Cài đặt thuật toán sinh tham số RSA 2048 bit trên thiết bị PKI Token

Khoa học và Công nghệ trong lĩnh vực An toàn thông tin 
Số 1.CS (11) 2020 53 
Cài đặt thuật toán sinh tham số 
RSA 2048 bit trên thiết bị PKI Token
Vũ Tá Cường, Nguyễn Thành Trung, Lê Đình Hùng 
Tóm tắt—Trong hệ mật mã khóa công khai 
RSA, tính an toàn của hệ mật phụ thuộc chủ yếu 
vào việc đảm bảo tính an toàn của khóa bí mật, nên 
nó thường được lưu trong thiết bị lưu khóa bảo 
mật PKI Token. Bên cạnh đó, để tăng cường tính 
an toàn cho khóa bí mật, khóa sẽ được sinh ra ngay 
trong thiết bị và không thể sao chép ra ngoài, tránh 
tình trạng lộ lọt khóa. Trong bài báo này, nhóm 
tác giả giới thiệu giải pháp sinh tham số RSA 2048 
bit trên thiết bị PKI Token. 
Abstract—In the RSA public-key cryptography 
system, the security of the cryptosystem depends 
primarily on ensuring the security of the secret 
key. Therefore, the secret key is usually stored in 
security token. In addition, to enhance security of 
the secret key, the key pair are generated inside 
the device and cannot be copied out, avoiding the 
disclosure of the secret key. In this paper, we 
introduce the 2048-bit RSA parameter generation 
solution on the PKI Token device. 
Từ khóa— PKI Token; RSA 2048; sinh khóa. 
Keyword— PKI Token; RSA 2048; generating key pair. 
I. GIỚI THIỆU 
Cũng như hầu hết các hệ mật mã khác, mô 
hình, cấu trúc thuật toán của hệ mật mã khóa công 
khai RSA là công khai. Vì vậy, việc đảm bảo an 
toàn trong hệ mật phụ thuộc rất nhiều vào việc 
đảm bảo tính an toàn của khóa bí mật. Để đảm bảo 
an toàn cho khóa bí mật thì nó thường được lưu 
trong thiết bị lưu khóa bảo mật PKI (Public Key 
Infrastructure) Token. Thiết bị PKI Token là 
thành phần quan trọng trong các giải pháp bảo mật 
vì khả năng lưu trữ khóa, tham số mật và tính toán 
mật mã trong môi trường an toàn. Ngoài ra, để 
đảm bảo tính an toàn tuyệt đối cho khóa bí mật, 
người ta lựa chọn phương pháp sinh khóa ngay 
trong thiết bị PKI Token. Khóa bí mật sau khi sinh 
ra được lưu vào thiết bị và không thể sao chép ra 
ngoài, tránh tình trạng lộ lọt khóa. Các thiết bị 
Bài báo được nhận ngày 22/5/2020. Bài báo được nhận xét bởi 
phản biện thứ nhất ngày 23/6/2020 và được chấp nhận đăng 
ngày 23/6/2020. Bài báo được nhận xét bởi phản biện thứ hai 
ngày 04/8/2020 và được chấp nhận đăng ngày 15/9/2020. 
PKI Token thương mại trên thế giới [1]–[3] cũng 
đã hỗ trợ chức năng sinh khóa ngay trong thiết bị. 
Tuy nhiên, khó có thể kiểm soát được thuật toán 
sinh khóa, cũng như các tiêu chuẩn an toàn cho 
các tham số RSA. Đối với một số môi trường ứng 
dụng đặc biệt, tiêu chí quan trọng khi đưa ra các 
sản phẩm bảo mật là làm chủ toàn bộ thiết kế phần 
cứng, phần mềm để có thể tùy chọn cài đặt các 
thuật toán mật mã riêng vào thiết bị. Vì vậy, việc 
nghiên cứu xây dựng module sinh tham số RSA 
trong thiết bị PKI Token là rất cần thiết, giúp làm 
chủ và kiểm soát được toàn bộ quy trình sinh tham 
số RSA, giám sát loại trừ được các nghi ngờ mã 
độc, cửa hậu (backdoor) ngay cả ở mức thấp 
(firmware) tại phần cứng thiết bị PKI Token. 
II. ĐỀ XUẤT GIẢI PHÁP SINH THAM SỐ RSA TRÊN 
THIẾT BỊ PKI TOKEN 
A. Các phương pháp sinh số nguyên tố lớn 
a) Phương pháp sinh số nguyên tố xác suất 
Khi tìm hiểu về các phương pháp sinh số 
nguyên tố xác suất cần chú ý hai vấn đề chính: các 
phép kiểm tra nguyên tố xác suất và các phương 
pháp lựa chọn số nguyên dương đầu vào. Có một 
số phép kiểm tra nguyên tố xác suất thường được 
sử dụng là kiểm tra Fermat, Solovay-Strassen, 
Miller-Rabin và Lucas [6], [7]. Trong đó, phép 
kiểm tra Miller-Rabin có xác suất sai thấp nhất 
[6], [7]. Các phương pháp sinh số nguyên tố xác 
suất thường được xây dựng dựa trên phép kiểm 
tra này. Có 2 phương pháp lựa chọn số nguyên 
dương đầu vào là phương pháp lựa chọn ngẫu 
nhiên và phương pháp tìm kiếm tăng dần [7], [8]. 
b) Phương pháp sinh số nguyên tố tất định 
Các phương pháp sinh số nguyên tố xác suất 
chỉ cho phép tạo ra các số nguyên tố với một xác 
suất nào đó. Phương pháp sinh số nguyên tố tất 
định cho phép tạo ra các số nguyên tố có thể 
chứng minh được về mặt toán học. Một số thuật 
toán sinh số nguyên tố tất định phổ biến được 
trình bày trong [8], [9] là: phương pháp của 
Maurer, phương pháp của Shawe-Taylor, phương 
pháp căn bậc hai và phương pháp căn bậc ba. 
Journal of Science and Technology on Information security 
54 No 1.CS (11) 2020 
Đánh giá sơ bộ các phương pháp 
Trong hai phương pháp sinh số nguyên tố trên, 
về tính an toàn, phương pháp sinh số nguyên tố 
tất định vượt trội hơn hẳn phương pháp sinh số 
nguyên tố xác suất, do xác suất sai bằng không. 
Tuy nhiên, xét về tốc độ thực thi và độ phức tạp 
tính toán thì phương pháp sinh số nguyên tố xác 
suất có ưu thế hơn. Phương pháp sinh số nguyên 
tố xác suất được cho là dễ cài đặt và có tốc độ 
nhanh hơn so với phương pháp sinh số nguyên tố 
tất định [9], [11]. 
Trong hai phương pháp sinh số nguyên 
dương đầu vào, phép kiểm tra các ứng cử viên 
ngẫu nhiên được đánh giá cao hơn về phân bố 
đầu ra của thuật toán, tuy nhiên trong thực hành 
kém hiệu quả hơn thuật toán tìm kiếm tăng dần. 
Các nghiên cứu [11], [12] đã chỉ ra rằng phương 
pháp tìm kiếm tăng dần là tiết kiệm và có hiệu 
quả hơn đáng kể so với phương pháp chọn 
“ngẫu nhiên đều”. 
B. Đề xuất mô hình sinh tham số RSA trên thiết bị 
PKI Token 
Việc sinh tham số RSA đòi hỏi khối lượng tính 
toán lớn, do phải tạo ra các số nguyên tố bí mật 𝑝 
và 𝑞 đủ lớn để đảm bảo các tiêu chuẩn an toàn. 
Ngoài ra, việc thực hiện tính toán trên các số 
nguyên tố lớn cũng đòi hỏi tài nguyên tính toán 
lớn [7], [9], [11]. Để thực hiện sinh tham số RSA 
trên thiết bị PKI Token, các thuật toán sinh số 
nguyên tố cần được lựa chọn, chỉnh sửa để đảm 
bảo tính khả thi. 
Như đã phân tích ở trên, trong các phương 
pháp sinh số nguyên tố đã nêu, phương pháp sinh 
số nguyên tố xác suất là phương pháp có độ phức 
tạp thấp, không yêu cầu nhiều tài nguyên, phù hợp 
với các thiết ... lưu bản mã vào thiết 
bị. Khóa DEK (dùng để mã hóa và giải mã khóa 
bí mật) sẽ được mã hóa sử dụng mã PIN của User 
và lưu vào bộ nhớ flash của thiết bị. 
C. Nghiên cứu xây dựng module firmware xuất 
khóa công khai 
Sau khi sinh khóa, khóa bí mật được mã hóa 
và lưu trong thiết bị, còn khóa công khai sẽ được 
thiết bị xuất ra ngoài. Khóa công khai được xuất 
ra ngoài theo định dạng chuẩn được quy định 
trong tiêu chuẩn ISO 7816-4, cụ thể như sau: 
Tiêu đề: 
7f49 xx (xx – là tổng độ dài của phản hồi) 
Dữ liệu khóa công khai RSA: 
 81 xx modulus (xx là độ dài số modulus) 
 82 xx exponent (xx là độ dài của số mũ e) 
Giá trị độ dài xx cần tuân theo quy định trong 
tiêu chuẩn ISO 7816-4 về số byte để lưu giá trị 
như sau: nếu số byte cần để lưu giá trị là 02 thì 
phía trước cần thêm byte chỉ số 0x82, nếu số byte 
cần lưu giá trị là 01 thì phía trước không cần thêm 
byte chỉ số. 
Cụ thể, hoạt động của module firmware xuất 
khóa công khai được mô tả như sau: 
Bước 1: Lấy dữ liệu khóa công khai. Dữ liệu 
khóa công khai gồm số modulus và số mũ công 
khai được đọc ra từ bộ nhớ flash của thiết bị. 
Khoa học và Công nghệ trong lĩnh vực An toàn thông tin 
Số 1.CS (11) 2020 57 
Bước 2: Tạo phần tiêu đề cho dữ liệu phản hồi. 
Phần tiêu đề của dữ liệu phản hồi xuất khóa công 
khai được bắt đầu bằng 7f49 theo đúng chuẩn 
ISO 7816, tiếp theo đến tổng độ dài của phản hồi. 
Tổng độ dài của dữ liệu phản hồi gồm: độ dài của 
số modulus, độ dài của số mũ công khai và 6 bytes 
chỉ số (02 bytes chỉ số 7f49, các byte còn lại sẽ 
được giải thích sau). Vì độ dài số modulus là 256 
= 0x100 nên cần 02 bytes để lưu giá trị tổng độ 
dài của dữ liệu phản hồi, do đó ta có phần tiêu đề 
là 7f 49 82 xx xx. 
Bước 3: Tạo phần dữ liệu số modulus. Phần dữ 
liệu số modulus được bắt đầu bằng 81, tiếp theo 
đến độ dài của số modulus và số modulus. Vì cần 
02 bytes để lưu giá trị độ dài của số modulus nên 
cần thêm chỉ số 82 sau chỉ số 81, cụ thể phần dữ 
liệu số modulus sẽ như sau: 
81 82 01 00 modulus. 
Bước 4: Tạo phần dữ liệu số mũ công khai. 
Phần dữ liệu số mũ công khai được bắt đầu bằng 
82, tiếp theo đến độ dài của số mũ exponent, và 
số exponent. Vì chỉ cần 01 byte để lưu giá trị độ 
dài số mũ công khai, nên phần dữ liệu số mũ công 
khai sẽ như sau: 82 xx exponent. 
D. Nghiên cứu tích hợp module sinh tham số RSA 
vào firmware thiết bị PKI Token 
Để tích hợp module sinh tham số RSA vào 
firmware thiết bị PKI Token, ngoài việc xây dựng 
thêm module sinh khóa, lưu khóa và xuất khóa 
công khai như trình bày ở trên, cần phải tùy biến, 
lựa chọn các hàm cần thiết trong thư viện polarSSL 
để tích hợp vào thiết bị. Trước tiên, trong hàm sinh 
số nguyên tố, nhóm tác giả tích hợp bộ tạo ngẫu 
nhiên trong thiết bị để sinh ra ứng cử viên ngẫu 
nhiên đầu vào. Do bộ nhớ của thiết bị PKI Token 
bị hạn chế, nên chỉ có thể đưa những thư viện cần 
thiết trong bộ thư viện polarSSL xuống thiết bị. 
Các thư viện cần thiết phục vụ việc sinh tham số 
RSA trên thiết bị gồm có thư viện tính toán số lớn 
và thư viện mật mã khóa công khai. 
Để tăng tốc độ sinh tham số RSA trên thiết bị 
PKI Token, nhóm tác giả đã tiến hành cải tiến hàm 
sinh số nguyên tố trong bộ thư viện polarSSL. 
Theo [6], do xác suất một số nguyên ngẫu nhiên 
có ước số nguyên tố nhỏ là tương đối lớn và việc 
kiểm tra loại trừ các số nguyên ngẫu nhiên có ước 
số nguyên tố nhỏ ít tốn kém tài nguyên tính toán 
hơn kiểm tra Miller-Rabin, nên trước khi áp dụng 
kiểm tra Miller-Rabin, ứng cử viên ngẫu nhiên 
đầu vào nên được kiểm tra các ước nguyên tố nhỏ 
trước. Ngoài ra, theo [11], kiểm tra Miller-Rabin 
với cơ sở 2 có tốc độ thực thi nhanh hơn nhiều so 
với kiểm tra Miller-Rabin với cơ sở ngẫu nhiên 
khác. Vì vậy khi thêm kiểm tra Miller-Rabin cơ 
sở 2 trước kiểm tra Miller-Rabin với các cơ sở 
ngẫu nhiên khác nhau sẽ loại bỏ được phần lớn 
các hợp số trước khi thực hiện kiểm tra Miller-
Rabin với các cơ sở ngẫu nhiên khác. Phương 
pháp giúp cải thiện tốc độ của phương pháp sinh 
số nguyên tố xác suất dựa trên kiểm tra Miller-
Rabin mà không làm ảnh hưởng đến sai số của 
phương pháp. Bên cạnh đó, để tăng tính hiệu quả 
của hàm sinh số nguyên tố, nhóm tác giả lựa chọn 
giải pháp tìm kiếm tăng dần khi lựa chọn ứng cử 
viên đầu vào. 
Lưu đồ thuật toán sinh số nguyên tố sau khi cải 
tiến được thể hiện trong Hình 5. 
Bắt đầu
Xbits = 1024
Sinh số ngẫu nhiên 
lẻ X có độ dài Xbits
MR2(X) = 0Sai
Kết thúc
Đúng
X = X +2
MR(h,X) = 0 X = X +2
Đúng
Sai
Chia thử
Đúng
X = X +2Sai
Hình 5. Lưu đồ thuật toán sinh số nguyên tố sau khi 
cải tiến 
IV. NGHIÊN CỨU XÂY DỰNG CHƯƠNG TRÌNH 
TOKENADMIN HỖ TRỢ SINH THAM SỐ RSA 
Phần mềm TokenAdmin là phần mềm chạy 
trên môi trường Windows dành cho người quản 
trị viên để quản lý, thực hiện các tác vụ cần thiết 
với thiết bị PKI Token. Để phần mềm hỗ trợ sinh 
tham số RSA trên thiết bị PKI Token, cần xây 
dựng thêm chức năng tạo khóa và xuất khóa công 
khai. Chức năng này trong phần mềm 
TokenAdmin được xây dựng dựa trên lưu đồ hoạt 
động như trong Hình 6 và Hình 7. 
Journal of Science and Technology on Information security 
58 No 1.CS (11) 2020 
A. Nghiên cứu xây dựng và tích hợp module tạo 
khóa cho phần mềm quản trị TokenAdmin 
Chức năng tạo khóa có nhiệm vụ gửi lệnh tạo 
khóa xuống dưới thiết bị và nhận lại kết quả quá 
trình tạo khóa dưới thiết bị. Hoạt động cụ thể của 
module tạo khóa trong phần mềm quản trị PKI 
Token hoạt động như sau. Đầu tiên, module sẽ 
kiểm tra xem có thiết bị kết nối hay chưa, nếu 
chưa có thiết bị kết nối với máy tính, module sẽ 
hiển thị thông báo ra màn hình. Nếu có thiết bị kết 
nối, module sẽ yêu cầu người quản trị nhập vào 
mã PIN của Admin. Mã PIN của Admin nhập vào 
sẽ được kiểm tra thông qua các hàm kiểm tra mã 
PIN. Nếu mã PIN Admin nhập vào không đúng, 
module sẽ cho phép người quản trị nhập lại mã 
PIN Admin cho đến khi hết số lần nhập sai được 
phép. Nếu mã PIN Admin nhập vào hợp lệ, 
module sẽ yêu cầu người quản trị nhập vào vị trí 
khóa cần tạo. Tiếp đó, module sẽ kiểm tra vị trí 
khóa cần tạo đã có khóa chưa. Nếu chưa có khóa 
thì module sẽ gửi lệnh sinh khóa xuống thiết bị, 
ngược lại sẽ đưa ra thông báo. Quá trình sinh khóa 
trên thiết bị kết thúc, module nhận được thông báo 
về kết quả sinh khóa dưới thiết bị và đưa kết quả 
này ra thông báo. 
Bắt đầu
Kiểm tra thiết bị kết nối
Có kết nối
Đúng
Kết thúc
Chưa kết nối
Sai
Chọn vị trí 
tạo khóa
Kiểm tra mã PIN
Nhập mã 
PIN Admin
Solannhapsai++
Kiểm tra
Solannhapsai
Đúng
Sai
Kiểm tra khóa trong thiết bị
Không có
Tạo khóa
Có khóa
In thông báo
Hình 6. Lưu đồ hoạt động module tạo khóa 
B. Nghiên cứu xây dựng và tích hợp module xuất 
khóa công khai cho phần mềm quản trị TokenAdmin 
Chức năng xuất khóa công khai giúp phần 
mềm gửi lệnh xuất khóa xuống thiết bị để lấy lên 
khóa công khai, lưu khóa công khai vào file phục 
vụ các mục đích cần thiết. Hoạt động cụ thể của 
module tạo khóa trong phần mềm quản trị PKI 
Token hoạt động như sau. Đầu tiên, module sẽ 
kiểm tra xem có thiết bị kết nối hay chưa, nếu 
chưa có thiết bị kết nối với máy tính, module sẽ 
hiển thị thông báo ra màn hình. Nếu có thiết bị kết 
nối, module sẽ yêu cầu người quản trị nhập vào 
mã PIN của User. Mã PIN của User nhập vào sẽ 
được kiểm tra thông qua các hàm kiểm tra mã 
PIN. Nếu mã PIN User nhập vào không đúng, 
module sẽ cho phép người dùng nhập lại mã PIN 
User cho đến khi hết số lần nhập sai được phép. 
Nếu mã PIN User nhập vào hợp lệ, module sẽ 
kiểm tra vị trí khóa cần xuất ra có khóa chưa. Nếu 
có khóa thì module sẽ gửi lệnh xuất khóa xuống 
thiết bị, ngược lại sẽ đưa ra thông báo. Thiết bị sẽ 
gửi khóa công khai lên máy tính, module sẽ yêu 
cầu người dùng nhập tên để lưu khóa công khai 
được xuất. Cuối cùng, module sẽ đưa ra thông báo 
về kết quả quá trình xuất khóa công khai. 
Bắt đầu
Kiểm tra thiết bị kết nối
Có kết nối
Đúng
Kết thúc
Chưa kết nối
Sai Kiểm tra mã PIN
Nhập mã 
PIN User
Solannhapsai++
Kiểm tra
Solannhapsai
Đúng
Sai
Kiểm tra khóa trong thiết bị
Có khóa
Xuất khóa
Không có
In thông báo
Lấy ID khóa
Hình 7. Lưu đồ hoạt động module xuất khóa công khai 
Khoa học và Công nghệ trong lĩnh vực An toàn thông tin 
Số 1.CS (11) 2020 59 
Sau khi xây dựng, tích hợp module tạo tham số 
RSA trên thiết bị PKI Token và bổ sung chức 
năng tạo khóa và xuất khóa công khai cho phần 
mềm quản trị PKI Token trên máy tính Windows, 
nhóm tác giả tiến hành kiểm thử hoạt động của 
module tạo tham số RSA trên thiết bị PKI Token. 
Nhóm tác giả đã thực hiện thử nghiệm hoạt 
động của module tạo tham số RSA 2048 bit trên 
thiết bị PKI Token, so sánh tốc độ sinh tham số 
RSA 2048 bit trên thiết bị PKI Token giữa module 
sử dụng hàm sinh số nguyên tố của thư viện 
polarSSL và module sử dụng hàm sinh số nguyên 
tố do nhóm tác giả cải tiến. Các thử nghiệm được 
thực hiện trên máy tính HP PAVILION 7000 
SERIES 7000 SERIES sử dụng chip Intel® 
Core™ i3-2100 CPU tốc độ 3.10GHz, RAM 
5.00GB. Kết quả thử nghiệm được thể hiện trong 
Bảng 3. 
BẢNG 3. KẾT QUẢ SO SÁNH TỐC ĐỘ GIỮA 
MODULE SỬ DỤNG HÀM SINH SỐ NGUYÊN TỐ 
TRONG BỘ THƯ VIỆN POLARSSL VÀ MODULE SỬ 
DỤNG HÀM SINH SỐ NGUYÊN TỐ CẢI TIẾN 
Lần 
thử 
Module sử dụng 
hàm sinh số nguyên 
tố trong bộ thư viện 
polarSSL 
Module sử dụng 
hàm sinh số nguyên 
tố do nhóm tác giả 
cải tiến 
1 11 phút 45 giây 4 phút 45 giây 
2 21 phút 30 giây 8 phút 6 giây 
3 3 phút 44 giây 9 phút 27 giây 
4 14 phút 6 giây 7 phút 24 giây 
5 4 phút 11 giây 5 phút 32 giây 
6 9 phút 10 giây 3 phút 33 giây 
7 7 phút 30 giây 2 phút 24 giây 
8 10 phút 5 giây 7 phút 51 giây 
9 4 phút 46 giây 1 phút 7 giây 
10 6 phút 38 giây 3 phút 37 giây 
Trung 
bình 
9 phút 20 giây 5 phút 22 giây 
Như vậy, thời gian trung bình cần sinh tham số 
RSA 2048 bit trên thiết bị PKI Token sử dụng 
hàm sinh số nguyên tố trong thư viện polarSSL 
khoảng 9 phút 20 giây, còn khi sử dụng hàm sinh 
số nguyên tố do nhóm tác giả cải tiến khoảng 5 
phút 22 giây. Do đó, sau khi cải tiến thuật toán, 
tốc độ sinh tham số RSA trên thiết bị PKI Token 
tăng tốc đáng kể. 
Ngoài ra, nhóm tác giả cũng tiến hành thử 
nghiệm ký và kiểm tra chữ ký; mã hóa và giải mã 
sử dụng khóa sinh ra trong thiết bị. Kết quả thử 
nghiệm được thể hiện trong Hình 8 và Hình 9. 
Hình 8. Kết quả thử nghiệm ký và kiểm tra chữ ký 
sử dụng khóa sinh ra trong thiết bị 
Hình 9. Kết quả thử nghiệm mã hóa và giải mã 
sử dụng khóa sinh ra trong thiết bị 
V. KẾT LUẬN 
Bài báo đã trình bày việc nghiên cứu xây dựng 
và tích hợp module sinh tham số RSA an toàn lên 
thiết bị PKI Token. Trong quá trình xây dựng 
module sinh tham số RSA, nhóm tác giả đã tiến 
hành cải tiến hàm sinh số nguyên tố trong bộ thư 
viện polarSSL với mục đích tăng tốc độ sinh tham 
số RSA trên thiết bị PKI Token. 
Các kết quả thử nghiệm cho thấy, module sinh 
tham số RSA trên thiết bị PKI Token hoạt động 
ổn định, đáp ứng các yêu cầu đặt ra. Ngoài ra, việc 
nghiên cứu và cải tiến hàm sinh số nguyên tố đã 
giúp tăng tốc đáng kể tốc độ sinh tham số RSA 
2048 bit trên thiết bị PKI Token. Kết quả này là 
cơ sở để nhóm tác giả tiếp tục hoàn thiện module 
sinh tham số RSA trên thiết bị PKI Token. 
Journal of Science and Technology on Information security 
60 No 1.CS (11) 2020 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] SafeNet eToken 5110. [02-04-2020]. url: 
https://www.digisign.ro/uploads/SafeNet-
eToken-5110.pdf 
[2] Cryptomate64. [02-04-2020]. url: 
[3] RuToken. [02-04-2020]. url: 
https://www.rutoken.ru/products/all/rutoken-ecp-
pki/#spec 
[4] National Institute of Standards and Technology. 
Digital Signature Standard (DSS). [02-04-2020]. 
url: https://nvlpubs.nist.gov/nistpubs/fips/ 
nist.fips.186-4.pdf. 
[5] PolarSSL 1.2.10 released. [02-04-2020]. url: 
https://tls.mbed.org/tech-
updates/releases/polarssl-1.2.10-released. 
[6] Alfred J. Menezes, Paul C. van Oorschot and 
Scott A. Vanstone, “Handbook of Applied 
Crytography”, CRC Press, 1996. 
[7] Matúš Nemec, “The properties of RSA key 
generation process in software libraries”, 
Brno, 2016. 
[8] Hoàng Văn Thức, Luận án Tiến sĩ “Hệ tiêu 
chuẩn tham số an toàn cho hệ mật RSA và ứng 
dụng”, 2011. 
[9] Christophe Clavier, Benoit Feix, Loïc Thierry and 
Pascal Paillier, “Generating Provable Primes 
Efficiently on Embedded Devices”, PKC 2012, 
LNCS 7293, pp. 372-389, 2012. 
[10] Trần Duy Lai, Hoàng Văn Thức, Trần Sỹ Nam, 
“Thuật toán sinh số nguyên tố tất định hiệu quả 
trên thiết bị nhúng”, Nghiên cứu Khoa học và 
Công nghệ trong lĩnh vực An toàn thông tin, ISSN 
2615-9570, No 01. Vol 01. 2015. 
[11] Jørgen Brandt, Ivan Damgård and Peter 
Landrock, “Speeding up Prime Number 
Generation”, Advances in Cryptology – 
ASIACRYPT '91, pp. 440-449. 
[12] Jørgen Brandt, Ivan Damgärd, “On generation of 
Probable primes by incremental search”, 
Crypto’92, pp. 358-371. 
SƠ LƯỢC VỀ TÁC GIẢ 
TS. Vũ Tá Cường 
Đơn vị công tác: Viện KH-CN mật 
mã, Ban Cơ yếu Chính phủ, Hà Nội 
Email: vutacuong109@gmail.com 
Quá trình đào tạo: Tốt nghiệp cử nhân 
năm 2011, thạc sĩ năm 2013 và tiến sĩ 
năm 2016 chuyên ngành “Vô tuyến 
điện tử”, Đại học Hàng không vũ trụ Kharkov, Ucraina. 
Hướng nghiên cứu hiện nay: PKI Token, kỹ thuật mật mã. 
ThS. Nguyễn Thành Trung 
Đơn vị công tác: Viện KH-CN mật 
mã, Ban Cơ yếu Chính phủ, Hà Nội 
Email: trungbcy@gmail.com 
Quá trình đào tạo: Tốt nghiệp cử nhân 
năm 1995, thạc sĩ năm 2005 chuyên 
ngành “Kỹ Thuật mật mã”, Học viện 
Kỹ thuật Mật mã. 
Hướng nghiên cứu hiện nay: PKI Token, kỹ thuật mật mã. 
ThS. Lê Đình Hùng 
Đơn vị công tác: Viện KH-CN mật 
mã, Ban Cơ yếu Chính phủ, Hà Nội 
Email: ldhung85@gmail.com 
Quá trình đào tạo: Tốt nghiệp cử nhân 
năm 2008 chuyên ngành “Điện tử 
viễn thông”, Học viện Kỹ thuật quân 
sự, thạc sĩ năm 2017 chuyên ngành “Kỹ Thuật điện tử”, 
Đại học Cộng nghệ - ĐHQG HN. 
Hướng nghiên cứu hiện nay: PKI Token, kỹ thuật mật mã.