Nghiên cứu chương trình và sách giáo khoa góp phần đổi mới nội dung dạy học môn toán ở trường trung học phổ thông: Trường hợp dạy học đạo hàm của hàm số y = sin x

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE DOI: 10.18173/2354-1075.2016-0048
Educational Sci., 2016, Vol. 61, No. 6, pp. 53-59
This paper is available online at 
NGHIÊN CỨU CHƯƠNG TRÌNH VÀ SÁCH GIÁO KHOA GÓP PHẦN ĐỔI MỚI
NỘI DUNG DẠY HỌCMÔN TOÁN Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG:
TRƯỜNG HỢP DẠY HỌC ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ y = sin x
Nguyễn Tiến Trung
Tạp chí Giáo dục
Tóm tắt. Bài báo trình bày một số phân tích và đề xuất điều chỉnh nhỏ trong nội dung dạy
học và kĩ thuật dạy học một nội dung toán học cụ thể: đạo hàm của hàm số y = sinx. Ba
phương án có thể thực hiện để tránh việc thừa nhận công thức lim
x→0
sinx
x
= 1 và góp phần
giúp học sinh khám phá tri thức toán học là: Thứ nhất, trong sách giáo khoa ban cơ bản có
thể trình bày hoặc đưa phần chứng minh định lí kẹp và định lí lim
x→0
sinx
x
= 1 (*) như trình
bày trong bài báo này vào phần bài tập. Như vậy, thông qua quá trình chữa bài tập cho học
sinh, giáo viên có thể trang bị cho các em các kĩ thuật chứng minh, tìm giới hạn, các công
cụ để giải bài toán tính đạo hàm của hàm số y = sinx khi cần thiết, tránh việc thừa nhận.
Thứ hai, có thể trình bày một phương án khác, sử dụng các kiến thức về hình học, trong
việc giúp học sinh kiến tạo công thức tính đạo hàm của hàm số y = sinx, trong đó không sử
dụng tới hai định lí đã được đề cập ở trên. Thứ ba, có thể sử dụng phần mềm hoặc hướng
dẫn học sinh sử dụng phần mềm vẽ đồ thị để vẽ đồ thị hàm số y =
sinx
x
để giúp học sinh
hình dung, cảm nhận được sự tồn tại và giá trị của “giới hạn” (∗).
Từ khóa: Giới hạn, đạo hàm, tính đạo hàm bằng định nghĩa.
1. Mở đầu
Bài toán tìm giới hạn của hàm số là một dạng bài toán quan trọng, được ứng dụng trong
nhiều bài tập, trong đó có bài toán tính đạo hàm của hàm số. Ngôn ngữ giới hạn mang tới một sự
nhận thức mới – tư tưởng giới hạn, liên tục. Chúng tôi cũng rất đồng quan điểm rằng, "mặc dù tính
liên tục rất gần gũi và dễ nhận thấy, nhưng lại là một khái niệm không dễ diễn tả toán học chính
xác" [1, tr. 165]. Nghĩa là, đối với trình độ của học sinh thì nhiều khi việc hiểu rõ tri thức toán học
không phải lúc nào cũng thực hiện được.
Trong chương trình toán Trung học phổ thông, hiện có một số nội dung liên quan đến bài
toán giới hạn mà theo chúng tôi còn có thể xem xét, thiết kế một số hướng tiếp cận giúp cho học
sinh có thể hình thành khái niệm, hiểu được khái niệm. Chẳng hạn như trong [2], chúng tôi thấy có
sự trình bày các kiến thức liên quan tới nhau ở các trang, chương khác nhau: đạo hàm của hàm số
y = sinx (trang 207-208); giới hạn lim
x→0
sinx
x
= 1 (dùng để tính đạo hàm của hàm số y = sinx)
Ngày nhận bài: 10/11/2015. Ngày nhận đăng: 10/6/2015.
Liên hệ: Nguyễn Tiến Trung, e-mail: nttrung@moet.edu.vn
53
Nguyễn Tiến Trung
được trình bày ở các trang 153, 154, 206, 207; các định lí kẹp (dùng để chứng minh có giới hạn
lim
x→0
sinx
x
= 1) được trình bày ở trang 152, 153. Tuy nhiên, các nội dung giới hạn lim
x→0
sinx
x
= 1
và các định lí kẹp được trình bày trong Bài đọc thêm. Căn cứ vào yêu cầu dạy học, chúng tôi xác
định rằng yêu cầu đối với học sinh là nắm được và vận dụng được giới hạn lim
x→0
sinx
x
= 1 trong
làm bài tập, trong các phần kiến thức liên quan (để tính được đạo hàm bằng định nghĩa) chứ không
yêu cầu học sinh nắm chắc về mặt toán học các phép chứng minh. Tương tự như vậy, thực hiện
được phép tính đạo hàm bằng định nghĩa của hàm số y = sinx cũng không phải là yêu cầu cơ
bản cho học sinh mà yêu cầu cơ bản là học sinh nắm được công thức (sinx)′ = cos x và vận dụng
trong giải bài tập. Tiếp đó, chúng tôi thấy rằng trong [3, tr. 163-164], trình bày việc thừa nhận định
lí lim
x→0
sinx
x
= 1 để phục vụ cho việc chứng minh định lí : "hàm số y = sinx có đạo hàm tại mọi
x thuộc Rvà (sinx)′ = cos x". Phần chứng minh định lí về đạo hàm của hàm số y = sinx trong
[3], tương tự như trong [2].
Vì những lí do trên, chúng tôi phân tích, đề xuất một phương án dạy học tính đạo hàm của
hàm số bằng định nghĩa một cách phù hợp, thông qua việc mô tả bài toán giải tích thông qua hình
học và lượng giác. Phân tích này (thông qua mô tả hình học hoặc mô tả, biểu diễn bằng phần mềm
vẽ đồ thị) góp phần giúp học sinh hình dung, cảm nhận được giới hạn của hàm số f (x) =
sinx
x
khi x → 0 một cách trực quan, dù rằng vẫn thừa nhận, không đặt vấn đề chứng minh công thức
giới hạn trên.
2. Nội dung nghiên cứu
2.1. Từ bài toán tính đạo hàm của hàm số y = sin x
Trong [2, tr. 207-208], trình bày về việc tính đạo hàm của hàm số y = sinx tại điểm x bất
kì thuộc R bằng định nghĩa theo cách như sau:
△ y = sin (x+ △ x)− sinx = 2cos
(
x+
△ x
2
)
sin
△ x
2
Khi đó ta có
△ y
△ x
=
2cos
(
x+
△ x
2
)
sin
△ x
2
△ x
Tìm giới hạn
lim
x→0
y
x
= lim
x→0
2 cos
(
x+
x
2
)
sin
x
2
x
= lim
x→0
cos
(
x+
x
2
)
.
sin
x
2
x
2
Lại do lim
△x→0
cos
(
x+
△ x
2
)
= cos x (vì hàm số y = cosx liên tục) và lim
△x→0
sin
△ x
2
△ x
2
= 1
54
Nghiên cứu chương trình và sách giáo khoa góp phần đổi mới nội dung dạy học môn Toán...
Hình 1.
(định lí lim
x→0
sinx
x
= 1 (*) được thừa nhận, có
phần hướng dẫn chứng minh trong [2, tr. 154]) nên
ta có lim
△x→0
△ y
△ x
= cos x.
Vậy (sinx)′ = cos x.
Bây giờ, chúng ta xem và trình bày lại phần
chứng minh định lí (*) như sau:
Vì x 6= 0 nên chỉ cần xét x trong một
khoảng nào đó chứa điểm 0, chẳng hạn x ∈(
−
pi
2
;
pi
2
)
, x 6= 0.
Trước hết, giả sử x ∈
(
0;
pi
2
)
. Trên đường
tròn lượng giác, ta đặt cung
⌢
AM có số đo bằng
xrad. TiaOM cắt trục tung tại điểm T (hình bên).
Ta có
S△OAM < SquatOAM < S△OAT , tức là
1
2
sinx <
1
2
x <
1
2
tanx
Vì x ∈
(
0;
pi
2
)
nên sinx > 0, do đó chia các vế của các bất đẳng thức trên cho
1
2
sinx ta
được
1 <
x
sinx
<
1
cos x
(1)
Vì cos x > 0 với mọi x ∈
(
0;
pi
2
)
nên từ (1) suy ra
cos x <
sinx
x
< 1 (2)
Nếu x ∈
(
−
pi
2
; 0
)
thì −x ∈
(
0;
pi
2
)
và do đó áp dụng công thức (2) cho (−x), ta được
cos