Luật số lớn dạng hội tụ Mosco cho mảng các biến ngẫu nhiên đa trị, hoán đổi được theo hàng

TAÏP CHÍ ÑAÏI HOÏC SAØI GOØN Soá 19 - Thaùng 2/2014 
82 
LUẬT SỐ LỚN DẠNG HỘI TỤ MOSCO CHO MẢNG 
CÁC BIẾN NG U NHIÊN ĐA TRỊ, HOÁN ĐỔI ĐƯỢC THEO HÀNG 
DƯƠNG XUÂN GIÁP(*) 
NGUYỄN THỊ QUỲNH HOA(**) 
TÓM TẮT 
Trong bài báo này, chúng tôi thiết lập luật số lớn dạng hội tụ osco cho mảng tam 
giác các biến ngẫu nhiên hoán đổi được theo hàng, nhận giá trị tập đóng trên không gian 
Banach khả li. Kết quả của chúng tôi thu được không cần giả thiết kì vọng bị chặn và c n 
mở rộng một kết quả của Inoue và Taylor. 
Từ khoá: luật số lớn dạng hội tụ osco, biến ngẫu nhiên đa trị, không gian Banach 
khả li 
ABSTRACT 
In this paper, we establish the law of large numbers for triangular array of row-wise 
exchangeable random sets in a separable Banach space in the Mosco sense. The results 
are obtained without bounded expectation conditions and improve the results by Inoue and 
Taylor. 
Keywords: the law of large numbers in the Mosco sense, random sets, separable 
Banach space 
1. PHẦN MỞ ĐẦU 
Trong mấy thập kỉ gần đây, luật số lớn cho các biến ngẫu nhiên đa trị dẫn tới nhiều 
ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau như: tối ưu hoá và điều khiển, hình học ngẫu nhiên, 
toán kinh tế, thống kê, y học,... Năm 2006, H. Inoue và R. L. Taylor thiết lập luật số lớn 
dạng hội tụ Mosco cho dãy các biến ngẫu nhiên hoán đổi được, nhận giá trị tập đóng trên 
không gian Banach khả li [4, tr. 271]. Gần đây, trong bài báo [5], Nguyễn Văn Quảng và 
Dương Xuân Giáp đã thiết lập các luật số lớn theo tôpô Mosco cho mảng tam giác các biến 
ngẫu nhiên độc lập theo hàng, nhận giá trị tập đóng trên không gian Rademacher dạng 
. Đây là bài báo đầu tiên thiết lập luật số lớn theo dạng hội tụ Mosco cho 
mảng tam giác các biến ngẫu nhiên đa trị. Tiếp nối hướng nghiên cứu này, chúng tôi đã 
thiết lập được luật số lớn theo dạng hội tụ Mosco cho mảng tam giác các biến ngẫu nhiên 
hoán đổi được theo hàng, nhận giá trị tập đóng trên một không gian Banach khả li. Trong 
bài báo [5], luật số lớn được thiết lập dưới điều kiện kì vọng bị chặn, tuy nhiên trong bài 
báo này chúng ta không cần giả thiết này. Kết quả của chúng tôi còn mở rộng một kết quả 
của Inoue và Taylor. 
2. KIẾN THỨC CHUẨN B 
Trong suốt bài báo này, chúng tôi luôn giả thiết rằng là một không gian xác 
suất đầy đủ, là không gian Banach khả li thực và là không gian đối ngẫu của 
nó. 
Ký hiệu là họ tất cả các tập con đóng khác rỗng của không gian Banach , là 
tập tất cả các số thực. Trên ta xác định một cấu trúc tuyến tính với các phép toán 
được định nghĩa như sau: 
(*)
 ThS.NCS, Trường Đại học Vinh. 
(**)
 Học viên Cao học 19 Toán - Trường Đại học Vinh. 
83 
trong đó 
Ánh xạ được gọi là biến ngẫu nhiên đa trị, nếu với mọi tập con mở U của 
 thì tập con 
thuộc . 
Phần tử ngẫu nhiên được gọi là một lát cắt -đo được (hay nói gọn là lát cắt 
đo được) của X nếu với mọi . 
-đại số Effros trên là -đại số sinh bởi các tập con 
với U là một tập con mở trên . Khi đó, một hàm đa trị là đo được khi và 
chỉ khi là -đo được, nghĩa là với mọi , ta có . 
Một họ hữu hạn các biến ngẫu nhiên đa trị được gọi là hoán đổi được 
nếu 
với mọi và với mọi phép hoán vị của tập . 
Với mỗi biến ngẫu nhiên đa trị -đo được X, ta đặt 
Kì vọng của biến ngẫu nhiên đa trị được định nghĩa như sau 
 với là tích phân Bochner thông thường. 
Cho một -đại số con của -đại số và một biến ngẫu nhiên đa trị -đo được 
 (nghĩa là với mọi tập con mở của ). Với và 
 xác định trên , ta định nghĩa: 
Cho , chúng ta kí hiệu: là bao đóng (theo chuẩn), là bao đóng (theo 
tôpô yếu), là bao lồi, là bao lồi đóng của . 
Hàm khoảng cách , hàm tựa của tương ứng được định nghĩa như sau 
Chúng ta còn định nghĩa 
Cho là một tôpô trên và là một dãy nhận giá trị trên . Đặt: 
với là một dãy con của . Các tập con và tương ứng gọi 
là giới hạn dưới và giới hạn trên của , liên quan đến tôpô . 
Chúng ta dễ dàng suy ra được rằng . 
Một dãy được gọi là hội tụ tới , theo dạng Kuratowski, tôpô , nếu hai đẳng 
thức sau đây được thỏa mãn 
84 
Trong trường hợp này, chúng ta sẽ viết . Rõ ràng, điều này đúng khi và 
chỉ khi 
Chúng ta ký hiệu (tương ứng ) là tôpô mạnh (tôpô sinh bởi chuẩn) (tương ứng, tôpô 
yếu) của . Một tập con được gọi là giới hạn dạng osco của dãy và được 
ký hiệu bởi nếu 
Điều này đúng khi và chỉ khi 
Hội tụ Mosco cho dãy các biến ngẫu nhiên đa trị được định nghĩa như trên bằng cách thay 
thế bởi và bởi , các phát biểu là đúng hầu chắc chắn (h.c.c.). 
3. KẾT QUẢ CHÍNH 
Cho biến ngẫu nhiên đa trị , ta kí hiệu là -đại số sinh bởi , nghĩa là 
-đại số bé nhất mà đo được. Để chứng minh kết quả chính, chúng ta cần bổ đề sau: 
Bổ đ .1. [6] Giả sử là một mảng tam giác các phần tử trên 
không gian Banach thỏa mãn: 
 , 
 tồn tại hằng số C sao cho , với mọi 
Khi đó, ta có khi . 
Khi thiết lập luật số lớn cho mảng tam giác các biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập đóng, nếu 
sử dụng kĩ thuật chứng minh như của H. Inoue và R. L. Taylor thì không thu được kết quả. 
Vì thế, chúng tôi phải sử dụng thêm Bổ đề 3.1 và đưa ra phương pháp mới để xây dựng 
mảng các lát cắt, cũng như đưa ra một số kĩ thuật biến đổi khác. 
Định lí .2. Cho là một mảng tam giác các biến ngẫu nhiên 
hoán đổi được theo hàng, nhận giá trị tập đóng trên không gian Banach khả li. Giả sử 
rằng 
với mọi và là một hàm đo được. Khi đó, nếu tồn tại sao 
cho: 
+) Với mỗi , tồn tại mảng tam giác thỏa mãn điều kiện 
hoán đổi được theo hàng, và khi với mỗi và 
 với mọi . 
+) Với mỗi khi và với mọi , 
thì 
Chứng minh. Đặt . Đầu tiên, chúng ta sẽ chứng tỏ rằng 
 h.c.c. Để làm được điều này, chúng ta sẽ sử dụng Bổ đề 3.1. Với mỗi 
85 
 và , theo Bổ đề 3.6[1], tồn tại (các phần tử 
 chỉ phụ thuộc vào và ) sao cho 
Từ điều kiện , tồn tại một mảng tam giác sao cho với mỗi 
, mảng hoán đổi được theo hàng và 
 khi , với mỗi và . 
Đặt với . Giả sử với . Khi 
đó, ta có 
Đặt , với và . Do mảng tam giác 
 hoán đổi được theo hàng nên 
 cũng là mảng các phần tử ngẫu nhiên hoán đổi được 
theo h