Chướng ngại tri thức luận và chướng ngại sư phạm đối với dạy học một tri thức toán học

TAÏP CHÍ KHOA HOÏC ÑAÏI HOÏC SAØI GOØN Soá 59 - Thaùng 7/2018 
44 
Chướng ngại tri thức luận và chướng ngại sư phạm 
đối với dạy học một tri thức toán học 
Epistemological Obstacles and Didactic Obstacles to Teaching and Learning 
Mathematical Knowledge 
TS. Nguyễn Ái Quốc, Trường Đại học Sài Gòn 
Nguyen Ai Quoc, Ph.D., Saigon University 
TS. Đào Hồng Nam, Trường Đại học Y Dược TP.HCM 
Dao Hong Nam, Ph.D., University of Medicine and Pharmacy at HCMC 
Tóm tắt 
Trong bài báo này, chúng tôi làm rõ hai khái niệm chướng ngại tri thức luận và chướng ngại sư phạm đối 
với việc dạy học một tri thức toán học theo quan điểm của didactic toán. Mỗi chướng ngại là một kiến 
thức, một quan niệm chứ không phải là một khó khăn hay một sự thiếu kiến thức. Chướng ngại tri thức 
luận được chứng thực trong nguồn gốc lịch sử của một khái niệm và là cấu thành của kiến thức hiện tại. 
Chướng ngại sư phạm được xem là những trở ngại sinh ra từ quá trình chuyển hóa sư phạm và phụ thuộc 
vào sự lựa chọn của hệ thống dạy học. 
Từ khóa: khó khăn, chướng ngại, chướng ngại sư phạm, chướng ngại tri thức luận. 
Abstract 
In this paper, we clarify two concepts of epistemological obstacle and didactic obstacle to teaching 
mathematical knowledge from the perspective of didactic mathematics. One obstacle can be a certain 
knowledge or concept, not necessarily a difficulty or a lack of knowledge. Epistemological obstacles are 
attested in the historical genesis of a concept and constitutive of current knowledge. Didactic obstacles 
are considered as those resulting from the didactic transposition and depending on the choice of the 
educational system. 
Keywords: difficulty, obstacle, didactic obstacle, epistemological obstacle. 
1. Đặt vấn đề 
Trong quá trình dạy học Toán, việc 
người học gặp một số khó khăn khi tiếp cận 
tri thức mới hay có một số sai lầm khi giải 
toán không phải là những hiện tượng lạ đối 
với người dạy. Có loại sai lầm do sự bất cẩn 
hay không chú ý, nhưng cũng có loại sai lầm 
mang tính hệ thống, bền vững và dai dẳng 
qua nhiều thế hệ người học. Loại sai lầm thứ 
hai này được các nhà nghiên cứu didactic 
toán quan tâm đặc biệt, vì chúng là biểu hiện 
của các chướng ngại mang bản chất tri thức 
luận gắn liền với lịch sử phát triển của tri 
thức hay chướng ngại sư phạm do sự lựa 
chọn của hệ thống dạy học gây nên. 
Việc xác định rõ các chướng ngại tri 
thức luận hay chướng ngại sư phạm của một 
tri thức toán học là hoạt động cần thiết đối 
với người dạy toán và các nhà nghiên cứu 
didactic toán vì đó là bước đầu tiên của quá 
NGUYỄN ÁI QUỐC – ĐÀO HỒNG NAM 
45 
trình thiết kế tình huống dạy học giúp người 
học vượt qua các khó khăn trong quá trình 
lĩnh hội tri thức mới. 
Trước khi làm rõ chướng ngại khoa học 
luận và chướng ngại sư phạm, chúng tôi 
trình bày các khái niệm liên quan sau: 
nghiên cứu tri thức luận, chuyển hóa sư 
phạm, khó khăn – sai lầm – chướng ngại. 
2. Khó khăn – sai lầm – chướng ngại 
2.1. Nghiên cứu tri thức luận 
Thuật ngữ épistémologie xuất hiện ở 
thế kỷ 19, được cấu tạo bởi hai từ gốc Hy 
Lạp: épistème có nghĩa là “khoa học” và 
logo có nghĩa là “nghiên cứu về”. 
Dorier (1997) viết: 
“Chúng tôi quan tâm đến épistémologie 
chủ yếu ở chỗ nó giúp hiểu rõ hơn mối liên 
hệ giữa việc xây dựng tri thức trong cộng 
đồng các nhà bác học với việc dạy và học tri 
thức này. 
Chính là theo cách hiểu này mà chúng 
tôi cho rằng tốt hơn là hãy đưa ra một định 
nghĩa cho tính từ épistémologique. [] 
Chúng tôi đề nghị định nghĩa sau: étude 
épistémologique nghiên cứu những điều 
kiện cho phép nảy sinh tri thức (đối với 
chúng tôi là tri thức toán học), quan tâm đến 
sự tiến triển của các tri thức hay kiến thức. 
Ở đây thuật ngữ tiến triển được hiểu theo 
nghĩa rộng nhất: nó có thể liên quan đến sự 
biến đổi tình trạng kiến thức của một hệ 
thống, một thể chế hay một cá thể. Hơn thế, 
nó chú ý không chỉ đến những tư tưởng tiến 
bộ mà còn đến cả những trì trệ, những bước 
lùi” [7, tr.17]. 
Thuật ngữ nghiên cứu (hay phân tích) 
tri thức luận được chuyển ngữ từ étude 
épistémologique, analyse épistémologique 
với cách hiểu như trên. Cụ thể hơn, nghiên 
cứu tri thức luận là nghiên cứu lịch sử hình 
thành tri thức nhằm làm rõ: 
- “Nghĩa của tri thức, những bài toán, 
những vấn đề mà tri thức đó cho phép giải 
quyết; 
- Những trở ngại cho sự hình thành tri 
thức; 
- Những điều kiện sản sinh ra tri thức, 
những bước nhảy cần thiết trong quan niệm 
để thúc đẩy quá trình hình thành và phát 
triển tri thức” [2]. 
2.2. Chuyển hóa sư phạm 
Quá trình chuyển đổi tri thức từ thể chế 
này sang thể chế kia, trong đó thể chế đích 
là thể chế dạy học, được gọi là quá trình 
chuyển hóa sư phạm. Đó là quá trình chuyển 
hóa gồm ba mắt xích cơ bản. 
Mắt xích thứ nhất, thể chế tạo tri thức 
Sự ra đời của một tri thức bác học thuộc 
mắt xích đầu tiên. Nó là kết quả của những 
hoạt động khoa học gắn liền với lịch sử cá 
nhân của nhà nghiên cứu. Để trình bày nó, 
các nhà toán học phải diễn đạt nó ở dạng 
khái quát nhất có thể được, theo những quy 
tắc thông dụng đang lưu hành trong cộng 
đồng khoa học mà không trình bày bài toán 
dẫn đến việc hình thành tri thức, không nêu 
lại quá trình tìm tòi, phát minh của mình, bỏ 
qua những sai lầm, chướng ngại gặp phải. 
Ta nói là, nhà toán học đã thực hiện hoạt 
động phi hoàn cảnh hóa, phi cá nhân hóa và 
phi thời gian hóa. 
Mắt xích thứ hai, thể chế chuyển hóa 
Trong những tri thức toán học được tích 
lũy qua lịch sử, các nhà thiết kế chương 
trình chọn ra một số vấn đề làm đối tượng 
dạy học. Để những tri thức này có thể dạy 
được cho một bộ phận công chúng, tri thức 
lại tiếp tục bị biến đổi để phù hợp với môi 
trường và hệ thống dạy học. Quá trình này 
có thể tạo ra một số đối tượng mới. Hệ quả 
là, sự xuất hiện một sự chênh lệch khá lớn 
giữa tri thức bác học với tri thức quy định 
CHƯỚNG NGẠI TRI THỨC LUẬN VÀ CHƯỚNG NGẠI SƯ PHẠM ĐỐI VỚI DẠY HỌC MỘT T ... uan 
điểm trực giác (xấp xỉ x) sang quan điểm 
đúng đắn (xấp xỉ 𝑓(𝑥)) thực sự là một 
chướng ngại tri thức luận. Chướng ngại này 
cũng giải thích lí do tại sao nhiều nước trên 
thế giới (Pháp, Mỹ...) chỉ đặt mục tiêu 
truyền thụ quan điểm xấp xỉ x trong dạy học 
toán phổ thông. 
Liên quan đến việc làm rõ các công 
trình của Cornu (1983), Sierpinska (1985) 
đề xuất danh sách gồm năm kiểu chướng 
ngại liên quan đến giới hạn: 
1/ chướng ngại gắn liền với tính vô cực. 
2/ chướng ngại gắn liền với khái niệm 
hàm số: tính đơn điệu, cận trên nhỏ nhất, cận 
dưới lớn nhất, dãy giá trị. 
3/ chướng ngại hình học: trực giác hình 
học như chướng ngại cho việc xây dựng một 
định nghĩa chặt chẽ, giới hạn như biên của 
một tập hợp. 
4/ chướng ngại logic gắn liền với vấn 
đề các toán tử. 
5/ chướng ngại của ký hiệu. 
Ví dụ 2: 
Một phân tích tri thức luận đối với việc 
dạy học Đại số tuyến tính (trong trường hợp 
Không gian vectơ (KGVT)) cho thấy, tồn tại 
một số chướng ngại gắn liền với lịch sử phát 
triển của khái niệm KGVT mà việc vượt qua 
chúng đóng vai trò quyết định đối với quá 
trình xây dựng hệ tiên đề định nghĩa KGVT 
hay các khái niệm liên quan. Do đó, trong 
học tập, việc vượt qua những chướng ngại 
này là điều không thể tránh khỏi. Phân tích 
tri thức luận về KGVT cho phép chỉ ra một 
số khó khăn, trở ngại mà các nhà toán học 
đã trải qua trong một quãng thời gian dài, 
đặc biệt có liên quan đến sự trừu tượng hóa 
của KGVT. Vì vậy, phân tích tri thức luận 
của KGVT cho phép chúng tôi rút ra các khó 
khăn có thể của sinh viên khi tiếp cận tri 
thức này: 
“Khó khăn liên quan đến trừu tượng 
hóa: 
+ Kiểu hệ thống biểu đạt: một đối tượng 
tri thức có nhiều cách biểu đạt ngôn ngữ 
toán học như ngôn ngữ tự nhiên, ngôn ngữ 
ký hiệu hay ngôn ngữ đồ họa. Đối với cấu 
trúc KGVT, có thể biểu đạt qua ngôn ngữ tự 
nhiên và ngôn ngữ ký hiệu. Như đã phân 
tích ở trên, do nhu cầu giải quyết các vấn đề 
thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau cũng như 
xây dựng một ngôn ngữ chung để thỏa mãn 
cho những nghiên cứu được thực hiện, nên 
các nhà toán học phải đưa ra một hệ thống 
biểu đạt phù hợp nhất là sự tổng hòa của 
nhiều lĩnh vực. Chính vì vậy mà họ gặp 
không ít trở ngại. 
+ Kiểu hệ thống tiên đề: hầu hết các 
CHƯỚNG NGẠI TRI THỨC LUẬN VÀ CHƯỚNG NGẠI SƯ PHẠM ĐỐI VỚI DẠY HỌC MỘT TRI THỨC TOÁN HỌC 
50 
khái niệm toán học trong thể chế trung học 
phổ thông đều được định nghĩa theo kiểu 
định danh hay bản chất, trong khi các khái 
niệm của KGVT được định nghĩa bằng hệ 
tiên đề. Việc chuyển từ làm việc trên các tập 
hợp số cụ thể sang làm việc trên các hệ 
thống biểu đạt ký hiệu là một trong những 
nguồn gốc của các khó khăn mà sinh viên 
đại học gặp phải trong học tập KGVT” [9]. 
Ví dụ 3: 
Phân tích tri thức luận đối với khái niệm 
nhóm [10] chỉ ra sự tồn tại của chướng ngại 
liên quan đến trừu tượng hóa khái niệm này 
bằng hệ thống biểu đạt ký hiệu. Kết quả cho 
thấy, các thành phần của khái niệm nhóm 
xuất hiện rải rác trong nhiều lĩnh vực toán 
học khác nhau, tiến triển qua thời gian dài 
hơn một thế kỷ và cuối cùng được hợp nhất 
trong định nghĩa của V. Dyck năm 1883. 
Riêng ở giai đoạn xuất hiện sự trừu tượng và 
giai đoạn củng cố khái niệm nhóm trừu 
tượng, trong các công trình của Cayley 
(1878), Weber (1882) và Von Dyck (1883) 
những đặc trưng của nhóm tổng quát được 
xây dựng bằng hệ thống biểu đạt ký hiệu và 
định nghĩa nhóm tổng quát theo hệ tiên đề 
phải trải qua gần 30 năm để được cộng đồng 
toán học chấp nhận, hoàn thiện dần. 
Mặt khác, từ thực tế giảng dạy cho thấy 
sinh viên gặp nhiều lúng túng trong việc tiếp 
cận khái niệm nhóm và giải quyết các bài 
tập liên quan đến khái niệm này. Một khảo 
sát nhỏ trên 8 sinh viên của Trường Đại học 
Sư phạm TP.HCM, Trường Đại học Sài Gòn 
và Trường Đại học Đồng Nai cho thấy, họ 
gặp một số khó khăn liên quan đến ký hiệu 
của khái niệm nhóm thương G/N và những 
khó khăn này gắn liền với những quan niệm 
đã có từ trước, với khái niệm thương và 
đồng dư trong số học. 
Câu hỏi được đặt ra: “Cho G là một 
nhóm và N là nhóm con chuẩn tắc của G, 
bạn hãy cho biết mối quan hệ giữa: 
1/ nhóm thương G/N và nhóm G; 
2/ các phần tử của G/N và của G; 
3/ phép toán trong G/N và trong G”. 
Kết quả khảo sát cho biết, có 5 sinh viên 
không nhận thức rõ bản chất của các phần 
tử của nhóm thương G/N cũng như phép 
toán của nó. Trong đó, có 2 sinh viên cho 
rằng nhóm thương G/N là một nhóm con 
của G. Sinh viên thứ nhất giải thích đơn giản 
rằng bởi vì nhóm thương G/N cũng là một 
nhóm và các phần tử của nó lấy từ nhóm G 
ban đầu; sinh viên thứ hai xem nhóm thương 
G/N là “tập hợp các lớp bên phải”, đúng hơn 
là tương ứng với GN là tích của các phần tử 
của G với các phần tử của N, do đó cũng là 
một phần tử của G. Sinh viên thứ hai còn 
cho rằng hai phép toán trong G/N và G là 
trùng nhau. Một sinh viên khác xem nhóm 
thương G/N là một nhóm con hay một tập 
con của G và nếu “nhân” G/N với N sẽ cho 
G. Hai sinh viên còn lại đã liên kết khái 
niệm nhóm thương với khái niệm thương 
của số học: sinh viên thứ nhất xem nhóm 
thương G/N là “phép chia nhóm G cho 
nhóm con N” và cho ví dụ Z/2 (Z là “nhóm 
được chia cho 2”); sinh viên thứ hai xem 
nhóm thương là tập hợp các thương của một 
phần tử thuộc nhóm ban đầu với một phần 
tử của nhóm con. 
Từ kết quả nghiên cứu trên đặt ra câu 
hỏi về các khó khăn liên quan chướng ngại 
trừu tượng hóa khái niệm nhóm bằng hệ 
thống biểu đạt ký hiệu mà sinh viên phải 
đương đầu khi học tập khái niệm này. 
4. Chướng ngại sư phạm 
Đây là chướng ngại sinh ra từ sự chuyển 
hóa sư phạm, dường như chỉ phụ thuộc vào 
một lựa chọn hay một dự án của hệ thống 
giáo dục. 
Ví dụ 4: 
Kiến thức về số nguyên là chướng ngại 
NGUYỄN ÁI QUỐC – ĐÀO HỒNG NAM 
51 
cho việc xây dựng kiến thức về số thập phân 
ở học sinh. Một số khía cạnh của kiến thức 
về số nguyên được xác định là một chướng 
ngại sư phạm như định nghĩa, cách viết; một 
số khía cạnh khác là chướng ngại tri thức 
luận như kiến thức về số nguyên và các tính 
chất của nó cần thiết cho việc xây dựng số 
thập phân. 
Việc trình bày các số thập phân ở bậc 
tiểu học là kết quả của quá trình tiến triển 
lâu dài trong khuôn khổ của một lựa chọn sư 
phạm do các nhà bách khoa toàn thư thực 
hiện. Với tính hữu dụng của chúng, số thập 
phân được dạy cho mọi người càng sớm 
càng tốt, gắn liền với một hệ thống đo lường 
và đề cập đến các kỹ thuật tính toán trong số 
nguyên. Vì thế ngày nay, số thập phân đối 
với học sinh là cặp số nguyên được đặt cách 
nhau bởi một dấu phẩy. 
Thực nghiệm [5] được tiến hành trên 
các học sinh tiểu học Pháp, cho thấy tồn tại 
một chướng ngại đối với học sinh trong việc 
xây dựng kiến thức về số thập phân. 
Người ta yêu cầu học sinh năm cuối bậc 
tiểu học ở Pháp sắp xếp 7 số sau theo thứ tự 
tăng dần: 
101
50
; 
52
100
; 
120
50
; 0,375; 
13
10
; 1,01; 2,315. 
Lời giải học sinh A: 2,02; 0,52; 2,4; 
0,375; 1,3; 1,01; 2,315. 
Do đó: 0,52 < 0,375 < 1,3 < 1,01 < 2,4 
< 2,02 < 2,315. 
Lời giải của học sinh B: 2,02; 0,52; 2,4; 
0,375; 1,3; 1,01; 2,315. 
Do đó: 0,52 < 0,375 < 1,01 < 1,3 < 2,02 
< 2,4 < 2,315. 
Bình luận: 
Cả hai học sinh đều chuyển về so sánh 
các số thập phân. Trước hết là so sánh phần 
nguyên. Nếu phần nguyên (là một số tự 
nhiên) khác nhau: số nào có phần nguyên 
lớn hơn thì lớn hơn. Nếu phần nguyên bằng 
nhau: học sinh A so sánh phần thập phân 
dựa vào độ dài của chúng, còn học sinh B so 
sánh chúng như so sánh hai số tự nhiên, 
không tính số 0 bên trái. 
Một số nghiên cứu đã khẳng định, các 
sai lầm của hai học sinh trên có nguồn gốc 
từ quan niệm: số thập phân (dương) là hai 
số tự nhiên ghép với nhau bởi dấu “phẩy”. 
Từ đó, việc so sánh hai số thập phân 
(dương) qui về so sánh hai số tự nhiên, theo 
qui tắc so sánh hai số tự nhiên. 
Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp cách 
giải dựa vào quan niệm trên vẫn cho câu trả 
lời đúng. Chẳng hạn, nếu dãy số cần sắp xếp 
là: 0,23; 0,16; 1,54; 2,43; 1,29; 2,18. Do đó, 
quan niệm sai lầm này sẽ được củng cố và 
trở nên bền vững hơn, nếu tất cả các bài tập 
mà học sinh gặp phải (có thể do tình cờ) đều 
có dạng mà nó cho câu trả lời đúng. 
Như vậy, học sinh đã gặp phải chướng 
ngại sư phạm khi tiếp cận khái niệm số thập 
phân dương thay vì số tự nhiên quen thuộc; 
cụ thể, một số kiến thức về số tự nhiên trở 
thành chướng ngại cho việc xây dựng kiến 
thức về số thập phân. 
5. Sự khác nhau giữa chướng ngại và 
khó khăn 
Phân biệt giữa chướng ngại và khó khăn 
đối với việc dạy học một tri thức không đơn 
giản, vì đòi hỏi phải xem xét chúng theo 
những nghĩa xác định nào. Thông thường 
chướng ngại đòi hỏi sự vượt qua kiến thức 
cũ như là một rào cản chống lại việc lĩnh hội 
kiến thức mới. Vì thế, trong phần này chúng 
tôi chỉ trình bày một số ví dụ để phân biệt sự 
khác nhau của hai khái niệm này. 
Việc học sinh lúng túng trong thao tác 
vẽ đường biểu diễn cho một elip được xem 
là một khó khăn, vì ở đây không cần vượt 
qua một kiến thức cũ nào cả. Khó khăn này 
có thể khắc phục qua một số lần vẽ nhằm 
tăng cường sự khéo léo của đôi tay. 
CHƯỚNG NGẠI TRI THỨC LUẬN VÀ CHƯỚNG NGẠI SƯ PHẠM ĐỐI VỚI DẠY HỌC MỘT TRI THỨC TOÁN HỌC 
52 
Trong trường hợp học sinh gặp khó khăn 
biểu diễn và vẽ các đối tượng hình học trong 
ℝ3 như đường, mặt, các khối trên đó xác 
định nhiều loại tích phân khác nhau cần phải 
tính toán: nếu xét theo nghĩa “những gì ngăn 
cản hay làm trễ nải một hành động” thì có vẻ 
đó là một chướng ngại; nhưng nếu xét theo 
nghĩa cần vượt qua một kiến thức cũ thì đó 
chỉ là các khó khăn. 
Trong trường hợp nếu học sinh không 
làm việc trên hình học không gian cổ điển ở 
bậc trung học phổ thông thì đó có phải là 
một chướng ngại sư phạm đối với hình 
tượng hóa và do đó đối với khả năng giải các 
tích phân bội ở đại học sau này hay không, 
vì nó ngăn cản về mặt trí tuệ việc xây dựng 
các tương giao của các mặt trong không 
gian? Để trả lời câu hỏi này, cần phải kiểm 
chứng bằng thực nghiệm về vai trò của hình 
học ở trung học phổ thông trong quan niệm 
hóa các hình khối của không gian và trong 
việc sử dụng hình học tọa độ. 
Trên thực tế, việc học sinh không phân 
biệt các kiểu biểu diễn hệ thống biểu đạt của 
cùng một mặt trong không gian không phải 
là một chướng ngại sư phạm, mà là một khó 
khăn vì không có một kiến thức cũ nào cần 
phải đấu tranh vượt qua. 
Đối với chướng ngại tri thức luận, 
Brousseau đề nghị thực hiện đồng thời các 
tình huống a-didactic và didactic để có thể 
tổ chức sự thừa nhận và vượt qua chúng. 
6. Kết luận 
Việc xác định các chướng ngại của một 
tri thức rất cần thiết và quan trọng cho hoạt 
động dạy học toán học. Nó giúp cho người 
giáo viên có quan điểm đúng đắn về các khó 
khăn, trở ngại mà học sinh gặp phải trong 
học tập một tri thức mới, đồng thời đặt ra 
cho các nhà didactic những câu hỏi về đồ án 
dạy học: 
Làm thế nào để tránh các chướng ngại? 
Có thể tránh được tất cả các chướng ngại 
không? Làm thế nào để vượt qua các 
chướng ngại mà chúng ta buộc phải đối đầu 
với chúng? 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Bachelard, G. (1938), La formation de l'esprit 
scientifique, 13° éd., Paris: Vrin, 1986. 
2. Bessot, A., & Comiti, C., & Lê Thị Hoài Châu, 
& Lê Văn Tiến (2009). Những yếu tố cơ bản 
của didactic Toán. Nhà xuất bản Đại học quốc 
gia TP. Hồ Chí Minh. 
3. Brousseau, G. (1976). “Les obstacles 
épistémologiques et les problèmes en 
mathématiques” in La problématique et 
l’enseignement de la mathématique. Actes de 
la XXVIIe rencontre de la CIEAEM Louvain 
la neuve (1976). Texte repris "Recherches en 
didactique des mathématiques"; vol 4.2 p 164-
197 (1983). 
4. Lê Thị Hoài Châu (2017). Sự cần thiết của 
phân tích tri thức luận đối với các nghiên cứu 
về hoạt động dạy học và đào tạo giáo viên. Hội 
thảo quốc tế về Didactic Toán lần thứ 6. Actes 
du sixième colloque international en 
didactique des mathématiques. Trường Đại 
học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh. 
5. Comiti, C. (1992). Obstacles et construction de 
la connnaissance. Cours de DEA 
6. Cornu, B. (1983). Apprentissage de la notion 
de limite: conceptions et obstacles. Thèse. 
Université Scientifique Et Médicale De 
Grenoble. 
7. Dorier, J-L. (1997). Recherches en histoire et 
en didactique des mathématiques sur l'algèbre 
linéaire - Perspective théorique sur leurs 
interactions. Les cahiers du Laboratoire 
Leibniz. Grenoble. 
8. Lalande, A. (1991). Vocabulaire technique et 
critique de la Philosophie. Vol. 2. Dixième Édition. 
Ed. Presses Universitaire de France. Paris. 
9. Nguyễn Ái Quốc, Nguyễn Thị Thanh Thanh 
(2017). Lợi ích của phân tích tri thức luận đối 
với dạy học Đại số tuyến tính: trường hợp 
không gian vectơ. Hội thảo quốc tế về Didactic 
NGUYỄN ÁI QUỐC – ĐÀO HỒNG NAM 
53 
Toán lần thứ 6. Actes du sixième colloque 
international en didactique des 
mathématiques. Trường Đại học Sư phạm TP. 
Hồ Chí Minh. 
10. Nguyễn Ái Quốc, Nguyễn Thị Vân Khánh 
(2017). Một phân tích tri thức luận trong dạy 
học đại số cao cấp: trường hợp nhóm. Hội thảo 
quốc tế về Didactic Toán lần thứ 6. Actes du 
sixième colloque international en didactique 
des mathématiques. Trường Đại học Sư phạm 
TP. Hồ Chí Minh. 
11. Lê Thái Bảo Thiên Trung (2010). Notion de 
limite et décimalisation des nombre réels au 
lycée. Édition Universitaire Europénne. 
12. Lê Thái Bảo Thiên Trung (2017). Các tình 
huống tranh luận khoa học xoay quanh một số 
chướng ngại tri thức luận của khái niệm giới 
hạn. Hội thảo quốc tế về Didactic Toán lần thứ 
6. Actes du sixième colloque international en 
didactique des mathématiques. Trường Đại 
học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh. 
13. Sierpinska, A. (1985). Obstacles 
épistémologiques relatifs à la notion de limite, 
RDM, Vol.6.1, tr.5-67. 
Ngày nhận bài: 27/10/2017 Biên tập xong: 15/7/2018 Duyệt đăng: 20/7/2018