Study on elastic deformation of substitution alloy ab with interstitial atom C and BCC structure under pressure

TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ 20/2017   55 
STUDY ON ELASTIC DEFORMATION OF SUBSTITUTION 
ALLOY AB WITH INTERSTITIAL ATOM C AND BCC STRUCTURE 
UNDER PRESSURE 
Nguyen Quang Hoc1, Nguyen Thi Hoa2 and Nguyen Duc Hien3 
1Hanoi National University of Education 
2University of Transport and Communication 
3Mac Dinh Chi High School 
Abstract: The analytic expressions of the free energy, the mean nearest neighbor distance 
between two atoms, the elastic moduli such as the Young modulus E, the bulk modulus K, 
the rigidity modulus G and the elastic constants C11, C12, C44 for substitution alloy AB 
with interstitial atom C and BCC structure under pressure are derived from the statistical 
moment method. The elastic deformations of main metal A, substitution alloy AB and 
interstitial alloy AC are special cases of elastic deformation for alloy ABC. The theoretical 
results are applied to alloy FeCrSi. The numerical results for alloy FeCrSi are compared 
with the numerical results for main metal Fe, substitution alloy FeCr, interstitial alloy FeSi 
and experiments. 
Keywords: Substitution and interstitial alloy, elastic deformation, Young modulus, bulk 
modulus, rigidity modulus, elastic constant, Poisson ratio. 
Email: hoanguyen1974@gmail.com 
Received 02 December 2017 
Accepted for publication 25 December 2017 
1. INTRODUCTION 
Thermodynamic and elastic properties of interstitial alloys are specially interested by 
many theoretical and experimental researchers [1-7, 10, 12, 13].  
In this paper, we build the theory of elastic deformation for substitution alloy AB with 
interstitial atom C and body-centered cubic (BCC) structure under pressure by the statistical 
moment method (SMM) [8-10].  
56   TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ HÀ NỘI 
2. CONTENT OF RESEARCH 
2.1. Analytic results 
In interstitial alloy AC with BCC structure, the cohesive energy of the atom C (in face 
centers of cubic unit cell) with the atoms A (in body center and peaks of cubic unit cell) in 
the approximation of three coordination spheres with the center C and the radii  1 1 1, 2, 5r r r  
is determined by [8-10].  
 0 1 1 1
1
1 1
2 4 2 8 5
2 2
i
C AC AC AC
n
AC i
i
r r ru r 
   
 1 1 12 2 4 5 ,AC AC ACr r r                                     (2.1) 
where  AC  is the interaction potential between the atom A and the atom C,  in  is the number 
of atoms on the ith coordination sphere with the radius  ( 1,2,3),ir i 11 1 01 0 ( )C C Ar r r y Tº  is 
the nearest  neighbor distance between  the  interstitial  atom C and  the metallic  atom A at 
temperature T,  01Cr  is the nearest neighbor distance between the interstitial atom C and the 
metallic atom A at 0K and is determined from the minimum condition of the cohesive energy 
0Cu ,  10 ( )Ay T  is the displacement of the atom A1(the atom A stays in the body center of cubic 
unit cell) from equilibrium position at temperature T. The alloy’s parameters for the atom C 
in the approximation of three coordination spheres have the form [8-10]. 
2
2
(2) (1) (1)
1 1 1
1 1
1
2
2 16
2 5 ,
5 5
AC
i i eq
C AC AC ACk
u
r r r
r r


 1 24 ,C C C   
4
4
(4) (2) (1) (4) (3)
1 1 1 1 1 12 3
1 1 1
1
48
1 1 2 1 4 5
( ) ( 2) ( ) ( 2) ( 5),
24 8 16 150 125
             AC
i i eq
C AC AC AC AC AC
u
r r r r r
r r r

 



4
2 2
(3) (2) (1) (3)
2 1 1 12 3
1 1 1 1
1
1
(2) (4) (3) (2) (1)
1 1 1 1 12 2 3
1 1 1
6
48
1 1 5 2
( ) ( ) ( ) ( 2)
4 4 8 8
2 5 5 5 5
5 5
1 2 3 2 3
( ) ( ) ( ) ( ) ( ),
8 25 2525 25
AC
i i i eq
C AC AC AC AC
AC C AC AC AC AC
u u
r r r
r r r r
r
r r r r r
r rr r
 
 

 

(2.2) 
where ( ) 2 2( ) ( ) / ( 1, 2,3, 4), , , , ,iAC i AC i ir r r i x y z     and  iu    is the displacement 
of the ith atom in the direction  .  
TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ 20/2017   57 
The cohesive energy of the atom A1 (which contains the interstitial atom C on the first 
coordination  sphere)  with  the  atoms  in  crystalline  lattice  and  the  corresponding  alloy’s 
parameters  in  the  approximation  of  three  coordination  spheres  with  the  center  A1  is 
determined by [8-10] 
1 10 0 1
,A A AC Au u r  
1 1 1 1
1
1 1
1 1
2
1 22
1
(2) (1)
1 1
1
2
5
, 4 ,
2
A
i
AC
A A A A A A
i Aeq r r
AC A AC Ak k
u r
k r r

   
 
  
   
1
1 1
1 1
1 1 1
4
1 1 14 2 3
1 1
(4) (2) (1)
1 1 1
1
48
1 1 1
( ) ( ) ( ),
24 8 8
A
i
AC
A A A
i A Aeq r r
AC A AC A AC A
u
r r r
r r
   
 
  
  
1 1 11
1 1 1
4
2 22 2
1 1
(3) (2) (1)
2 1 1 12 3
1 1 1
6
48
1 3 3
( ) ( ) ( )
2 4 4i
AC
A A
i i eq
A
A AC A AC A AC A
A A A
r r
u u
r r r
r r r
 
  

 
  
(2.3) 
where 
11 1A C
r r  is the nearest neighbor distance between the atom  A1and  atoms in crystalline 
lattice.   
The cohesive energy of the atom A2 (which contains the interstitial atom C on the first 
coordination  sphere)  with  the  atoms  in  crystalline  lattice  and  the  corresponding  alloy’s 
parameters  in  the  approximation  of  three  coordination  spheres  with  the  center  A2  is 
determined by [8-10]. 
2 20 0 1
,A A AC Au u r  
2 2 2 2
1 2
2 2
2
2
1 22
(2) (1)
1 1
1
1
2
, 4 ,
4
2
A
i
AC
A A A A A A
i eq r r
AC A AC A
A
k k
u
k r r
r
   
 
  
   
2 2 2 2 2
2 2 2
1 2
4
1 1 14
(4) (3) (2) (1)
1 1 1 12 3
1 1 1
1
48
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ),
24 4 8 8i
A
AC
A A A
i eq
AC A AC A AC A AC A
A A A
r r
u
r r r r
r r r
   
 
  
 
2 2 2 2 2
2 2 2
1 2
4
(4)
2 2 12 2 2
1 1
(3) (2) (1)
2 1 1 13
1
6
48
1 1 3
( )
8 4 8
3
( ) ( ) ( )
8i
A
AC
A A AC A
i i A Aeq
A AC A AC A AC A
A
r r
r
u u r r
r r r
r 
   
 
   
       
                                                          (2.4) 
58   TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ HÀ NỘI 
where
2 2 2
1 01 0 01( ),A A C Ar r y T r isthe nearest neighbor distance  between   the   atom    A2 and 
atom ... 
2 1 1 24
2 4
1 2 2 1 1 ,
3 2 2
X X
X X X X X X
X
X X
X X
k

   
 
  
 
2
0 3 ln(1 ) , coth .
Xx
X X X X XN x e X x x 
 º                              (2.12) 
where  X  is the free energy of atom X,  AC  is the free energy of interstitial alloy AC, 
AC
cS  
is the configuration entropy of  interstitial alloy AC and  ABCcS  is the configuration entropy 
of  alloy ABC.  
The Young  modulus of alloy ABC with BCC structure at temperature T and pressure P 
is determined by:  
 ,ABC B B A AC B B A A A B A AC AB A B A ACE c E E E c E c E c c E E E c c E E  
,AB A A B BE c E c E 
1 2
2 22
2 2 2
2
2
2 4
1 7 ,
A AC
AC A C C
A
E E c c
 
  


  
   
 
  
1 1
1
,
.
A
A A
E
r A 
2 2
1 4
21 1
  1 1 1 , ,
2 2
A A
A A A A A A
A A
A x cthx x cthx x
k k
  


222 2
20
012 2 2
1 1 1
1 3 1
4
2 4 2
XX X X X
X
X X X X X
U k k
r
r k r k r
 

     
  
    

0
01
1 1
1 3 1
2 , , ,
2 2 2 2
X X X X
X X X X X
X X X
U k k
cthx r x
r k r m

 

  
  

        (2.13) 
where     is  the  relative deformation,  ( , , , ), , ,ABC ABC B C AB AB BE E c c P T E E c P T   is  the 
Young modulus of substitution alloy AB and  , ,AC AC CE E c P T  is the Young modulus of 
interstitial alloy AC.  
TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ 20/2017   61 
The bulk modulus of alloy ABC with BCC structure at temperature T and pressure P 
has the form:  
 , , ,
, , , .
3(1 2 )
AB B C
ABC B C
A
E c c P T
K c c P T

        (2.14) 
The rigidity modulus of alloy ABC with BCC structure at temperature T and pressure P 
has the form:  
, , ,
, , ,
2 1
.ABC B C
ABC B C
A
E c c P T
G c c P T

          (2.15) 
The elastic constants of alloy ABC with BCC structure at temperature T and pressure P 
has the form:  
 11
, , 1
, , ,
1 1 2
,ABC B C A
ABC B C
A A
E c c P T
C c c P T

 
        (2.16)
 12
, , ,
, , , ,
1 1 2
ABC B C A
ABC B C
A A
E c c P T
C c c P T

 
        (2.17)
 44
, , ,
, , ,
2 1
.ABC B C
ABC B C
A
E c c P T
C c c P T

        (2.18) 
The Poisson ratio of alloy ABC with BCC structure has the form:  
.ABC A A B B C C A A B B ABc c c c c             (2.19) 
where  ,A B   and  C  respectively are the Poisson ratioes of materials A, B and C and are 
determined from the experimental data.  
When the concentration of interstitial atom C is equal to zero, the obtained results for 
alloy  ABC  become  the  coresponding  results  for  substitution  alloy  AB.  When  the 
concentration of substitution atom B is equal  to zero,  the obtained  results  for alloy ABC 
become  the  coresponding  results  for  interstitial  alloy  AC.  When  the  concentrations  of 
substitution atoms B and interstitial atoms C are equal to zero, the obtained results for  alloy 
ABC become the coresponding results for main metal A. 
2.2. Numerical results for alloy FeCrSi 
For alloy FeCrSi, we use the  n-m  pair potential  
62   TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ HÀ NỘI 
0 0( ) ,
n m
r rD
r m n
n m r r
                                         (2.20) 
where the potential parameters  are given in Table 1 [11]. 
Table 1. Potential parameters m, n, D, r0 of materials 
Material m n 1610 ergD 
10
0 10 mr
Fe  7.0  11.5  6416.448  2.4775 
Cr  6.0  15.5  6612.96  2.4950 
Si  6.0  12.0  45128.24  2.2950 
Considering the interaction between atoms Fe and Si in interstitial alloy FeSi, we use 
the potential (2.20) but we take approximately  Fe Si 0 0Fe 0Si, .D D D r r r Therefore,  
0 0
Fe-Si ( ) ,
n m
r rD
r m n
n m r r
                                         (2.21) 
where m  and  n  are determined empirically. The potential parameters for interstitial alloy 
FeSi are taken as in Table 2 [10]. 
Table 2. Potential parameters m ,  n ,  0r ,  D of alloy FeSi 
Alloy m n 1610 ergD 
10
0 10 mr
FeSi  2.0  5.5  17016.5698  2.3845 
According to our numerical results as shown in figures from Figure 1 to Figure 6 for 
alloy  FeCrSi  at  the  same  pressure,  temperature  and  concentration  of  substitutrion  atoms 
when the concentration of interstitial atoms increases, the mean nearest neighbor distance 
also  increases.  For  example,  for  alloy  FeCrSi  at  the  same  temperature,  concentration  of 
substitution atoms and concentration of interstitial atoms when pressure increases, the mean 
nearest neighbor distance  descreases. For example for alloy  FeCrSi at T = 300K, cCr = 10%, 
cSi = 3% when P increases fro 0 to 70 GPa,  r1 descreases from  2.4715A0 to 2.3683A0. 
For  alloy  FeCrSi  at  the  same  pressure,  temperature  and  concentration  of  interstitial 
atoms when  the concentration of substitution atoms  increases,  the mean nearest neighbor 
distance  descreases. For example for alloy  FeCrSi at  T = 300K, P = 50 GPa, CSi = 5% when 
CCr increases from 0 to 15%r1 desceases from 2.4216 A0to 2.4178A0. 
For  alloy  FeCrSi  at  the  same  pressure,  concentration  of  substitution  atoms  and 
concentration of interstitial atoms when temperature increases, the mean nearest neighbor 
TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ 20/2017   63 
distance  increases. For example for alloy  FeCrSi at  P = 0, CCr = 10% và CSi = 3% when T 
increases from 50K to 1000K,  r1  increases  from 2.4687A0 to 2.4801A0. 
For alloy FeCrSi at the same pressure, temperature and concentration of substitutrion 
atoms  when  the  concentration  of  interstitial  atoms  increases,  the  elastic  moduli  E, G, K  
increases. For example for alloy  FeCrSi at T = 300K, P = 10GPa and CCr = 10% when CSi 
increases from 0 to 5%, E  increases from 18.4723.1010 Pa to 30.0379.1010Pa.  
For  alloy  FeCrSi  at  the  same  temperature,  concentration  of  substitution  atoms  and 
concentration  of  interstitial  atoms  when  pressure  increases,    the  elastic  moduli  E, G, K  
increases. For example for alloy  FeCrSi at T = 300K, CCr = 10%, CSi = 1% when P inceases  
from 0 to 70GPa, E  inceases  from 15.2862.1010Pa to 48.0400.1010Pa. 
For  alloy  FeCrSi  at  the  same  pressure,  temperature  and  concentration  of  interstitial 
atoms when  the concentration of substitution atoms  increases,  the elastic moduli E, G, K  
desceases. For example for alloy FeCrSi at T = 300K, P = 30GPa,  CSi = 5% when CCr tăng 
từ 0 đến 15%, E desceases from 39.38931010 Pa  to 39.2128.1010Pa.  
For alloy FeCrSi at the same pressure, temperature and concentration of substitutrion 
atoms when the concentration of interstitial atoms increases, the elastic constants  
11 12,C C
,C44 increases. For example for alloy  FeCrSi at  T = 300K, P = 10GPa, CCr  = 10% when  CSi 
inceases from 0 to 5%, 
11C increases  from 23.7286.10
10 Pa  to 38.5851.1010 Pa.  
For  alloy  FeCrSi  at  the  same  temperature,  concentration  of  substitution  atoms  and 
concentration of interstitial atoms when pressure increases,  the elastic constants  
11 12,C C
,C44  increases. For example for alloy  FeCrSi at T = 300K, CCr = 10%, CSi = 1% when P  
increases from 0 to70GPa, 
11C increases from 14.6358.10
10 Pa to 61.7096.1010 Pa.  
For  alloy  FeCrSi  at  the  same  pressure,  temperature  and  concentration  of  interstitial 
atoms when the concentration of substitution atoms increases, the elastic constants  
11 12,C C
,C44 descreases. For example for alloy  FeCrSi at T = 300K, P = 30GPa, CSi = 5% when CCr 
increases  from 0 to 15% 
11C  desceases from 51.6175.10
10 Pa  to 49.8943.1010 Pa.       
When the concentration of substitution atoms and the concentration of interstitial atoms 
are  equal  to  zero,  the  mean  nearest  neighbor  distance,  the  elastic  moduli  and  the  elastic 
constants  of alloy FeCrSi becomes the mean nearest neighbor distance,  the elastic moduli 
and the elastic constants  of  metal Fe. The dependence of mean nearest neighbor distance,  
the elastic moduli and the elastic constants on pressure and concentration of interstitial atoms 
for alloy FeCrSi is the same as the dependence of mean nearest neighbor distance, the elastic 
moduli  and  the  elastic  constants  on  pressure  and  concentration  of  interstitial  atoms  for 
interstitial alloy FeSi. The dependence of mean nearest neighbor distance, the elastic moduli 
and  the  elastic  constants    on  pressure  and  concentration  of  substitution  atoms  for  alloy 
64   TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ HÀ NỘI 
FeCrSi is the same as the dependence of mean nearest neighbor distance, the elastic moduli 
and the elastic constants on pressure and concentration of substitution atoms for substitution 
alloy FeCr. 
Table 3 gives the nearest neighbor distance and the elastic moduli of Fe at T = 300K,  
P = 0 according to the SMM and the experimental data [12, 13].  
3. CONCLUSION 
The analytic expressions of the free energy, the mean nearest neighbor distance between 
two atoms,  the elastic moduli such as the Young modulus,  the bulk modulus,  the rigidity 
modulus and the elastic constants depending on temperature, concentration of substitution 
atoms and concentration of interstitial atoms for  substitution alloy AB with interstitial atom 
C and BCC structure under pressure are derived by the SMM. The numerical results for alloy 
FeCrSi  are  in  good  agreement  with  the  numerical  results  for  substitution  alloy  FeCr, 
interstitial alloy FeSi and main metal Fe. Temperature changes from 5 to 1000K, pressure 
changes from 0 to 70 GPa, the concentration of substitution atoms Cr changes from 0 to 15% 
and the concentration of interstitial atoms Si changes from 0 to 5%. 
Table 3. Nearest neighbor distance and elastic moduli E, G of Fe at P = 0, T = 300K 
according to SMM and EXPT [12, 13] 
Method 0( )a A 1010 PaE 1010 PaG 
SMM  2.4298  20.83  8.27 
EXPT  2.74[12]  20.98[13]  8.12[13] 
0 10 20 30 40 50 60 70
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
E
,G
,K
(1
01
0
P
a
)
p (GPa)
 E
 G
 K
0 10 20 30 40 50 60 70
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
C
1
1
,C
1
2
,C
4
4
(1
0
1
0
P
a
)
p (GPa)
 C11
 C12
 C44
Figure 1. Dependence of elastic moduli E, G, 
K (1010Pa) on pressure for alloy 
Fe-10%Cr-5%Si at T = 300K 
Figure 2. Dependence of elastic constants 
C11, C12, C44(10
10Pa) on pressure for alloy 
Fe-10%Cr-5%Si at T = 300K 
TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ 20/2017   65 
0 1 2 3 4 5
10
15
20
25
30
35
40
E
,G
,K
(1
0
1
0
P
a
)
Nong do Si (%)
 E
 G
 K
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
C
1
1
,C
1
2
,C
4
4
(1
0
1
0
P
a
)
Nong do Si (%)
 C11
 C12
 C44
Figure 3. Dependence of elastic moduli E, G, 
K (1010Pa) on concentration of Si for alloy 
Fe-10%Cr-xSi at P = 30GPa and T = 300K 
Figure 4. Dependence of elastic constants 
C11, C12, C44 (1010Pa) on concentration of Si 
for alloy Fe-10%Cr-xSi at P = 30GPa and 
T = 300K 
0 5 10 15
10
15
20
25
30
35
40
45
50
E
,G
,K
(1
01
0 P
a)
Nong do Cr(%)
 E
 G
 K
0 5 10 15
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
C
1
1
,C
1
2
,C
4
4
(1
0
1
0
P
a
)
Nong do Cr(%)
 C11
 C12
 C44
Figure 5. Dependence of elastic moduli E, G, 
K (1010Pa) on concentration of Cr for alloy 
Fe-xCr-5%Si at P = 30GPa and T = 300K 
Figure 6. Dependence of elastic constants 
C11, C12, C44 (1010Pa) on concentration of Cr 
for alloy Fe-xCr-5%Si at P = 30GPa and 
T = 300K 
REFERENCES 
1. K. E. Mironov (1967), Interstitial alloy. Plenum Press, New York.  
2. A. A. Smirnov (1979), Theory of Interstitial Alloys, Nauka, Moscow, Russian. 
3. A.  G.  Morachevskii  and  I.  V.  Sladkov  (1993),  Thermodynamic Calculations in Metallurgy, 
Metallurgiya, Moscow, Russian. 
4. V.V.Heychenko,  A.A.Smirnov  (1974),  Reine und angewandteMetallkunde in 
Einzeldarstellungen 24, pp.80-112. 
5. V. A. Volkov, G. S. Masharov and S. I. Masharov (2006), Rus. Phys. J., No.10, 1084 . 
6. S. E. Andryushechkin, M. G. Karpman (1999), Metal Science and Heat Treatment 41, 2 80. 
66   TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ HÀ NỘI 
7. M.Hirabayashi, S.Yamaguchi, H.Asano, K.Hiraga (1974), Reine und angewandteMetallkunde 
in Einzeldarstellungen 24, p.266. 
8. N. Tang , V. V. Hung,  Phys. Stat. Sol. (b)149(1988), p.511; 161(1990), p.165; 162 (1990)371; 
162(1990), p.379. 
9. V.  V.  Hung  (2009),  Statistical moment method in studying thwermodynamic and elastic 
property of crystal, HNUE Publishing House. 
10. N.Q.Hoc,  D.Q.Vinh,  B.D.Tinh,  T.T.C.Loan,  N.L.Phuong,  T.T.Hue,  D.T.T.Thuy  (2015),  
Thermodynamic properties of binary  interstitial alloys with a BCC structure: dependence on 
temperature and concentration of  interstitial atoms, Journal of Science of HNUE, Math. and 
Phys. Sci. 60, 7, pp.146-155. 
11. M.N.Magomedov (1987), J. Fiz. Khimic 611003,(in Russian). 
12. D.R.Lide (2005), CRC Handbook oì Chemistry and Physics, 86th Ed., Taylor & Francis, Boca 
Raton London, New York, Singapore. 
13. L.V.Tikhonov et al (1986), Mechanical properties of metals and alloys, Kiev. 
NGHIÊN CỨU BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI CỦA HỢP KIM THAY THẾ 
AB CẤU TRÚC LẬP PHƯƠNG TÂM KHỐI CÓ NGUYÊN TỬ C 
XEN KẼ DƯỚI TÁC DỤNG CỦA ÁP SUẤT 
Tóm tắt: Áp dụng phương pháp thống kê mô men vào nghiên cứu biến dạng đàn hồi của 
hợp kim thay thế AB cấu trúc lập phương tâm khối có nguyên tử C xen kẽ, chúng tôi thu 
được các biểu thức giải tích cho phép xác định các đại lượng: năng lượng tự do, khoảng 
lân cận gần nhất giữa hai nguyên tử, mô đun Young E, mô đun khối K, mô đun trượt G và 
các hằng số đàn hồi của các hợp kim này dưới tác dụng của áp suất. Các kết quả lý thuyết 
được áp dụng tính số với hợp kimFeCrSi. Trong trường hợp giới hạn, các kết quả tính số 
được so sánh với các số liệu thực nghiệm của kim loại Fe, hợp kim thay thế FeCr và hợp 
kim xen kẽ FeSi. 
Từ khóa: Hợp kim thay thế, hợp kim xen kẽ, biến dạng đàn hồi, mô đun Young, mô đun 
khối, mô đun trượt, hằng số đàn hồi, hệ số Poisson.