Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 2: Biến ngẫu nhiên - Phan Trung Hiếu

9/30/2019
1
LOG
O
Chương 2:
BIẾN NGẪU NHIÊN
Giảng viên: Phan Trung Hiếu
2
Biến ngẫu nhiên là một đại lượng thay đổi với
xác suất lấy các giá trị thay đổi tùy theo kết
quả của phép thử.
I. Định nghĩa:
Ký hiệu:
 X, Y, Z, ...: Biến ngẫu nhiên.
 x, y, z, ...: Giá trị của biến ngẫu nhiên.
Ví dụ 1: Tung một con xúc xắc. Gọi X là số
chấm xuất hiện trên mặt con xúc xắc.
X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
3
II. Biến ngẫu nhiên rời rạc:
Là BNN mà các giá trị có thể nhận được của
nó là hữu hạn hoặc vô hạn đếm được (có thể
liệt kê được các giá trị của nó).
Ví dụ 2:
 Gieo 10 hạt đậu. Gọi X là số hạt nảy mầm
X = 
 Kiểm tra 3 sản phẩm. Gọi X là số phế
phẩm có trong 3 sản phẩm X = 
{0, 1, 2, ..., 10}.
{0, 1, 2, 3}.
4
 Tung 1 đồng xu đến khi xuất hiện mặt sấp thì
ngưng. Gọi X là số lần tung X = 
2.1. Bảng phân phối xác suất:
Ký hiệu: X :ix BNN X nhận giá trị .ix
P(X ) :i ip x Xác suất để X nhận giá trị .ix
Giả sử 1 2 1 2X , ,..., ( ... ).n nx x x x x x 
Bảng phân phối xác suất của X:
{1, 2, 3, 4, ...}
X
P
5
Tính chất:

0 1, 1,2,..., .ip i n 
1 2 ... 1.np p p 
  1 2
1 2
P(X ) P (X ) (X ) ... (X )
P(X ) P(X ) ... P(X ).
i i
i
x x x x
x x x
 P( ) P( ).
i
i
a x b
a X b X x
 
P( ) P( ).
i
i
a x b
a X b X x
 
P( ) P( ).
i
i
a x b
a X b X x
 
P( ) P( ).
i
i
a x b
a X b X x 
6
Ví dụ 3: Số lượng ôtô nhãn hiệu A được bán ra 
trong một ngày có bảng phân phối xác suất
Số lượng 
(chiếc)
1 2 3 4 5 6
P 0,18 0,39 0,24 0,14 0,04 0,01
Tính xác suất:
a) Bán được 2 chiếc. 
b) Xe bán được không quá 4 chiếc. 
c) Xe bán được nhiều hơn 4 chiếc. 
9/30/2019
2
7
Ví dụ 4: Một hộp có 6 bi xanh và 4 bi đỏ. Lấy
ngẫu nhiên ra 2 bi. Gọi X là số bi xanh trong 2
bi lấy ra.
a) Lập bảng phân phối xác suất của X.
b) Tính
c) Tính
Giải
X: số bi xanh trong 2 bi lấy ra
X =
P(0 X 2), P(0 X 2), P(0 X 2). 
P(X 1), P(X 1). 
a)
{0, 1, 2}. 
8
P(X 0) 
Bảng phân phối xác suất của X:
X 0 1 2
P 2/15 8/15 1/3
2
0
2
4
1
2 .
15
C
C
2
10
1
6
1
4 8 .
15
C C
C
2
10
2
6 1 .
3
C
C
P(X 1) 
P(X 2) 
9
Ví dụ 5: Trong ngày hội thi, mỗi công nhân dự
thi sẽ sản xuất lần lượt 2 sản phẩm. Mỗi sản
phẩm loại A sẽ được thưởng 10 ngàn đồng, mỗi
sản phẩm không là loại A sẽ bị phạt 2 ngàn
đồng. Giả sử một công nhân tham gia dự thi có
khả năng sản xuất được sản phẩm loại A mỗi
lần là 30%. Lập bảng phân phối xác suất số tiền
mà công nhân này thu được.
10
2.2. Hàm mật độ (xác suất):
Cho bảng phân phối xác suất của X:
Khi đó, hàm mật độ của X:
khi
( )
0 khi ,
i i
i
p x x
f x
x x i
  
X
P
11
Tính chất:

( ) 0, .f x x  
1 2( ) ( ) ... ( ) 1.nf x f x f x 
 P(X ) ( ).i ix f x 
Ví dụ 6: Cho bảng phân phối xác suất
X 0 1 2
P 2/15 8/15 1/3
Tìm hàm mật độ của X. 
12
Giải
( )f x 
X 0 1 2
P 2/15 8/15 1/3
2 khi 0
15
8 khi 1
15
1 khi 2
3
0 khi 0,1,2.
x
x
x
x
2 khi 0
15
x 
8 i
15
x
1 khi 2
3
x 
 0 khi 0,1,2 .x 
9/30/2019
3
13
III. Biến ngẫu nhiên liên tục:
Là BNN mà các giá trị có thể nhận được của nó
có thể lấp kín cả một khoảng trên trục số
(không thể liệt kê các giá trị của nó).
Ví dụ 7:
 Nhiệt độ trong ngày ở TP.HCM.
 Thời gian chờ xe buýt tại trạm.
 Lượng mưa trong 1 năm ở TP.HCM.
14
Nhận xét:
 Khi X là BNN liên tục thì X có thể lấy vô số
giá trị nên ta không thể lập bảng phân phối xác
suất cho nó.
 Thay cho việc liệt kê các giá trị của X, ta chỉ
ra đoạn [a;b] mà X nhận giá trị ở đoạn đó.
 Thay cho các xác suất, ta đưa ra khái niệm
sau:
15
Hàm mật độ (xác suất):
f(x) là hàm mật độ của BNN liên tục X nếu nó
thỏa 2 điều kiện sau:
( ) 0,
( ) 1
f x x
f x dx
  
16
Định lý:
P( X ) ( )
b
a
a b f x dx 
Hệ quả: Nếu X là BNN liên tục thì ta có
P(X ) P( X ) ( ) 0.
a
a
a a a f x dx 
P( X ) P( X )a b a b 
P( X )a b 
P( X ).a b 
17
Ví dụ 8: Cho X là BNN có hàm mật độ là
2 , [1,2]( )
0, [1, 2]
k x
f x x
x
 a) Tìm k.
b) Tính 
c) Tính 
3P 0 X .
2
3P X .
2
d) Tính 3P X .
2
18
Giải
a) Ta có:
( )f x dx
1
( )f x dx
2
1
( )f x dx 
2
( )f x dx
1 
2
k
x
2
0 0
2
2
1
0 0k dx
x
2
1
1k
x
1 1 .
2 2
kk
9/30/2019
4
19
Vì f(x) là hàm mật độ nên
( ) 0,
( ) 1
f x x
f x dx
  
 2 0, 1,2
1
2
k x
x
k
  
0
2
k
k
2.k 
20
IV. Hàm phân phối (tích lũy):
4.1. Định nghĩa:
Hàm phân phối của BNN X, ký hiệu là F(x), 
là hàm được xác định như sau
( ) P(X ) .F x x x  
21
X rời rạc X liên tục
1
1 1 2
1 2 2 3
1 2 1
0 ,
,
,
( ) ....
... ,
....
1 ,
k k k
n
x x
p x x x
p p x x x
F x
p p p x x x
x x
có hàm mật độ
f(x) thì
( ) ( )
x
F x f t dt
22
4.2. Tính chất:
 0 ( ) 1, .F x x  
 lim ( ) 0; lim ( ) 1.
x x
F x F x
 F là hàm tăng, tức là 1 2 1 2( ) ( ).x x F x F x 
4.3. Ứng dụng của hàm phân phối:
 Dùng để tính:
 P X
P( X )
b
a b
( )
( ) - ( )
F b
F b F a
F(x) liên tục bên trái, nghĩa là
lim ( ) ( ).
o
o
x x
F x F x
23
 Dùng để tìm hàm mật độ f(x) khi X liên tục:
( )f x ( ) F x
Ví dụ 9: Cho X là BNN có bảng PPXS sau
X 0 1 2
P 2/15 8/15 1/3
Tìm hàm phân phối.
24
Giải
0 khi 0
2 khi 0 1
15
2 8 10 khi 1 2
15 15 15
1 khi 
( )
 2.
F
x
x
x
x
x
X 0 1 2
P 2/15 8/15 1/3
x
0 khi 0x 
2
15
khi 0 1x 
2 8 10
15 15 15
 khi 1 2x 
i . 
x x x
9/30/2019
5
25
Ví dụ 10: Tuổi thọ X (giờ) của một thiết bị có hàm
mật độ xác suất
a) Tìm hàm phân phối.
b) Thiết bị được gọi là loại A nếu tuổi thọ của
nó kéo dài ít nhất 400 giờ. Tính tỉ lệ thiết bị
loại A.
c) Tính tỉ lệ thiết bị có tuổi thọ từ 90 giờ đến
200 giờ. 
2
0 khi 100
( ) 100 khi 100
x
f x
x
x
26
Giải
a) Ta có 
( ) ( )
x
F x f t dt
Khi 100 : x ( )F x 
Khi 100 : x
( )F x 
100 
0
x x
0 0.
x
dt
100
0dt
 2
100
100x dt
t
2
100
t
100
100 100 1001 1 .
t x
tt x x
Vậy
0 khi 100
( ) 1001 khi 100
x
F x
x
x
27
b)
P(X 400) 1 P(X 400) 
1 (400)F 
1001 1 0, 25 25%.
400
c)
P(90 X 200) (200) (90)F F 
1001 0 0,5 50%.
200
V. Các tham số đặc trưng:
28
5.1. Mode