Bài kiểm tra môn Toán Lớp 10 nâng cao

TOÁN 10 
TOÁN 10 | TGT – HMU 113 
BÀI KIỂM TRA TOÁN 
Thời gian làm bài 45 phút 
Bài 1: 
Cho biểu thức: 𝑃 =
𝑎2+𝑏√𝑎𝑏
𝑎+√𝑎𝑏
+
𝑎√𝑎−3𝑎√𝑏+2𝑏√𝑎
√𝑎−√𝑏
, với 𝑎 > 𝑏 > 0 
Chứng minh 𝑃 > 0 
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau 
a) {
𝑥 − 𝑦 − 7 = 0
𝑥2 − 𝑦2 + 2𝑥 + 2𝑦 + 4 = 0
 b) {
1
|𝑥−1|
+ 2𝑦 − 𝑥 = 3
4𝑦 − 2𝑥 +
3
|𝑥−1|
= 7
Bài 3: 
Tìm tất cả các giá trị của tham số 𝑚 sao cho phương trình: 𝑥2 − 2𝑚𝑥 +𝑚2 − 1 =
0 (1) có hai nghiệm 𝑥1, 𝑥2 thỏa mãn: 𝑥1 < 1 < 𝑥2. 
Bài 4: 
Cho hình thang cân ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau tại O và AD = 3 
BC. Gọi H là trực tâm tam giác ABD. Chứng minh O là trung điểm của CH. 
Bài 5: 
Cho ba số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 thỏa mãn: 𝑎 + 4𝑏 + 9𝑐 = 6. Chứng minh rằng: 
𝑎3 + 𝑏3 + 𝑐3 ≥
1
6
*** HẾT *** 
TOÁN 10 
TOÁN 10 | TGT – HMU 113 
Hướng dẫn giải: 
Bài 1: 
ĐKXĐ: 𝑎 > 𝑏 > 0 
Ta có: 𝑃 =
𝑎2+𝑏√𝑎𝑏
𝑎+√𝑎𝑏
+
𝑎√𝑎−3𝑎√𝑏+2𝑏√𝑎
√𝑎−√𝑏
=
√𝑎(√𝑎
3
+√𝑏
3
)
√𝑎(√𝑎+√𝑏)
+
√𝑎(𝑎−3√𝑎𝑏+2𝑏)
√𝑎−√𝑏
=
(√𝑎+√𝑏)(𝑎−√𝑎𝑏+𝑏)
√𝑎+√𝑏
+
√𝑎(√𝑎−2√𝑏)(√𝑎−√𝑏)
√𝑎−√𝑏
= 𝑎 − √𝑎𝑏 + 𝑏 + 𝑎 − 2√𝑎𝑏 = 2𝑎 − 3√𝑎𝑏 +
𝑏 = 2𝑎 − 2√𝑎𝑏 − (√𝑎𝑏 − 𝑏) = 2√𝑎(√𝑎 − √𝑏) − √𝑏(√𝑎 − √𝑏) 
 = (√𝑎 − √𝑏)(2√𝑎 − √𝑏) 
Do 𝑎 > 𝑏 > 0, nên √𝑎 − √𝑏 > 0, 2√𝑎 − √𝑏 > 0 
Vậy 𝑃 > 0 
Bài 2: 
a) Từ 𝑥 = 𝑦 + 7 thay vào phương trình (2) ta được: 
 (𝑦 + 7)2 − 𝑦2 + 2(𝑦 + 7) + 2𝑦 + 4 = 0 
 𝑦2 + 14𝑦 + 49 − 𝑦2 + 2𝑦 + 14 + 2𝑦 + 4 = 0 
 18𝑦 + 67 = 0 
 𝑦 = −
67
18
 => 𝑥 =
59
18
KL: Vậy  
b) ĐKXĐ: 𝑥 ≠ 1, 𝑦 ∈ 𝑅 
Đặt {
1
|𝑥−1|
= 𝑎 (𝑎 > 0)
2𝑦 − 𝑥 = 𝑏 (𝑏 ∈ 𝑅)
, khi đó hệ trở thành: {
𝑎 + 𝑏 = 3
3𝑎 + 2𝑏 = 7
  {
2𝑎 + 2𝑏 = 6
3𝑎 + 2𝑏 = 7
  
𝑎 = 1 (𝑡𝑚) → 𝑏 = 2(𝑡𝑚) 
Hay {
|𝑥 − 1| = 1
2𝑦 − 𝑥 = 2
 {
[
𝑥 − 1 = 1
𝑥 − 1 = −1
𝑦 =
𝑥+2
2
  [
{
𝑥 = 2
𝑦 = 2
 (𝑡𝑚)
{
𝑥 = 0
𝑦 = 1
(𝑡𝑚)
KL: Vậy  
Bài 3: 
Ta có: 𝑥2 − 2𝑚𝑥 + (𝑚 − 1)(𝑚 + 1) = 0 
 𝑥2 − (𝑚 − 1)𝑥 − [(𝑚 + 1)𝑥 − (𝑚 − 1)(𝑚 + 1)] = 0 
 𝑥(𝑥 − 𝑚 + 1) − (𝑚 + 1)(𝑥 − 𝑚 + 1) = 0 
TOÁN 10 
TOÁN 10 | TGT – HMU 113 
 (𝑥 − 𝑚 + 1)(𝑥 − 𝑚 − 1) = 0 
 [
𝑥 = 𝑚 − 1
𝑥 = 𝑚 + 1
Với mọi 𝑚 ta có: 𝑚 − 1 < 𝑚 + 1 
Nên 𝑥1 < 1 < 𝑥2  𝑚 − 1 < 1 < 𝑚 + 1  0 < 𝑚 < 2 
Vậy  
Chú ý: Có thể làm 1 trong các cách sau đều được 
C1: Tính ∆′> 0, thấy ∆′ chính phương => tính nghiệm => làm tương tự 
C2: Áp dụng viet, bài toán  (𝑥1 − 1)(𝑥2 − 1) < 0 
Bài 4: 
Do ABCD là hình thang cân nên IB = IC 
Nên ∆𝐼𝐵𝐶 cân tại I 
Lại có BI vuông với IC => 𝐵𝐶𝐼̂ = 45° 
Lại có BH vuông AD 
Mà BC // AD => BH vuông BC 
Vậy ∆BHC vuông cân tại B có BI là đường cao 
=> BI là trung tuyến => I là trung điểm HC 
Bài 5: 
Ta có: 𝑎3 + 2𝑥3 = 𝑎3 + 𝑥3 + 𝑥3 ≥ 3√𝑎3𝑥3𝑥3
3
= 3𝑎𝑥2 
Tương tự: 𝑏3 + 2𝑦3 ≥ 3𝑏𝑦2, 𝑐3 + 2𝑧3 ≥ 3𝑐𝑧2 
Dấu “=” xảy ra  𝑎 = 𝑥, 𝑏 = 𝑦, 𝑐 = 𝑧 
Vậy 𝑎3 + 𝑏3 + 𝑐3 ≥ 3𝑎𝑥2 + 3𝑏𝑦2 + 3𝑐𝑧2 − (2𝑥3 + 2𝑦3 + 2𝑧3) 
Chọn {
𝑥 + 4𝑦 + 9𝑧 = 𝑎 + 4𝑏 + 9𝑐 = 6
𝑥2
1
=
𝑦2
4
=
𝑧2
9
= 𝑡2
  
{
 𝑥 =
1
6
𝑦 =
1
3
𝑧 =
1
2
Do đó: 𝑎3 + 𝑏3 + 𝑐3 ≥ 3𝑡2(𝑎 + 4𝑏 + 9𝑐) − 2(𝑥3 + 𝑦3 + 𝑧30 =
1
6