn 
 31 
đòi hỏi người học cần có một tư duy linh hoạt, biết kết hợp một cách thành thạo giữa các giả 
thiết cũng như điều kiện trong từng bài toán cụ thể trong khi chưa có một phương pháp tối ưu 
nào để có thể giải được tất cả các bài toán này. 
Chính vì lý do đó mà nhiều bài toán khó về phép tính vi phân và tích phân thường dành 
cho những học sinh, sinh viên khá và giỏi. Các bài toán này thường xuất hiện nhiều trong các 
kỳ thi Olympic Toán sinh viên toàn quốc và đã gây không ít khó khăn cho các bạn sinh viên 
tham dự bởi lẽ các bài toán đó thường tương đối khó, đòi hỏi thí sinh không những cần phải 
có những hướng đi đúng đắn mà còn cần có những cách giải quyết tinh tế và hợp lý trên cơ sở 
nắm chắc bản chất của các định lý về giá trị trung bình. 
Bài báo được viết với mục đích khơi dậy niềm đam mê đối với môn toán, cũng như 
mong muốn phần nào có thể giúp các bạn sinh viên ngành toán có một cách nhìn tổng quát 
khi giải quyết một bài toán khó, từ đó có thể tìm tòi, xây dựng và đặt ra cho mình được những 
bài toán khái quát hơn, trừu tượng hơn. 
2. Một số kiến thức liên quan 
2.1. Định lý Rolle 
Định lý 1. Nếu f x là hàm liên tục trên đoạn ,a b , có đạo hàm trên khoảng ,a b và 
 f a f b thì tồn tại ,c a b sao cho 0'f c . 
Hệ quả 1: Nếu hàm số f x có đạo hàm trên (a;b) và phương trình 0f x có n 
nghiệm (n là số nguyên dương lớn hơn 1) trên (a;b) thì phương trình ' 0f x có ít nhất 
n 1 nghiệm trên (a; b). 
Hệ quả 2: Nếu hàm số f x có đạo hàm trên (a;b) và phương trình ' 0f x vô 
nghiệm trên (a;b) thì phương trình 0f x có nhiều nhất 1 nghiệm trên (a;b). 
Hệ quả 3: Nếu f x có đạo hàm trên (a;b) và phương trình ' 0f x có nhiều nhất n 
nghiệm (n là số nguyên dương) trên (a;b) thì phương trình 0f x có nhiều nhất n + 1 
nghiệm trên (a;b). 
Nhận xét 1. 
- Các hệ quả trên được suy ra trực tiếp từ Định lý Rolle và nó vẫn đúng nếu các nghiệm 
là nghiệm bội (khi f x là đa thức). 
- Các hệ quả trên gợi ra ý tưởng về việc chứng minh tồn tại nghiệm cũng như xác định 
số nghiệm của phương trình. Đồng thời, nếu như bằng một cách nào đó tìm được tất cả các 
nghiệm của phương trình (có thể do mò mẫm) thì khi đó phương trình đã được giải. 
- Từ Định lý Rolle cho phép chứng minh Định lý Lagrange. Tổng quát hơn, chỉ cần để ý 
tới ý nghĩa của đạo hàm (trung bình giá trị biến thiên của hàm số). 
 32 
2.2. Định lý Largrange (Lagrange's Mean Value Theorem) 
Định lý 2. Nếu ( )f x là hàm liên tục trên đoạn  ,a b , có đạo hàm trên khoảng ;a b thì 
tồn tại ,c a b sao cho '
( ) ( )
( )
f b f a
f c
b a
. 
Định lý Rolle là một hệ quả của Định lý Lagrange (trong trường hợp ( ) ( )f a f b ). 
Ý nghĩa hình học: Cho hàm số ( )f x thỏa mãn các giả thiết của Định lý Lagrange. Giả 
sử C là đồ thị của hàm số ( )f x và , ( )A a f a , , ( )B b f b là hai điểm phân biệt tùy ý 
thuộc C . Khi đó, trên đồ thị C tồn tại ít nhất một điểm , ( )C c f c , ;c a b sao cho 
tiếp tuyến của C tại điểm C song song với đường thẳng AB . 
Định lý Lagrange cho phép ước lượng tỉ số 
( ) ( )f b f a
b a
, do đó nó còn được gọi là Định 
lý Giá trị trung bình (Mean Value Theorem). 
2.3. Định lý Cauchy 
Định lý 3. Nếu các hàm số ,f g liên tục trên đoạn  ;a b , có đạo hàm trên khoảng 
 ;a b và '( )g x khác không với mọi ;x a b thì tồn tại ;c a b sao cho: 
'
'
f c f b f a
g c g b g a
2.4. Định lý giá trị trung bình của tích phân 
Định lý 4. Nếu ( )f x là hàm liên tục trên đoạn