Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 4: Biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc

2/19/2019
1
Chương 4
1
Biến ngẫu nhiên hai chiều
rời rạc
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
Yêu cầu
• Phân phối xác suất đồng thời
• Phân phối lề (tính từ ppxs đồng thời)
• Phân phối xác suất điều kiện
• Sự độc lập của hai biến ngẫu nhiên
• Các tham số đặc trưng
2nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
Khái niệm
• Là bộ có thứ tự (X,Y) với X, Y là các biến ngẫu
nhiên.
• Nếu X và Y rời rạc ta có bnn hai chiều rời rạc
• Nếu X và Y liên tục ta có bnn hai chiều liên tục
• Nếu một biến rời rạc và một biến liên tục sẽ rất
phức tạp nên ta không xét trường hợp này.
3nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
Ví dụ 1
• Một nhà máy sản xuất một loại sản phẩm. Nếu
kích thước sản phẩm đo bằng chiều rộng X và
chiều dài Y thì ta có bnn hai chiều (X, Y).
• Nếu xét thêm cả chiều cao Z thì ta có bnn 3 chiều
(vec tơ ngẫu nhiên 3 chiều) (X,Y,Z)
• Nếu chỉ quan tâm đến trọng lượng W và thể tích V
của sản phẩm thì ta có bnn hai chiều (W,V)
4nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
Hàm khối xác suất đồng thời
• Joint probability mass function (p.m.f.)
• Cho X, Y là hai biến ngẫu nhiên rời rạc. Gọi S là tập
hợp giá trị của X và Y.
• Ký hiệu: pX,Y(x,y)
5
 , , ,X Yp x y P X x Y y 
,
,
,
,
,
) 0 , 1
) , 1
) , , ,
 
X Y
X Y
X Y
x y S
x y A
i p x y
ii p x y
iii P X Y A p x y A S
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
Bảng ppxs đồng thời của (X,Y)
6
y1 y2  yj  ym ∑
x1 p11 p12  p1j  p1m p1●
x2 p21 p22  p2j  p2m p2●
xi pi1 pi2  pij  pim pi●
xn pn1 pn2  pnj  pnm pn●
∑ p●1 p●2  p●j  p●m 1
Y
X
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
2/19/2019
2
Bảng ppxs đồng thời của (X,Y)
• Trong đó:
7
 ,
1 1
1 1
) , ,
) 1
) ;
ij X Y i j i j
n m
ij
i j
m n
i ij j ij
j i
i p p x y P X x Y y
ii p
iii p p p p

 
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
Phân phối lề
• Marginal Probability Mass Function
• Phân phối lề của X:
• Phân phối lề của Y:
8
 , 1, , X X Y
y
p x p x y P X x x S
 , 2, , Y X Y
x
p y p x y P Y y y S
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
Sự độc lập
Hai biến ngẫu nhiên X, Y gọi là độc lập nếu:
• Dấu hiệu:
• Hai hàng bất kỳ tỷ lệ.
• Hai cột bất kỳ tỷ lệ.
9
 1 2, , ,   P X x Y y P X x P Y y x S y S
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
Ví dụ 2
Cho hàm khối xác suất đồng thời như sau:
Trong đó:
a) Lập bảng phân phối xác suất đồng thời.
b) Hai biến ngẫu nhiên X, Y có độc lập?
10
2
, ,
13
 X Y
xy
p x y
 1,1 , 1,2 , 2,2 S
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
The Trinomial Distribution
• Sinh viên đọc thêm
11nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
Ví dụ 3
129 130 131
15 0,12 0,42 0,06
16 0,08 0,28 0,04
12
X: chiều dài (mm)
Y:
chiều
rộng
(mm)
• Tìm xác suất một chiếc CD có chiều dài 130mm biết
chiều rộng là 15mm.
• Tìm phân phối xác suất của X với điều kiện Y =15.
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
2/19/2019
3
Ppxs có điều kiện
• Giả sử bnn 2 chiều (X,Y) có hàm khối xác suất đồng
thời và các hàm khối xác suất thành phần:
• PPXS điều kiện của X khi cho Y=y là:
• PPXS điều kiện của Y khi cho X=x là:
13
 , , ; ;X Y X Yp x y p x p y
, ,
|
X Y
X
Y
p x y
p x y
p y
, ,
| 
X Y
Y
X
p x y
p y x
p x
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
Kỳ vọng có điều kiện (hồi quy)
• Kỳ vọng của X với điều kiện Y=y (còn gọi là hồi quy
của X theo Y khi Y=y)
• Kỳ vọng của Y với điều kiện X=x (còn gọi là hồi quy
của Y theo X khi X=x)
14
 | || .   Y x Y x
y
E Y X x y p y
 | || .   X y X y
x
E X Y y x p x
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
Phương sai có điều kiện
• Phương sai của X với điều kiện Y=y
• Tương tự cho Y.
15
2
|
2
2 2
|
| .
| .

 


X yX y
x
X y X y X y
y
V X Y y x p x
V X Y y x p x
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
Ví dụ 4
129 130 131
15 0,12 0,42 0,06
16 0,08 0,28 0,04
16
X: chiều dài (mm)
Y:
chiều
rộng
(mm)
• Tìm E(Y|X=129) và V(Y|X=129)
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
Ví dụ 5
• Chọn ngẫu nhiên 2 cục pin, không hoàn lại, từ 12
cục pin, trong đó bao gồm 3 cục mới, 4 cục đã sử
dụng và 5 cục bị hỏng.
• Gọi X là số pin mới được chọn.
• Gọi Y là số pin đã sử dụng được chọn.
• Lập bảng ppxs đồng thời của (X,Y)
• Tìm E(X), E(Y)
17nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
Ví dụ 6
• Cho biến ngẫu nhiên (X,Y) có bảng phân phối xác
suất:
• Tìm luật ppxs của các biến X và Y.
18
1 2 3
1 0,10 0,25 0,10
2 0,15 0,05 0,35
X
Y
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
2/19/2019
4
Ví dụ 7
• Phân phối xác suất đồng thời của biến ngẫu nhiên
(X,Y) cho bởi bảng sau:
• Tính P(X=6) và P(X ≥ 7, Y ≥2)
• Lập bảng ppxs thành phần và tính E(X), E(Y).
19
1 2 3
6 0,10 0,05 0,15
7 0,05 0,15 0,10
8 0,10 0,20 0,10
X
Y
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
Ví dụ 8
• Phân phối xác suất đồng thời của biến ngẫu nhiên
(X,Y) cho bởi bảng sau:
• Lập bảng ppxs của X với đk Y=2. Tính E(X|Y=2)?
• Lập bảng ppxs của Y với đk X=8. Tính E(Y|X=8)?
20
1 2 3
6 0,10 0,05 0,15
7 0,05 0,15 0,10
8 0,10 0,20 0,10
X
Y
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
Ví dụ 9
• Chi phí quảng cáo X (triệu đồng) và doanh thu Y
(triệu đồng) của một công ty có bảng ppxs đồng
thời như sau:
21
500
(400-600)
700
(600-800)
900
(800-1000)
30 0,10 0,05 0
50 0,15 0,20 0,05
80 0,05 0,05 0,35
X
Y
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Xác suất Thống kê 02/2019
Ví dụ 9
• Nếu doanh thu quảng cáo là 700 triệu đồng thì chi
phí quảng cáo trung bình là ba