Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 6: Ước lượng tham số

3/11/2019
1
ƯỚC LƯỢNG 
THAM SỐ
1
CHƯƠNG 6
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
ƯỚC LƯỢNG
• Ước lượng điểm
• Ước lượng khoảng trung bình, tỷ lệ, phương sai
• Ước lượng chênh lệch hai trung bình, chênh lệch
hai tỷ lệ
• Ước lượng tỷ số hai phương sai
2nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
Ước lượng
• Tổng thể có tham số  chưa biết.
• Ta muốn xác định tham số này.
• Lấy một mẫu ngẫu nhiên cỡ n.
• Từ mẫu này tìm cách xác định gần đúng giá trị của
tham số  của tổng thể.
• Ước lượng điểm: dùng một giá trị.
• Ước lượng khoảng: dùng một khoảng.
3nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
Thống kê mẫu và Ước lượng điểm
• Định nghĩa. Cho mẫu ngẫu nhiên (X1, X2, , Xn) 
của tổng thể. Một hàm của các biến ngẫu nhiên
X1, X2, ..., Xn được gọi là thống kê mẫu (statistic).
• Định nghĩa. Một thống kê mẫu T(X1, X2, ..., Xn) được
sử dụng để ước lượng cho tham số  được gọi là
một ước lượng điểm của  .
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019 4
6.1 Ước lượng điểm
• Dùng một giá trị để thay thế cho giá trị của tham số
 chưa biết của tổng thể.
• Giá trị này là giá trị cụ thể của một thống kê T nào
đó của mẫu ngẫu nhiên.
• Cùng với một mẫu ngẫu nhiên có thể xây dựng
được rất nhiều thống kê mẫu để ước lượng cho
tham số .
• Ta dựa vào các tiêu chuẩn sau: không chệch, hiệu
quả, vững 
5nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
Ước lượng không chệch (ƯLKC)
• Thống kê T(X1;X2;;Xn) gọi là ước lượng không
chệch của tham số  nếu:
• Nếu E(T)  thì ước lượng T gọi là một ước lượng
chệch (ƯLC) của tham số .
• Độ chệch của ước lượng:
6
E(T) 
E(T) 
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
3/11/2019
2
Ví dụ 1
• Theo lý thuyết mẫu ta có:
7
*2 2
2
2
2 2
1
E X
E S
n
E S
n
E S
E F p




*2 2 2
2
2
la ULKC cua 
la ULKC cua 
, la ULKC cua
la ULchech cua
X
F p
S S
S



nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
Ước lượng KC tốt hơn
• Cho X, Y là hai ULKC của tham số .
• Có nghĩa là:
• Nếu:
• Thì Y là ước lượng tốt hơn X (do phương sai nhỏ
hơn nên mức độ tập trung xung quanh tham số 
nhiều hơn).
8
 E X E Y  
 V X V Y 
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
Ví dụ 1.
• Cho mẫu ngẫu nhiên (X1,X2, , Xn).
a) CMR: các thống kê sau:
đều là các ước lượng không chệch của .
b) Trong các ước lượng trên ước lượng nào là tốt
hơn.
9
1 21 2
1 1 2
2
...
; ; n
n
X X XX X
Z X Z Z
n
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
Ước lượng hiệu quả
• Thống kê T(X1;X2;;Xn) gọi là ước lượng hiệu quả
của tham số  nếu:
• T là ULKC của 
• V(T) nhỏ nhất so với mọi ULKC khác xây
dựng trên cùng mẫu ngẫu nhiên trên.
• Ta thường dùng bất đẳng thức Crammer-Rao để
đánh giá.
10nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
BĐT Cramer-Rao
• Biến nn gốc X có hàm mật độ hoặc công thức tính
xác suất có chứa tham số θ dạng f(x,θ) và thỏa mãn
một số điều kiện nhất định.
• Cho T là một ƯLKC của θ. Ta luôn có:
• Vậy ULKC nào thỏa mãn dấu “=“ thì đó là ULHQ
11
2
1
ln ,
V T
f X
nE
  
  
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
Ví dụ 2.
• Cho mẫu ngẫu nhiên (X1,X2, , Xn) lấy từ tổng thể có kì
vọng  và phương sai 2. Xét 2 thống kê:
a) CMR: cả 2 thống kê trên đều là các ước lượng
không chệch của .
b) Trong hai ước lượng trên ước lượng nào là tốt hơn.
12
1 2 1 2
1
2 ... ...
2 ;
1
n nX X nX X X XZ X
n n n
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
3/11/2019
3
Ví dụ 3
Cho tổng thể có phân phối chuẩn N(μ;σ2). CMR: 𝑋 là ước
lượng hiệu quả nhất của tham số μ.
Giải.
Dễ thấy, 𝑋 là ước lượng không chệch và:
Hàm ppxs của tổng thể:
13
2
Var X
n

2
22
1
, ,
2
x
f x f x e

 
 
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
Ví dụ 3
• Ta có:
• Và:
14
2
2
2
2
2

 
 
  
  
  
 
ln
ln ,
x
f x x
2
2
2 4 2
1 1X
E E X


  
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
Ví dụ 3
• Theo bất đẳng thức Cramer-Rao ta có:
• Vậy thống kê 𝑋 là ƯLKC có phương sai nhỏ nhất
trong các ước lượng không chệch của tham số μ
của tổng thể
15
2
2
1
ln ,
Var T Var X
nf X
nE



 
  
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
Các ULHQ
• Ta chứng minh được:
16
2 *2 2
 .
, .
 .
X la ULHQ cua
S S la ULHQ cua
F la ULHQ cua p


nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
Ước lượng hợp lý tối đa
• Sinh viên tự tham khảo tài liệu
17nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
6.2 Ước lượng khoảng
Giả sử tổng thể có tham số  chưa biết. Dựa vào mẫu
ngẫu nhiên ta tìm khoảng (a; b) sao cho: 
P(a <  <b)=(1 - ) khá lớn.
Khi đó ta nói, (a;b) là khoảng ước lượng của tham số
 với độ tin cậy (1 - ) .
Độ tin cậy thường được cho trước và khá lớn.
Dạng khoảng tin cậy:
• (𝑎; 𝑏) : khoảng tin cậy hai phía
• (−∞; 𝑏) : khoảng tin cậy bên trái (tối đa)
• (𝑎: +∞) : khoảng tin cậy bên phải (tối thiểu)
18nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
3/11/2019
4
Ước lượng khoảng
• (a; b): khoảng tin cậy hay khoảng ước lượng.
• (1 - ): độ tin cậy của ước lượng.
• |b - a|=2ε: độ rộng khoảng tin cậy.
• ε : độ chính xác (sai số).
• Vấn đề: tìm a, b như thế nào? (1 - ) là bao nhiêu thì phù
hợp.
• a, b là 2 thống kê mẫu
19nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyết XSTK 02.2019
Nguyên tắc ULK
• Với mẫu đã chọn, tìm thống kê T có ppxs xác định
và chứa tham số cần ước lượng.
• Với độ tin cậy (1-α) cho trước tìm cặp số α1; α2 sao
cho:
• Tìm các giá trị tới hạn mức (1- α1) và α2
• Ta có:
• Biến đổi tương đương tìm khoảng UL cho tham số
cần tìm.
20
1 2 
1 21
1P T T T 
nguyenvantien0405.wordpress.com Bài giảng Lý thuyế