Luật mạnh số lớn dạng (p, q) cho mảng kép các phần tử ngẫu nhiên

Trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, Tập 47, Số 4A (2018), tr. 5-13
LUẬT MẠNH SỐ LỚN DẠNG (p, q)
CHO MẢNG KÉP CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN
Vũ Thị Ngọc Ánh
Khoa Toán, Trường Đại học Hoa Lư, Ninh Bình
Ngày nhận bài 26/12/2018, ngày nhận đăng 14/02/2019
Tóm tắt: Trong bài báo này, chúng tôi đưa ra điều kiện cần và đủ để mảng
kép các phần tử ngẫu nhiên tuân theo luật mạnh số lớn dạng (p, q) ((p, q)-type
SLLN) trong trường hợp 1 ≤ q < p < 2.
1 Giới thiệu
Kí hiệu B là không gian Banach thực, khả li với chuẩn ‖ · ‖. Cho {Vn, n ≥ 1} là dãy các
phần tử ngẫu nhiên và {Vmn, m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị
trên B. Kí hiệu
Sn =
n∑
k=1
Vk, n ≥ 1; Smn =
m∑
k=1
n∑
l=1
Vkl, m ≥ 1, n ≥ 1.
Vn hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp q (q > 0) đến 0 (kí hiệu Vn
c,Lq−→ 0) nếu thỏa mãn
∞∑
n=1
E‖Vn‖q <∞.
Vmn hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp q (q > 0) đến 0 (kí hiệu Vmn
c,Lq−→ 0) nếu thỏa mãn
∞∑
m=1
∞∑
n=1
E‖Vmn‖q <∞.
Luật mạnh số lớn dạng (p, q) trong trường hợp p = q = 1 của dãy các phần tử ngẫu nhiên
đã được nghiên cứu vào năm 2011 bởi Li, Qi, Rosalsky [4]. Năm 2015, Li, Qi, Rosalsky [5]
đã xây dựng điều kiện để Sn/n1/q+1/p hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp q đến 0 thông qua
luật mạnh số lớn dạng (p, q) và chứng minh luật mạnh số lớn dạng (p, q) của dãy các phần
tử ngẫu nhiên kéo theo luật mạnh số lớn, trong đó 0 0. Điều kiện cần và đủ
để dãy các phần tử ngẫu nhiên tuân theo luật mạnh số lớn dạng (p, q) trong một số trường
hợp của (p, q) được nghiên cứu vào năm 2016 bởi Li, Qi, Rosalsky [6].
1) Email: vtnanh@hluv.edu.vn
5
Vũ Thị Ngọc Ánh/ Luật mạnh số lớn dạng (p, q) cho mảng kép các phần tử ngẫu nhiên
Năm 2016, Anh, Thanh, Thuy [1] đã đưa ra khái niệm luật mạnh số lớn dạng (p, q) cho
mảng kép các phần tử ngẫu nhiên và chứng minh được luật mạnh số lớn dạng (p, q) kéo
theo luật mạnh số lớn của mảng kép các phần tử ngẫu nhiên, trong đó 0 0.
Năm 2017, Anh, Thuy [2] đã xây dựng điều kiện để Smn/(mn)1/q+1/p hội tụ đầy đủ theo
trung bình cấp q đến 0 thông qua luật mạnh số lớn dạng (p, q).
Trong bài báo này, chúng tôi xây dựng điều kiện cần và đủ để mảng kép các phần tử
ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian ổn định loại p tuân theo luật mạnh số lớn dạng
(p, q) trong trường hợp 1 ≤ q < p < 2.
Định nghĩa 1.1. [1] Cho 0 0. Giả sử {Vmn, m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng các
phần tử ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối với phần tử ngẫu nhiên V nhận giá trị trên
B. Ta nói {Vmn, m ≥ 1, n ≥ 1} tuân theo luật mạnh số lớn dạng (p, q) nếu
∞∑
m=1
∞∑
n=1
1
mn
( ‖Smn‖
(mn)1/p
)q
<∞ h.c.c. (1.1)
Định nghĩa 1.2. [4; pp. 1133] Cho 0 < p ≤ 2 và {Θn, n ≥ 1} là dãy các biến ngẫu nhiên
ổn định, độc lập, có cùng hàm đặc trưng
ψ(t) = exp{−|t|p}, t ∈ R.
Không gian B được gọi là không gian ổn định loại p nếu ∑∞n=1 Θnνn hội tụ hầu chắc chắn,
trong đó {νn, n ≥ 1} là dãy các phần tử trong B thỏa mãn
∑∞
n=1 ‖νn‖p <∞.
Tính chất của không gian ổn định loại p, mối liên hệ giữa không gian ổn định loại p và
không gian Rademacher loại p có thể tìm thấy trong [4; pp. 1134].
2 Kết quả chính
Giả sử {Vmn, m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng các phần tử ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối với
phần tử ngẫu nhiên V nhận giá trị trên B.
Đặt u0 = 0. Với m ≥ 1, n ≥ 1, kí hiệu
un = inf
{
t : P (‖V ‖ ≤ t) > 1− 1
n
}
= inf
{
t : P (‖V ‖ > t) < 1
n
}
.
Với q > 0, ta có
inf
{
t : P (‖V ‖q ≤ t) > 1− 1
n
}
= inf
{
t : P (‖V ‖q > t) < 1
n
}
= uqn.
Chú ý: uqn là phân vị cấp (1− 1
n
) của ‖V ‖q.
Định lý 2.1. Cho 1 ≤ q < p < 2 và B là không gian ổn định loại p. Khi đó {Vmn, m ≥
1, n ≥ 1} tuân theo luật mạnh số lớn dạng (p, q) khi và chỉ khi EV = 0 và
∞∑
n=1
ln(n+ 1)
uqn∫
uqn−1
P q/p
(‖V ‖q > t) dt <∞. (2.1)
6
Trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, Tập 47, Số 4A (2018), tr. 5-13
Để chứng minh Định lý 2.1 ta cần sử dụng 4 bổ đề sau đây.
Bổ đề 2.2. Giả sử 1 ≤ q < p < 2. Khi đó điều kiện (1.1) thỏa mãn khi và chỉ khi
∞∑
m=1
∞∑
n=1
1
mn
E
( ‖Smn‖
(mn)1/p
)q
<∞. (2.2)
Chứng minh. Trong chứng minh Định lý 3.2 của Anh, Thanh, Thuy [1] đã chỉ ra rằng
(1.1) kéo theo E‖V ‖p ln(‖V ‖ + 1) < ∞. Từ Định lý 2.1 của Anh, Thuy [2] trường hợp
q < p ta suy ra điều kiện (2.2) thỏa mãn khi và chỉ khi điều kiện (1.1) thỏa mãn và
E‖V ‖p ln(‖V ‖+ 1) <∞. Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Với m ≥ 1, n ≥ 1, ta kí hiệu Umn =
m∑
k=1
n∑
l=1
VklI(‖Vkl‖ ≤ umn), trong đó
umn = inf
{
t : P (‖V ‖ ≤ t) > 1− 1
mn
}
= inf
{
t : P (‖V ‖ > t) < 1
mn
}
.
Với k là số số nguyên dương, ta kí hiệu dk là số ước nguyên dương của k.
Kí hiệu C là hằng số dương nhưng có thể khác nhau ở mỗi lần xuất hiện.
Bổ đề 2.3. Cho 1 ≤ q < p < 2 và B là không gian ổn định loại p. Nếu điều kiện (2.1) thỏa
mãn, thì
∞∑
m=1
∞∑
n=1
E‖Umn − EUmn‖q
(mn)1+q/p
<∞. (2.3)
Chứng minh. Vì B là không gian ổn định loại p nên tồn tại p < r < 2 sao cho B cũng là
không gian ổn định loại r [4; pp. 1134]. Áp dụng Bổ đề 3.1 trong [6] ta suy ra tồn tại hằng
số 0 < c(r, q) <∞ thỏa mãn
E‖Umn − EUmn‖q ≤ c(r, q)
(
sup
t>0
tr/q
m∑
k=1
n∑
l=1
P
(‖Vkl‖qI(‖Vkl‖ ≤ umn) > t)
)q/r
≤ c(r, q)
(
mn sup
0≤t≤uqmn
tr/qP (‖V ‖q > t)
)q/r
≤ c(r, q)(mn)q/r
 sup
0≤t≤uqmn
 t∫
0
P q/r(‖V ‖q > t)dx
r/q

q/r
≤ c(r, q)(mn)q/r
 sup
0≤t≤uqmn
 t∫
0
P q/r(‖V ‖q > x)dx
r/q

q/r
≤ c(r, q)(mn)q/r
uqmn∫
0
P q/r(‖V ‖q > x)dx, m ≥ 1, n ≥ 1.
7
Vũ Thị Ngọc Ánh/ Luật mạnh số lớn dạng (p, q) cho mảng kép các phần tử ngẫu nhiên
Với n ≥ 1, ta có P (‖V ‖q > t) ≥ 1
n
với mọi t < uqn, nên
P q/r−q/p(‖V ‖q > t) ≤ 1
nq/r−q/p
với mọi t < uqn.
Do đó
∞∑
m=1
∞∑
n=1
E‖Umn − EUmn‖q
(mn)1+q/p
≤ c(r, q)
∞∑
m=1
∞∑
n=1
1
(mn)1+q/p−q/r
uqmn∫
0
P q/r(‖V ‖q > t)dt
= c(r, q)
∞∑
k=1
dk
k1+q/p−q/r
uqk∫
0
P q/r(‖V ‖q > t)dt
= c(r, q)
∞∑
k=1
dk
k1+q/p−q/r
k∑
n=1
uqn∫
uqn−1
P q/r(‖V ‖q > t)dt
= c(r, q)
∞∑
n=1
∞∑
k=n