Đề thi kỳ thi thử tốt nghiệp THPT năm 2021 Lần 2 môn Toán - Mã đề 213 (Có đáp án)

Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ ,Oxyz gọi ( ; ; )G a b c là trọng tâm của tam giác ABC với 1; 5;4A , 
 0;2; 1B và 2;9;0C . Giá trị của tổng a b c bằng 
A. 4. B. 12 . C.
4
3
. D. 12 .
Câu 2. Với , ,a x y là các số thực dương tùy ý, 1a , kết quả khi rút gọn biểu thức 
log
log
a
a
y
x
x
P
y
 là
A. 1.P B. .P x C. P y . D. P a .
Câu 3. Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây? 
A. 3 23 2y x x . B. 3 23 4y x x . C. 3 23 4y x x D. 3 4y x .
Câu 4. Tích phân 
1
2020
1
dx x
 bằng
A.
1
2021
. B.
2
2021
C.
2
2020
. D. 0 .
Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ ,Oxyz đường thẳng đi qua hai điểm 3;1; 6A và B 5;3; 2 có 
phương trình tham số là 
A. 
6
4 .
2
x t
y t
z t
 B. 
5 2
3 2 .
2 4
x t
y t
z t
 C. 
3
1 .
6 2
x t
y t
z t
 D. 
6 2
4 2
1 4
x t
y t
z t
Câu 6. Trong tập số phức , phương trình 2 4 0i z có nghiệm là 
A. 
7 3
5 5
z i B. 
4 8
5 5
z i . C. 
8 4
5 5
z i D.
8 4
5 5
z i . 
Câu 7. Một hình nón có đường sinh bằng đường kính đáy. Diện tích đáy của hình nón bằng 49 . Khi đó chiều 
cao của hình nón bằng 
A. 7 3 . B.
7 3
3
. C. 14 3 . D.
7 3
2
. 
O
y
x
4 
1 21 
_________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Đề thi gồm 06 trang
KỲ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2021 - LẦN 2
BÀI THI MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)
Ngày thi: 25/04/2021
MÃ ĐỀ THI: 213
Thí sinh không được sử dụng tài liệu khi làm bài. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm./.
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Câu 8. Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau: 
x 3 2 
 f x 0 0 
 f x 
2 
 3 
Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là 
A. 2.x B. 3x . C. 2x . D. 3.x 
Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ ,Oxyz tọa độ hình chiếu của điểm 2; 1;3A trên mặt phẳng Oyz 
là 
A. 0; 1;0 . B. 2;0;0 . C. 0; 1;3 . D. 2; 1;0 . 
Câu 10. Hệ số của 4x trong khai triển thành đa thức của biểu thức 
11
3 2x là 
A. 7 4 7113 2C . B. 
7 4 7
113 2C . C. 
7 7 4
113 2 .C D.
7 4
11
7 3 .2C 
Câu 11. Họ nguyên hàm của hàm số 23 7x xy là 
A. 63 ln 63x C B. 63x C . C.
21
ln 21
x
C . D.
63
ln 63
x
C .
Câu 12. Với a là các số thực dương tùy ý, 
5
5a bằng 
A. 1. B. 
5
1
a
C. 5a . D. 2 5a .
Câu 13. Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V và điểm E trên cạnh AB sao cho 3AE EB . Khi đó thể tích 
khối tứ diện EBCD bằng 
A. 
3
V
. B. 
5
V
. C. 
4
V
. D. 
2
V
.
Câu 14. Nghiệm của phương trình 
1
4 5 2
4,5
9
x
x
 là 
A. 1x . B.
4
5
x . C. 2x D.
5
4
x . 
Câu 15. Một hình trụ có bán kính đáy 5 cmr , chiều cao 7 cmh . Diện tích xung quanh của hình trụ này là 
A. 235 cm . B. 270 cm C. 235 cm
3
 . D. 270 cm
3
 .
Câu 16. Cho số phức 9 5z i . Phần ảo của số phức z là 
A. 5. B. 5 .i C. 5 . D. 5i .
Câu 17. Trong không gian với hệ tọa độ ,Oxyz cho mặt cầu S có phương trình 2 2 2 2 4 6 0x y z x y z 
. Trong ba điểm có tọa độ lần lượt là (0;0;0) , (1;2;3) và (2;0;6) thì có bao nhiêu điểm nằm trên mặt 
cầu ?S 
A. 0 . B. 3. C. 1. D. 2.
Câu 18. Cho hàm số ( )f x có bảng biến thiên như sau: 
x 3 0 3 
 f x 0 0 0 
 f x 
2 
3 
2 
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
_________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
A. 3; . B. ; 2 . C. 3;0 . D. 0;3 .
Câu 19. Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số phân biệt lập từ các chữ số 1,2,3, 4,5,6? 
A. 360 B. 6 . C. 720 D. 1.
Câu 20. Nghiệm của phương trình 3
1
log
3
x là 
A. 27x . B. 3 3x . C.
1
3
x . D.
1
27
x . 
Câu 21. Một lớp học có 18 nam và 12 nữ. Số cách chọn hai bạn từ lớp học đó, trong đó có một nam và một nữ 
tham gia đội xung kích của nhà trường là 
A. 30 B. 2 218 12C C C. 
2
20C . D. 216. 
Câu 22. Đạo hàm của hàm số log tany x tại điểm 
3
x
 bằng
A.
4
3ln10
. B.
4 3
9 ln10
. C.
4 3
9
. D.
4 3
3ln10
. 
Câu 23. Nếu 
1 1
3 4a a và 
4 5
log log
5 6
b b
 thì 
A. 0 1, 1a b . B. 0 1, 1.b a C. 1, 1a b . D. 0 1,0 1a b .
Câu 24. Trong không gian với hệ tọa độ ,Oxyz cho bốn điểm 1;2;4 , 1;0;0 , 0;2;0M A B và 0;0;4C . 
Phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng ABC và đi qua điểm M là 
A. 2 4 21 0x y z . B. 2 4 12 0x y z .
C. 4 2 12 0.x y z D. 4 2 21 0.x y z 
Câu 25. Hàm số nào sau đây có bảng biến thiên như hình dưới đây? 
x 2 
 y – –
y
2 
2 
A.
2 7
2
x
y
x
. B.
2 1
2
x
y
x
. C.
2 1
2
x
y
x
. D.
1 2
2
x
y
x
. 
Câu 26. Cho hình lăng trụ đúng .ABC BA C có đáy ABC là tam giác vuông tại B . Biết 
2 , , 2 3AC a BC a AA a , thể tích khối lăng trụ .ABC A B C bằng 
A. 36a B. 32a . C. 33a . D. 33 3.a 
Câu 27. Cho hai số phức 2 3z i và 3 4w i . Trên mặt phẳng tọa độ ,Oxy điểm biểu diễn của số phức 
.wz có tọa độ là 
A. 6;17 . B. 18;17 . C. 17;6 . D. 17; 18 .
Câu 28. Nếu 
2021
2
( ) 12f x dx và
2021
2020
( ) 2f x dx thì
2020
2
( )f x dx bằng
A. 10. B. 10. C. 14. D. 24.
Câu 29. Giá trị nhỏ nhất của hàm số 1. xf x x e trên đoạn  2;4 là
A. 54e . B. 2e . C.
2
.
e
D. 1. 
Câu 30. Họ nguyên hàm của hàm số 5 3y x là 
_________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
A. 
32
5 3
9
x C . B. 
2
5 3
3
x C . C. 
32
5 3
9
x C . D. 
1
5 3
2
x C .
Câu 31. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA ABCD . Biết ,SA a AB a và 
2AD a. Gọi G là trọng tâm tam giác .SAD Khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng S ... 10 bạn đăng kí thi tổ hợp tự nhiên, 6 bạn đăng kí thi tổ hợp xã hội. Tổ 2 có 9 bạn đăng
kí thi tổ hợp xã hội, 7 bạn đăng kí thi tổ hợp tự nhiên. Chọn ngẫu nhiên ở mỗi tổ 1 bạn. Xác
suất để cả hai bạn được chọn đều đăng kí cùng tổ hợp dự thi tốt nghiệp là
A.
33
64
. B.
2
32
124
C
. C.
31
64
. D.
2
32
124
A
.
Lời giải
Chọn C
Ta có 16.16 256W = = .
TH1: Chọn hai bạn cùng thi tổ hợp xã hội. Có 1 16 9. 54C C = cách chọn.
TH2: Chọn hai bạn cùng thi tổ hợp tự nhiên. Có 1 110 7. 70C C = cách chọn.
Vậy xác suất cần tính là
54 70 124 31
256 256 64
+ = = .
Câu 34: Cho hình chóp .S ABCD có ( ) ( )SAB ABCD^ , có đáy ABCD là hình vuông, tam giác
SAB vuông tại S , , 3SA a SB a= = . Giá trị tan của góc giữa đường thẳng SC và mặt
phẳng ( )ABCD là
A.
21
7
. B.
3
5
. C.
51
17
. D. 3 .
Lời giải
NHÓMTOÁN VD–VDC NĂM HỌC 2020 – 2021
https:/www.facebook.com/groups/toanvd. Trang 19
Chọn B
Kẻ SH AB^ tại H , suy ra ( )SH ABCD^ .
Khi đó ( )( ) ( )· ·, ,SC ABCD SC HC SCH= = .
Ta có 2 2 2AB SA SB a= + = ;
2 23 3
2 2
SB aHB aBA a= = = ;
2 2 5
2HC HB BC a= + = ;
. . 3 3
2 2
SASB a a aSH AB a= = = .
Vậy · 3 5 3tan :2 2 5
SH a aSCH HC= = = .
Câu 35: Tìm m để đồ thị hàm số
2
2
2 3 4
1
x x
y
x mx
 có duy nhất một đường tiệm cận ?
A. 2;2m . B.  2;2m . C. 2;2m . D. 2;m .
Lời giải
Chọn A.
Ta có
2
2
3 4
2
lim lim 2 2
1
1
x x
x xy y
m
x x
là đường tiệm cận ngang.
Ta có 22 3 4 0x x vô nghiệm.
Để đồ thị hàm số
2
2
2 3 4
1
x x
y
x mx
 có duy nhất một đường tiệm cận
 Phương trình 2 1 0x mx vô nghiệm 20 4 0 2;2m m .
Câu 36: Mùa hè năm 2021 , để chuẩn bị cho “học kì quân đội” dành cho các bạn nhỏ, một đơn vị bộ đội
chuẩn bị thực phẩm cho các bạn nhỏ, dự kiến đủ dùng trong 45 ngày (năng suất ăn của mỗi
NHÓMTOÁN VD–VDC NĂM HỌC 2020 – 2021
https:/www.facebook.com/groups/toanvd. Trang 20
ngày là như nhau). Nhưng bắt đầu từ ngày thứ 11 , do số lượng thành viên tham gia tăng lên,
nên lượng tiêu thụ thực phẩm tăng lên 10% mỗi ngày (ngày sau tăng 10% so với ngày trước
đó). Hỏi thực tế lượng thức ăn đó đủ dùng cho bao nhiêu ngày?
A. 24 . B. 25 . C. 23 . D. 26 .
Lời giải
Chọn B.
Gọi x là số thực phẩm dự kiến dùng cho 1 ngày.
 Tổng số thực phẩm 45x .
Số thực phẩm đã dùng trong 10 ngày đầu là 10x .
Nhưng bắt đầu từ ngày thứ 11 , do số lượng thành viên tham gia tăng lên, nên lượng tiêu thụ
thực phẩm tăng lên 10% mỗi ngày.
 Số thực phẩm dùng trong ngày thứ n là 1 0,1 nx .
Tổng số thực phẩm đã dùng sau ngày thứ n là
110 (1 0,1) ... (1 0,1)nx x x x 
1(1 0,1) 1
10
0,1
n
x x
Sau n ngày dùng hết sản phẩm nếu
1 1(1 0,1) 1 (1 0,1) 1
10 45 35
0,1 0,1
n n
x x x
 1 1,11,1 4,5 1 log 4,5 15,78n n n .
Suy ra, thực tế lượng thức ăn đó đủ dùng cho 10 15 25 ngày.
Câu 37: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho mỗi giá trị của m , bất phương trình
 2 22 4log 2 3 log 2 10x x m x x m nghiệm đúng với mọi x thuộc đoạn  0;3 ?
A. 13. B. 12. C. 252. D. 253.
Lời giải
Chọn C
Điều kiện 2 2 1 ' 0 2 1x x m m .
 2 2 2 22 4 2 2log 2 3 log 2 10 log 2 3 log 2 10x x m x x m x x m x x m 
Đặt 22log 2 0t x x m t .
 2
1
' ' 0 1
2 .ln 2
x
t t x
x x m
 .
Bẳng biến thiên
x 0 1 3
't 0 
NHÓMTOÁN VD–VDC NĂM HỌC 2020 – 2021
https:/www.facebook.com/groups/toanvd. Trang 21
t 2log 3m 
2log m
2log 1m 
Ta có bất phương trình
2 2 2 2
2
2 2
2
3 10 1 log 1; log 3 5 2 log 1; log 3
log 3 4
0 2, log 1; log 3 3 256 253 2
log 1 0
t t t m m t t m m
m
t t m m m m
m
   
  
.
Từ 1 và 2 thì số phần tử của m là  253 2 1 252 . Vậy có 252 giá trị của m .
Câu 38: Cho hàm số y f x liên tục trên , có bẳng biến thiên như sau:
x - a b + 
'y 0 0 
y 
6
5 
Đặt 2h x m f x (m là tham số ). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m sao cho hàm số
 y h x có đúng 5 cực trị ?
A. ô sô '.V B. 12. C. 0. D. 10.
Lời giải
Chọn D
Đặt
 2 ' ' 2g x m f x g x f x 
 2 2' 0 ' 2 0
2 2
x a x a
g x f x
x b x b
.
Ta có bảng biến thiên
x - 2a 2b + 
 'g x 0 0 
NHÓMTOÁN VD–VDC NĂM HỌC 2020 – 2021
https:/www.facebook.com/groups/toanvd. Trang 22
 g x 
5m 
6m 
Để hàm số 2h x m f x g x có đúng 5 cực trị điều kiện là
 5 0 5 6 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,5
6 0
m
m m
m
.
Do m nguyên nên 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,5m . Vậy có 10giá trị của m .
Câu 39: Cho hàm số 2 1 3
3 7 3
x khi x
f x
ax a khi x
( a là tham số thực). Nếu 1 2
0
1 dx xf e e x e 
thì a bằng
A.
23 4 6
.
1
e e
e
 B. 6 6.e C. 6 6.e D. 6 6.e 
Lời giải
Chọn B.
Ta có ( ) ( ) ( )
3 3
3 lim 7 lim
x x
f f x f x- += = =
Þ hàm số ( )f x liên tục tại 3.x=
Đặt 1xt e xdt e dx 
Đổi cận: 1 2; 1 1x t x t e 
Khi đó 1 3 12 2
2 2 3
.dt 3 7 2 1 dt
e e
f t e at a dt t e
 .
 32 12 2
3
2
3 7
2
eat
at t t t e
 2 2 29 9 21 2 6 14 1 1 3 3
2
a a a a e e e
6 6a e .
Câu 40: Cho hình nón T đỉnh ,S có đáy là đường tròn 1C tâm O , bán kính bằng 2 , chiều cao hình
nón T bằng 2. Khi cắt hình nón T bởi mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn SO và song
NHÓMTOÁN VD–VDC NĂM HỌC 2020 – 2021
https:/www.facebook.com/groups/toanvd. Trang 23
song với đáy của hình nón, ta được đường tròn 2C tâm .I Lấy hai điểm A và B lần lượt trên
hai đường tròn ( )2C và ( )1C sao cho góc giữa IA
uur
và OB
uur
là 60° . Thể tích khối tứ diện IAOB
bằng.
A.
3
.
6
B.
3
.
12
C.
3
.
4
D.
3
.
24
Lời giải
Chọn B.
Vì khi cắt hình nón T bởi mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn SO và song song với đáy
của hình nón, ta được đường tròn 2C tâm I nên 1 1.2IA JI r= = =
Ta có 2 2 1IA IJ SJ SI= = - = .
( ); 1d IA OB OI= = .
Khi đó ( ) ( )1 1 3 3. . ; .sin ; .2.1.1.
6 6 2 6OBAI
V IAOBd IA OB IA OB= = =
Câu 41: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 5 5 12z z- + + =
là
A.Một đường parabol. B.Một đường elip . C.Một đường tròn. D.Một đường thẳng.
Lời giải
Chọn B .
Gọi ( );M x y là điểm biểu diễn số phức ( ); ;z x yi x y= + Ρ .
NHÓMTOÁN VD–VDC NĂM HỌC 2020 – 2021
https:/www.facebook.com/groups/toanvd. Trang 24
Ta có:
5 5 12z z- + + = 5 5 12x yi x yiÛ + - + + + = ( ) ( )2 22 25 5 12x y x yÛ - + + + + = .
Đặt ( )1 5;0F ; ( )2 5;0F - 1 2 1 212 10MF MF FFÞ + = > = nên tập hợp điểm biểu diễn M là
một Elip ( )
2 2
2 2
: 1
x y
E
a b
+ = với 1 2;F F là tiêu điểm .
Ta có:
1 2
1 2
2 2 2
2 12
2 10
MF MF a
F F c
a b c
ìï + = =ïïï = =íïïï = +ïî
6
5
11
a
c
b
ìï =ïïïÞ =íïïï =ïî
( )
2 2
: 1
36 11
x y
EÞ + = .
Câu 42: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm ( )1;4;5A và ( )1;2;7B - . Điểm M thay
đổi nhưng luôn thuộc mặt phẳng ( )P có phương trình 3 5 9 0x y z- + - = . Giá trị nhỏ nhất của
tổng 2 2MA MB+
A. 12. B.
441
35
. C.
858
35
. D.
324
35
.
Lời giải
Chọn C .
Gọi I là trung điểm của đoạn ( )0;3;6AB IÞ và 0IA IB+ =uur uur r .
( )1;1; 1IA= -uur ; ( )1; 1;1IB = - -uur .
Ta có:
2 22 2MA MB MA MB+ = +uuur uuur ( ) ( )2 2MI IA MI IB= + + +uur uur uur uur ( )2 2 22 2 .MI MI IA IB IA IB= + + + +uur uur uur
2 2 22MI IA IB= + + .
Ta có: 2 2IA IB+ không đổi Þ 2 2MA MB+ nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất MÞ là hình
chiếu của điểm I lên mặt phẳng ( )P .
Vậy ( )2 2 2 2 2min 2MA MB MI IA IB+ = + + .
Mà MI = ( )( ) ( )22 2
3.0 5.3 6 9
;
3 5 1
d I P
- + -=
+ - +
18
35
= ; 2 2 6IA IB+ = .
2 2 858
35
MA MBÞ + = .
Gọi d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với ( )P
3
: 3 5
6
x t
d y t
z t
ì =ïïïïÞ = -íïï = +ïïî
.
NHÓMTOÁN VD–VDC NĂM HỌC 2020 – 2021
https:/www.facebook.com/groups/toanvd. Trang 25
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:
3
3 5
6
3 5 9 0
x t
y t
z t
x y z
ì =ïïïï = -ïíï = +ïïï - + - =ïî
24
35
72
35
3
7
129
35
t
x
y
z
ìïï =ïïïïïï =ïïïÞíïï =-ïïïïïïï =ïïî
72 3 129
; ;
35 7 35
M ÷çÞ - ÷ç ÷ç .
Câu 43: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng 1
2 1 3
:
3 2 1
x y z
d
 và
2
2 3 9
:
2 1 4
x y z
d
 . Đường thẳng d đi qua điểm 2;0;3M , vuông góc với 1d và cắt
2d có phương trình là
A.
2 3
2 6 18
x y z . B.
2 3
1 3 9
x y z .
C.
2 3
2 6 18
x y z . D.
2 3
1 3 9
x y z .
Lời giải
Chọn B
Gọi A là giao điểm của d và 2d .
Do 2 2 2; 3;4 9A d A t t t , khi đó đường thẳng d nhận 2 4; 3;4 6MA t t t  
làm một VTCP.
Vì 1d d nên 1. 0 3 2 4 2 3 4 6 0 3d du u t t t t   .
Suy ra 4;6;21A .
Đường thẳng d đi qua 2;0;3M và có VTCP là 2;6;18 1;3;9MA   nên có phương
trình là
2 3
1 3 9
x y z .
Câu 44: Gọi S là tập hợp tất cả các số phức z thỏa mãn 22 2z z z . Tổng phần thực của các số phức
thuộc S bằng
A. 0. B. 2 . C. 3. D. 2.
Lời giải
NHÓMTOÁN VD–VDC NĂM HỌC 2020 – 2021
https:/www.facebook.com/groups/toanvd. Trang 26
Chọn D
Đặt z a bi với ,a b .
Ta có 2 22 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2z z z a bi a b a bi a b abi a b a bi 
2
2 2 2 2
0
2
1; 10
2 2
1; 11
a b a b
a b a b a
a bb
ab b
a ba
Vậy 0;1 ;1S i i . Khi đó tổng phần thực của các số phức thuộc S bằng 2.
Câu 45: Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C ; H là điểm thỏa mãn 2HB HA   
và SH ABC . Các mặt bên SAC và SBC cùng tạo với đáy góc 45 . Biết 6SB a ,
thể tích khối chóp .S ABC bằng:
A.
33
4
a
. B.
39
4
a
. C.
33 2
4
a
. D.
33
2
a
.
Lời giải
Chọn A
Gọi M ; N lần lượt là hình chiếu của H trên BC và AC
Từ gt Tứ giác HMCN là hình chữ nhật
Ta có: SH BC ; SH AC ; HM BC ; HN AC BC SHM ; AC SHN
 ; ; 45SBC ABC SM HM SMH  ; ; ; 45SAC ABC SN HN SNH 
NHÓMTOÁN VD–VDC NĂM HỌC 2020 – 2021
https:/www.facebook.com/groups/toanvd. Trang 27
 SH HM HN MC 
Từ gt 1
3
HN AH
BC AB
 2 2BM MC SH 
Lại có: 2 2 2 2 2 2 26SB SH HB SH MB HM SH 1
6
SH SB a 
 3 3 3BC MC SH a ; 3 3 3 3
2 2 2 2
a
AC NC HM SH .
Vậy thể tích khối chóp .S ABC là:
3
.
1 1 1 3
. . .
3 3 2 4S ABC ABC
a
V SH S SH AC BC .
Câu 46: Gọi X là tập hợp các giá trị của tham số m thỏa mãn đường thẳng d : 12 7y m cùng với
đồ thị C của hàm số 3 21 4 1
3
y x mx x tạo thành hai miền kín có diện tích lần lượt là 1S
và 2S thỏa mãn 1 2S S (xem hình vẽ). Tích các giá trị của các phần tử của X là:
A. 9 . B. 9 . C. 27 . D. 9
2
 .
Lời giải
Chọn B
Ta có: 3 2
1
4 1
3
y x mx x 
2 2 4y x mx ; 2 2y x m 
 Điểm uốn của đồ thị C là 32; 4 1
3
I m m m
NHÓMTOÁN VD–VDC NĂM HỌC 2020 – 2021
https:/www.facebook.com/groups/toanvd. Trang 28
Do đồ thị C nhận điểm uốn làm đối xứng và 1 2S S nên hai hình phẳng có diện tích 1S ; 2S
đối xứng nhau qua điểm uốn 3
2
; 4 1
3
I m m m
 .
Từ gt Đường thẳng d đi qua điểm uốn của đồ thị C
 32 4 1 12 7
3
m m m 23 3 3 0m m m 
3
3 21
2
3 21
2
m
m
m
Vậy tích các giá trị của các phần tử của X bằng 9 .
Câu 47: Cho hàm số ( )f x là hàm bậc bốn thỏa mãn 10 .
2021
f Hàm số '( )f x có bảng biến thiên như
sau:
Hàm số 3( )g x f x x có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 1. B. 5 . C. 2 . D. 3 .
Lời giải
Chọn D
Xét hàm số 3 2 3 3 21( ) '( ) 3 ' 1 '( ) 0 '( ) .h x f x x h x x f x h x f x x 
Đặt 3 3
3 2
1
'( ) .t x x t f t
t
Xét hàm số
3 32 5
1 2 1
'
3
y y
t t
Vẽ hai đồ thị lên cùng BBT ta được:
NHÓMTOÁN VD–VDC NĂM HỌC 2020 – 2021
https:/www.facebook.com/groups/toanvd. Trang 29
Ta thấy hai đồ thị hàm số cắt nhau tại một điểm duy nhất 30 0.t a x a 
Suy ra hàm số ( )y h x có một cực trị.
Ta có bảng biến thiên của ( )h x như sau:
Suy ra ( ) 0h x có hai nghiệm phân biệt.
Vậy hàm ( )y g x có 3 cực trị.
Câu 48: Xét các số phức z thỏa mãn 1 2.z Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất
của biểu thức 2 2 3 .P z z Tổng M m bằng?
A. 14. B. 7 . C.
45 3 35
5
. D.
15 5 33
3
.
Lời giải
Chọn D
Gọi ,M x y là điểm biểu diễn của số phức z.
1 2z M thuộc đường tròn tâm 1;0 , 2.I R 
Gọi 2;0 , 3;0A B khi đó 2 .P MA MB 
NHÓMTOÁN VD–VDC NĂM HỌC 2020 – 2021
https:/www.facebook.com/groups/toanvd. Trang 30
Ta có 2 5.P MA MB AB Dấu “=” xảy ra khi .M B
Lại có
3
.
2
IA IB   
 22 2 2 2 22 . 3 .MA MI IA MI IA MI IA MI IA MI IB       
 22 2 2 2 .MB MI IB MI IB MI IB     
2 2 2 2 2 2 2 23 5 3 5 3 25.
2 2 2 2 2
MA MB MI IA IB R IA IB 
Ta có 
2
2 2 22 6 6 11 3 2752 . . .
3 2 3 2 3
MA MB MA MB MA MB
Vậy max
5 33 5 33 15 5 33
5 .
3 3 3
P M m
Câu 49: Cho 2 số thực dương ,x y thỏa mãn 15log 2 1 125 1 1 .yx y x y Giá trị nhỏ
nhất của biểu thức 5P x y là
A. min 125.P B. min 57.P C. min 43.P D. min 25.P 
Lời giải
Chọn C
Với , 0,x y ta có 5pt 1 log 2 1 125 1 1y x y x y 
 5 5 125log 2 log 1 2 31x y xy 
 5 5 125 125log 2 2 log 1 1x x y y 
Xét hàm số 2log ,f t t t trên khoảng 0; 
Ta có 11 0, 0
ln 2
f t t f t
t
  luôn đồng biến trên khoảng 0; 
NHÓMTOÁN VD–VDC NĂM HỌC 2020 – 2021
https:/www.facebook.com/groups/toanvd. Trang 31
Mà 1252
1
f x f
y
nên
125 125
2 2
1 1
x x
y y
Xét hàm số
125
5 2 5
1
P x y y
y
 125 1255 1 7 2 .5 1 7
1 1
P y y
y y
 43P 
Vậy min 43P khi 2125 5 1 1 25 4, 23.1 y y y xy 
Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt cầu 2 2 21 : 2 3 1 4S x y z và
 2 2 22 : 3 1 1 1S x y z . Gọi M là điểm thay đổi thuộc mặt cầu 2S sao cho tồn
tại ba mặt phẳng đi qua M , đôi một vuông góc với nhau và lần lượt cắt mặt cầu 1S theo ba
đường tròn. Giá trị lớn nhất của tổng chu vi ba đường tròn đó là
A. 8 . B. 4 6 . C. 2 30 . D. 4 .
Lời giải
Chọn B
 1S có tâm 1 2; 3;1I , bán kính 1 2R .
 2S có tâm 2 3; 1; 1I , bán kính 2 1R .
1 2 1 23I I R R 1S tiếp xúc ngoài với 2S .
Gọi ba mặt phẳng đi qua M , đôi một vuông góc với nhau và lần lượt cắt mặt cầu 1S là
 , ,P Q R , bán kính các đường tròn giao tuyến lần lượt là 1 2 3, ,r r r . Gọi hình chiếu của 1I
lên , ,P Q R lần lượt là 1 2 3, ,H H H .Dựng hình hộp chữ nhật 3 1 1 2.EH I H MKH F .
Xét hình hộp chữ nhật 3 1 1 2.EH I H MKH F có:
2 2 2 2
1 1 1 2 1 3 1I H I H I H I M 2 2 2 21 2 3 14 4 4r r r I M 2 2 2 21 2 3 112r r r I M .
NHÓMTOÁN VD–VDC NĂM HỌC 2020 – 2021
https:/www.facebook.com/groups/toanvd. Trang 32
Tổng chu vi của ba đường tròn là
 2 2 21 2 3 1 2 32 2 3r r r r r r 2 21 12 3 12 2 3 12I M R 
 2 3 12 4 4 6 .
Dấu “=” xảy ra M là điểm tiếp xúc của 1S và 2S .
Vậy tổng chu vi ba đường tròn đó đạt giá trị lớn nhất là 4 6 .
____________________ HẾT ____________________
https://toanmath.com/