Một dạng lược đồ chữ ký số tổng quát

ISSN 2354-0575
Journal of Science and Technology74 Khoa học & Công nghệ - Số 17/Tháng 3 - 2018
MỘT DẠNG LƯỢC ĐỒ CHỮ KÝ SỐ TỔNG QUÁT
Nguyễn Hữu Mộng
Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Hưng Yên
Ngày tòa soạn nhận được bài báo: 05/02/2018
Ngày phản biện đánh giá và sửa chữa: 06/03/2018
Ngày bài báo được xét duyệt đăng: 09/03/2018
Tóm tắt:
Bài viết trình bày một lược đồ tổng quát cho chữ ký số. Tính tổng quát của lược đồ phụ thuộc vào sự 
tuỳ biến của một số hàm số nguyên như các tham số sinh các chữ ký số. Từ lược đồ tổng quát bằng cách tuỳ 
biến các hàm số nguyên ta có thể thu được các lược đồ cụ thể khác nhau. Bài viết còn nhấn mạnh đến các 
khía cạnh toán học và đặc biệt là tính đúng đắn của các thuật toán. Tính đúng đắn của lược đồ nói chung 
thể hiện ở chỗ từ các chữ ký nhận được và văn bản nhận được ta có thể xác thực được tính toàn vẹn và tính 
nguồn gốc của văn bản nhận được.
Từ khoá: Lược đồ, chữ ký số, RSA, số nguyên tố lớn, hàm ơle, khoá công khai, khoá bí mật.
1. Đặt vấn đề
Từ khi ra đời đến nay thuật toán RSA [1] 
được sử dụng rộng rãi trên thế giới với mục đích 
bảo mật tối đa một văn bản được gửi đi. Sự mở 
rộng và phát triển thuật toán này cho việc xác thực 
một văn bản đã được hưởng ứng và thực hiện mạnh 
mẽ trong nước và trên thế giới những năm gần đây 
[2,3,..,17 ]. Hàng loạt các cơ quan xác thực ra đời 
để cung cấp các chữ ký số cho các khách hàng khác 
nhau.
Thuật toán RSA về mặt toán học là rất chặt 
chẽ và chính xác, do đó, nó có tính bảo mật cao. 
Tính bảo mật của thuật toán RSA dựa vào tính khó 
của bài toán phân tích số và bài toán khai căn theo 
modulo. Do vậy, khi phát triển thuật toán này cho 
việc gửi các văn bản lớn bắt buộc phải thay đổi một 
số trật tự trong thuật toán cũng như các phương 
pháp tạo ra chữ ký. Về mặt hình thức thì một lược 
đồ chữ ký số áp dụng cho việc xác thực văn bản có 
các bước cơ bản sau đây:
- Lựa chọn các tham số: các khoá bí mật và 
các khoá công khai.
- Hình thành chữ ký – ký lên văn bản. 
- Kiểm tra chữ ký – xác thực chữ ký.
Tất cả các lược đồ được đề xuất gần đây cơ 
bản vẫn duy trì theo các bước trên chỉ khác nhau 
về phương pháp ký và tất nhiên là khác nhau cả 
phương pháp kiểm tra. Một lược đồ mới để xuất đều 
phải có phương pháp ký mới và phương pháp kiểm 
tra tương thích. Bản chất của một lược đồ chữ ký số 
là người nhận văn bản sử dụng các khoá công khai 
để kiểm tra tính xác thực của văn bản, tức là, kiểm 
tra nội dung văn bản có bị thay đổi không và văn 
bản có đến từ người gửi chữ ký không?.
Trong bài viết này, chúng tôi đưa ra một lược 
đồ mới tổng quát bằng cách sử dụng một số hàm 
nguyên để hình thành chữ ký nhưng vẫn đảm bảo 
được tính xác thực của chữ ký số. Từ lược đồ tổng 
quát này, bằng cách tuỳ biến các hàm nguyên ta có 
thể thu được nhiều lược đồ cụ thể theo mong muốn 
của người dùng. Ngoài ra, bài viết còn đề cập đến 
các khía cạnh toán học của các vấn đề đặt ra có ảnh 
hưởng đến quá trình tạo các khoá, chữ kí và quá 
trình kiểm tra tính xác thực của chữ ký. 
2. Lược đồ tổng quát
Giả sử A cần gửi cho B một văn bản M và A 
muốn B nhận đúng văn bản và do A gửi. Muốn vậy, 
A thực hiện như sau:
- A tạo các khoá bí mật và công khai.
- A băm văn bản M được m.
- A sử dụng các khoá và m tạo ra chữ kí số.
- A gửi văn bản và chữ ký số cho B. 
- B nhận được văn bản và chữ ký: B băm văn 
bản nhận được và thu được m’.
- B sử dụng các khoá công khai để tính m từ 
chữ ký nhận được.
- Nếu m = m’ thì tính xác thực đúng đắn, 
nếu không không xác thực được.
Cụ thể quá trình này được thể hiện bằng các 
thuật toán sau đây:
2.1. Thuật toán chọn các tham số và khóa
 10. Chọn hai số nguyên tố lớn p, q.
 20. Tính , ( ) ( ) ( )n pq n p q1 1z= = - - .
 30. Chọn một số nguyên t thoả mãn các điêu 
kiện: ( ); gcd( , ( )) .t n t n1 11 1 z z = 
40. Chọn một số x trong khoảng (1, n) và 
nguyên tố cùng nhau với n, tức là,
 1 < x < n, gcd(x,n) = 1.
 50. Tính giá trị
 y = xt mod n (1)
Ghi chú:
ISSN 2354-0575
Khoa học & Công nghệ - Số 17/Tháng 3 - 2018 Journal of Science and Technology 75
1) Giá trị x, p, q, ( )nz được giữ bí mật (các 
khoá bí mật), còn y, t, n làm khoá công khai.
2) Các số nguyên tố lớn p, q có thể chọn từ 
trước để giảm thời gian triển khai lược đồ. Các số 
nguyên tố p, q có thể chọn bằng nhiều phương pháp 
khác nhau ví dụ như phương pháp Rabin – Miller, 
Lehmann, Strong Primes, v.v.. Ta có thể sử dụng 
thuật toán sinh số nguyên tố mạnh – RSA (thuật 
toán D. M. Gordon) [18] để nâng cao tính chống tấn 
công làm lộ khoá bí mật.
3) Việc chọn các số nguyên t và x có thể 
thực hiện được bằng thuật toán Euclid mở rộng. Đã 
có những nghiên cứu xem xét vấn đề lựa chọn các 
tham số này sao cho thuật toán có độ bảo mật cao 
nhất có thể [12,13,14,15].
4) Việc tính khoá công khai y = xt mod n 
được thực hiện bằng thuật toán bình phương và 
nhân trong phép modulo n [24]. Ta cũng có thể tính 
khoá công khai bằng công thức gần giống như trong 
thuật toán RSA
y = x t- mod n.
2.2. Thuật toán hình thành chữ ký
Để thực hiện thuật toán ký, tức là, tạo ra chữ 
ký số lên văn bản. Chữ ký số lên văn bản thực chất 
là một số nguyên lớn được tạo ra bằng thuật toán ký 
từ giá trị hàm băm của văn bản cần ký M mà người 
ký muốn chuyển cho người nhận và khoá bí mật 
của người ký. Giả thiết rằng, lược đồ chữ ký Ở đây 
chúng ta tạo ra một cặp chữ ký 2 thành phần là (r, s) 
và mỗi chữ ký đều gắn chặt với giá trị băm m tương 
ứng với văn bản M. Để tạo ra các chữ ký chúng tôi 
xây dựng ba hàm số khác nhau là f
1
, f
2
, f
3
. Đây là ba 
hàm hai biến số và chúng đều là những hàm có giá 
trị nguyên, tức là, đó là các hàm xác định trên miền 
các cặp số nguyên và miền giá trị của chúng cũng là 
các số nguyên. Có thể nghiên cứu thêm về tính chất 
các hàm để thu được một lược đồ hiệu quả cao. Ở 
đây ta chưa đề cập đến các vấn đề này. Chúng tôi sẽ 
có thêm những nghiên cứu tiếp theo bằng cách đề 
xuất các hàm cụ thể để xây dựng các lượ ... ta phải có m’ = m, 
trong đó, m là giá trị băm của văn bản gốc M. Do 
vậy, nếu hai giá trị băm bằng nhau thì nội dung văn 
bản không bị thay đổi. Nhưng người nhận không 
biết m mà chỉ nhận được chữ ký liên hệ chặt chẽ 
với m và không thể tính được m từ chữ ký. Do đó, 
lược đồ tổng quát đề xuất ở đây cho phép ta thông 
qua chữ ký (tất nhiên là với giả thiết nhận đúng chữ 
ký!) và bằng các phép biến đổi (chủ yếu là phép 
nâng lên luỹ thừa trong modulo n) mà có thể suy ra 
được các giá trị m và m’ có bằng nhau hay không. 
Và chỉ khi kết luận được hai giá trị này bằng nhau 
thì có thể kết luận người nhận nhận đúng văn bản 
và đúng người gửi, tức là, tính toàn vẹn và tính xác 
thực của văn bản được đảm bảo. Sự liên quan đến 
m là sự liên quan ẩn dưới các chữ ký, bởi vì các chữ 
ký hình thành từ m và các hàm bổ trợ. Người nhận 
dùng khoá công khai y để giải mã, tức là, để kiểm 
tra. Thuật toán kiểm tra bao gồm các bước sau đây:
10. Tính m’ = H(M’).
20. Tính các giá trị
mod ;
. mod .
u r n
v s y n
( , ')
( , ')
f r m
t f r m
2
3
=
= ` j
30. Kiểm tra u = v?
 - Nếu đẳng thức đúng thì kết luận nhận 
được văn bản đúng và đúng người gửi.
 - Nếu đẳng thức sai thì không xác thực 
được văn bản nhận được: văn bản nhận được sai 
hoặc nhận được không phải từ người gửi chính 
thức, tức là, nhận được chữ ký giả mạo.
Chú ý:
1) Người nhận tính được các giá trị u, v nhờ 
biết các khoá y, t, các giá trị r, s, các hàm f
2
, f
3
 cũng 
như giá trị băm m’ của văn bản M’ nhận được tính theo 
cùng một hàm băm thoả thuận trước với người gửi.
2) Các giá trị u, v được tính theo thuật toán 
bình phương và nhân áp dụng cho phép mũ modulo n.
3. Tính đúng đắn của lược đồ
Tính đúng đắn của lược đồ được chứng 
minh bằng khẳng định u = v khi bản tin cần thẩm 
tra không bị thay đổi nội dung và chữ ký tương ứng 
không bị giả mạo. Ngược lại, nếu 1 trong 2 điều 
kiện đó hoặc cả 2 không thoả mãn, nghĩa là bản tin 
bị sửa đổi nội dung, hoặc chữ ký bị giả mạo hay cả 
2 cùng xảy ra thì u ≠ v. Trong đó u, v được tính trong 
thuật toán kiểm tra chữ ký. Ta cần phải nhấn mạnh 
rằng, tính đúng đắn của thuật toán chỉ xảy ra khi 
người nhận nhận đúng văn bản M và đúng chữ ký 
lên văn bản này. Như vậy, nếu nhận sai chữ ký hay 
nhận sai văn bản hay cả hai thì tính đúng đắn không 
xảy ra hay không xác thực được tính toàn vẹn của 
văn bản cũng như nguồn gốc của văn bản đó.
Giả sử m là giá trị văn bản gửi đi, m’ là giá 
trị văn bản nhận được và
mod ;
. mod ,
u r n
v s y n
( , ')
( , ')
f r m
t f r m
2
3
=
= ` j (4)
trong đó, r, s là các chữ ký nhận được và được tính 
theo các công thức (2)-(3), t, y là các khoá công 
khai, f
2
, f
3
 là các hàm đã biết như trong thuật toán 
hình thành chữ kí. Ta phải chứng minh rằng: nếu u 
= v thì m = m’ và ngược lại, nếu u ≠ v thì m ≠ m’.
Chứng minh. Giả sử u = v. Vậy ta có 
mod . mod .r n s y n( , ') ( , ')f r m t f r m2 3= ` j (5)
Từ các công thức (1)-(3) ta được
mod mod .s x n y n( . ). .t f f f t f f f1 2 3 1 2 3= =- - 
d. mo . mod .
mod mod .
v y y n y y n
u r n y n
( , ') ( , ')
( , ') . ( , ')
f f f f r m f f f r m f
f r m f f r m
1 2 3 3 1 2 3 3
2 1 2
= =
= =
- -
Do đó, nếu u = v thì ta phải có
. mod ,y y y n( , ') . ( , ')f f f r m f f f r m1 2 3 3 1 2/-
hay
. mod ,
. mod .
y y y n
y y n1
( , ') . ( , ')
( ( , ') ) ( , ')
f f f r m f f f r m
f f r m f f f r m
1 2 3 3 1 2
1 2 2 3 3
/
/
-
- -
Đẳng thức cuối cùng trên đây có thể xảy ra 
không phải với mọi hàm f
2
, f
3
. Tuy nhiên, nếu các 
phương trình 
( , ) , ,
( , ) , ,
f r m h r h
f r m h r h
const const;
const const
2 2 2
3 3 3
= = =
= = =
có nghiệm duy nhất m thì từ đẳng thức trên suy ra 
m = m’.
Vậy, nếu các hàm f
2
, f
3 
 là các đơn ánh theo 
m thì từ điều kiện u = v suy ra m = m’. Ngược lại, 
nếu u ≠ v và các hàm f
2
, f
3
 vẫn là các đơn ánh thì suy 
luận tương tự ta được m ≠ m’.
Từ đây ta thấy, nếu các hàm f
2
, f
3 
 là đơn 
ánh thì để kiểm tra tính xác thực của văn bản nhận 
được ta chỉ việc tính các giá trị ' '( , ), ( , )f r m f r m2 3 
ISSN 2354-0575
Khoa học & Công nghệ - Số 17/Tháng 3 - 2018 Journal of Science and Technology 77
và so sánh chúng tương ứng với các giá trị đã có 
( , ), ( , )f r m f r m2 3 và nếu 
( , ) ( , ');
( , ) ( , ')
f r m f r m
f r m f r m
2 2
3 3
=
=
 (6)
thì kết luận tính xác thực được đảm bảo. Do đó, 
thay vì phải tính các giá trị u, v theo các công thức 
(4) ta chỉ cần tính các giá trị ' '( , ), ( , )f r m f r m2 3 đơn 
giản hơn nhiều và nếu thoả mãn các đẳng thức (6) 
thì kết luận 'm m= , tức là, tính xác thực được đảm 
bảo, nội dung văn bản nhận được không bị thay đổi.
4. Bàn về tính an toàn của lược đồ chữ ký số
Tính an toàn của lược đồ thể hiện ở chỗ 
người nhận xác thực được nội dung và nguồn gốc 
của văn bản nhận được đồng thời khả năng không 
xác thực được là ít xảy ra. Chỉ có như vậy thì một 
lược đồ chữ ký số mới có ý nghĩa và mới áp dụng 
được cho việc truyền thông tin trên mạng.
Ta có 4 tình huống sau đây:
- Nhận đúng văn bản và đúng chữ ký.
- Nhận đúng chữ ký nhưng sai văn bản.
- Nhận sai chữ ký nhưng đúng văn bản.
- Sai cả hai.
Xét tình huống thứ nhất: nhận đúng văn bản 
và đúng chữ ký. Rõ ràng khi đó hàm kiểm tra văn 
bản cho ta giá trị TRUE, tức là, văn bản đúng và 
đúng người gửi. Ở đây có sự tương ứng như sau: 
người gửi chữ ký và người gửi văn bản là một. Tuy 
nhiên có một câu hỏi như sau: Làm sao biết đúng 
người gửi và đúng văn bản cần nhận? Tức là người 
nhận có nhận đúng văn bản cần nhận và tới từ người 
gửi văn bản đó không? Có nhiều người gửi đến 
người nhận và có thể cùng một văn bản? Làm sao 
phân biệt được ai gửi? Chẵng hạn, một người khác 
khi chặn được văn bản và chữ ký có thể sử dụng các 
khoá công khai để ký lên một văn bản khác và gửi 
đi. Khi đó, rõ ràng người nhận hoàn toàn không thể 
biết được ai gửi bởi vì kiểm tra vẫn cho TRUE. Như 
vậy, tính an toàn trong trường hợp này phụ thuộc 
vào mức độ an ninh mạng người dùng.
Tình huống thứ hai: nhận đúng chữ ký nhưng 
nhận văn bản sai. Trong trường hợp này rõ ràng là 
các giá trị u, v khác nhau, tức hàm xác thực False. 
Tuy nhiên người nhận bối rối vì không thể biết được 
văn bản sai hay chữ ký sai hay cả hai. Trong trường 
hợp này kẻ tấn công không làm thay đổi chữ ký 
nhưng làm sai văn bản với mục đích phá sự tính 
toàn vẹn của văn bản giao dịch. Do đó, trong trường 
hợp này tính an toàn của lược đồ không bị đe doạ.
Tình huống thứ ba: nhận sai chữ ký nhưng 
đúng văn bản. Tình huống này có thể coi là tình 
huống tấn công chữ ký hay giả mạo chữ ký. Kẻ tấn 
công như vậy chỉ làm sai lệch nguồn gốc xuất xứ 
văn bản, tức người ký văn bản. Tuy nhiên có một 
điều thực tế là chặn được chữ ký, chặn được văn 
bản mà chỉ thay đổi chữ ký và không thay đổi văn 
bản thì kẻ giả mạo chỉ là kẻ phá bĩnh mà thôi. Ta 
cũng nên nhấn mạnh rằng, kể cả trong tình huống 
này, vai trò tính an toàn của lược đồ không được 
thể hiện.
Tình huống cuối cùng: nhận sai cả hai nội 
dung. Đây mới là tính huống đáng kể. Kẻ tấn công 
với mục đích giả mạo chữ ký để gửi đi một văn bản 
theo ý mình (có lợi cho mình) y như người gửi thật. 
Thật vậy, nếu kẻ tấn công chặn được cả hai thứ: chữ 
ký và văn bản thì chúng hoàn toàn chủ động như 
người ký chính thức, lấy một văn bản khác và thực 
hiện các bước như trên và gửi lại người gửi. Cái 
đáng nói là người nhận vẫn xác thực đúng nhưng 
không biết mọi thứ đã bị đánh tráo. Như vậy, trong 
trường hợp này, vai trò tính an toàn của lược đồ vẫn 
không được thể hiện.
Ta trao đổi thêm về chữ ký số RSA khi gửi 
văn bản (không phải thuật toán RSA). Giả sử cần 
trao đổi một văn bản M giữa A và B. Ta xét hai 
trường hợp: 
- Trường hợp 1. B tạo các khoá, giữ lại khoá 
bí mật. A tạo chữ ký từ các khoá công khai và giá 
trị băm m của văn bản M rồi gửi chữ ký và văn bản 
cho B. B băm văn bản nhận được thành một số m’ 
rồi dùng khoá bí mật tính được giá trị m để kiểm tra. 
Nếu m = m’ thì tính xác thực đúng đắn: đúng văn 
bản đúng chữ ký. Trong trường hợp này vẫn xảy ra 
bốn tình huống như trình bày trên đây và trong từng 
trường hợp thuật toán không đảm bảo được tính bảo 
mật, chỉ đảm bảo được tính xác thực, tức là, nếu 
nhận đúng cả hai văn bản và chữ ký thì xác thực 
đúng, còn không phải như thế thì xác thực sai.
- Trường hợp thứ 2. Người gửi A tạo các 
khoá, dùng khoá bí mật tạo chữ ký và gởi văn bản 
cùng chữ ký cho người nhận B. Người nhận B dùng 
các khoá công khai mở chữ ký để tính m. Sau đó 
băm văn bản nhận được theo hàm băm thoả thuận 
trước m’. Nếu m = m’ thì tính xác thực đúng, tức là 
xác thực được. Ngược lại không xác thực được, văn 
bản không đến từ người gửi. Như vậy, thuật toán chỉ 
đảm bảo tính xác thực, còn tính bảo mật thì không. 
Từ đây ta thấy, vai trò khoá bí mật rất hạn 
chế. Ở trường hợp 1 chỉ khoá bí mật mới tính được 
m nhưng tính được chỉ để xác thực mà thôi. Ở 
trường hợp thứ 2, khoá mật không dùng để mở khoá 
và như vậy nó không có vai trò trong bảo mật cũng 
như xác thực.
Trong thuật toán RSA gốc sử dụng khi văn 
bản nhỏ thì khoá bí mật là vô cùng quan trọng: 
không có khoá bí mật không giải mã được thông 
điệp. Đây chính là lý do quyết định đến tính mật 
của hệ thống: không thể lộ khoá bí mật. Do đó, kẻ 
ISSN 2354-0575
Journal of Science and Technology78 Khoa học & Công nghệ - Số 17/Tháng 3 - 2018
tấn công phải tìm cách phá khoá bằng cách tìm cho 
được khoá bí mật sau khi chặn được thông điệp (hay 
chữ ký). Nhưng bài toán tìm khoá bí mật là bài toán 
khai căn RSA hay bài toán tìm hai số nguyên tố p, q 
từ n rất lớn đều là những bài toán không giải được 
trong thời gian thực tế. Thuật toán RSA nếu áp dụng 
cho văn bản lớn như ta trình bày trên thì không có 
tính bảo mật như thuật toán RSA gốc.
Lời cảm ơn
Nghiên cứu này được tài trợ bởi Trung tâm 
Nghiên cứu Ứng dụng Khoa học và Công nghệ, 
trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Hưng yên, đề tài 
mã số UTEHY.T002.1718.03. Tác giả chân thành 
cảm ơn Trung tâm, các bạn đồng nghiệp trong khoa 
Khoa học Cơ bản và Tạp chí Khoa học và Công nghệ 
của trường Đại học Sư phạm kỹ thuật Hưng Yên.
Tài liệu tham khảo
[1]. R. L. Rivest, A. Shamir, and L. M. Adleman, A Method for Obtaining Digital Signatures and 
Public Key Cryptosystems. Commun. of the ACM, Vol. 21, No. 2, 1978, pp. 120-126.
[2]. Hoàng Thị Mai, Lưu Hồng Dũng, Nguyễn Hữu Mộng, “Một dạng lược đồ chữ ký xây dựng trên 
bài toán phân tích số”. Kỷ yếu Hội nghị khoa học quốc gia lần thứ VIII-Nghiên cứu cơ bản và ứng 
dụng CNTT (FAIR 2015), tháng 8/2015, pp. 376-386
[3]. Hoàng Thị Mai, Lưu Hồng Dũng, Nguyễn Hữu Mộng, “Một dạng lược đồ chữ ký xây dựng 
trên bài toán phân tích số”. Tạp chí Nghiên cứu KHKT&CNQS, ISSN 1859-1043, No. 39, 2015, pp. 
75-81.
[4]. Hoàng Thị Mai, Lưu Hồng Dũng, “Một dạng lược đồ chữ ký xây dựng trên bài toán phân tích 
số và bài toán khai căn”. Tạp chí Khoa học và Kỹ thuật, Học viện KTQS, ISSN 1859-0209, No. 172, 
2015, pp. 32-41
[5]. Lưu Hồng Dũng, Nguyễn Hiếu Minh, A flexible Multisignature Scheme Using GOST R34.10-
94. Tạp chí Khoa học và Kỹ thuật (Học viện KTQS), 2010, số 134 (06-2010), tr. 45 – 53.
[6]. Luu Hong Dung, Nguyen Hieu Minh, New Digital Multisignature Scheme with Distinguished 
Signing Responsibilities. IJCSNS International Journal of Computer Science and Network Security, 
January 30, 2010, Vol.10, No.1, pp. 51-57.
[7]. Lưu Hồng Dũng, Trần Trung Dũng, Xây dựng lược đồ đa chữ ký số tuần tự. Tạp chí Khoa học 
và Kỹ thuật (Học viện KTQS), 2011, số 141 (06-2011), tr. 5-13.
[8]. Lưu Hồng Dũng, Phát triển lược đồ đa chữ ký số trên cơ sở bài toán logarit rời rạc. Chuyên san 
Các công trình nghiên cứu, phát triển và ứng dụng CNTT và TT, tập V-1, 2011, số 5(25) (06-2011), 
tr. 60 – 66.
[9]. Lưu Hồng Dũng, Một thiết kế mới cho các lược đồ chữ ký số. Tạp chí Khoa học và Kỹ thuật 
(Học viện KTQS), 2011, số 142 (08-2011), tr. 29-38.
[10]. Lưu Hồng Dũng, Nguyễn Thị Thu Thủy, Nghiên cứu xây dựng mô hình tổng quát cho các lược 
đồ CKS phân biệt trách nhiệm. Tạp chí Khoa học và Kỹ thuật (Học viện KTQS), 2012, số 146 (02-
2012), tr. 124 – 136.
[11]. Bùi Việt Hồng, Xây dựng thuật toán xác thực bản tin bằng chữ kí số theo hệ ký RSA -PSS. Tạp 
chí Nghiên cứu KHKT&CNQ, số 19, 6-2007.
[12]. Lều Đức Tân, Hoàng Văn Thức, Một thuật toán sinh cặp số nguyên tố RSA mạnh p, q thoả 
mãn điều kiện IP-QI có ước nguyên tố lớn. Tạp chí Nghiên cứu KHKT&CNQ, 2007, số 20, 9-2007.
[13]. Nguyễn Ngọc Cương, Phạm Văn Tuấn, Trần Duy Hưng, Một cách chọn tham số e, d cho hệ 
mật RSA. Tạp chí NC KHKT&CNQ, 2010, số 8, 08-2010.
[14]. Hoàng Văn Thức, Thuật toán sinh tham số RSA an toàn. Tạp chí NC KHKT&CNQ, 2010, số 
5, 02-2010.
[15]. Vũ Huy Hoàng, Hồ Thuần, Một phương pháp đơn giản xây dựng hệ RSA an toàn với số mũ 
giải mã lớn. Tạp chí NC KHKT&CNQ, 2011, số 11, 02- 2011.
[16]. Phạm Văn Tuấn, Các tấn công thám mã lên hệ mật RSA. Tạp chí NC KHKT&CNQ, 2013, Số 
Đặc san ATTT 13, 05-2013.
[17]. Hoàng Văn Thức, Bạch Nhật Hồng, Một tiêu chuẩn mới cho số mũ công khai của hệ các tiêu 
chuản tham số mới. Tạp chí NC KHKT&CNQ, 2009, số 4, 08-2009.
[18]. R. Kenneth, Elementary Number Theory and its Applications. AT & T Bell Laboratories, 4th 
Edition, ISBN:0-201-87073-8, 2000.
ISSN 2354-0575
Khoa học & Công nghệ - Số 17/Tháng 3 - 2018 Journal of Science and Technology 79
A GENERAL DIGITAL SIGNATURE SCHEME
Abstract:
This paper presented a general scheme of digital signature. The generality of scheme is customization 
features of several integer functions. From the general scheme by customization features of several integer 
functions we can gain different practical diagrams. We also emphasize the mathematical aspects of the 
proposed algorithms. The correctness of the scheme is the authenticity of the received text as well as its 
integrity.
Keywords: Scheme, digital signature, RSA, large prime numbers, Euler function, public key, secret key.