Chuyên đề: Bất đẳng thức AM-GM (Cô-Si)

Chuyên đề. BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM (CÔ-SI) 
A. Kiến thức cần nhớ 
Trong các bài toán về bất đẳng thức và cực trị thì bất đẳng thức Cô-si được ví như viên kim cương bởi tính 
ưu việt trong việc chứng minh các bất đẳng thức khác cũng như tìm cực trị. Trong chương trình THCS chủ 
yếu là vận dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm. Do vậy trong chuyên đề này sẽ chỉ nêu ứng dụng 
trong việc giải các bài toán bằng việc vận dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm. 
• Bất đẳng thức Cô-si: cho hai số x, y không âm, ta có: 
2
x y xy hoặc 
2
x yxy 
Dấu bằng chỉ xảy ra khi .x y 
Bất đẳng thức Cô-si còn được gọi là bất đẳng thức về trung bình cộng và trung bình nhân (AM-GM). 
B. Một số ví dụ 
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c, ta có: 
 4 3 5 2 2 3a b c ab bc ca 
Đẳng thức xảy ra khi nào? 
(Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Gia Lai) 
Giải 
Tìm cách giải. Nhận thấy vế phải xuất hiện 2 3 ,ab bc ca do vậy rất tự nhiên chúng ta nghĩ tới việc 
dùng bất đẳng thức Cô-si. Vấn đề còn lại là tách vế trái thành những hạng tử thích hợp nhằm khi vận dụng 
bất đẳng thức Cô-si thì lần lượt xuất hiện các hạng tử vế phải. 
Trình bày lời giải 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: 
2 1
2 2 4 2
3 3 6 3
a b ab
b c bc
a c ca
Từ ( 1 ), (2) và (3) cộng vế với vế ta được: 
 4 3 5 2 2 3a b c ab bc ca 
Đẳng thức xảy ra khi .a b c 
Ví dụ 2: Cho 1.2019 3.2017 5.2015 ... 2019.1.S So sánh S với 21010 
Giải 
Tìm cách giải. Nhận thấy các hạng tử trong tổng S, thì 1 2019 3 2017 ... 2019 1 và bằng 2.1010. 
Nhằm xuất hiện tổng giống nhau đó và cũng liên quan tới số 1010, chúng ta nghĩ tới việc vận dụng bất đẳng 
thức Cô-si dạng 
2
xy x y 
Trình bày lời giải 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: 
2
xy x y 
Suy ra 1 2019 3 2017 5 2015 2019 1...
2 2 2 2
S 
21010 1010 1010 .. 1011 0. 10 0S S 
Ví dụ 3: Cho a, b, c là các số lớn hơn 1. Chứng minh: 
2 2 2
12
1 1 1
a b c
b c a
Giải 
Tìm cách giải. Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh ta thấy vế phải là tổng ba hạng tử dương có chứa 
mẫu số, còn vế trái là một số thực. Do vậy chúng ta cần chọn một hạng tử thích hợp để khi vận dụng bất 
đẳng thức Cô-si khử mẫu các hạng tử vế trái, chẳng hạn: 
2 2
1 2. . 1 4 ,
1 1
a ab b a
b b
 và 
chọn 4 ! 
Trình bày lời giải 
Áp dụng bất đẳng thức cô-si; ta có: 
2 2
2 2
2 2
4 1 2. .4 1 4 1
1 1
4 1 2. .4 1 4 2
1 1
4 1 2. .4 1 4 3
1 1
a ab b a
b b
b bc c b
c c
c ca a c
a a
Từ (1), (2) và (3) cộng vế với vế ta được: 
2 2 2
2 2 2
4 3 4
1 1 1
12
1 1 1
a b c a b c a b c
b c a
a b c
b c a
Điều phải chứng minh 
Đằng thức xảy ra khi 
2
2
2
4 1
1
4 1 2
1
4 1
1
a b
b
b c a b
c
c a
a
Ví dụ 4: Cho a, b là số thực không âm thỏa mãn 2 2 2,a b hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
 3 2 3 2 .M a b a b b a b a 
Giải 
Tìm cách giải. Giả thiết là điều kiện liên quan các biến với số mũ 2, còn biểu thức M phần biến có chứa căn. 
Nhằm biển đổi từ biểu thức chứa căn tới biểu thức không có căn và có số mũ 2, chúng ta cần áp dụng bất 
đẳng thức Cô-si dạng 
2
x yxy và 
2 2
2
x yxy 
Trình bày lời giải 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: 
3 2 53 2 1
2 2
3 2 53 2 2
2 2
b a b a bb a b
a b a a ba b a
Từ (1) và (2) suy ra: ( 5 ) (5 )
2 2
a a b b a bM 
2 2 2 22 2
2 2510 3
2 2
a b a ba b abM a b
 2 23 3.2 6.M a b M 
Đẳng thức xảy ra khi 1.a b 
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức M là 6 khi 1.a b 
Ví dụ 5: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn: 4 5 23.
x y
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
6 78 18B x y
x y
Giải 
Tìm cách giải. Quan sát cả giả thiết và kết luận, hiển nhiên chúng ta cần tách phần biểu thức B có xuất hiện 
bộ phận của giả thiết để khai thác. Phần còn lại cứ cùng biến ta nhóm với nhau để vận dụng bất đẳng thức 
Cô-si. 
Trình bày lời giải 
Ta có: 
2 2 4 58 18B x y
x y x y
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được: 
2 28 2 8 . 8 1
2 218 2 18 . 12 2
x x
x x
y y
y y
Mặt khác từ giả thiết ta có 2 3
5 34
x y
Từ (1), (2) và (3) cộng vế với vế ta được: 
8 12 23 43B 
Đẳng thức xảy ra khi 
28
218
4 5
1 1;
2 3
23
x
x
y
y
y
x
x
y
Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 43 khi 1 1;
2 3
x y 
Ví dụ 6: Chứng minh rằng: 1 121 3 80a b
b a
 với 3; 3.a b 
Đẳng thức xảy ra khi nào? 
Giải 
Tìm cách giải. Thoáng nhìn qua, chúng ta nghĩ ngay tới việc dùng bất đẳng thức Cô-si. Tuy nhiên sẽ là sai 
lầm nếu chúng ta nhóm và dùng bất đẳng thức Cô-si như sau: 
21 3 3 21 3 2121 3 21 3 2 21 . .3 12 7a b a b a b
b a a b a b
Sai lầm thứ nhất là 12 7 80, sai lầm thứ hai là không đúng với điều kiện 3; 3.a b 
Do vậy chúng ta cần tách và chọn các hạng tử thích hợp. Trước hết dự đoán dấu bằng xảy ra trong bất đẳng 
thức khi 3a và 3.b Sau đó chọn điểm rơi để khử mẫu ở vế trái như sau: 
• 
3 3. 2 3 ,ma ma m
a a
 xác định m bằng cách cho 3ma
a
 và 3a suy ra 1 .
3
m Từ đó ta có cách 
tách 
6221
3 3
a aa 
• 
21 212 . 2 21 ,nb nb n
b b
 xác định n bằng cách cho 21nb
b
 và 3b suy ra 7 .
3
n Từ đó ta có cách 
tách 
2 73
3 3
b bb 
Trình bày lời giải 
Ta có vế trái 7 21 3 2 62
3 3 3 3
ab b a
b a
Áp dụng bất đẳng thức Cô -si, ta có: 
7 21 7 212 . 14
3 3
3 32 . 2
3 3
b b
b b
a a
a b
Mà 3; 3a b nên 1 1 2 6221 3 14 2 .3 .3 80
3 3
a b
b a
Dấu bằng xảy ra khi 3a b 
Ví dụ 7: Cho x; y; z là các số dương 
Chứng minh rằng 2x y z
y z z x x y
Giải 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si: 
1 22x y z x y z
x y z x y z
2 1x x
y z x y z
Tương tự ta có: 
2 2y y
x z x y z
2 3z z
x y x y z
Từ (1), (2) và (3) cộng vế theo vế, ta được 2x y z
y z z x x y
Đẳng thức xảy ra khi 
x y z
y z x
z x y
 cộng lại ta có 0x y z 
Điều này không xảy ra vì , , 0x y z 
Ví dụ 8: Cho các số thực x; y; z thỏa mãn: 
2 2 2 31 1 1
2
x y y z z x 
Chứng minh rằng: 2 2 2 3
2
x y z 
(Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Hà Tĩnh, năm học 2005 – 2006) 
Giải 
Tìm cách giải. Bài toán không có bóng dáng của bất đẳng thức hay cực trị đại số. Tuy nhiên quan sát kỹ 
phần kết luận (các phần biến có mũ 2), phần giả thiết có căn bậc ha ...  bất đẳng thức tương đương với: 
1 1 1 1 1 1 1 1 11
yz x xz y yx z yz xz yx
Đặt 1 1 1; ; 1.a b c a b c
x y z
Khi đó bất đẳng thức có dạng: 
1 .bc a ac b ab c bc ac ab 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: 
 2
2 2
bc a bc a a b c bc ab ac a
bc a bc a
hay 
2
 1bc a bc a bc a bc a 
Tượng tự ta có: 
 2
 3b
ac b b
b c
c
a
a
c a 
Từ (1); (2) và (3) cộng vế với vế ta có: 
1 .bc a ac b ab c bc ac ab 
Hay x yz y zx z xy xyz x y z 
Dấu bằng khi 3x y z 
C. Bài tập vận dụng 
5.1. Cho a; b; c; d là các số không âm. Chứng minh rằng: 
8 8 4 22 4 8a b c d abcd 
Hướng dẫn giải – đáp số 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: 
8 8 4 4
4 4 4 2 2 2
2 2 2 2
2 1
2 2 4 2
4 4 8 3
a b a b
a b c a b c
a b c d abcd
Từ các bất đẳng thức (1), (2) và (3) cộng vế với vế, ta được: 
8 8 4 22 4 8a b c d abcd 
Dấu bằng khi 2 2a b c d 
5.2. Cho a; b là các số không âm. Chứng minh rằng: 
2( ) 2 2
2
a ba b a b b a 
(Thi học sinh giỏi Toán, lớp 9, tỉnh Quãng Ngãi, năm học 2011- 2012) 
Hướng dẫn giải – đáp số 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: 
2a b ab 
1 1 1
2 4 4
a b a b a b 
Suy ra 1 22a b a b ab a b
Hay 2 2 2
2
a ba b a b b a 
Dấu bằng khi 1
4
a b 
5.3. Chứng minh rằng: 
1
23 3
a b
a a b b b a
 với a, b là các số dương. 
Hướng dẫn giải – đáp số 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: 
4 34 3 1
2
4 34 3 2
2
a a ba a b
b b ab b a
Từ (1), (2) cộng vế với vế, ta được: 
 4 3 4 3 4 4a a b b b a a b 
 3 3 2 2a a b b b a a b 
Suy ra 
1
2 2 23 3
a b a b
a ba a b b b a
Dấu bằng khi a b 
5.4. Cho 
1 1 1 1... ...
1.2019 2.2018 2019.12019 1
S
k k
Hãy so sánh S và 20192.
2020
Hướng dẫn giải – đáp số 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với ; 0x y ta có: 
1 22x y xy
x yxy
Từ đó suy ra 1 1 1 1... ...
1 2019 2 2018 2019 1 2019 1
S
k k
Hay 20192. .
2020
S Điều phải chứng minh 
5.5. Cho a, b, c, d dương. Chứng minh rằng: 
2a b c d
b c d c d a d a b a b c
Hướng dẫn giải – đáp số 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: 
 2a b c d a b c d 
1 2 2 1a a
a b c d b c d a b c da b c d
Tương tự ta có: 
2 2
2 3
2 4
b b
c d a a b c d
c c
d a b a b c d
d d
a b c a b c d
Từ các bất đẳng thức (1), (2), (3) và (4) cộng vế với vế, ta được điều phải chứng minh 
Dấu bằng xảy ra khi 
a b c d
b a c d
c a b d
d a b c
 công lại ta có 0a b c d 
Điều này không xảy ra vì , , , 0a b c d 
5.6. Cho 2; 3; 4.a b c Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
4 2 3ab c bc a ca bP
abc
Hướng dẫn giải – đáp số 
Ta có: 
4 2 3c a bP
c a b
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: 
4 4 4 14 4 1
2 2 2 4
2 2 2 12 .2 2
2 2 2 2
3 3 3 13 .3 3
2 2 2 3
c c cc
a a aa
c
b b bb
c
Từ các bất đẳng thức (1), (2), (3) cộng vế với vế, ta được: 
1 1 1
4 2 2 2 3
P 
Dấu bằng xảy ra khi 
4 4 4
2 2 6
3 3 8
c a
a b
b c
Vậy giá trị lớn nhất là 1 1 1
4 2 2 2 3
 khi ; ; 4;6;8a b c 
5.7. Với a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện 2.a b c Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
2 2 2Q a bc b ca c ab 
(Tuyển sinh vào lớp 10, THPT TP. Hà Nội. năm học 2014-2015) 
Hướng dẫn giải – đáp số 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: 
22
2
2 2
a bc a b c a bc a ab ac bc a b a c
a b a c a b ca b a c
Suy ra 
22 1
2
a b ca bc 
Chứng minh tương tự ta có: 
22 2
2
22 3
2
a b cb ca
a b cc ab
Từ (1), (2) và (2) cộng vế với vế, ta được: 
 2 2.2 4a b cQ 
Dấu bằng xảy ra khi 2
3
a b c 
Vậy giá trị lớn nhất của Q khi 2
3
a b c 
5.8. Cho các số a, b, c đều lớn hơn 25 .
4
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
2 5 2 5 2 5
a b cQ
b c a
Hướng dẫn giải – đáp số 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: 
2 5 2 . 2 5 2 1
2 5 2 5
2 5 2 2 5 2 2
2 5 2 5
2 5 2 . 2 5 2 3
2 5 2 5
a ab b a
b b
b bbc c b
c c
c ca a c
a a
Từ (1), (2) và (3) cộng vế với vế, ta được: 
2 2 2 15 2 2 2
2 5 2 5 2 5
15 15
2 5 2 5 2 5
a b c b c a a b c
b c a
a b c Q
b c a
Dấu bằng xảy ra khi 
2 5
2 5
2 5 25
2 5
2 5
2 5
a b
b
b c a b c
c
c a
a
Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 15 khi 25a b c 
5.9. Cho x; y là các số dương thỏa mãn 2.x y 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 10T xy
xy
Hướng dẫn giải – đáp số 
Ta có 
1 9T xy
xy xy
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: 
1 12 . 2
2 1 11 1 1
2 2
xy xy
xy xy
x yxy
xyxy
Từ đó suy ra: 92 11
1
T 
Dấu bằng xảy ra khi 1x y 
Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 11 khi 1x y 
5.10. Cho a, b, c, d là các số thực dương có tổng bằng 1. 
Chứng minh: 
2 2 2 2 1
2
a b c d
a b b c c d d a
(Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Thanh Hóa, năm học 2007-2008) 
Hướng dẫn giải – đáp số 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: 
2 2
2 . 1
4 4
a a b a a b a
a b a b
Tương tự, ta có: 
2 2 2
2 ; 3 ; 4
4 4 4
b b c c c d d d ab c d
b c c d d a
Từ (1), (2), (3) và (4) cộng vế với vế, ta được: 
2 2 2 2
2 2 2 2
2
1
2 2
a b c d a b c d a b c d
a b b c c d d a
a b c d a b c d
a b b c c d d a
Dấu bằng xảy ra khi 1
4
a b c d 
5.11. Cho các số thực dương a, b thỏa mãn 2013 2014 .ab a b 
Chứng minh rằng: 
2
2013 2014 .a b 
(Tuyển sinh lớp 10, chuyên toán ĐHSP Hà Nội, năm học 2013-2014) 
Hướng dẫn giải – đáp số 
Từ giả thiết suy ra: 
2013 2014 2013 20141 ( )
2013 20142013 2014 1
a b a b
b a b a
a ba b
b a
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: 
2013 2014 2013 20142 .a b a b
b a b a
Kết hợp với (1) suy ra: 
22013 2 2013.2014 2014 2013 2014a b a b 
Điều phải chứng minh 
5.12. Cho 
2 2 2 2
2 1 3 2 4 3 2020 2019...
1 2 2 3 3 4 2019 2020
P 
So sánh P với 1
2
Hướng dẫn giải – đáp số 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho mẫu số ta có: 
2 1 3 2 4 3 2020 2019...
2 1.2 2 2.3 2 3.4 2 2019.2020
1 1 1 1 1 1 1 1 1....
2 1 2 2 3 3 4 2019 2020
1 1 11 .
2 22020
P
P
P
Vậy 1
2
P 
5.13. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 1. Cạnh a, b, c thỏa mãn: 
3 .
1 1 1 2
a b c
a b c
 Chứng minh tam giác ABC đều. 
(Thi học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Hà Tĩnh, năm học 2012- 2013) 
Hướng dẫn giải – đáp số 
Theo giả thiết 
31 1 1 3
1 1 1 2
9 *
1 1 1 2
a b c
a b c
a b c
a b c
Do a, b, c là ba cạnh của tam giác có chi vi bằng 1 nên 
0 1;0 1;0 1a b c 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: 
9 1 9 11 12 . 3 1
1 4 1 4
a a
a a
Tương tự ta có 
9 11 3 2
1 4
9 11 3 3
1 4
b
c
c
c
Từ (1), (2) và (3) cộng vế với vế, ta được: 
1 1 1 9 1 1 1 9
1 1 1 4
1 1 1 9 .2 9
1 1 1 4
1 1 1 9
1 1 1 2
a b c
a b c
a b c
a b c
Dấu bằng xảy ra khi 
9 11
1 4
9 11 1
1 4 3
9 11
1 4
a
a
b
a b c
b
c
c
Vậy tam giác ABC là tam giác đều 
5.14. Cho x; y; z là các số không âm. Chứng minh rằng: 
 4 xy yz zx x y y z z x x y y z z x 
Hướng dẫn giải – đáp số 
Biến đổi vế phải, ta được: 
x y y z z x x y y z z x
x y y z z x y z x y z x z x x y y z
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: 
 2
2 2
yzy z z x xy z xz
z z xy xy
2
y z z x
y z z x
z xy
z xy
Tương tự ta có: 
 ;x y z x x y yx zyz y xz 
Từ đó suy ra: 
 VP x y z xy z y x yz x z y xz 
 2VP x y xy z y zy x z xz xy yz zx 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: 
2
2
2
x y xy
z y zy
z x zx
Từ đó suy ra 
 4 xy yz zx x y y z z x x y y z z x 
Dấu bằng xảy ra khi x y z 
5.15. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 1 1 1 3
a b c
Tìm giá trị lớn nhất của 
2 2 2 2 2 2
1 1 1+ +
a ab b b bc c c c
P
a a 
(thi học sinh giỏi lớp 9, TP. Hà Nội, năm học 2014-2015) 
Hướng dẫn giải – đáp số 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương ta có: 
 2 2 2 2
2 2
1 12 2 1a b ab a ab b ab
aba ab b
Tương tự ta có: 
2 2
2 2
1 1 2
1 1 3
bcb bc c
cac ca a
Từ (1), (2) và (3) cộng vế với vế, ta được: 
1 1 1 4P
ab bc ca
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương ta có: 
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 5
2 2 2a b b c c a a b cab bc ca
Từ (4) và (5) suy ra 3.P 
 Dấu bằng xảy ra khi 1a b c 
Vậy giá trị lớn nhất của P là 3 khi 1a b c 
5.16. Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn 
1 1 1 1 *
a b c
Chứng minh rằng: 
11 1 1 1 1 1 .
8
a b c a b c 
Hướng dẫn giải – đáp số 
Ta có (*) 
1 1 1 1 1 11 1 1 c a b
c a b c a b
Từ , , 0a b c và 1 1 1 1
a b c
Suy ra , , 1a b c hay 1 0; 1 0; 1 0a b c 
Ta có: 
1 11 1 1 2 1
a bc a b
c a b ab
Tương tự: 
1 11 1 1 2 2
c ab c a
b c a ca
1 11 1 1 2 3
b ca b c
a b c bc
Từ (1), (2) và (3) suy ra: 
1 1 1 1 1 1( 1) ( 1) ( 1). . 2 .2 .1
1 1 1 8 1 1 1
11 1 1 1 1 1
8
a b c a b cc a b
c a b ab ca bc
a b c a b c
a b c a b c
Điều phải chứng minh 
Dấu bằng xảy ra khi 3a b c 
5.17. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn 2 2 2 3 .x y z xyz Chứng minh rằng: 
2 2 2
4 4 2
3
2
x y z
x yz y xz z xy
Hướng dẫn giải – đáp số 
Vì x, y, z dương, áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương ta có: 
2
2 4
4 42
1 1 12 1
2 2
2 1 1 1 1 1 1 2
42
xx yz x yz
x yz x yzx yz yz
y z y zyz yz
Từ (1) và (2) suy ra 
2
4
1 1 1
4
x
x yz y z
Tương tự 
2 2
4 4
1 1 1 1 1 1;
4 4
y z
y xz x z z xy x y
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 3
4 2 2
xy yz zxA
y z x z x y y z x xyz
Lại có 2 2 2 4xy yz zx x y z 
Từ (3) và (4) có 
2 2 21 1 3 3.
2 2 2
x y z xyzA
xyz xyz
Điều phải chứng minh 
Dấu bằng xảy ra khi 1x y z 
5.18. Cho 
, , 0
,
2 3 10
a b c
a b c
 chứng minh rằng: 3 9 1 13
4 8 2
a b c
a b c
 (Thi học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Hưng Yên, năm học 2013-2014) 
Hướng dẫn giải – đáp số 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương ta có: 
1 3 1 32
4 2
a a
a a
9 9 1 9 32 3
4 4 2 4 2
4 1 42 4 4 1
4
b b
b b
c c
c c
Cộng vế với vế 3 bất đẳng thức trên ta được: 
3 1 1 3 9 1 4 3
4 2 4 4 8
a b c
a b c
Từ 2 3 10a b c ta có 3 1 3 2 3 5 4
4 2 4 4 2
a b ca b c 
Từ (3) và (4) suy ra 3 9 1 13
4 8 2
a b c
a b c
 (Điều phải chứng minh) 
Dấu bằng xảy ra khi 31; ; 2
2
a b c 
5.19. Cho x, y, z là 3 số thực dương thoả mãn 2 2 2 2.x y z 
Chứng minh: 2 2 2
3
2 2
3 3
2
2 2 2 3
2
x y z
xyx y y zz x z 
Hướng dẫn giải – đáp số 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: 
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 22 1 1
2
1zx y z
x y x y x y
z
xy
Tương tự ta có: 
2 2
2
2 2
22 1 2
2
2 1 3
2
y z
x
y
zz
x
yz
x
Từ (1), (2) và (3) cộng vế với vế, ta được: 
2 2 2 2 2 2
2 2 22 2 2 3
2 2 2x y
x y z
yzy z z x xx z y
2 2
3 3 3
2 2 2 2
2 2 2 3
2
x y z
xyzx y y z x z 
 (Điều phải chứng minh) 
Dấu bằng xảy ra khi 6
3
x y z 
5.20. Cho x, y là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
2 12xP y
x y
(Thi học sinh giỏi toán lớp 9, TP. Hồ Chí Minh. năm học 2014-2015) 
Hướng dẫn giải – đáp số 
Ta có 
2 2 2 2 212 12 4 48 4 4
4
x x xy y x xy yP y
x y x y x y
2 23 48
4
x y x y
P
x y
Ta có 
2 0x y và áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: 
2 23 48 2 3 .48 24x y x y x y 
Suy ra 
2 23 48 24
6
4 4
x y x y x y
P
x y x y
Dấu bằng xảy ra khi 2x y 
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 6 khi 2x y 
5.21. Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn 2 2 2 1.a b c Chứng minh: 
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
1 1 1
ab c bc a ca b ab bc ca
ab c bc a ca b
(Tuyển sinh lớp 10, THPTchuyên, Tỉnh Vĩnh Phúc, năm học 2013- 2014) 
Hướng dẫn giải – đáp số 
Do 2 2 2 1.a b c nên ta có 
2 2
2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2
2 2
1
2 2
2
ab c ab c
ab c a b c ab c
ab c ab c
a b ab ab c a b ab
Áp dụng bất đẳng thức , 0
2
x yxy x y 
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2
2 2 2 22 2 2
2 2 2( )2
2 2
2 2 2 2 1
1 2
c a b ab a b cab c a b ab a b c
ab c ab c ab c ab c
ab c a b cab c a b ab
Tương tự 
2 2
2 2
2 2
2 22 2 ; 2 3
1 1
bc a ca bbc a ca b
bc a ca b
Cộng vế với vế các bất đẳng thức (1), (2), (3) kết hợp 2 2 2 1a b c ta có bất đẳng thức cần chứng minh. 
Dấu “=” xảy ra khi 1
3
a b c 
5.22. Giả sử x, y, z là các số thực lớn hơn 2.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
4 4 4
x y zP
y z z x x y
 (Tuyển sinh lớp 10, THPT chuyên, ĐHKHTN, Đại học Quốc Gia Hà Nội,năm học 2015- 2016) 
Hướng dẫn giải – đáp số 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: 
4 42 4 4 4
2 2
4
4
y z y zy z y z
y zy z
Tương tự ta có: 4 ; 4
4 4
z x x yz x x y 
Do đó 
4 4 4x y zP
y z z x z y
22 2 2
4 4
2
x y zx y zP
xy zx yz xy zx yz xy yz zx
Mà 
2x y z xy yz zx 
Suy ra 34. 6.
2
P Đẳng thức xảy ra khi 4x y z 
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 6 khi 4x y z 
5.23. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn 3 2.x y z Chứng minh rằng: 
3
43 5 3 5
1 1 1
3 5x y z y z x z x y
Dấu “=” xảy ra khi nào? 
(Tuyển sinh lớp 10, THPT chuyên Trần Hưng Đạo , tình Bình Thuận, năm học 2015-2016) 
Hướng dẫn giải – đáp số 
Đặt 
 3 5 3
1 1
3
1
5 5
P
x y z y z x z x y
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: 
8 3 5 8 3 58 3 5 3 5
2 4 2
x y z x y zx y z x y z 
Tương tự a có: 
5 8 33 5 ; 3 5
4 2
3 5 8
4 2
x y zy z x z x x yy z 
Do đó 
4 2 4
8 3 5 5 8
4 2
3 5 83
2P
xx y z x y z y z 
1 1
8 3 5 5
14 2 1
88 3 3 5x y z x zy z x y 
Áp dụng bất đẳng thức 1 1 1 9
a b c a b c
 với , , 0a b c ta có 
1 1 1 9 9 2
3 5 8 16 16 16 16.8 5 5 8 3 33 2x yx y z x y z x y zz
Từ (1), (2) suy ra 9 34 2.
416.3 2
P 
Dấu bằng xảy ra khi 2x y z 
5.24. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 1.abc Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
1 1 1+ +
2 3 2 3 2 3a b b c a
P
c 
(Thi học sinh giỏi toán lớp 9, tỉnh Nghệ An, năm học 2014-2015) 
Hướng dẫn giải – đáp số 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: 
2 3 ( ) ( 1) 2 2 2 2 0a b a b b ab b 
Suy ra: 
1 1 1
2 3 2 1a b ab b
Tương tự 
1 1 1 12 ; 3
2 3 2 32 1 2 1b c c abc c ca a
Từ (1), (2) và (3) cộng các bất đẳng thức cùng chiều ta được: 
1 1 1 1
2 1 1 1
P
ab b bc c ca a
Vì 1 1abc abc nên: 
1 1 1
1 1 1
1
. 1
1 1
1 1 1
ab b bc c ca a
abc abc
ab b abc abc bc c ca a abc
c bc
bc c bc c c bc
Do đó 
1 .
2
P Dấu bằng xảy ra khi 1a b c 
Vậy giá trị lớn nhất của P là 1
2
 khi 1a b c 
5.25. Cho 5 số thực không âm a, b, c, d,e có tổng bằng 1. Xếp 5 số này trên một đường tròn. Chứng minh 
luôn tồn tại một cách xếp sao cho hai số bất kì cạnh nhau có tích không lớn hơn 1
9
(Thi học sinh giỏi toán lớp 9, TP. Hà Nội, năm học 2014-2015) 
Hướng dẫn giải – đáp số 
Giả sử .a b c d e Ta xếp 5 số như hình vẽ 
Vì ; .ad ae bc bd ce nên ta chỉ cần chứng minh 1 1;
9 9
ad bc 
Thật vậy ta có 1 3 2 3a b c d e a d ad 
1 1
12 9
ad 
21 1 1
2 3
1
2 9
b cb c a d e a b c
b cbc
Vậy luôn luôn tồn tại một cách xếp thỏa mãn đầu bài