Các tính chất phi cổ điển của trạng thái thêm và bớt một photon lên hai mode kết hợp chẵn

CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN CỦA TRẠNG THÁI THÊM VÀ
BỚT MỘT PHOTON LÊN HAI MODE KẾT HỢP CHẴN
TRẦN THỊ THU 1, TRƯƠNG MINH ĐỨC 1, HỒ SỸ CHƯƠNG 2
1 Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế, Email: tmduc2009@gmail.com
2 Trường Đại học Đồng Nai, Email: hosichuong@gmail.com
Tóm tắt: Bài báo này trình bày việc khảo sát các tính chất phi cổ
điển của trạng thái thêm và bớt một photon lên hai mode kết hợp
chẵn. Bằng việc sử dụng điều kiện nén tổng và nén hiệu hai mode, kết
quả thu được cho thấy trạng thái này là một trạng thái thể hiện tính
nén tổng nhưng không nén hiệu. Sau đó chúng tôi đã khảo sát tính
chất phản kết chùm hai mode và sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-
Schwarz của trạng thái này. Kết quả cho thấy trạng thái thêm và bớt
một photon lên hai mode kết hợp chẵn có tính chất phản kết chùm và
hoàn toàn vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Chúng tôi cũng
đã khảo sát các điều kiện đan rối Hillery–Zubairy và đan rối Nha-Kim
và thu được kết quả cho thấy trạng thái thêm và bớt một photon lên
hai mode kết hợp chẵn đan rối hoàn toàn theo cả hai tiêu chuẩn đan
rối Hillery–Zubairy và Nha-Kim.
Từ khóa: Nén tổng hai mode, nén hiệu hai mode, phản kết chùm,
sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, tiêu chuẩn đan rối
Hillery–Zubairy và đan rối Nha-Kim.
1 GIỚI THIỆU
Trong những năm gần đây, các lĩnh vực thông tin lượng tử, viễn tải lượng tử
và máy tính lượng tử thu hút sự quan tâm rất lớn của các nhà khoa học và đang
có những bước phát triển mạnh mẽ. Cùng với đó, việc nghiên cứu các trạng thái có
tính phi cổ điển, đặc biệt là tính đan rối đóng vai trò quan trọng trong quá trình
tạo ra các nguồn tài nguyên rối. Vào năm 1991, Agarwal và Tara đã đề xuất ý tưởng
về trạng thái kết hợp thêm photon [1] và chứng minh được nó là một trạng thái phi
cổ điển, thể hiện tính nén, tính phản kết chùm và tuân theo thống kê sub-Poisson.
Việc thêm và bớt photon vào một trạng thái vật lý là một phương pháp quan trọng
để tạo ra một trạng thái phi cổ điển mới. Bài báo này trình bày các nghiên cứu của
chúng tôi về các tính chất phi cổ điển đối với trạng thái thêm và bớt một photon
lên hai mode kết hợp chẵn sau
|Ψ〉ab = Nαβ
(
aˆ† + bˆ
)
(|α〉a|β〉b + |β〉a|α〉b) , (1)
trong đó Nαβ = [2|α|2+2+2α∗β∗+2αβ+2|β|2+(2α∗β + 2 + 2α∗β∗ + 2αβ + 2β∗α)×
exp
(−|α− β|2) ]− 12 là hệ số chuẩn hóa, aˆ† là toán tử sinh đối với mode a và bˆ là toán
Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế
ISSN 1859-1612, Số 01(45)/2018: tr. 93-103
Ngày nhận bài:06/10/2017; Hoàn thành phản biện: 11/10/2017; Ngày nhận đăng: 23/10/2017
94 TRẦN THỊ THU và cs.
tử hủy đối với mode b.
2 TÍNH CHẤT NÉN CỦA TRẠNG THÁI THÊM VÀ BỚT MỘT PHOTON
LÊN HAI MODE KẾT HỢP CHẴN
2.1 Nén tổng hai mode
Nén tổng hai mode được Hillery [2] đưa ra vào năm 1989. Một trạng thái được
gọi là nén tổng nếu thỏa mãn bất đẳng thức
〈(
∆Vˆϕ
)2〉
< 1
4
(nˆa + nˆb + 1) , hay
S =
〈(
∆Vˆϕ
)2〉
− 1
4
(nˆa + nˆb + 1) < 0, (2)
trong đó 〈(∆Vˆϕ)2〉 =
〈
V 2ϕ
〉−〈Vϕ〉2, Vˆϕ = 1
2
(
eiϕaˆ†bˆ† + e−iϕaˆbˆ
)
, nˆa = aˆ
†aˆ và nˆb = bˆ†bˆ.
Đối với trạng thái thêm và bớt một photon lên hai mode kết hợp chẵn, ta có
S =
〈
Vˆ 2ϕ
〉
−
〈
Vˆϕ
〉2
− 1
4
(nˆa + nˆb + 1)
= 1
4
|Nαβ|2{
(
2|α|4 + 5|α|2 + 2)+ (4|α|4 + 8|α|2 + 3) |β|2 + (2|β|4 + 5|β|2 + 2)
+
(
4|β|4 + 8|β|2 + 3) |α|2 + 2 (4|α|2 + 4) (|β|2 + 1)Re[αβ] + 2 (2|α|2 + 2|β|2 + 6)
×Re[e−2iϕα2β2] + 2 (2|α|2|β|2 + 2|β|2 + 2|α|2)Re[e−2iϕαβ] + 4Re[e−2iϕα3β3]
+[2Re[(α∗2β2 + 4α∗β + 2) (β∗α + 1)] + 2Re[(α∗2β2 + 3α∗β + 1) β∗α]
+2Re[αβ]
(
2|α|2|β|2 + 6Re[β∗α] + 4)+ 2Re[β∗α]|α|2|β|2 + 2|α|2Re[(α∗β + 1) β∗2]
+2|β|2Re[(α∗β + 1)α2] + 2Re[(α∗β + 1) (β∗2α2 + β∗α)] + 2 (2Re[α∗β] + 6)
×Re[e−2iϕα2β2] + 2|α|2Re[e2iϕ (α∗β + 2) β∗2] + 2Re[e2iϕ (β∗α + 2)α∗2]|β|2
+2Re[e2iϕβ∗2α∗3β] + 2Re[e2iϕα∗2β∗3α] + 4Re[e2iϕβ∗3α∗3]] exp
{−|α− β|2}}
−{1
2
|Nαβ|2{2
(
2|α|2 + 2|β|2 + 4)Re[e−iϕαβ] + 2 (2|α|2|β|2 + |α|2 + |β|2)Re[eiϕ]
+4Re[e−iϕα2β2] + [{2 (2Re[α∗β] + 4) Re[e−iϕαβ] + 2 (2|α|2|β|2 + 2Re[αβ∗])Re[eiϕ]
+4Re[eiϕα∗2β∗2] + |α|22Re[eiϕβ∗2] + |β|22Re[e−iϕα2]] exp{−|α− β|2}}]}2
−1
4
|Nαβ|2{2|α|4 + 2|β|4 + 4 +
(
3|α|2 + 6) |β|2 + (|β|2 + 6) |α|2
+
(
2|α|2 + 2|β|2 + 4) 2Re[αβ] + [4Re[α∗2β2] + 4 + 2Re[(α∗β + 6) β∗α]
+2Re[(α∗β + β∗α + 4)αβ] + |α|22Re[β2] + |β|22Re[α2] + 2|α|2|β|2]
× exp{−|α− β|2}},
(3)
trong đó, |Nαβ|2 = [2|α|2+2+2α∗β∗+2αβ+2|β|2+(2α∗β + 2 + 2α∗β∗ + 2αβ + 2β∗α)×
exp
(−|α− β|2) ]−1.
Ta đặt α = ra exp(iϕa) và β = rb exp(iϕb) và ϕ = ϕa − ϕb rồi khảo sát tính
nén tổng hai mode theo biên độ rb và pha dao động ϕb với điều kiện khảo sát là
ra = rb, ϕa = 2ϕb, 0 ≤ rb ≤ 5 và ϕb = pi/2. Kết quả ở hình 1a cho thấy trạng thái
thêm và bớt một photon lên hai mode kết hợp chẵn có tính nén tổng.
2.2 Nén hiệu hai mode
CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN CỦA TRẠNG THÁI ... 95
Nén hiệu hai mode cũng được Hillery đưa ra [2]. Một trạng thái gọi là nén hiệu
hai mode nếu thỏa mãn bất đẳng thức
〈(
∆Wˆϕ
)2〉
< 1
4
|nˆa − nˆb| [3], hay
D =
〈(
∆Wˆϕ
)2〉
− 1
4
|nˆa − nˆb| < 0, (4)
trong đó 〈(∆Wˆϕ)2〉 =
〈
Wˆ 2ϕ
〉
−
〈
Wˆϕ
〉2
, Wˆϕ =
1
2
(
eiϕaˆbˆ+ + e−iϕaˆ+bˆ
)
, nˆa = aˆ
+aˆ và
nˆb = bˆ
+bˆ. Đối với trạng thái thêm và bớt một photon lên hai mode kết hợp chẵn, ta
có
D = 1
4
|Nαβ|2{
(|α|2 + 3) 2Re[e2iϕα2β∗2] + (|β|2 + 3) 2Re[e2iϕα∗2β2] + (|β|2 + 2)
×2Re[e2iϕα∗3β] + (|α|2 + 2) 2Re[e2iϕαβ∗3] + 2Re[e2iϕα3β∗]|β|2 + 2Re[e2iϕβ3α∗]|α|2
+2Re[e2iϕβ2α∗2]|α|2 + 2Re[e2iϕα2β∗2]|β|2 + 4|α|4|β|2 + 4|β|4|α|2 + 16|β|2|α|2
+2|α|4 + 6|α|2 + 6|β|2 + 2|β|4 + 2 (4|β|2|α|2 + 4|β|2 + 4|α|2 + 2) 2Re[αβ]
+[2Re[(α∗β + 3)
(
e2iϕ|β|4 + e−2iϕ|α|4)]
+2Re[(α∗β + 2)
(
e2iϕβ∗2|β|2 + e−2iϕα2|α|2)] + 2Re[e2iϕβ∗α]|β|4 + 2Re[e2iϕα∗β]|α|4
+2Re[e2iϕαβ]
(|α|4 + |β|4)+ 2Re[(2α∗2β2 + 7α∗β + 6) β∗α] + 2Re[β∗2α2] + 2
+4
(|β|2|α|2 + 2Re[α∗β] + 1)Re[αβ] + |β|2|α|2 (2Re[α∗β] + 2)
+2Re[(α∗β + 1) β∗2α2] + 2|α|2Re[(β∗α + 2) β2] + 2|β|2Re[(α∗β + 2)α2]]
× exp{−|α− β|2}} − (1
2
|Nαβ|2{2
(|α|2 + 2)Re[eiϕαβ∗] + 2 (|α|2 + 1)Re[eiϕβ∗2]
+2
(|β|2 + 2)Re[eiϕα∗β] + 2 (|β|2 + 1)Re[eiϕα∗2] + 2|β|2Re[eiϕα2 ... ∣− 1 ≥ 0. (6)
96 TRẦN THỊ THU và cs.
Hình 1: Sự phụ thuộc của tham số S và D vào biên độ kết hợp rb.
Với trạng thái thêm và bớt một photon lên hai mode kết hợp chẵn, ta có
I = {[|α|6 + 5|α|4 + 4|α|2 + |β|6 + 5|β|4 + 4|β|2 + |α|4|β|2 + |β|4|α|2 + 2(|β|4
+2|β|2 + |α|4 + 2|α|2)Re[αβ] + 2[Re[α∗3β3] + 5Re[α∗2β2] + 4Re[α∗β]
+|β|2Re[α∗3β] + 2|β|2Re[α2] + |α|2Re[α∗β3] + 2|α|2Re[β2] + |β|2|α|2Re[αβ∗]]
× exp{−|α− β|2}][|α|2|β|4 + |β|4 + |β|6 + |β|2|α|4 + |α|4 + |α|6
+2Re[αβ](|β|4 + |α|4) + 2[Re[(α∗β + 1) β∗2α2] + Re[β∗3α3] + |β|2Re[β∗α3]
+|α|2Re[α∗β3]] exp{−|α− β|2}]}1/2{2|α|4|β|2 + 2|α|2|β|4 + 6|α|2|β|2 + |α|2 + |β|2
+2Re[αβ]
(
2|α|2|β|2 + |α|2 + |β|2)+ [(2Re[α∗β] + 6) |α|2|β|2 + 2Re[(β∗α + 1) β2]
×|α|2 + 2Re[(α∗β + 1)α2]|β|2 + 2Re[α∗β] (|α|2|β|2 + 1)] exp{−|α− β|2} }−1 − 1.
(7)
Ta đặt α = ra exp (iϕa), β = rb exp (iϕb) và ϕ = ϕa−ϕb, rồi khảo sát sự vi phạm bất
đẳng thức Cauchy-Schwarz theo biên độ rb và pha dao động ϕb với điều kiện khảo
sát là ra = rb, ϕa = 2ϕb, 0 ≤ rb ≤ 2 và ϕb = pi/2. Kết quả ở hình 2 cho thấy trạng
thái này vi phạm bất đẳng thức Cauchy–Schwarz.
3.2 Tính phản kết chùm
Trạng thái hai mode trong trường bức xạ có tính phản kết chùm khi
Rab (l, p) =
〈
aˆ†(l+1)aˆ(l+1)bˆ†(p−1)bˆ(p−1)
〉
+
〈
aˆ†(p−1)aˆ(p−1)bˆ†(l+1)bˆ(l+1)
〉
〈
aˆ†laˆlbˆ†pbˆp
〉
+
〈
aˆ†paˆpbˆ†lbˆl
〉 − 1 < 0, (8)
trong đó l ≥ p > 0 và nˆa = aˆ†aˆ, nˆb = bˆ†bˆ. Nếu tham số R (l, p) càng âm thì tính
phản kết chùm hai mode thể hiện càng mạnh. Đối với trạng thái thêm và bớt một
CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN CỦA TRẠNG THÁI ... 97
Hình 2: Sự phụ thuộc của tham số I vào biên độ kết hợp rb.
photon lên hai mode kết hợp chẵn, chúng tôi tính được〈
aˆ†laˆlbˆ†pbˆp
〉
= {
(
|α|2(l+1) + (2l + 1) |α|2l + l2|α|2(l−1)
)
|β|2p
+
(
|β|2(l+1) + (2l + 1) |β|2l + l2|β|2(l−1)
)
|α|2p + |α|2l|β|2(p+1) + |β|2l|α|2(p+1)
+2
(
|β|2l|α|2p + l|β|2(l−1)|α|2p + |α|2l|β|2p + l|α|2(l−1)|β|2p
)
Re[αβ]
+[2Re[
(
α∗(l+1)βl+1 + (2l + 1)α∗lβl + l2α∗(l−1)β(l−1)
)
β∗pαp]
+2Re[
(
α∗(l+1)βl + lα∗lβ(l−1)
)
β∗(p+1)αp] + 2Re[α∗lα(p+1)βlβ∗(p+1)]
+2Re[
(
α∗lβl+1 + lα∗(l−1)βl
)
β∗pα(p+1)]] exp
{−|α− β|2} ;
(9)
〈
aˆ†paˆpbˆ†lbˆl
〉
=
(
|α|2(p+1) + (2p+ 1) |α|2p + p2|α|2(p−1)
)
|β|2l
+
(
|β|2(p+1) + (2p+ 1) |β|2p + p2|β|2(p−1)
)
|α|2l + |α|2p|β|2(l+1) + |β|2p|α|2(l+1)
+2
(
|β|2p|α|2l + p|β|2(p−1)|α|2l + |α|2p|β|2l + p|α|2(p−1)|β|2l
)
Re[αβ]
+[2Re[
(
α∗(p+1)βp+1 + (2p+ 1)α∗pβp + p2α∗(p−1)β(p−1)
)
β∗lαl]
+2Re[
(
α∗(p+1)βp + pα∗pβ(p−1)
)
β∗(l+1)αl] + 2Re[α∗pα(l+1)βpβ∗(l+1)]
+2Re[
(
α∗pβp+1 + pα∗(p−1)βp
)
β∗lα(l+1)]] exp
{−|α− β|2} ;
(10)〈
aˆ†(l+1)aˆ(l+1)bˆ†(p−1)bˆ(p−1)
〉
= {
(
|α|2(l+2) + (2l + 3) |α|2(l+1) + (l + 1)2|α|2(l)
)
×|β|2(p−1) +
(
|β|2(l+2) + (2(l + 1) + 1) |β|2(l+1) + (l + 1)2|β|2(l)
)
|α|2(p−1)
+|α|2(l+1)|β|2(p) + |β|2(l+1)|α|2(p) + 2Re[αβ]
(
|β|2(l+1)|α|2(p−1)
+(l + 1)|β|2(l)|α|2(p−1) + |α|2(l+1)|β|2(p−1) +(l + 1)|α|2(l)|β|2(p−1)
)
×[2Re[(α∗(l+2)βl+2 + (2(l + 1) + 1)α∗(l+1)βl+1 +(l + 1)2α∗(l)β(l))
×β∗(p−1)αp−1] + 2Re[(α∗(l+2)βl+1 + (l + 1)α∗(l+1)β(l)) β∗(p)αp−1]
+2Re[α∗(l+1)α(p)βl+1β∗(p)] + 2Re[
(
α∗(l+1)βl+2 + (l + 1)α∗(l)βl+1
)
β∗(p−1)α(p)]]
× exp{−|α− β|2} ;
(11)
98 TRẦN THỊ THU và cs.
〈
aˆ†(p−1)aˆ(p−1)bˆ†(l+1)bˆ(l+1)
〉
=
(
|α|2p + (2(p− 1) + 1) |α|2(p−1) + (p− 1)2|α|2(p−2)
)
|β|2(l+1) +
(
|β|2(p) + (2(p− 1) + 1) |β|2(p−1) + (p− 1)2|β|2(p−2)
)
|α|2(l+1)
+|α|2(p−1)|β|2(l+2) + |β|2(p−1)|α|2(l+2)
+2
(
|β|2(p−1)|α|2(l+1) + (p− 1)|β|2(p−2)|α|2(l+1) + |α|2(p−1)|β|2(l+1)
+(p− 1)|α|2(p−2)|β|2(l+1)
)
Re[αβ] + 2Re[α∗(p−1)α(l+2)βp−1β∗(l+2)]
+[2Re[
(
α∗(p)βp + (2(p− 1) + 1)α∗(p−1)βp−1 + (p− 1)2α∗(p−2)β(p−2))
×β∗(l+1)αl+1] + 2Re[(α∗(p)βp−1 + (p− 1)α∗(p−1)β(p−2)) β∗(l+2)αl+1]
+2Re[
(
α∗(p−1)βp + (p− 1)α∗(p−2)βp−1) β∗(l+1)α(l+2)]]× exp{−|α− β|2}}.
(12)
Ta tiếp tục đặt α = ra exp (iϕa), β = rb exp (iϕb) và ϕ = ϕa − ϕb, và tiến hành khảo
sát tính phản kết chùm của trạng thái này với ra = rb, ϕa = 0, ϕb =
pi
4
theo các
trường hợp sau:
a) Trường hợp l = p, đồ thị ở hình 3a cho thấy l = p càng lớn thì tính phản
kết chùm càng mạnh.
b) Trường hợp l − p>0, khi l − p = 1, đồ thị ở hình 3b cho ta thấy l, p càng
tăng thì tính phản kết chùm càng mạnh. Khi l−p = 2, đồ thị ở hình 3c cho thấy khi
l, p tăng thì tính phản kết chùm tăng chậm và gần như bằng nhau. Khi l − p = 3,
đồ thị ở hình 3d cho ta thấy khi l, p tăng thì tính phản kết chùm giảm.
3.3 Tính đan rối
3.3.1 Tính đan rối Hillery–Zubairy
Theo Hillery–Zubairy [3], nếu một trạng thái hai mode thỏa mãn điều kiện sau
thì ta kết luận trạng thái đó bị đan rối.
<H =
〈
NˆaNˆb
〉
−
∣∣∣〈aˆbˆ†〉∣∣∣2 < 0. (13)
Đối với trạng thái thêm và bớt một photon lên hai mode kết hợp chẵn thì
<H = |Nαβ|2{2|α|4|β|2 + 2|α|2|β|4 + 6|α|2|β|2 + |α|2 + |β|2
+2
(
2|α|2|β|2 + |α|2 + |β|2)Re[αβ] + [2Re[(α†2β2 + 3α†β + 1) β†α]
+2Re[
(
α†β + 1
)
β†2|α|2] + 2Re[(β†α + 1)α†2|β|2] + 2Re[|α|2|β|2α†β]]
× exp{−|α− β|2}} − |Nαβ|4{(|α|2 + |β|2 + 2)αβ∗ + (|α|2 + |β|2 + 2) βα∗
+
(|α|2 + 1) β∗2 + α2|β|2 + (|β|2 + 1)α∗2 + β2|α|2 + [(α∗β + 2) |β|2
+ (α∗β + 1) β∗2 + β2β∗α + ββ∗2α + (β∗α + 2) |α|2 + (β∗α + 1)α∗2 + α2α∗β
+αα∗2β] exp
{−|α− β|2}}{(|α|2 + |β|2 + 2)α∗β + (|α|2 + |β|2 + 2) β∗α
+
(|α|2 + 1) β2 + α∗2|β|2 + (|β|2 + 1)α2
+β∗2|α|2 + [(αβ∗ + 2) |β|2 + (αβ∗ + 1) β2 + β∗2βα∗ + β∗β2α∗ + (βα∗ + 2) |α|2
+ (βα∗ + 1)α2 + α∗2αβ∗ + α∗α2β∗] exp
{−|α− β|2}}.
(14)
CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN CỦA TRẠNG THÁI ... 99
Hình 3: Đồ thị khảo sát sự phụ thuộc của Rab(l, p) vào biên độ rb ứng với các cặp giá
trị (l, p) khác nhau.
Bằng cách đặt α = ra exp(iϕa), β = rb exp(iϕb) và ϕ = ϕa−ϕb, chúng tôi khảo sát <
theo biên độ rb và pha dao động ϕb với điều kiện khảo sát là ra = 2rb, ϕa = 2ϕb, 0 ≤
rb ≤ 1 và ϕb = pi/3. Kết quả ở hình 4a cho thấy trạng thái thêm và bớt một photon
lên hai mode kết hợp chẵn bị đan rối theo tiêu chuẩn đan rối Hillery–Zubairy khi rb
không quá bé.
3.3.2 Tính đan rối Nha-Kim
Theo Nha-Kim [4], một trạng thái hai mode gọi là đan rối nếu trạng thái đó thỏa
mãn bất đẳng thức
[
1 + 4(∆Ly)
2] [1 + 4(∆Lx)2] < (1 + 〈N+〉)2 + 16 〈∆Kx∆Ky〉2S ,
hay
<N =
[
1− 〈a+2b2 + a2b+2 − a+abb+ − aa+b+b〉+ 〈a+b− ab+〉2
]
×
[
1 + 〈a+2b2 + a2b+2 + a+abb+ + aa+b+b〉 − 〈a+b− ab+〉2
]
−16( 1
2i
〈a+a+bb− aab+b+〉 − 1
4i
〈a+b+ ab+〉 〈a+b− ab+〉)2
−(1 + 〈a+a+ b+b〉)2 < 0.
(15)
100 TRẦN THỊ THU và cs.
Mức đan rối càng tăng khi <N càng âm. Đối với trạng thái thêm và bớt một photon
lên hai mode kết hợp chẵn, chúng tôi tính được <N = <1 + <2 + <3, trong đó
<1 = {1− 2|Nαβ|2Re[{
(|α|2 + 3)α∗2β2 + (|α|2 + 2)α∗β3 + α∗3β∗β2 + α∗2β∗β3
+
(|β|2 + 3)α2β∗2 + (|β|2 + 2)α3β∗ + β∗3α∗α2 + β∗2α∗α3 + [(α∗β + 3) |α|4
+ (α∗2β + 2α∗)α3 + α∗3β∗α2 + α∗2β∗α3 + (β∗α + 3) |β|4 + (β∗2α + 2β∗) β3
+β∗3α∗β2 + β∗2α∗β3] exp
{−|α− β|2}}]− |Nαβ|2{(|α|4 + 3|α|2 + 1) (|β|2 + 1)
+
(|β|4 + 3|β|2 + 1) (|α|2 + 1)+ |β|2 (|α|4 + |α|2)+ |α|2 (|β|4 + |β|2)
+4
(|α|2 + 1) (|β|2 + 1)Re[αβ] + [2Re[(α∗2β2 + 3α∗β + 1) (β∗α + 1)]
+4Re[(α∗β2 + β) (β∗α2 + α)] + 2Re[β∗α (α∗2β2 + α∗β)]] exp
{−|α− β|2}
+
(|α|4 + 4|α|2 + 2) |β|2 + (|β|4 + 4|β|2 + 2) |α|2 + 4 (|α|2|β|2 + |β|2 + |α|2)Re[αβ]
+
(|α|2 + 1) |β|4 + (|β|2 + 1) |α|4 + [2Re[(α∗2β2 + 4α∗β + 2) β∗α]
+2Re[(α∗β2 + 2β) β∗α2] + 2Re[(α∗β + 1) β∗2α2] + 2Re[(α∗β2 + 2β) β∗α2]
+2Re[(α∗β + 1) β∗2α2] + 2Re[(α∗2β + 2α∗) β∗2α]] exp
{−|α− β|2}}
−4|Nαβ|4[Im[
(|α|2 + 2)α∗β + α∗2|β|2 + (|α|2 + 1) β2 + α∗β∗β2
+
(|β|2 + 2)αβ∗ + β∗2|α|2 + (|β|2 + 1)α2 + β∗α∗α2;
<2 = [(α∗β + 2) |α|2 + α∗2β∗α + (α∗β + 1)α2 + α∗β∗α2 + (β∗α + 2) |β|2 + β∗2α∗β
+ (β∗α + 1) β2 + β∗α∗β2] exp
{−|α− β|2}]]2} × {1 + 2|Nαβ|2Re[{(|α|2 + 3)α∗2β2
+
(|α|2 + 2)α∗β3 + α∗3β∗β2 + α∗2β∗β3 + (|β|2 + 3)α2β∗2 + (|β|2 + 2)α3β∗
+β∗3α∗α2 + β∗2α∗α3 + [(α∗β + 3) |α|4 + (α∗2β + 2α∗)α3 + α∗3β∗α2 + α∗2β∗α3
+ (β∗α + 3) |β|4 + (β∗2α + 2β∗) β3 + β∗3α∗β2 + β∗2α∗β3] exp{−|α− β|2}}]
+|Nαβ|2{
(|α|4 + 3|α|2 + 1) (|β|2 + 1)+ (|β|4 + 3|β|2 + 1) (|α|2 + 1)+ |β|2 (|α|4 + |α|2)
+|α|2 (|β|4 + |β|2)+ 4 (|α|2 + 1) (|β|2 + 1)Re[αβ] + 2[Re[(α∗2β2 + 3α∗β + 1) (β∗α + 1)]
+2Re[(α∗β2 + β) (β∗α2 + α)] + Re[β∗α (α∗2β2 + α∗β)]] exp
{−|α− β|2}
+
(|α|4 + 4|α|2 + 2) |β|2 + (|β|4 + 4|β|2 + 2) |α|2 + 4 (|α|2|β|2 + |β|2 + |α|2)Re[αβ]
+
(|α|2 + 1) |β|4 + (|β|2 + 1) |α|4 + 2[Re[(α∗2β2 + 4α∗β + 2) β∗α] + Re[(α∗β2 + 2β) β∗α2]
+Re[(α∗β + 1) β∗2α2] + Re[(α∗2β + 2α∗) β∗2α]] exp
{−|α− β|2}}
−4|Nαβ|4[Re[
(|α|2 + 2)α∗β + α∗2|β|2 + (|α|2 + 1) β2 + α∗β∗β2 + (|β|2 + 2)αβ∗
+β∗2|α|2 + (|β|2 + 1)α2 + β∗α∗α2 + [(α∗β + 2) |α|2 + α∗2β∗α + (α∗β + 1)α2 + α∗β∗α2
+ (β∗α + 2) |β|2 + β∗2α∗β + (β∗α + 1) β2 + β∗α∗β2] exp{−|α− β|2}]]2};
CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN CỦA TRẠNG THÁI ... 101
<3 = −[1 + |Nαβ|2{|α|4 + |β|4 + 3|β|2 + 3|α|2 + 2|α|2|β|2 + 2 + 2
(|α|2 + |β|2 + 2)Re[αβ]
+[(2Re[α∗2β2]) + 6Re[α∗β] + 2 (2Re[α∗β] + 2) Re[αβ] + 2 + 2|α|2|β|2] exp{−|α− β|2}
+
(|α|2 + 1) |β|2 + (|β|2 + 1) |α|2 + 2Re[α∗β∗2β] + 2Re[β∗α∗2α] + |α|4 + |β|4
+[2Re[(α∗β + 1) β∗α] + 2Re[β∗2α2] + 2|β|2Re[α2] + 2|α|2Re[β2]] exp{−|α− β|2}}]2
−16[|Nαβ|2Im[{
(|α|2 + 3)α∗2β2 + (|α|2 + 2)α∗β3 + α∗3β∗β2 + α∗2β∗β3 + (|β|2 + 3)α2β∗2
+
(|β|2 + 2)α3β∗ + β∗3α∗α2 + β∗2α∗α3 + [(α∗β + 3) |α|4 + (α∗2β + 2α∗)α3 + α∗3β∗α2
+α∗2β∗α3 + (β∗α + 3) |β|4 + (β∗2α + 2β∗) β3 + β∗3α∗β2 + β∗2α∗β3] exp{−|α− β|2}}]
+|Nαβ|4Re[{
(|α|2 + 2)α∗β + α∗2|β|2 + (|α|2 + 1) β2 + α∗β∗β2 + (|β|2 + 2)αβ∗ + β∗2|α|2
+
(|β|2 + 1)α2 + β∗α∗α2 + [(α∗β + 2) |α|2 + α∗2β∗α + (α∗β + 1)α2 + α∗β∗α2
+ (β∗α + 2) |β|2 + β∗2α∗β + (β∗α + 1) β2 + β∗α∗β2] exp{−|α− β|2}]
×Im[{(|α|2 + 2)α∗β + α∗2|β|2 + (|α|2 + 1) β2 + α∗β∗β2 + (|β|2 + 2)αβ∗ + β∗2|α|2
+
(|β|2 + 1)α2 + β∗α∗α2 + [(α∗β + 2) |α|2 + α∗2β∗α + (α∗β + 1)α2 + α∗β∗α2
+ (β∗2α + 2β∗) β + β∗2α∗β + (β∗α + 1) β2 + β∗α∗β2] exp
{−|α− β|2}]]2.
Với cách đặt α = ra exp(iϕa), β = rb exp(iϕb) và ϕ = ϕa − ϕb, chúng tôi khảo sát
Hình 4: Đồ thị khảo sát sự phụ thuộc của <H và <N vào biên độ kết hợp rb.
khảo sát <N theo biên độ rb và pha dao động ϕb với điều kiện khảo sát là ra = 2rb,
ϕa = 2ϕb, 0 ≤ rb ≤ 1 và ϕb = pi/4. Kết quả ở hình 4b cho thấy trạng thái thêm và
bớt một photon lên hai mode kết hợp chẵn bị đan rối hoàn toàn theo tiêu chuẩn đan
rối Nha-Kim.
4 KẾT LUẬN
Bài báo này đã trình bày kết quả nghiên cứu các tính chất nén tổng và nén
hiệu hai mode, sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy–Schwarz, tính phản kết chùm và
tính đan rối của trạng thái thêm và bớt một photon lên hai mode kết hợp chẵn. Đầu
tiên, chúng tôi đã tính toán và đưa ra biểu thức tường minh cho tham số nén tổng S
và nén hiệu D của hai mode tổng quát; biểu thức tham số I đặc trưng cho sự vi phạm
bất đẳng thức Cauchy–Schwarz; biểu thức tham số Rab(l, p) đặc trưng cho mức độ
102 TRẦN THỊ THU và cs.
thể hiện tính phản kết chùm của trạng thái; biểu thức tham số <H và <N đặc trưng
cho mức độ thể hiện tính đan rối của trạng thái hai mode theo Hillery–Zubairy [3]
và Nha-Kim [4]. Sau đó, chúng tôi đã khảo sát các tính chất phi cổ điển của trạng
thái thêm và bớt một photon lên hai mode kết hợp chẵn bằng cách vẽ đồ thị sự phụ
thuộc của các tham số nêu trên theo biên độ kết hợp ra và rb. Kết quả cho thấy,
trạng thái thêm và bớt một photon lên hai mode kết hợp chẵn có tính nén tổng
nhưng không nén hiệu; hoàn toàn vi phạm bất đẳng thức Cauchy–Schwarz; thể hiện
tính phản kết chùm mạnh; thể hiện tính đan rối theo tiêu chuẩn Hillery–Zubairy
khi rb không quá bé và tính đan rối hoàn toàn theo tiêu chuẩn Nha-Kim. Như vậy,
trạng thái thêm và bớt một photon lên hai mode kết hợp chẵn thể hiện mạnh các
tính chất phi cổ điển, đặc biệt là tính đan rối. Trong tương lai, chúng tôi sẽ tiếp tục
tìm thêm các trạng thái đa mode mới thể hiện tính phi cổ điển và tính đan rối cao,
đồng thời nghiên cứu khả năng ứng dụng chúng vào thông tin lượng tử.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Agarwal. G. S. and Tara. K. (1991), "Nonclassical properties of states generated by
the excitation on a coherent state", Physical Review A, 43, pp. 492-497.
[2] Hillery. M. (1989), "Sum and diffrence squeezing of the eletromagnetic field", Physical
Review A, 40, pp. 3147-3155.
[3] Hillery M. and Zubairy M. S. (2006), "Entanglement conditions for two - mode states:
Applications", Phys. Rev. A, 74(3), pp. 332-333.
[4] Hyunchul Nha and Jeawan Kim (2006), "Entanglement criteria via the uncertainty re-
lations in SU(2) and SU(1,1) algebras: Detection of non – Gaussian entangled states",
The American Physical Society, 74, pp. 312-317.
[5] Sivakumar. S. (1999), "Photon – added coherent states as nonlinear coherent states",
J. Phys. A: Math. Gen, 32, pp. 34-41.
[6] Truong Minh Duc, Nguyen Thi Xuan Hoai and Nguyen Ba An (2014), "Sum
squeezing, difference squeezing, higher-order antibunching and entanglement of two-
mode photon-added displaced squeezed states", International Journal of Theoretical
Physics, 53, pp. 899-910.
[7] Dodonov V. V., Malkin I. A. and Man’ko V. I. (1974), "Even and odd coherent states
and excitations of a singular oscillator", Phys, 72, pp. 597-615.
[8] Nguyễn Thanh Cư và Trương Minh Đức (2011), "Tiêu chuẩn đan rối Hyunchul Nha
và Jaewan Kim và áp dụng cho trạng thái đan rối hai mode",Tạp chí Khoa học và
Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế, 17, 01, tr. 29-35.
Title: THE NONCLASSICAL PROPERTIES OF THE ONE-PHOTON-ADDED
AND SUBTRACTED TWO-MODE EVEN COHERENT STATE
Abstract: This paper aim at presenting the study of the nonclassical properties of
the one - photon - added and subtracted two mode even coherent states. First, we applied
the two-mode sum and difference squeezing conditions and detected that the state is sum
squeezing but not difference squeezing. Then, we examined the antibunching and violation
CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN CỦA TRẠNG THÁI ... 103
of the Cauchy-Schwarz inequality that may arise in the state. The results show that the
state is antibunching and completely violates the Cauchy-Schwarz inequality. Finally, we
examined the Hillery–Zubairy and the Nha-Kim entanglement criteria and the obtained
results show that the one-photon-added and subtracted two-mode even coherent state is
completely entangled.