Nhiễu loạn tuyến tính của vũ trụ trong lớp mô hình hấp dẫn cải tiến f(R) dạng hàm mũ - đa thức

Tạp chí Khoa học Đại học Thủ Dầu Một Số 3(34)-2017 
3 
 – 
 (1), (2) 
(1)Trường Đại học Thủ Dầu Một, (2)Trường Đạ họ ần T 
Ngày nhận bài 27/5/2017; Ngày gửi phản biện:4/6/2017; Chấp nhận đăng: 24/7/2017 
Email: onvv@tdmu.edu.vn 
 t 
 n n ăn ng r ng r r ng g đ ạn rấ ần n ấ đ ng 
 ư ng độ ng ần n ấ -5 T n n ện n r đư ng ần 
n ấ r n n ng g ảng g ện ư ng n n 
 ạn n n đầ ủ r đư đạ n n ờ ấ n n đ n ệ ạ n ấ 
 r r n ư ng n Tr ng n chúng tôi bắ đầu từ ậ độ gr ng n 
 ng  n ột hàm của ư ng rường ư ng  và tham số 
động l c 
2
/ 2X   đ r r ộ ư ng r n đ n n ạn ậ ấ ủ r 
trong g ảng n n đường n rờ r - horizon). đ n ng 
 rường ạn n ộ ạng – đ r ư ng 
 r n n ạn ậ độ ậ ấ ng n r n ủ n ạn ủ r 
 gần đ ng n n . ả ả ấ nh ng đ ệ r n ủ r 
 r ng n r n Λ D, đả ả đư ố /  n r ng g 
 ạn ủ ng ệ . 
T n ạn n n ạng - đ ấ n ả n 
Abstract 
LINEAR PERTURBATION OF UNIVERSE IN MODIFIED GRAVITY F(R) OF 
POLYNOMIAL -EXPONENTIAL FORM 
 Astronomical observations show that early universe is very homogeneous and isotropic, 
with no uniformity is only about 10-5. However, the universe is now considered inhomogeneous 
on scales of 100 MegaPasec. This phenomenon is caused by the initial small disturbances of 
the universe that are amplified by gravity, which results in forming the structure of the universe 
as it is today. In this paper, we begin with a general Lagrangian density f (R, X), which is a 
function of the Ricci scalar of R, scalar field  , and a dynamic parameter 
2
/ 2X   , 
derive the equation to describe the disturbation of the matter density of the universe at a 
distance smaller than sub-horizon of universe. Next we consider the more restrictive case 
where f only depends on R and has the exponential-polynomial form. We derive the equation 
for material density disturbance and study its development in linear region. The results show 
that the model notes the development of disturbance of the universe is slightly different from 
that in the standard Λ D n r r Φ /Ψ is within the 
allowable range of the experiment. 
Võ Văn Ớn... Nhiễu loạn tuyến tính của vũ trụ... 
4 
1. 
 ì quintessence [7] và k-
essence [8]. L p thứ hai ơ ứng v i mô hình hấp dẫn c i ti n chẳng hạ ấp dẫn f(R) 
[9], lý thuy t tensor - ng [10] và các mô hình braneworld [11]. Trong bài này 
 phát ạ ấ m ấ ẫ  
 ơ ấ ẫ ì ạ – ứ . 
K thấy r ng mô 
hình hấp dẫn c i ti n ì v i mô hình khác . 
Trong hấp dẫn Einstein ta bi t r ng nhi u loạn tuy n tính trên giai ơ ng chân 
tr i (sub-horizon) th ơ ì : 2 4 0m m m mH G   (1) 
Ở â H là tham s Hubble, G là m t h ng s hấp dẫn Newton's , m là m 
 ợng c a các v t chấ ơ i tính, và m t chấ ạo hàm theo th i gian t. Trong kỷ 
nguyên v t chất th ng trị này l i gi ì ng 2/3
m a t   dẫ n s hình 
thành các cấu trúc giai l n. Trong mô hình hấp dẫn c i ti n mức nhi u loạn là khác nhau do s 
hi u ch nh c a h ng hấp dẫ ổi ti n tri n c a n n. Trong phạm vi c a hấp 
dẫn f(R) ặc bi t s công trình g â s ti n tri n c a m nhi u loạn trong 
k nguyên v t chất th ng trị và bắ u k ợng t i th ng trị [12]. 
 ợ ẫ ơ ì ơ 
 ơ ì ấ ẫ ơ ì  
 ẫ ơ ì ạ ấ 
 ấ ẫ ; ph n 4 ạ ấ ấ ẫ ạ 
– ứ , 


 . 
2. t ì ền 
Chúng ta bắ u v i các tác d ng 4 chi u ổ : 
4 1 ( , , )
2
mS d x g f R X L
 (2) 
Ở â g là m t ịnh thức c a mêtric g , f là m t hàm theo tham s ng Ricci R, 
m ng  và m t s hạ ng l c , , / 2
c
cX   . mL là m Lagrange cho v t 
 ấ ấ m ợng m . Chúng ta sử d ng kí hi u mêtric (-, +, +, +) . 
P ơ ì ng hấp dẫ ơ ì ng ng  ợc cho 
( )
, ; , , ,
1 1
( )
2 2
m
XFG f RF g F Fg f T         
(3) 
,
, ; ,( ) 0
c
X cf f  (4) 
Ở â 
f
F
R


 , G là m t ten ơ Einstein, và 
( )mT là m t ten ơ - ợng c a 
v t chất không áp ấ . 
Tạp chí Khoa học Đại học Thủ Dầu Một Số 3(34)-2017 
5 
Trong phẳng Friedmann-Robertson-Walker (FRW) mêtric v i nhân s giai a, 
chúng ta ợc ơ ì â : 
2
,
1
3 ( ) 3
2
X mFH f X FR f HF 
(5) 
,2 X mFH f X F HF 
(6) 
3
, ,3
1
( ) 0Xa f f
a
 
 (7) 
3 0m mH 
(8) 
2, 6(2 )
a
H R H H
a
 , và dấu chấm ạo hàm theo th 
tr t. 
 i chi ơ ì ạng thái ợ i DE v 
 ạ SNIa), chúng tôi vi t lạ ơ ì 
2
03 DE mF H (9) 
02 DE DE mF H p (10) 
t 
2
, 0
1
( ) 3 3 ( )
2
DE XFR f HF f X H F F (11) 
2
0
1
2 ( ) (2 3 )( )
2
DEp F HF FR f H H F F (12) 
Ở â s “ 0 ” ợ ị hi n tại. D chứng minh r ng DE 
và DEp nó ợ ịnh theo cách này th ơ ì ợng 
3 ( ) 0DE DE DEH p (13) 
chúng ta sử d ơ ì 7 ợc chứ ạm vi 
ten ơ ng hấp dẫ hấp dẫn ị ĩ ơ 
trình trạng thái c E 
, 0
2
, 0
2 2 4 4
1
2 6 6
XDE
DE
DE X
f X F HF H F Fp
f X FR f HF H F F

 
 (14) 
Lấ â ợc: 
 (0) 2 3
0 03 (1 )m MF H z  (15) 
 t 0 / 1z a a là dịch chuy và 
(0)
m là ỷ ợng hi n tại c a v t 
chấ ơ i tính. 
B ng cách sử d ơ ì 0 ơ ì ạng thái DE có th ạ 
(0) 3
3 (1 )( / )
3 3 (1 )
DE
m
r z dr dz
r z

  
 (16) 
t 2 2
0( ) /r H z H â ứ ứ ợ hấp dẫn 
Einstein DE ị ràng bu c theo cách ng thấy t quan sát SNIa . T ơ 
trình (14), chúng tôi thấy r ng s phát tri n c a DE ph thu ì ợng t i. 
 ta có th ki m tra tính kh thi c a mô hình b ng DE v i các quan sát. 
Võ Văn Ớn... Nhiễu loạn tuyến tính của vũ trụ... 
6 
3. ác p t ì cho nhiễu loạn t 
Ta xét các nhi u loạn mêtric v i mêtric nhi u loạ ng  và  trong chu n theo 
chi u dài (longitudinal gauge): 
 2 2 2 ij1 2 1 2
i jds dt a dx dx   (17) 
Bi ổ F ơ ì u loạ ợc [26]: 
2
2
, , , , ,2
2
2 2
,2
1 1 1
3 3
2 2 2
3 3 3 3 0
X X XX X
X m
k
H H f f X f f X f H F
a F
k
H H F F H HF f
a
       
   
   
    
(18) 
2
, 3
, , , ,2 3
,
1
3 3 2 0
X
X X
X
f k
f H f a f f
f a a
      
    
 (19) 
F
F

  (20) 
2
3 3m m m m
k
H v
a
  
  
 (21) 
1
m mv Hv
a
  (22) 
t ng chuy ng. 
 ị ĩ u loạn m v t chất m ấ 
3mm
m
H
 
 
 (23) 
 mv av 
 ơ ì ) : 
2
2
3( )m
k
v Hv
a
  (24) 
 v  (25) 
 ợc: 
2
2
2 3 6m m
k
H B HB
a
   
(26) 
 B Hv . 
T n trong [