Đề thi thử tốt nghiệp 2021 trực tuyến lần thứ 2 môn Toán

1 
SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH 
----o0o---- 
ĐỀ THI THỬ TN 2021 TRỰC TUYẾN LẦN THỨ 2 
Môn: Toán 
Thời gian làm bài: 90 phút 
Thời gian thi: 21h45, 23/05/2021 
Câu 1. Trong một hộp bút gồm có 8 cây bút bi, 6 cây bút chì và 10 cây bút màu. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 
ra một cây bút từ hộp bút đó? 
A. 480. B. 24. C. 48. D. 60. 
Lời giải 
Áp dụng quy tắc cộng. 
Số cách chọn ra một cây bút từ hộp bút đó là 8 6 10 24. 
Câu 2. Ba số nào sau đây theo thứ tự là cấp số cộng: 
A. 1,3,7,10 . B. 2,6,8. C. 11,14,17,20, 24 . D. 7,3, 1, 5, 9 . 
Lời giải 
Dãy số 7,3, 1, 5, 9 là cấp số cộng với 1 7; 4 u d . 
Câu 3. Cho hàm số f x có đồ thị như hình bên. Hàm số f x nghịch biến trong khoảng nào dưới đây? 
A. 2;0 . B. ; 2 . C. 2; . D. 0; . 
Lời giải 
Nhìn vào đồ thị hàm số f x ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng 2;0 . 
Câu 4. Cho hàm số y f x xác định, liên tục trên và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. 
2 
Hàm số f x có bao nhiêu điểm cực trị? 
A. 1. B. 3 . C. 2 . D. 0 . 
Lời giải 
Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số có 3 điểm cực trị. 
Câu 5. Tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số 3 22 3 1y x x là: 
A. 0;1 . B. 1; 2 . C. 1;6 . D. 2; 3 . 
Lời giải: 
26 6y x x ; 
0
0
1
x
y
x
. 
Bảng xét dấu y 
Vạy điểm cực đại của đồ thị hàm số là 1; 2 . 
Câu 6. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 2
1
xy
x
 là đường thẳng 
A. 2y . B. 1y . C. 1x . D. 2x . 
Lời giải 
Tập xác định \ 1D . 
Ta có 2lim
1x
x
x 
21
lim 111
x
x
x
1y là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. 
Câu 7. Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây? 
A. 3 22 6 2y x x B. 3 23 2y x x . 
C. 3 23 2y x x . D. 3 23 2y x x . 
Lời giải 
O x
y
2 
1
2
2 
3 
Từ đồ thị hàm số ta có: 
Đồ thị trong hình là của hàm số bậc 3, có hệ số 0a . 
Đồ thị hàm số đạt cực trị tại các điểm 2;2 ;B 0; 2A . 
Vậy chọn phương án B 
Câu 8. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau 
Số nghiệm của phương trình 2f x là 
A. 4 . B. 0 . C. 2 . D. 3 . 
Lời giải 
Số nghiệm của phương trình 2 0f x 2f x là số giao điểm của đồ thị hàm số y f x và 
đường thẳng 2y . Dựa vào BBT ta thấy đường thẳng 2y cắt đồ thị hàm số y f x tại 4 điểm phân 
biệt. 
Câu 9. Nếu 2log a x thì 
A. 2ax . B. 2a x . C. 2a x . D. 2xa . 
Lời giải 
Theo định nghĩa lôgarit ta có 2log 2
xa x a . 
Câu 10. Tập xác định của hàm số 2logy x là 
A.  0; . B. ; . C. 0; . D.  2; . 
Lời giải 
Tập xác định 0;D . 
Câu 11. Với a là số thực khác 0 , ta luôn có 2a bằng 
A. 2
a
. B. 2
1
a
. C. 2a . D. 2a . 
Lời giải 
Áp dụng công thức 1m
ma
a
 . 
Câu 12. Với các số thực dương a , b bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 
A. ln ln ln ab a b . B. ln ln .ln ab a b . 
C. lnln
ln
 a a
b b
. D. lnln a a
b b
 . 
Lời giải 
Theo công thức lôgarit của tích. 
Câu 13. Nghiệm của phương trình 2log 2 0x 
A. 0x . B. 2x . C. 1
2
x . D. 1x . 
4 
Lời giải 
 02 1log 2 0 2 2 2x x x . 
Câu 14. Cho hàm số 2 1f x x . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? 
A. d 2f x x x C . B. 31d 3f x x x x C . 
C. 3df x x x x C . D. d 2 1f x x x C . 
Lời giải 
Ta có: 2 31d 1 d
3
f x x x x x x C 
Câu 15. Cho hàm số 1
2
f x
x
 . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? 
A. 1d ln
2
f x x x C . B. d ln 2f x x x C . 
C. d 2lnf x x x C . D. d 2sin 2f x x x C . 
Lời giải 
Áp dụng công thức ta có: 1 1 1 1d d d ln
2 2 2
f x x x x x C
x x
 . 
Câu 16. Nếu d 3
b
a
f x x thì 2 d
b
a
f x x bằng 
A. 6 . B. 5 . C. 8 . D. 9 . 
Lời giải 
Ta có: 2 d 2 d 2.3 6
b b
a a
f x x f x x . 
Câu 17. Tích phân 
3
1
5dx bằng 
A. 15 . B. 5 . C. 8 . D. 10 . 
Lời giải 
Ta có 
3
3
1
1
5d 5 10x x 
Câu 18. Phần ảo của số phức 3 2z i là 
A. 2 . B. 2i . C. 3 . D. 5 . 
Lời giải 
Phần ảo của số phức 3 2z i là 2 
Câu 19. Số phức nghịch đảo của số phức 3 4z i là số phức 
A. 3 4i . B. 3 4
4 5
i . C. 3 4
4 5
i . D. 1 1
3 4
i . 
Lời giải 
Số phức nghịch đảo của số phức 3 4z i là số phức 1 1 3 4 3 4
3 4 5 5 5
i i
z i
. 
5 
Câu 20. Trên mặt phẳng tọa độ, số phức nào sau đây có điểm biểu diễn có tọa độ là 3; 2 ? 
A. 2 3i . B. 2 3i . C. 3 2i . D. 3 2i . 
Lời giải 
Điểm biểu diễn của số phức 3 2i có tọa độ là 3; 2 . 
Câu 21. Một khối chóp có diện tích đáy bằng B và chiều cao bằng h . Thể tích của khối chóp đó bằng 
A. 1
3
Bh . B. Bh . C. 4
3
Bh . D. 2
3
Bh . 
Lời giải 
Thể tích của khối chóp đó bằng là 1
3
V Bh . 
Câu 22. Khối lập phương có thể tích bằng 8 thì có cạnh bằng 
A. 24 . B. 2 . C. 8
3
. D. 38 . 
Lời giải 
Khối lập phương có thể tích bằng 8 thì có cạnh bằng 2 . 
Câu 23. Thể tích V của khối nón có bán kính đáy r và chiều cao h bằng 
A. V rh . B. 2V r h . C. 1
3
V rh . D. 21
3
V r h . 
Lời giải 
Ta có: 21
3
V r h . 
Câu 24. Khối cầu có bán kính R thì có thể tích bằng 
A. 33
4
R . B. 24 R . C. 34
3
R . D. 34
3
R . 
Lời giải 
Khối cầu có bán kính R thì có thể tích bằng 34
3
R . 
Câu 25. Trong không gian Oxyz , cho vectơ 1; 1;2u 
 và 1;2;0v 
. Vectơ u v 
 có toạ độ là 
A. 1; 2;0 . B. 0;1;2 . C. 2;3; 2 . D. 2; 3;2 . 
Lời giải 
Câu 26. Trong không gian Oxyz , đường thẳng 
1
: 2
2 3
x t
d y t
z t
 có một vectơ chỉ phương là 
A. 1 1;2;2u 
 
. B. 2 2;1; 6u 
 
. C. 3 2; 4; 4u 
 
. D. 4 1;1; 3u 
 
. 
Lời giải 
Câu 27. Trong không gian Oxyz , mặt phẳng toạ độ Oyz có một vectơ pháp tuyến có toạ độ là 
A. 1;0;0 . B. 0;1;1 . C. 0;0;1 . D. 0;1;0 . 
Lời giải 
Mặt phẳng toạ độ Oyz có một vectơ pháp tuyến có toạ độ là 1;0;0i 
. 
Câu 28. Trong không gian Oxyz , phương trình nào sau đây là phương trình của một mặt cầu? 
A. 2 2 2 4 1 0y x yx . B. 2 2 2 02 2 2 1x y z . 
6 
C. 2 2 2 2 4 6 0x y z x y . D. 2 2 2 2 4 12 0x zy z x . 
Câu 29. Chọn ngẫu nhiên một số trong các số tự nhiên từ 1 đến 30 . Xác suất để chọn được số có hai chữ số 
phân biệt bằng 
A. 19
20
. B. 9
15
. C. 19
30
. D. 19
21
. 
Lời giải 
Số phần tử không gian mẫu: 30n  . 
Từ 10 đến 30 có tất cả 21 số có 2 chữ số, trong đó các số có hai chữ số bằng nhau gồm 11,22 . 
Suy ra từ 1 đến 50 có tất cả 19 số có hai chữ số phân biệt. 
Xác suất cần tìm là: 19
30
. 
Câu 30. Hàm số nào sau đây đồng biến trên ? 
A. 1
2
xy
x
. B. 1y x . C. 3 22 3y x x x . D. 4 22 5y x x 
Lời giải 
Hàm số 3 22 3y x x x có tập xác định D và 23 4 3 0y x x x  . Suy ra hàm số 
3 22 3y x x x đồng biến trên . 
Câu 31. Gọi , M m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 1( )
1
xf x a
x
 trên đoạn  0;2
. Giá trị M m bằng 
A. 2 4a B. 2 2a C. 2 D. 4 
Lời giải 
Hàm số 2 1( )
1
xf x a
x
 xác định và đơn điệu trên  0;2 . 
Ta có 0 1f a , 2 1f a , do đó 2M a , 2m a . 
Vậy 4M m . 
Câu 32. Cho phương trình: 13 3log 3 1 .log 3 3 1x x . Đặt t = 3log 3 1x . Khẳng định nào sau đây đúng? 
A. 2 1 0t t . B. 2 1 0t . C. 22 1 0t . D. 23 1 0t . 
Lời giải 
Ta có 3 3 313 3log 3 3 log 3 3 1 log 3 1log 1x x x t . 
Do đó phương trình đã cho trở thành 2 1 01 1t t tt 
Câu 33. Nếu 
3
1
2 ' 1 d 5f x x và 1 1f thì 3f bằng 
A. 2 B. 0 C. 1 D. 1
2
Lời giải 
Ta có 
3
1
3 12 ' 1 5 2 3 1 2 5 3 1
2 2
f x dx f f f f . 
7 
Câu 34. Cho 0z là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình 2 2 5 0zz trên tập hợp các số phức. 
Môđun của số phức 01 i z bằng 
A. 2 2 B. 5 2 C. 5 D. 10 
Lời giải 
Phương trình 2 2 5 0zz có hai nghiệm phức 1 2i , suy ra 0 1 2z i . 
 0 2 201 1 1 2 1 3 1 1 3 1 3 10i z i i i i z i 
Câu 35. Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a (hình vẽ). 
Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng ABCD bằng 
A. 30 . B. 60 . C. 75 . D. 45 . 
Lời giải 
Gọi O là tâm của đáy, ta có SO ABCD suy ra góc giữa SA và mặt phẳng ABCD bằng góc SAO . 
Tam giác SAC cân tại A , có 2AC SA a nên SAC là tam giác đều, suy ra 60SAO  . 
Vậy góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng ABCD bằng 60 . 
Câu 36. Cho khối lăng trụ tam giác đều .ABC A B C có cạnh đáy là a và khoảng cách từ A đến mặt phẳng 
 A BC bằng 
2
a . Tính thể tích của khối lăng trụ .ABC A B C . 
A. 
32
16
a . B. 
33 2
12
a . C. 
33 2
16
a . D. 
33 2
48
a . 
Lời giải 
Chọn C 
Gọi M là trung điểm BC , H là hình chiếu của A trên A M . Nhận xét ,d A A BC AH . 
M
A
B
C
A'
B'
C'
H
8 
Tam giác AA M vuông tại A nên có: 
2 2 2
1 1 1
A A AM AH
 2 2 2
1 4 4
3A A a a
 2 2
1 8 6
3 4
aAA
A A a
 . 
Thể tích của lăng trụ .ABC A B C là 
2 33 6 3 2.
4 4 16
a a aV . 
Câu 37. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu 2 2 2 9: 1 2 1S x y z . Biết rằng mặt cầu S cắt 
trục Oz tại hai điểm ,A B phân biệt. Độ dài đoạn thẳng AB bằng 
A. 9AB . B. 4AB . C. 2AB . D. 6AB . 
Lời giải 
Toạ độ ,A B là nghiệm của hệ phương trình 
2 2 2
2
0
00 11 2 1
3
9
1
01 40 3
x y
x yx y zx y z
z
x yz
z
z
x y
. 
Toạ độ hai điểm ,A B là 0;0;1 và 0;0; 3 . 
Vậy 4AB . 
Câu 38. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm 1; 1;1A , 3;1;1B . Phương trình mặt phẳng trung trực 
của đoạn AB là 
A. 2 2 0x y z . B. 2 2 0x y . C. 2 2 0x y . D. 2 2 0x y z . 
Lời giải 
Gọi I là trung điểm của AB . Ta có: 1;0;1I . 
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB đi qua 1;0;1I và có vectơ pháp tuyến là 4;2;0AB 
 
. 
Phương trình mặt phẳng cần tìm là: 4 1 2 0 0 1 0x y z 2 2 0x y . 
Câu 39. Cho là hàm số xác định và có đạo hàm trên . Biết rằng hàm số có bảng xét 
dấu như sau. 
Hàm số có bao nhiêu điểm cực đại? 
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. 
Lời giải 
Đặt 33 2
2
uu x x . Ta có 
1
2
5
' 3 2 0
2
3
4
x
xf x
x
x
. 
 y f x 3 2y f x 
 y f x 
9 
Suy ra 
3 1
2 2
43 5
22 2' 0
3 33
2 5
3 4
2
u
uu
u
f u
u u
u
u
. 
Hơn nữa 
1 3 51 5 2 42 2 2' 0 ' 3 2 0 2 2
3 54 4
2
u
ux
f u f x
u ux
. 
Bảng biến thiên 
Câu 40. Cho phương trình 2log 2 2xm m x ( m tham số). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m 
nhỏ hơn 2021 sao cho phương trình đã cho có nghiệm? 
A. 2020 . B. 2018 . C. 2019 . D. 2021. 
Lời giải 
Phương trình đã cho tương đương với phương trình : 
22 2x xm m 22 2 2 2x x x xm m 1 
Ta có 2 0xm , 2 0x . Xét hàm đặc trưng 2f t t t trên  0; . 
  2 1 0, 0;f t t t  
 f t đồng biến trên khoảng  0; do đó 1 2 2x xf m f 2 2x xm 
22 2x xm . 
Đặt 2 xa , 0a . Ta có 2m g a a a . 
Phương trình đã cho có nghiệm 1
4
m mà m nguyên dương nhỏ hơn 2021 nên 1;2;3;...;2020m . 
10 
Vậy có 2020 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán. 
Câu 41. Cho hàm số ( )f x liên tục trên và có 
3
0
d 8f x x và 
5
0
( )d 4f x x . Tính 
1
1
4 1 df x x
A. 9
4
. B. 11
4
. C. 3 . D. 6 . 
Lời giải 
Ta có: 
1
1 14
11 1
4
4 1 d 4 1 d 4 1 df x x f x x f x x
 . 
Tính: 
1
4
1
4 1 dA f x x
 . Đặt 14 1 d d4t x t x 
0 5
5 0
1 1d d 1
4 4
A f t t f t t 
Tính: 
1
1
4
4 1 dB f x x . Đặt 14 1 d d4t x t x 
3
0
1 ( )d 2
4
B f t t . 
Vậy 
1
1
4 1 d 3f x x A B
 . 
Câu 42. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn 22z i là số thuần ảo và 2z i z là số thực? 
A. 1. B. 0 . C. 2 . D. 4 . 
Lời giải 
Đặt z a bi , ,a b . 
 2 1 2z i z a b i a bi là số thực 2 1 0 2 2 0a b ab a b (1) 
Lại có 222 2z i a b i là số thuần ảo 
22 2 02 0
2 0
a b
a b
a b
 (2) 
Từ (1) và (2) ta có 2 số phức thỏa mãn bài toán là 2 và 2 4
3 3
i . 
Câu 43. Cho lăng trụ đứng .ABC A B C có đáy là tam giác cân tại A , 2AB AC a , 120CAB  , góc giữa 
 A BC và ABC là 45 . Tính thể tích khối trụ có hai đáy là hai đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và 
' ' 'A B C . 
A. 3 32V a . B. 
3
3
4 3aV . C. 34 3V a . D. 34V a 
Lời giải 
Chọn D 
11 
Gọi M là trung điểm của BC . Ta có AM BC và 60CAM  ( do ABC cân tại A ) 
Ta xác định được góc giữa A BC và ABC là 45A MA  
Ta có 1 . .sin
2ABC
S AB AC BAC 21 . 2 sin1202 a 
2 3a và 
 cosAM AC MAC 2 .cos60a  a ; . tanAA AM A MA a ; 
2 2 2 22 2 2 4 2 3AMBC B aM AB a a 
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng 
2 32 2
2sin 60sin
BC ar r a
BAC

. 
Vậy thể tích khối trụ cần tìm là 22 3. 2 . 4V h ar a a . 
Câu 44. Hành lang trong một tòa nhà có dạng chữ L (hình vẽ) có chiều cao 2 m, một phía rộng 1m, một phía 
rộng 1,2 m. Một người thợ cần mang một số ống thép cứng các loại có độ dài 2 m, 2,5m, 3m, 3,5 m, 4 m, từ 
bên này qua bên kia. Hỏi có thể mang được mấy loại qua lối đi đó? 
A. 4 loại. B. 3 loại. C. 5 loại. D. 2 loại. 
Lời giải 
Bài toán tổng quát: 
12 
với các kích thước như hình vẽ, 
2
2 2
sin cos
l b a c
. 
Độ dài ống thép dài nhất có thể mang qua bằng giá trị nhỏ nhất của l . Khi đó 
sin cos
b a
 nhỏ nhất. 
Tương ứng khi 33tan 1, 2b
a
 . Độ dài lớn nhất của thang gần bằng 3,7 m. 
Câu 45. Trong không gian Oxyz , cho điểm 1;1; 2A , đường thẳng 1 1 2:
2 1 3
x y z , và mặt phẳng 
 : 1 0P x y z . Đường thẳng d đi qua điểm A , song song P và vuông góc với có phương trình 
A. 1 1 2
2 5 3
x y z 
. B. 1 1
2 5 2
x y z 
. 
C. 3 4 5
2 5 3
x y z 
. D. 3 6 5
2 5 3
x y z 
. 
Lời giải 
 2;1;3u 
 
, ( ) 1; 1; 1Pn 
 
. Đường thẳng d có 1 vectơ chỉ phương là ( ), 2;5; 3Pu n 
  
. 
Phương trình đường thẳng 1 1 2:
2 5 3
x y zd 
. 
Câu 46. Cho hàm số ( )f x có bảng biến thiên sau: 
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 2sin 2 0f x m có đúng 6 nghiệm phân 
biệt thuộc  0;3 ? 
A. 0. B. 2. C. 3. D. 1. 
Lời giải 
Chọn B 
1sin2sin 1 22sin 2 0 2sin 2
2sin 1 1sin
2
mxx m
f x m f x m
x m mx
. 
Nhận xét 
1 1 1
2 2
m m . 
Để phương trình 2sin 2 0f x m có đúng 6 nghiệm phân biệt thuộc  0;3 thì 
13 
1sin 1
2
1sin 2
2
mx
mx
 có 6 nghiệm phân biệt thuộc  0;3 . 
 1 có 4 nghiệm phân biệt và 2 có 2 nghiệm phân biệt thuộc  0;3 hoặc 1 có 2 nghiệm phân biệt 
và 2 có 4 nghiệm phân biệt thuộc  0;3 . 
Dựa vào đồ thị hàm số siny x , để 1 có 4 nghiệm phân biệt và 2 có 2 nghiệm phân biệt thuộc  0;3 
hoặc 1 có 2 nghiệm phân biệt và 2 có 4 nghiệm phân biệt thuộc  0;3 thì 
1 0
2
1 11
2 1 11 1
11 0 1 1
2
10 1
2
m
m m
mm
m
m
m
. 
Vậy có 2 giá trị nguyên của m là 0; 1m m để phương trình 2sin 2 0f x m có đúng 6 nghiệm 
phân biệt thuộc  0;3 . 
Câu 47. Có bao nhiêu số nguyên y để tồn tại số thực x thỏa mãn 2 23 2log 2 logx y x y ? 
A. 3. B. 2. C. 1. D. vô số.
 Lời giải 
Chọn B 
Đặt 2 23 2 2 2
2 3
log 2 log
2
t
t
x y
x y x y t
x y
 (*) 
Ta có 2 2 2 2 22 1 4 5x y x y x y nên: 9
2
99 5.2 5 log 5
2
t
t t t 
. 
Suy ra 
9
2
log 5
2 2 2 2 2.1tx y . 
Vì y nên 1;0;1y . 
+Với 1y , hệ (*) trở thành 22
1 3
3 1 1 2 9 2.3 2 2 0
1 2
t
t t t t t
t
x
x
 (**) 
Nếu 0t thì 2 2 0 9 2.3 2 2 0t t t t . 
Nếu 0 9 2 0 9 2.3 2 2 0t t t t tt . 
Vậy (**) vô nghiệm. 
- Với 0y thì hệ (*) trở thành 
2
3 99 2 1 0 1
22
tt
t t
t
x
t x
x
. 
14 
- Với 1y thì hệ (*) trở thành 22
1 3
3 1 2 1 ***
1 2
t
t t
t
x
x
. 
Dễ thấy (***) luôn có ít nhất một nghiệm 0 0t x . 
Vậy có 2 giá trị nguyên của y thỏa mãn là 0, 1y y . 
Câu 48. Cho vật thể có mặt đáy là hình tròn có bán kính bằng 1 (hình vẽ). Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông 
góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x 1 1x thì được thiết diện là một tam giác đều. Tính thể tích V 
của vật thể đó. 
A. 3V . B. 3 3V . C. 4 3
3
V . D. V . 
Lời giải 
Chọn C 
Tại vị trí có hoành độ x 1 1x thì tam giác thiết diện có cạnh là 22 1 x . 
Do đó tam giác thiết diện có diện tích 22 32 1 4S x x 23 1 x . 
Vậy thể tích V của vật thể là: 1 2
1
3 1 dx x
 4 33 . 
Câu 49. Cho a là số thực, trên tập hợp các số phức, phương trình 2 2 2 3 0z a z a có hai nghiệm 1z
, 2z . Gọi M , N là điểm biểu diễn của 1z , 2z trên mặt phẳng tọa độ. Biết tam giác OMN có một góc bằng 
120 , tính tổng các giá trị của a . 
A. 6 . B. 6 . C. 4 . D. 4 . 
Lời giải 
Chọn B 
Vì O , M , N không thẳng hàng nên 1z , 2z không đồng thời là số thực, cũng không đồng thời là số thuần 
ảo do đó, ta phải có: 2 12 16 0a a 6 2 5; 6 2 5a . 
Khi đó, ta có: 
2
1
2
2
2 12 16
2 2
2 12 16
2 2
a a az i
a a az i
. 
1 2 2 3OM ON z z a và 
2
1 2 12 16MN z z a a . 
15 
Tam giác OMN cân nên 120MON  
2 2 2
cos120
2 .
OM ON MN
OM ON
  
2 8 10 1
2 2 3 2
a a
a
2 6 7 0a a 3 2a (thỏa mãn). 
Suy ra tổng các giá trị cần tìm của a là 6 . 
Câu 50. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S tâm 1;1;1I và đi qua điểm 0;2;0A . Xét khối chóp 
đều .A BCD có , ,B C D thuộc mặt cầu S . Khi khối tứ diện ABCD có thể tích lớn nhất, mặt phẳng BCD 
có phương trình dạng 0x by cz d . Giá trị của b c d bằng 
A. 2 . B. 1. C. 1 . D. 2 . 
Lời giải 
Mặt cầu S có bán kính 3R IA 
Gọi ,H K lần lượt là tâm của tam giác đều BCD và trung điểm AB . 
Nhận thấy AKI và AHB là các tam giác vuông đồng dạng 
2 2 22 3 2 3AK AI AB AH BH AH AH
AH AB
Khi đó 
2
21 1 3 3 3. . 2 3
3 3 4 4ABCD BCD
BHV AH S AH AH AH AH 
Đặt 0 2 3x AH x 
Xét hàm số 2 3 2( ) 2 3 2 3f x x x x x x 
Ta có: 2
0 ( )
'( ) 3 4 3 ; '( ) 0 4 3
3
x KTM
f x x x f x
x
Bảng biến thiên 
Ta thấy ( )f x lớn nhất khi 4 3
3
AH . 
16 
Khi 
4 3
3
AH 4 4 2 4; ;
3 3 3 3
AH AI H 
  
Khi đó mặt phẳng BCD đi qua H và có vectơ pháp tuyến 1; 1;1AI 
 
 nên có PT: 
4 2 4 0 2 0
3 3 3
x y z x y z 
Vậy 1; 1; 2; 2b c d b c d . 
____________________ HẾT ____________________