Điều kiện đủ cho tính chất epsilon-co của một lớp hệ phương trình sai phân phi tuyến với biến liên tục

Tạp chí Phát triển Khoa học và Công nghệ – Khoa học Tự nhiên, 3(3):213-224
Open Access Full Text Article Bài nghiên cứu
1Trường Đại học Công nghệ Thông tin,
ĐHQG-HCM.
2Trường Đại học Đồng Tháp
Liên hệ
Cao Thanh Tình, Trường Đại học Công nghệ
Thông tin, ĐHQG-HCM.
Email: tinhct@uit.edu.vn
Điều kiện đủ cho tính chất epsilon-co củamột lớp hệ phương trình
sai phân phi tuyến với biến liên tục
Đặng Lệ Thúy1, Cao Thanh Tình1,*, Lê Trung Hiếu2, Lê HuỳnhMỹ Vân1
Use your smartphone to scan this
QR code and download this article
TÓM TẮT
Tính chất co của các hệ động lực nói chung và các hệ phương trình sai phân nói riêng là một trong
những tính chất định tính được sự quan tâm khai thác của các nhà nghiên cứu trong suốt những
thập niên gần đây. Tính chất co của các hệ động lực có nhiều ứng dụng trong cácmô hình thực tế,
là tính chất mà hai quỹ đạo bất kỳ của hệ động lực hội tụ về nhau khi biến thời gian dần ra dương
vô hạn.Trong bài báo này, trên cơ sở cải tiến một số phương pháp tiếp cận đã có, chúng tôi trình
bày một phương pháp tiếp cận mới cho bài toán co của một lớp hệ phương trình sai phân phi
tuyến có chậm phụ thuộc thời gian với biến liên tục. Chúng tôi mở rộng khái niệm co thành khái
niệm tổng quát hơn là e-co. Từ đó, chúng tôi đưa ra một số điều kiện tường minh mới cho tính
chất e-co và ổn định mũ của lớp hệ này. Ngoài ra, chúng tôi nghiên cứu điều kiện e-co của lớp hệ
phương trình sai phân phi tuyến có chậm với biến liên tục chịu nhiễu phi tuyến, với các hàm nhiễu
là hàm phụ thuộc thời gian tổng quát. Từ đó, chúng tôi đưa ra biên cho tính e-co của lớp hệ này
chịu nhiễu phi tuyến. Các kết quả đạt được là mở rộng tổng quát của một số kết quả đã có trước
đây của nhiều tác giả khác. Một ví dụ được đưa ra nhằmminh họa cho kết quả đạt được.
Từ khoá: Biên co, co, hệ chịu nhiễu, ổn định mũ, phương trình sai phân với biến liên tục
MỞĐẦU
Giới thiệu
Phương trình sai phân nói chung và phương trình sai phân với biến liên tục nói riêng có nhiều ứng dụng
trong các mô hình thực tế1. Các bài toán về tính chất định tính của nghiệm của các hệ phương trình sai phân
như tính chất ổn định, hút, điều khiển được, bị chặn, đã và đang thu hút các nhà nghiên cứu trong suốt
những thập niên vừa qua 2–7. Năm 1998, Lohmiller và Slotine8 đã đưa ra một số mô hình thực tế về cơ học
chất lỏng dẫn đến việc nghiên cứu bài toán về tính chất co của các hệ động lực. Trong đó, các tác giả đã đưa ra
nhiều điều kiện cho tính co của hệ phương trình sai phân thường và hệ phương trình vi phân thường. Các
kết quả này sau đó được ứng dụng vào một số mô hình bài toán điều khiển và thiết kế quan sát đối với một số
hệ động lực.
Các bài toán về tính chất co của hệ động lực sau đó được tiếp tục nghiên cứu, phát triển bởi nhiều nhóm tác
giả7,9,10. Gần đây, bài toán về tính chất co cho hệ phương trình sai phân phi tuyến có chậm với biến rời rạc 7
và hệ phương trình vi phân phiếm hàm10 lần lượt đã được nghiên cứu. Trong đó, nhóm tác giả đã đưa ra
nhiều điều kiện đủ, tường minh cho tính chất co của hệ phương trình sai phân phi tuyến và hệ phương trình
vi phân phiếm hàm. Tuy nhiên, tính chất co của một số lớp hệ phương trình sai phân và vi phân thường gặp
chẳng hạn như hệ phương trình sai phân với biến liên tục, hệ phương trình vi phân trung hòa, hệ phương
trình sai phân và vi phân kết hợp, hệ phương trình có yếu tố ngẫu nhiên... chưa được nghiên cứu một cách
đầy đủ.
Nhằm đóng góp một phần lý thuyết vào vấn đề mở nêu trên, trong bài báo này, chúng tôi mở rộng khái niệm
co thành khái niệm tổng quát hơn là e-co, và đưa ra nhiều điều kiện cho tính e-co của nghiệm đối với một
lớp hệ phương trình sai phân phi tuyến với biến liên tục. Các kết quả đạt được là mở rộng tổng quát thật sự
của một số kết quả đã có trước đây của các tác giả khác.
Một số quy ước và kí hiệu
Gọi Z là tập hợp tất cả các số nguyên và kí hiệu Z+ := fk 2 Z : k  0g Với mỗi m 2 Z+ , kí hiệu
m := f1;2; : : : ;mg. Gọi R, C lần lượt là trường các số thực và trường các số phức. Với hai số nguyên dương l,
Tríchdẫnbàibáonày: ThúyDL, TìnhCT, Hiếu L T,MỹVân LH.Điềukiệnđủcho tính chấtepsilon-co của
một lớp hệ phương trình sai phân phi tuyến với biến liên tục. Sci. Tech. Dev. J. - Nat. Sci.; 3(3):213-224.
213
Lịch sử
 Ngày nhận: 20-12-2018
 Ngày chấp nhận: 29-7-2019
 Ngày đăng: 31-9-2019
DOI : 10.32508/stdjns.v3i3.649
Bản quyền
© ĐHQG Tp.HCM. Đây là bài báo công bố
mở được phát hành theo các điều khoản của
the Creative Commons Attribution 4.0
International license.
Tạp chí Phát triển Khoa học và Công nghệ – Khoa học Tự nhiên, 3(3):213-224
q, kí hiệu Rlq;Rlq+ , lần lượt là tập hợp các ma trận thực và tập hợp các ma trận thực không âm cỡ lq .
Với hai ma trận thực A=

aij


;B=

bij

 2 Rlq ta quy ước bất đẳng thức giữa A= aij
 ;B= bij
 như sau:
A (;;)B tương đương với ai j  (;>;<)bi j , với mọi i 2 l; j 2 q . Cách hiểu tương tự khi so sánh
hai véctơ. Chuẩn của ma trận A=

aij

 2Knn được hiểu là chuẩn toán tử (operator norm) và được xác định
bởi kAk :=max
x 6=0
kAxk
kxk = maxkxk=1kAxk . Cho A 2 R
nn;B 2 Rnn+ , nếu jAj  B thì kAk  kBk . Với
A=

aij

 2 Rnn , bán kính phổ (spectral radius) của A được xác định bởi
r(A) =maxfjl j : l 2 C;det(l InA) = 0g .
ĐIỀUKIỆN CHOTÍNH e-COCỦAHỆ PHƯƠNGTRÌNH SAI PHÂNCÓCHẬMVỚI BIẾN LIÊN TỤC
Trong mục này chúng tôi nghiên cứu điều kiện co của lớp hệ phương trình sai phân có chậm phụ thuộc thời
gian với biến liên tục có dạng như sau
x(t) =
m
å
i=1
fi (t;x(thi))
+
Z 0
h
g(t;s;x(t+ s))ds; t  t0 (1)
trong đó, fi(
; 
) : R+Rn ! Rn; i 2 m và g(
; 
; 
) : R+ [h;0]Rn ! Rn là những hàm liên tục cho trước
và h;hi > 0; i 2 m.
Đặt t :=maxfh;h1;h2; : : : ;hmg và C := C([t;0];Rn).Ta cố định t0 2 R+;j 2 C và xét cho hệ phương
trình (1) một điều kiện đầu có dạng sau
x(s+ t0) = j(s); voi s 2 [t;0] (2)
Nếu bài toán giá trị đầu (1)-(2) có nghiệm, kí hiệu bởi x(
; t0;j), thì hàm điều kiện đầu j(
) phải thỏa mãn
điều kiện j(0) =
m
å
 ... y) = 0 , với mọi t 2 R;x;y 2 Rn; i 2 m thì ta có e = 0. Khi đó hệ (1) là co. Định lí được
chứng minh.
Định lí 2.5. Giả sử tồn tại Ai 2 Rnn+ ; i 2 m;G(
) : R! Rnn+ , và các hàm bị chặn
ui(
; 
; 
) : RRnRn ! Rn+; i 2 m;v(
; 
; 
) : RRnRn ! Rn+, sao cho(
j fi(t;x) fi(t;y)jAijxyj+ui(t;x;y); 8i2m; t2R;x;y2Rn
jg(t;s;x)g(t;s;y)jG(s)jxyj+v(t;x;y); t2R;s2[h;0];x;y2Rn
Khi đó, nếu r

åmi=1Ai+
R 0
hG(s)ds

< 1 thì hệ (1) là e-co. Ngoài ra, khi ui(t;x;y) = v(t;x;y) = 0 với mọi
t 2 R;x;y 2 Rn; i 2 m thì hệ (1) là co.
Định lí 2.5 được áp dụng trực tiếp vào nghiên cứu tính chất e-co, co của hệ phương trình sai phân chịu nhiễu
ở mục tiếp theo.
Nhận xét 2.6. (i) Trường hợp đặc biệt khi dấu “=” trong (4) xảy ra thì hệ (1) trở thành hệ phương trình sai
phân nửa tuyến tính dương, phụ thuộc thời gian có dạng
x(t) =
m
å
i=1
Ai(t)x(thi)+
Z 0
h
G(t;s)x(t+ s)ds
+H

t;x(th1) ; : : : ;x(thm) ;
Z 0
h
x(t+ s)ds

(17)
trong đó, H ( .,...,. ) là hàm bị chặn. Khi đó, suy ra trực tiếp từ Định lí 2.3, (17) là e-co nếu một trong các điều
kiện (i), (ii) và (iii) của Định lí 2.3 được thỏa mãn. Ngoài ra, khi dấu “=” trong (4) xảy ra và
ui(t;x;y) = v(t;x;y) = 0 , với mọi t 2 R;x;y 2 Rn; i 2 m thì ta có H ( .,...,. ) kéo theo e = 0 và do đó hệ (17) là
co.
(ii) Trường hợp đặc biệt fi(t;x) Aix+ui(t); t 2 R;x 2 Rn; i 2 m và
g(t;s;x) G(s)x; t 2 R; s 2 [h;0];x 2 Rn, khi đó (1) trở thành phương trình sai phân tuyến tính không
thuần nhất
x(t) =
m
å
i=1
Aix(thi)+
Z 0
h
G(s)x(t+ s)ds+u(t) (18)
218
Tạp chí Phát triển Khoa học và Công nghệ – Khoa học Tự nhiên, 3(3):213-224
với u(t) = u1(t)+ : : :+um(t). Ta biết rằng khi u(t) = 0 với mọi t 2 R thì (18) trở thành hệ phương trình sai
phân tuyến tính thuần nhất
x(t) =
m
å
i=1
Aix(thi)+
Z 0
h
G(s)x(t+ s)
!
ds (19)
Hệ (19) là tuyến tính và luôn có nghiệm không, khi đó tính chất co và ổn định mũ là trùng nhau. Tác giả đã
chỉ ra rằng (19) là ổn định mũ nếu ([4, Lemma 1]):
m
å
i=1
kAik+h sup
s2[h;0]
kG(s)k< 1: (20)
Từ (20) suy ra tồn tại sao cho
m
å
i=1
kAiklhi +h sup
s2[h;0]
kG(s)klh < 1. Khi đó,
m
å
i=1
kAiklhi +
Z 0
h
kG(s)kl sds
m
å
i=1
kAiklhi
+h sup
s2[h;0]
kG(s)klh < 1;8t 2 R:
Do đó (20) kéo theo (iv) của Định lí 2.3. Vậy (iv) của Định lí 2.3 là một mở rộng của (20) cho phương trình
sai phân phi tuyến phụ thuộc thời gian (1).
Nhận xét 2.7. Khi dấu “=” trong (4) xảy ra và ui(t;x;y) = v(t;x;y) = 0 , với mọi t 2 R;x;y 2 Rn; i 2 m ta có
kết quả của Định lí 2.3 đặc biệt hóa trở về kết quả trong ([ 6, Theorem 3]) cho tính ổn định mũ của hệ phương
trình sai phân tuyến tính phụ thuộc thời gian
x(t) =
m
å
i=1
Ai(t)x(thi)+
Z 0
h
B(t;s)x(t+ s)ds
Sau đây là một ví dụ đơn giản nhằm minh họa cho Định lí 2.3.
Ví dụ 2.8. Xét phương trình sai phân phi tuyến phụ thuộc thời gian trong R2
x(t)= f1(t;x(th))+ f2(t;x(th))+
R 0
1 g(t;s;x(t+s))ds;t0; (21)
trong đó, h là số thực dương cho trước x= (x1;x2)T 2 R2, và các hàm
f1(:; :); f2(:; :) : R+R2 ! R2;g(
; 
; 
) : R+ [1;0]R2 ! R2 được xác định bởi
f1(t;x) :=
0@ 1128qx22+1
x1
t42t2+6 +
et
2
16 x2
1A ;
f2(t;x) :=
1
64 x1+asin(tx2)
1
16 x2+2t
!
;
g(t;s;x) :=
0@ (s+2)32 x1+ sin(4t)
x1 sin(3 x2)+ e
x22
16(t2+1)x2
1A ;
với a là hằng số, t 2 R;s 2 [1;0]. Ta thấy rằng các hàm f1(
; 
); f2(
; 
) và g(
; 
; 
) là liên tục trên miền xác
định của chúng. Hệ (21) là hệ phi tuyến và không có điểm cân bằng 0 nên hoàn toàn không thể áp dụng các
kết quả trong ([ 6, Theorem 3]). Bằng một số biến đổi sơ cấp, ta có
j f1(t;x) f1(t;y)jA1(t)jxyj;8t2R;x;y2R2
j f2(t;x) f2(t;y)jA2(t)jxyj+u(t;x;y);8t2R;x;y2R2
jg(t;s;x)g(t;s;y)jB(t;s)jxyj;8t2R;s2[1;0];x;y2R2
trong đó A1(t) :=
0 1128
1
t42t2+6
1
8
!
; A2(t) :=
1
64 0
0 116
!
; B(t;s) :=
s+2
32 0
0 116(t2+1)
!
,
và u(t;x;y) :=
asin(tx2)asin(ty2)
0
!
;x= (x1;x2)
T ;y= (y1;y2)
T , là hàm bị chặn.
219
Tạp chí Phát triển Khoa học và Công nghệ – Khoa học Tự nhiên, 3(3):213-224
Do đó, (4) được thỏa mãn. Mặt khác, ta có
A1(t)+A2(t)+
Z 0
1
jB(t;s)jdsM
:=
1
16
1
128
3
2
3
16
!
và r(M) = 1
4
< 1:
Áp dụng Định lí 2.3 (ii), ta suy ra (21) là e-co nếu a 6= 0. Ngoài ra, nếu a= 0 thì (21) là co.
TÍNH CHẤT e-CO CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN CHỊU NHIỄU
Giả sử tất cả các giả thiết của Định lí 2.5 được thỏa mãn, khi đó (1) là e-co. Cho các hàm fi(
; 
);g(
; 
; 
) trong
hệ phương trình (1) nhiễu phi tuyến như sau:
fi(t;x)! fi(t;x)+ f i (t;x); t 2 R;x 2 Rn
g(t;s;x)!g(t;s;x)+g(t;s;x);t2R;s2[h;0];x2Rn
trong đó, f i (; 
) 2C (RRn;Rn)(i 2 m);g(*; ; ;) 2C (R [h;0]Rn;Rn) là những hàm thay đổi có
chứa các tham số. Khi đó, (1) trở thành hệ phương trình sai phân phi tuyến chịu nhiễu có dạng sau
x(t) =
m
å
i=1
[ fi (t;x(thi))+ f i (t;x(thi))]+Z 0
h
[g(t;s;x(t+ s))+g(t;s;x(t+ s))]ds: (22)
Trong mục này, ta giả sử rằng tồn tại Di 2 Rnli+ ;Ei 2 Rqin+ ;Di 2 Rliqi+ ; i 2 m, và
Dm+1 2 Rnl+ ;Em+1 2 Rqn+ ;Dm+1(
) 2C

[h;0];Rlq+

sao cho
(H1) j f i (t;x) f i (t;y)j  DiDiEijx yj;
8t 2 R;x;y 2 Rn; i 2 m:
(H2) jg(t;s;x)g(t;s;y)j
 Dm+1Dm+1(s)Em+1jx yj;
8t 2 R;s 2 [h;0];x;y 2 Rn:
Bài toán.Tìm số dương g sao cho hệ chịu nhiễu (22) vẫn duy trì tính e-co một khi độ lớn của các nhiễu nhỏ hơn
g . Số g được gọi là biên co của hệ (22).
Sau đây là kết quả mới về biên cho tính e-co của hệ phương trình sai phân chịu nhiễu (22).
Định lí 3.1.Giả sử (H1), (H2) và các giả thiết của Định lí 2.5 được thỏa mãn. Khi đó hệ chịu nhiễu (22) vẫn duy
trì tính e-co nếu
åmi=1kDik+
R 0
hkDm+1(s)kds
<
1
maxi; j2(1;2;


 ;m+1) kEi(Inåmi=1Ai
R 0
hG(s)ds)
1
D jk
(23)
trong đó, Ai 2 Rnn+ ; i 2 m và G(
) : [h;0]! Rnn+ được xác định như trong Định lí 2.5.
Để chứng minh Định lí 3.1 ta có sử dụng tính chất sau đây của ma trận không âm.
Bổ đề 3.2 ([6, Theorem 1.1]). Cho ma trận A 2 Rnn+ . Khi đó,
(i) s(A) là một giá trị riêng của A và tồn tại x 2 Rn+;x 6= 0 sao cho Ax= r(A)x.
(ii) (tInA)1 tồn tại và không âm khi và chỉ khi t > s(A).
Chứng minh Định lí 3.1. Với mỗi i 2 m, ta có
j fi(t;x) fi(t;y)j  Aijx yj; jg(t;s;x)g(t;s;y)j
 G(s)jx yj;8t 2 R;x;y 2 Rn;s 2 [h;0]
220
Tạp chí Phát triển Khoa học và Công nghệ – Khoa học Tự nhiên, 3(3):213-224
và r

åmi=1Ai+
R 0
i G(s)ds

< 1 . Do đó, fi(t;x)+ f i (t;x)
  fi(t;y)+ f i (t;y)
 (Ai+DiDiEi) jx yj;8t 2 R;x;y 2 Rn,
j(g(t;s;x)+g(t;s;x)) (g(t;s;y)+g(t;s;y)j  (G(s)+Dm+1Dm+1(s)Em+1) jx yj, với mọi
t 2 R;x;y 2 Rn;s 2 [h;0].
Theo Định lí 2.5, (22) là e-co nếu r(åmi=1(Ai+DiDiEi)+
R 0
h(G(s)+Dm+1Dm+1(s)Em+1)ds)<1 ,
hay r(åmi=1Ai+
R 0
hG(s)ds+å
m
i=1DiDiEi+Dm+1
R 0
hDm+1(s)dsEm+1)<1.Chứng minh điều này bằng phương pháp phản
chứng. Giả sử ngược lại rằng:
r0:=r(åmi=1Ai+
R 0
hG(s)ds+å
m
i=1DiDiEi+Dm+1
R 0
hDm+A(s)dsEm+1)1
Ta chứng minh:
åmi=1kDik+
R 0
hkDm+1(s)kds
 1
maxi; j2f1;2;:::;m+1g




Ei(Inåmi=1 AiR 0h G(s)ds)1Dj




 : (24)
Khi đó, (24) mâu thuẫn với giả thiết (23) đã cho. Thật vậy, theo Bổ đề 3.2 (i), tồn tại x0 2 Rn+;x0 6= 0 sao cho:
(åmi=1 Ai+
R 0
hG(s)ds+å
m
i=1DiDiEi+Dm+1
R 0
hDm+1(s)dsEm+1)x0
=r0x0: (25)
Áp dụng Bổ đề 3.2 (ii),

r0Inåmi=1Ai
R 0
hG(s)ds
1
tồn tại và không âm. Từ (25) suy ra:
r(åmi=1 Ai+
R 0h G(s)ds+åmi=1DiDiEi+Dm+1 R 0h Dm+1(s)dsEm+1)<1
Gọi i0 là chỉ số sao cho kEi0x0k=maxi2f1;2;:::;m+1g kEix0k. Khi đó kEi0x0k> 0. Nhân hai vế của (26) với Ei0 ,
ta có:
Ei0
r0In
m
å
i=1
Ai
Z 0
h
G(s)ds
!1
m
å
i=1
DiDiEix0+Dm+1
Z 0
h
Dm+1(s)dsEm+1x0
!
= Ei0x0: (27)
Lấy chuẩn hai vế của (27), ta được:





Ei0
r0In
m
å
i=1
Ai
Z 0
h
G(s)ds
!1










 måi=1DiDiEix0+Dm+1
Z 0
h
Dm+1(s)dsEm+1x0
 kEi0x0k :
Suy ra
åmi=1




Ei0(r0 Inåmi=1 AiR 0h G(s)ds)1Di




kDikkEix0k
221
Tạp chí Phát triển Khoa học và Công nghệ – Khoa học Tự nhiên, 3(3):213-224
+
m
å
i=1
Ei0
r0In
m
å
i=1
Ai
Z 0
h
G(s)ds
!1
Dm+1k
Z 0
h
kDm+1(s)kdskEm+1x0k  kEi0x0k
Do đó,
max
i; j2[1;2;:::;n+1g






Ei
r0In
m
å
i=1
Ai
Z 0
h
G(s)ds
!1
D j


 må
i=1
kDik+
Z 0
h
kDm+1(s)kds
!
kEm+1x0k  kEi0x0k
hay
max
i; j2f1;2;:::;m+1g






Ei
r0In
m
å
i=1
Ai
Z 0
h
G(s)ds
!1
D j


 må
i=1
kDik+
Z 0
h
kDm+1(s)kds
!
 1: (28)
Mặt khác, vì r0  r
m
å
i=1
Ai+
Z 0
h
G(s)ds
!
> 1 nên theo Bổ đề 3.2 (ii) suy ra
In
m
å
i=1
Ai
Z 0
h
G(s)ds
!1
 0 và
r0In
m
å
i=1
Ai
Z 0
h
G(s)ds
!1
 0:
Do đó, ta có 
Inåmi=1Ai
R 0
hG(s)ds
1


r0Inåmi=1Ai
R 0
hG(s)ds
1
= (r01)

Inåmi=1Ai
R 0
hG(s)ds
1
r0Inåmi=1Ai
R 0
hG(s)ds
1  0
Suy ra
In
m
å
i=1
Ai
Z 0
h
G(s)ds
!1

r0In
m
å
i=1
Ai
Z 0
h
G(s)ds
!1
 0. Khi đó,
Ei
In
m
å
i=1
Ai
Z 0
h
G(s)ds
!1
D j
 Ei
r0In
m
å
i=1
Ai
Z 0
h
G(s)ds
!1
D j;8i; j 2 m+1
Suy ra 





Ei
In
m
å
i=1
Ai
Z 0
h
G(s)ds
!1
D j







Ei
r0In
m
å
i=1
Ai
Z 0
h
G(s)ds
!1
D j
 08i; j 2 m+1: (29)
222
Tạp chí Phát triển Khoa học và Công nghệ – Khoa học Tự nhiên, 3(3):213-224
Từ (28)-(29) suy ra
m
å
i=1
kDik+
Z 0
h
kDn+1(s)kds
 1
max
i; j2[2;:::m+n+1)






Ei
r0In
m
å
i=1
Ai
Z 0
h
G(s)ds
!1
D j
hay
m
å
i=1
kDik+
Z 0
h
kDm+1(s)kds
 1
max
i; j2[2;:::m+n+1






Ei
In
m
å
i=1
Ai
Z 0
h
G(s)ds
!1
D j
Điều này mâu thuẫn với (23). Vậy r(åmi=1Ai+
R 0
hG(s)ds+å
m
i=1DiDiEi+Dm+1
R 0
hDm+1(s)dsEm+1)<1. Khi đó, theo Định lí
2.5, (22) là e-co. Định lí 3.1 được chứng minh.
LỜI CẢMƠN
Nghiên cứu được tài trợ bởi Trường Đại học Công nghệThông tin, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí
Minh (ĐHQG-HCM) trong khuôn khổ Đề tài mã số D1-2018-01.
XUNGĐỘT LỢI ÍCH
Nhóm tác giả xin cam kết không xung đột và mâu thuẩn về lợi ích ấn phẩm khoa học.
ĐÓNGGÓP CỦA CÁC TÁC GIẢ
Đây là ấn phẩm khoa học mà các tác giả có đóng góp như nhau.
TÀI LIỆU THAMKHẢO
1. Niculescu SI. Delay effects on stability: A robust control approach. In: Lecture Notes in Control and Information Sciences. vol. 269.
London, UK: Springer; 2001. Lecture Notes in Control and Information Sciences.
2. Melchor-Aguilar D. Exponential stability of some linear continuous time difference systems. Systems & Control Letters.
2012;61(1):62–68.
3. Melchor-Aguilar D. Further results on exponential stability of linear continuous time difference systems. Applied Mathematics and
Computation. 2013;219:10025–10032.
4. Melchor-Aguilar D. Exponential stability of linear continuous time difference systems with multiple delays. Systems & Control
Letters. 2013;62:811–818.
5. Ngoc PHA, Hieu LT. New criteria for exponential stability of nonlinear difference systems with time-varying delay. International
Journal of Control. 2013;86(9):1646–1651.
6. Ngoc PHA, Huy ND. Exponential stability of linear delay difference equations with continuous time. Vietnam Journal of
Mathematics. 2014;43(2):195–205.
7. Ngoc PHA, Hieu T, Hieu LT, Huy ND. On contraction of nonlinear difference systems with time-varying delays. Mathematische
Nachrichten. 2018;.
8. Lohmiller W, Slotine JJE. On contraction analysis for nonlinear systems. Automatica. 1998;34:683–696.
9. Aminzare Z, Sontag ED. Contraction methods for nonlinear systems: A brief introduction and some open problems. Proceedings of
53rd IEEE Conference on Decision and Control. 2015;p. 3835–3847.
10. Ngoc PHA, Hiêu T. On contraction of functional differential equations. SIAM Journal on Control and Optimization.
2018;56(3):2377–2397.
223
Science & Technology Development Journal – Natural Sciences, 3(3):213-224
Open Access Full Text Article Research Article
1University of Information Technology,
VNUHCM
2DongThap University
Correspondence
Cao Thanh Tinh, University of
Information Technology, VNUHCM
Email: tinhct@uit.edu.vn
History
 Received: 20-12-2018
 Accepted: 29-7-2019
 Published: 31-9-2019
DOI : 10.32508/stdjns.v3i3.649
Copyright
© VNU-HCM Press. This is an open-
access article distributed under the
terms of the Creative Commons
Attribution 4.0 International license.
New sufficient criteria for epsilon-contraction of a class of
nonlinear diference systemwith continuous time
Dang Le Thuy1, Cao Thanh Tinh1,*, Le Trung Hieu2, Le HuynhMy Van1
Use your smartphone to scan this
QR code and download this article
ABSTRACT
Contraction property of dynamical systems, especially difference systems, is one of the qualitative
properties which have attracted much attention from many researchers for recent decades. Con-
traction of dynamical systems has many practical applications which means that two trajectories
of the system convergence to each other when the time reaches to positive infinity. In this pa-
per, by improving some existing approaches, we present a new approach to contraction problem
of a class of nonlinear time-varying delay difference system with continuous time. We generalize
the definition of contraction to -contraction. Then, we give some new explicit sufficient criteria for -
contraction andglobal exponential stability of thementioned system. Furthermore, we investigate-
contraction of perturbeddifference systemswith continuous timeunder nonlinear perturbations in
which perturbations are general time-varying functions. Thenweobtain a newexplicit-contraction
bound for such systems subject to nonlinear time-varying perturbations. The obtained theorems
generalize some existing results in the literature as particular cases. An example is given to illustrate
the obtained results.
Key words: contraction bound, contraction, exponential stability, perturbed systems, difference
systems with continuous time
Cite this article : Thuy D L, Tinh C T, Hieu L T, Van L HM.New sufficient criteria for epsilon-contraction
of a class of nonlinear diference systemwith continuous time. Sci. Tech. Dev. J. - Nat. Sci.; 3(3):213-224.
224