Áp dụng bộ lọc Kalman để nâng cao độ chính xác đo GPS động

Tạp chí Khoa học ĐHQGHN: Các Khoa học Trái đất và Môi trường, Tập 34, Số 2 (2018)74-85 
 74 
Áp dụng bộ lọc Kalman để nâng cao độ chính xác đo GPS động 
Đinh Xuân Vinh* 
 Trường Đaị hoc̣ Tài nguyên và Môi trường Hà Nội, 41A Phú Diêñ, Bắc Từ Liêm, Hà Nội, Viêṭ Nam 
Nhận ngày 05 tháng 4 năm 2018 
Chỉnh sửa ngày 30 tháng 5 năm 2018; Chấp nhận đăng ngày 30 tháng 5 năm 2018 
Tóm tắt: Bài báo thảo luận về ứng dụng bộ lọc Kalman cho những chuyển động ngẫu nhiên theo 
thời gian của vị trí điểm thu GPS. Chuyển động của máy thu GPS là một mô hình trạng thái không 
gian với thời gian biến động. Mô hình trạng thái không gian thường được biểu diễn bởi phương 
trình vi phân tuyến tính kèm nhiễu trắng. Khi trạng thái không gian biến động theo thời gian, nó 
được biểu diễn bởi các phương trình Riccati, tức là các phương trình vi phân phi tuyến. Nghiên 
cứu này đề xuất bộ lọc Kalman mở rộng các tham số phù hợp với điều kiện đo đạc thành lập bản 
đồ tỷ lệ lớn tại Việt Nam hiện nay. Tọa độ điểm thu GPS di động theo thời gian được so sánh với 
giá trị tọa độ trong một ca đo tĩnh trước đó với độ chính xác cao, khẳng định bộ lọc Kalman mở 
rộng các tham số phù hợp có thể ước lượng tối ưu vị trí điểm GPS di động. Từ đó giảm chi phí đầu 
tư và tăng hiệu quả sử dụng thiết bị thu GPS thông dụng. 
Từ khóa: Lọc Kalman, GPS động. 
1. Tổng quan các kết quả nghiên cứu về lọc 
Kalman
Phương pháp đầu tiên định hình ước lượng 
tối ưu từ dữ liệu có nhiễu là phương pháp bình 
phương nhỏ nhất. Khảo sát thuộc tính chung 
của nó là Carl Friedrich Gauss (1777–1855) vào 
năm 1795, còn tính chất chắc chắn của trị đo có 
chứa sai số được xác nhận bởi Galileo Galilei 
(1564–1642). Hầu hết những vấn đề ước lượng 
tuyến tính thì được sử dụng thường xuyên, 
nhưng Gauss là người đầu tiên sử dụng bài toán 
ước lượng phi tuyến trong toán thiên văn 
________ 
 ĐT.: 84-904569982. 
 Email: dxvinh@hunre.edu.vn 
https://doi.org/10.25073/2588-1094/vnuees.4241 
học.Một trang quan trọng trong lý thuyết xác 
suất và lý thuyết về quy trình ngẫu nhiên ở thế 
kỷ hai mươi được đánh dấu bởi tên của viện sỹ 
hàn lâm Nga Andrei Nikolaievich Kolmogorov 
(1903–1987). Tiếp theo là Norbert Wiener 
(1894–1964), ông đã sáng tạo ra lý thuyết dự 
báo, làm mềm và lọc theo quy trình Markov. 
Đó là lý thuyết đầu tiên về ước lượng tối ưu hệ 
thống quy trình ngẫu nhiên. Mô hình Wiener–
Kolmogorov sử dụng mật độ phổ năng lượng 
(the power spectral density-PSD) trong phạm vi 
tần số để mô tả thuộc tính thống kê của tiến 
trình động (dynamic). Ước lượng tối ưu 
Wiener–Kolmogorov xuất phát từ PSD để ước 
lượng trị đo bên ngoài hệ thống. Mô hình tiến 
trình động thừa nhận thời gian là bất biến. 
Đ.X. Vinh / Tạp chí Khoa học ĐHQGHN: Các Khoa học Trái đất và Môi trường, Tập 34, Số 2 (2018) 74-85 
75 
Richard S. Bucy là người đã nghiên cứu các 
phương trình vi phân phi tuyến, cũng tương tự 
như những nghiên cứu của Jacopo Francesco 
Riccati (1676–1754), đến nay còn gọi là 
“phương trình Riccati”. Trong tự nhiên thì mối 
liên hệ giữa phương trình tích phân và phương 
trình vi phân bao giờ cũng bắt đầu với thời 
gian. Một trong những đặc biệt của lý thuyết 
Kalman và Bucy, đó là thời đoạn (chu kỳ) được 
chứng minh thông qua phương trình Riccati. Đó 
là lời giải đáng tin cậy thậm chí nếu hệ thống 
động là không ổn định.Năm 1960, R.Kalman 
xuất bản bài báo nổi tiếng nhan đề “A new 
approach to linear filtering and prediciton 
problems” trong tạp chí Journal of Basic 
Engineering số 82, trang 34 đến 45. Năm 1961, 
R.Kalman và R.Bucy xuất bản bài báo “New 
results in linear filtering and prediction theory” 
trong tạp chí cùng tên số 85, trang 95 đến 108. 
Ý tưởng của lọc Kalman được ứng dụng sớm 
nhất khi ông đến thăm người bạn Stanley F. 
Schmidt tại Trung tâm nghiên cứu Ames của 
NASA ở Mountain View, California. Đó là vấn 
đề ước lượng quỹ đạo và vấn đề điều khiển học 
của dự án APOLO, đưa tàu vũ trụ lên Mặt trăng 
và đưa nó quay trở lại Trái đất. Schmidt đã bổ 
sung đầy đủ vào lọc Kalman cho các ứng dụng 
phi tuyến và gọi đó là lọc Kalman mở rộng. 
Lọc Kalman [1] đã được nhiều nhà khoa 
học Việt Nam và thế giới nghiên cứu ứng dụng 
[2]. Nhiều tài liệu [3, 4] đã giới thiệu các ứng 
dụng của bộ lọc. Trong thực tế, công thức lọc 
Kalman được nhiều nhà khoa học diễn giải theo 
cách hiểu của mình, như Simon Haykin, 2001, 
Greg Welch và Gary Bishop, 2001, R. L. 
Eubank, 2006, Howard Musoff, 2005, 
Mohinder S. Grewalvà Angus P. Andrews, 
2008. Do vậy, ứng dụng lọc Kalman là xây 
dựng những phương trình cụ thể cho từng đối 
tượng cụ thể. Việc sử dụng chung các diễn giải 
khoa học là không phù hợp. Lọc Kalman hiện 
nay được nghiên cứu rất nhiều trên thế giới, cụ 
thể hóa cho từng dự án, từng khu vực và thời 
gian khác nhau. Lĩnh vực trắc địa bản đồ ứng 
dụng lọc Kalman có thể xử lý dữ liệu đo đạc, 
bởi vì tất cả các trị đo đều tồn tại nhiễu mà 
chúng ta quen gọi là hàm chứa sai số. Liên quan 
tới tăng cường độ chính xác định vị điểm máy 
thu tín hiệu GPS, nhiều nhà khoa học thế giới 
đã công bố các nghiên cứu (M. Elizabeth 
Cannon, 1990, Antti Lange, 2003, Heiner 
Kuhlmann, 2008, Simon Haykin, 2001, Cankut 
D. Ince và Muhammed Sahin, 2000). 
Phương trình hệ thống lọc Kalman rời rạc là 
một ước lượng trạng thái 𝑥 ∈ 𝑅𝑛 theo một quy 
trình bị chi phối bởi phương trình vi phân tuyến 
tính ngẫu nhiên sau 
 𝑥𝑘 = 𝐹𝑥𝑘−1 + 𝐺𝑢𝑘−1 + 𝑤𝑘−1 (1) 
Và trị đo 𝑧 ∈ 𝑅𝑚 tuân theo phương trình sau 
 𝑧𝑘 = 𝐻𝑥𝑘 + 𝑣𝑘 (2) 
trong đó: 𝑥𝑘 là vector chỉ trạng thái hệ 
thống; ma trận F kích thước (n x n) trong 
phương trình vi phân là ma trận hệ số của ẩn tại 
trạng thái trước đó (k-1) so với trạng thái hiện 
thời k. Ma trận G là ma trận hệ số đầu vào điều 
chỉnh tùy ý của ẩn 𝑢 ∈ 𝑅𝑙 liên hệ với trạng thái 
của ẩn x, trong trắc địa thì nó biểu thị các 
nguyên nhân gây nên biến đổi hệ thống, ảnh 
hưởng tới quy trình ngẫu nhiên của hệ thống. 
Ma trận H kích thước ... hí Khoa học ĐHQGHN: Các Khoa học Trái đất và Môi trường, Tập 34, Số 2(2018)74-85 
80 
Đối với bậc 0, ta có phương trì nh ma trâṇ 
cơ sở ban đầu như sau: 
𝑥 𝑘 = 𝑥 𝑘−1 + 𝐾𝑘 𝑧𝑘 − 𝑥 𝑘−1 . (12) 
Ký hiệu: 𝑥 𝑘 ước lượng Kalman tại thời 
đoạn k; 𝑥 𝑘−1 ước lượng Kalman thời đoạn k-1; 
𝐾1𝑘 hiệu ích của ước lượng Kalman bậc 0 
(trạng thái 1) tại thời đoạn k; 𝑧𝑘 trị đo tại thời 
đoạn k. 
Độ lệch của lọc bậc 0 được định nghĩa: 
𝑅𝑒𝑠𝑘 = 𝑧𝑘 − 𝑥 𝑘−1 
Lọc bậc 1 kèm theo vận tốc có daṇg như 
sau:
𝑥 𝑘
𝑥 𝑘
 = 
1 𝑇𝑠
0 1
𝑥 𝑘−1
𝑥 𝑘−1
 + 
𝐾1𝑘
𝐾2𝑘
 𝑧𝑘 − 1 0 
1 𝑇𝑠
0 1
𝑥 𝑘−1
𝑥 𝑘−1
 . (13) 
Ký hiệu: 𝑇𝑠 tần số đo (khoảng cách giữa các 
thời đoạn); 𝐾1𝑘 hiệu ích Kalman đối với vị trí 
điểm; 𝐾2𝑘hiệu ích Kalman đối với vận tốc 
chuyển động của điểm; 𝑥 𝑘 ước lượng vận tốc 
điểm Kalman tại thời đoạn k; 𝑥 𝑘 ước lượng gia 
tốc điểm Kalman tại thời đoạn k;𝑥 𝑘−1 ước 
lượng vận tốc của điểm tại thời đoạn k-1. 
Độ lệch của lọc bậc 1 được định nghĩa: 
𝑅𝑒𝑠𝑘 = 𝑧𝑘−𝑥 𝑘−1 − 𝑇𝑠𝑥 𝑘−1 
Hiệu ích của lọc Kalman bậc 1 được tính 
theo phương pháp bình phương nhỏ nhất đệ 
quy: 
𝐾1𝑘 =
2(2𝑘 − 1)
𝑘(𝑘 + 1)
, 𝐾2𝑘 =
6
𝑘(𝑘 + 1)𝑇𝑠
 ,
𝑘 = 1,2,  , 𝑛 . 
Lọc bậc 2 kèm theo gia tốc và vận tốc có 
dạng như sau: 
𝑥 𝑘
𝑥 𝑘
𝑥 𝑘
 = 
1 𝑇𝑠 0.5 𝑇𝑠
2
0 1 𝑇𝑠
0 0 1
𝑥 𝑘−1
𝑥 𝑘−1
𝑥 𝑘−1
 + 
𝐾1𝑘
𝐾2𝑘
𝐾3𝑘
 𝑧𝑘 − 1 0 0 
1 𝑇𝑠 0.5 𝑇𝑠
2
0 1 𝑇𝑠
0 0 1
𝑥 𝑘−1
𝑥 𝑘−1
𝑥 𝑘−1
 (14) 
Ký hiệu:𝑥 𝑘 ước lượng gia tốc điểm Kalman 
tại thời đoạn k;𝑥 𝑘−1 ước lượng gia tốc của điểm 
tại thời đoạn k-1; 𝐾3𝑘 hiệu ích Kalman đối với 
gia tốc chuyển động của điểm. 
Độ lệch của lọc bậc 2 được định nghĩa: 
𝑅𝑒𝑠𝑘 = 𝑧𝑘−𝑥 𝑘−1 − 𝑇𝑠𝑥 𝑘−1 − 0.5𝑇𝑠
2𝑥 𝑘−1 (15) 
Hiệu ích của lọc Kalman bậc 2 được tính: 
𝐾1𝑘 =
3(3𝑘2 − 3𝑘 + 2)
𝑘 𝑘 + 1 (𝑘 + 2)
, 𝑘 = 1,2, , 𝑛, (16) 
𝐾2𝑘 =
18(2𝑘 − 1)
𝑘(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)𝑇𝑠
 , (17) 
𝐾3𝑘 =
60
𝑘 𝑘 + 1 𝑘 + 2 𝑇𝑠
2 , (18) 
Ma trận hiệp phương sai ban đầu 𝑃0 được 
ước lượng tuần tự theo bước lọc. Chỉ cần thông 
qua ước lượng từ 3 đến 5 trị đo đầu tiên chúng 
ta sẽ nhận được 𝑃0 chuẩn xác. Thay các trị đo 
bằng số vào các phương trình từ (12) đến (18), 
thực hiện trên bảng tính Excel, ta dễ dàng tính 
được các giá trị 𝑥 1 ,𝑥 2 ,𝑥 243 của thực nghiệm 
Văn Quán, và các giá trị 𝑥 1 ,𝑥 2 ,𝑥 249 của thực 
nghiệm HUNRE. 
Sau khi thực hiện các bậc lọc 0, 1 và 2 của 
đa thức biểu diễn lọc Kalman. So sánh kết quả 
giữa trị đo, trị thực và giá trị lọc. Chúng tôi 
nhận thấy lọc bậc 1 phù hợp với chuyển động 
thực tế của máy thu GPS trong đo đạc bản đồ. 
Kết quả lọc bậc 1 thể hiện trên hình 7 cho thấy 
độ lệch giữa trị thực và giá trị lọc tối đa là 4,1 
mm, tốt hơn nhiều so với trị đo sau xử lý 
GPSurvey 2.35 (11,4 mm). 
Đ.X. Vinh / Tạp chí Khoa học ĐHQGHN: Các Khoa học Trái đất và Môi trường, Tập 34, Số 2 (2018) 74-85 
81 
Hình 7. Biểu diễn lọc Kalman tại thực nghiệm Văn Quán (VN2000). 
Tiếp tục áp dụng bộ lọc Kalman dạng đa 
thức bậc 1 vào thực nghiệm thứ hai tại 
HUNRE. Kết quả ước lượng tối ưu vị trí điểm 
đo động bằng lọc Kalman được chú ý so sánh 
tại 80 trị đo cuối, bởi vì khoảng thời gian này 
máy thu GPS ở vị trí ổn định nhưng được tiến 
hành đo theo phương pháp “động”. Biểu diễn 
kết quả lọc Kalman trên giá trị tọa độ X và giá 
trị tọa độ Y, giữa trị đo và giá trị lọc Kalman 
(hình 8 và 9). Chúng tôi sử dụng 50 phút đầu 
tiên đo theo phương pháp Tương đối Tĩnh để 
xác định giá trị “thực” của vị trí điểm. So sánh 
với trị đo “động” không lọc và trị sau lọc 
Kalman sẽ cho ta bức tranh toàn cảnh. 
Hình 8. Biểu diễn lọc Kalman 250 giá trị tọa độ Y tại thực nghiệm HUNRE (VN2000). 
2320017.340
2320017.360
2320017.380
2320017.400
2320017.420
2320017.440
2320017.460
2320017.480
1
1
0
1
9
2
8
3
7
4
6
5
5
6
4
7
3
8
2
9
1
1
0
0
1
0
9
1
1
8
1
2
7
1
3
6
1
4
5
1
5
4
1
6
3
1
7
2
1
8
1
1
9
0
1
9
9
2
0
8
2
1
7
2
2
6
2
3
5
Kalman
579450
579460
579470
579480
579490
579500
579510
579520
579530
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250
Y(
m
)
Times
Measurements
Kalman
Reals
Đ.X. Vinh / Tạp chí Khoa học ĐHQGHN: Các Khoa học Trái đất và Môi trường, Tập 34, Số 2(2018)74-85 
82 
Hình 9. Biểu diễn lọc Kalman 250 giá trị tọa độ X tại thực nghiệm HUNRE (VN2000). 
Trong khoảng thời gian 80 chu kỳ đo (7 
phút cuối) máy 100961 ở trạng thái tĩnh. Theo 
đồ thị 8 và 9, phương pháp thu GPS động nhận 
được trị đo X và Y có biến động rất lớn, thậm 
chí hơn 10 mét. Lý do có sai số lớn là máy thu 
chất lượng thấp, hiện trường bị che lấp bởi cây 
xanh và nhà cao tầng. Sử dụng bộ lọc Kalman 
cho ta một ước lượng tốt hơn rất nhiều thể hiện 
ở bảng 3. Giá trị tọa độ X và Y của ca đo 
Tương đối – Tĩnh có thể lấy làm trị thực để so 
sánh với giá trị tọa độ ca đo động sau lọc 
Kalman. Chúng tôi không thể đưa cả 80 trị đo 
và trị ước lượng Kalman vào bài báo vì sẽ làm 
cho bài báo quá dài, nên chỉ đưa 12 trị đo cuối. 
Nếu tính trung bình đồng thời kết quả 80 trị 
thực và trị lọc Kalman, kết quả độ lệch là ± 3 
cm, khá tương đồng với kết quả 12 trị đo cuối. 
Đây chỉ là trùng hợp ngẫu nhiên.Tất cả số liệu 
được thống kê đầy đủ trong đề tài mã số 
13.01.17.O.03 của HUNRE. 
THANH QUA TOA DO PHANG SAU BINH SAI 
HE TOA DO PHANG VN2000, ELLIPSOID WGS84 
KINH TUYEN TRUC 105°00', MUI CHIEU 3 DO (k=0.9999) 
Ca đo 50 phút theo phương pháp Tương đối Tĩnh (HUNRE) 
+================================================================+ 
|S| | TOA DO | SSTP vi tri diem (m) | 
|T| TEN |-----------------------------|-----------------------| 
|T| DIEM | x(m) | y(m) | h(m) | mx | my | mh | mp | 
|=|========|===========|==========|======|=====|=====|=====|=====| 
|1| 957|2328284.299|579509.994|10.329|0.003|0.003|0.004|0.004| 
|2| 961|2328352.783|579494.709| 9.927|0.002|0.003|0.003|0.004| 
|3| 533|2328379.944|579426.390|10.000|-----|-----|-----|-----| 
+================================================================+ 
2328310
2328315
2328320
2328325
2328330
2328335
2328340
2328345
2328350
2328355
2328360
1 9 1 2 3 4 4 5 6 7 8 8 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2
X
(m
) Measurements
Kalman
Reals
Times
Đ.X. Vinh / Tạp chí Khoa học ĐHQGHN: Các Khoa học Trái đất và Môi trường, Tập 34, Số 2 (2018) 74-85 
83 
Bảng 3. So sánh tọa độ lọc Kalman trị đo “động” với trị thực và trị đo của máy thu 100961 (thực nghiệm 
HUNRE, ngày 07/9/2017) 
Thời đoạn 
(GPST) 
Trị đo Y 
(m) 
Kalman Y 
(m) 
Độ 
lệch 
với trị 
đo (m) 
Độ lệch 
với trị 
thực (m) 
Trị đo X (m) Kalman X (m) 
Độ 
lệch 
với trị 
đo (m) 
Độ lệch 
với trị 
thực (m) 
4:37:20 AM 579483.038 579494.921 -11.883 0.212 2328352.158 2328352.836 -0.678 0.053 
4:37:25 AM 579482.858 579494.883 -12.025 0.174 2328352.241 2328352.841 -0.600 0.058 
4:37:30 AM 579484.311 579494.843 -10.533 0.135 2328352.294 2328352.846 -0.551 0.063 
4:37:35 AM 579468.946 579494.803 -25.857 0.094 2328350.426 2328352.820 -2.394 0.037 
4:37:40 AM 579473.200 579494.760 -21.559 0.051 2328351.287 2328352.809 -1.522 0.026 
4:37:45 AM 579476.931 579494.714 -17.783 0.005 2328351.581 2328352.803 -1.222 0.020 
4:37:50 AM 579478.486 579494.667 -16.180 -0.042 2328351.726 2328352.799 -1.073 0.016 
4:37:55 AM 579480.542 579494.618 -14.076 -0.091 2328352.058 2328352.800 -0.743 0.018 
4:38:00 AM 579481.694 579494.568 -12.874 -0.141 2328352.184 2328352.804 -0.620 0.021 
4:38:05 AM 579489.981 579494.516 -4.535 -0.193 2328351.951 2328352.804 -0.853 0.021 
4:38:10 AM 579488.686 579494.464 -5.779 -0.245 2328352.094 2328352.806 -0.712 0.023 
4:38:15 AM 579489.372 579494.412 -5.040 -0.297 2328352.174 2328352.809 -0.635 0.026 
Trung bình -13.177 -0.028 -0.967 0.032 
Nghiên cứu đã tham khảo thực nghiệm do 
Heiner Kuhlmann và các đồng nghiệp tiến hành 
[10]. Mặc dù thời gian và khoảng cách địa lý rất 
xa nhau, các phương pháp tiến hành cũng khác 
nhau, chúng tôi nhận thấy bộ lọc Kalman với 
các tham số mở rộng chứng tỏ sự phù hợp với 
thực trạng công tác đo đạc bản đồ tỷ lệ lớn ở 
Việt Nam. 
Nghiên cứu cũng tiến hành so sánh giá trị 
tọa độ X và Y mà phần mềm RTKLIB xử lý với 
giá trị tọa độ thực (Bảng 4). Lưu ý rằng 
RTKLIB cũng ứng dụng lọc Kalman nhưng áp 
dụng cho các trị đo pha sóng tải, trị đo code và 
mô hình tầng đối lưu, tầng điện ly ở dữ liệu đầu 
vào trước khi xử lý. Hoàn toàn khác với phương 
pháp mà chúng tôi đã sử dụng, ứng dụng bộ lọc 
Kalman cho giá trị tọa độ theo thời gian của 
tiến trình động, đúng với nguyên lý ước lượng 
mà Kalman đặt ra đối với một tiến trình động 
theo cách hiểu của chúng tôi. 
Bảng 4. So sánh giá trị tọa độ RTKLIB với trị thực 
(thực nghiệm HUNRE, ngày 07/9/2017) 
Thời điểm Lệch tọa độ Y 
(m) 
Lệch tọa độ X 
(m) 
4:37:20 0,4965 0,2672 
4:37:25 0,4957 0,4503 
4:37:30 0,5055 0,2585 
4:37:35 0,4962 0,2632 
4:37:40 0,4986 0,2656 
4:37:45 0,4987 0,2679 
4:37:50 0,4967 0,2618 
4:37:55 0,5031 0,4869 
4:38:00 0,4966 0,2670 
4:38:05 0,4966 0,2657 
4:38:10 0,4963 0,2704 
4:38:15 0,4989 0,2694 
Trung 
bình 
0,4982 0,2995 
Đ.X. Vinh / Tạp chí Khoa học ĐHQGHN: Các Khoa học Trái đất và Môi trường, Tập 34, Số 2(2018)74-85 
84 
Độ lệch từ 26 cm đến 50 cm so với trị thực 
là một ước lượng tối ưu đáng kể của RTKLIB 
khi mà trị đo thực tế lệch tới 10 m so với trị 
thực (từ thời đoạn 4:37:20 đến 4:38:00). Giá trị 
sai số trung phương của những so sánh trên là: 
𝑅𝑀𝑆𝑋
𝑅𝑇𝐾𝐿𝐼𝐵 = ±0.3227 (𝑚); 𝑅𝑀𝑆𝑌
𝑅𝑇𝐾𝐿𝐼𝐵 =
±0.5204 (𝑚); 𝑅𝑀𝑆𝑋
𝐾𝑎𝑙𝑚𝑎𝑛 = ±0.0332 (𝑚); 
𝑅𝑀𝑆𝑌
𝐾𝑎𝑙𝑚𝑎𝑛 = ±0.1716 (𝑚). 
4. Kết luận 
Nghiên cứu ứng đã dụng bộ lọc Kalman và 
đề xuất lọc Kalman Mở rộng Tham số thông 
qua phương trình vận tốc của điểm với hai thực 
nghiệm. Thực nghiệm thứ nhất nhằm đánh giá 
khả năng hoạt động của bộ lọc phù hợp trong 
điều kiện thu tín hiệu GPS rất tốt. Thực 
nghiệm thứ hai ứng dụng thực tiễn trong công 
tác đo đạc bản đồ trong điều kiện thu tín hiệu 
GPS rất kém. 
Thực nghiệm thứ nhất cho thấy độ lệch lớn 
nhất giữa trị sau bình sai với trị thực là 11,4 
mm. Độ lệch lớn nhất giữa trị sau lọc K với trị 
thực là 4,1 mm. 
Thực nghiệm thứ hai cho thấy độ lệch giữa 
trị sau bình sai RTKLIB với trị thực từ 262 mm 
đến 505,5 mm. Độ lệch giữa trị sau lọc K với trị 
thực từ 16 mm đến 297 mm. Độ lệch thực tế 
của trị đo so với trị thực tới trên 10 mét khi đo 
“động” chỉ ra điều kiện đo kém và chất lượng 
máy thu chưa tốt. 
Những nghiên cứu bước đầu đã ứng dụng 
trong công tác thành lập bản đồ hoặc thu thập 
dữ liệu thông tin địa lý có thể giảm chi phí và tăng 
khả năng tận dụng máy cũ của đơn vị sản xuất. 
Lời cảm ơn 
Tác giả xin chân thành cảm ơn các sinh viên 
ĐH5QĐ9 đã nhiệt tình tham gia thực nghiệm. 
Bài viết này là kết quả thực hiện đề tài nghiên 
cứu khoa học cấp cơ sở mã số 13.01.17.O.03 
của Trường Đại học Tài nguyên và Môi trường 
Hà Nội, do tác giả chủ trì năm 2017 - 2018. 
Tài liệu tham khảo 
[1] R.E. Kalman, A New Approach to Linear 
Filtering and Prediction Problems, Journal of 
Basic Engineering, 82 (series D):34-45. Copyright 
@ 1960 by ASME.1960. 
[2] Phan Văn Hiến, Đinh Xuân Vinh, Ứng dụng lọc 
Kalman trong phân tích biến dạng nhà cao tầng do 
bức xạ nhiệt mặt trời. Tạp chí Xây dựng, số 5-
2010. ISSN 0866-0762.2010. 
[3] Grewal, Mohinder S, Angus P. Andrews. Kalman 
filtering : theory and practice using MATLAB. 
 Published by John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, 
New Jersey. ISBN 978-0-470-17366-4 
(cloth)2008. 
[4] Đinh Xuân Vinh, Phan Văn Hiến, Nguyễn Bá 
Dũng, Lý thuyết và phương pháp phân tích biến 
dạng. Nhà xuất bản Tài nguyên Môi trường và 
Bản đồ Việt Nam. ISBN: 978-604-904-875-
3.2016. 
[5] Arthur Gelb, Joseph F. Kasper, Raymond A. 
Nash, Charles F. Price, Arthur A. Sutherland. 
Applied Optimal Estimation. Technical Staff the 
Analytic Sciences Corporation. THE M.I.T. 
PRESS. Massachusetts Institute of Technology. 
[6] Daniel Zwillinger. CRC Standard Mathematical 
Tables and Formulae. CRC Press. 2003. 
[7] Alfred Leick. GPS Satellite Surveying. John 
Wiley & Sons, Inc. All rights reserved. ISBN 0-
471-05930-7 (cloth).2004. 
[8] Tomoji TAKASU. “RTKLIB: Open Source 
Program Package for RTK-GPS”. Tokyo 
University of Marine Science and Technology. 
2009. 
[9] Norman Morrison, Intro to Sequential Smoothing 
and Prediction. McGraw-Hil Book Company, 
New York. 1969. 
[10] Heiner Kuhlmann, “Kalman – filtering with 
coloured measurement noise for deformation 
analysis”, Proceedings, 11th FIG Symposium on 
Deformation Measurements, Santorini, Greece, 
2003.
Đ.X. Vinh / Tạp chí Khoa học ĐHQGHN: Các Khoa học Trái đất và Môi trường, Tập 34, Số 2 (2018) 74-85 
85 
Apply Kalman Filter to Enhance the Accuracy 
of Kinematic GPS Measurements 
Dinh Xuan Vinh 
Hanoi University for Natural Resources and Environment, 41A Phu Dien, Bac Tu Liem, Hanoi, Vietnam 
Abstract: The article discusses the Kalman filter application for temporal random motion of the 
GPS receiver location. The motion of the GPS receiver is a space state model with time-varying. The 
spatial state model is usually represented by linear differential equations with white noise. When the 
state of space fluctuates over time, it is represented by Riccati equations, ie nonlinear differential 
equations. We proposed extending the Kalman filter with parameters suitable for the measurement 
conditions established large scale maps in Vietnam today.Coordinate points of GPS mobile over time 
is compared with coordinate values in a case of static measurements previously with high precision, 
confirming the Kalman filter extended with parameters suitable to estimate the optimal mobile GPS 
receiver location. This reduces the investment cost and increases the efficiency of using a common 
GPS receiver. 
Key words: Kalman filter, kinematic GPS.