Bài giảng Toán cao cấp cho các nhà kinh tế 2 - Bài 7: Tích phân xác định

MỤC TIÊU

• Nắm được định nghĩa tích phân xác định qua công thức Newton – Leibnitz;

• Nắm được ý nghĩa hình học của tích phân xác định;

• Đổi biến thành thạo các dạng tích phân cơ bản, đặc biệt là tích phân các

hàm chứa căn;

• Sử dụng tốt phương pháp tích phân từng phần.

Bài giảng Toán cao cấp cho các nhà kinh tế 2 - Bài 7: Tích phân xác định trang 1

Trang 1

Bài giảng Toán cao cấp cho các nhà kinh tế 2 - Bài 7: Tích phân xác định trang 2

Trang 2

Bài giảng Toán cao cấp cho các nhà kinh tế 2 - Bài 7: Tích phân xác định trang 3

Trang 3

Bài giảng Toán cao cấp cho các nhà kinh tế 2 - Bài 7: Tích phân xác định trang 4

Trang 4

Bài giảng Toán cao cấp cho các nhà kinh tế 2 - Bài 7: Tích phân xác định trang 5

Trang 5

Bài giảng Toán cao cấp cho các nhà kinh tế 2 - Bài 7: Tích phân xác định trang 6

Trang 6

Bài giảng Toán cao cấp cho các nhà kinh tế 2 - Bài 7: Tích phân xác định trang 7

Trang 7

Bài giảng Toán cao cấp cho các nhà kinh tế 2 - Bài 7: Tích phân xác định trang 8

Trang 8

Bài giảng Toán cao cấp cho các nhà kinh tế 2 - Bài 7: Tích phân xác định trang 9

Trang 9

Bài giảng Toán cao cấp cho các nhà kinh tế 2 - Bài 7: Tích phân xác định trang 10

Trang 10

Tải về để xem bản đầy đủ

pdf 21 trang viethung 9440
Bạn đang xem 10 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Toán cao cấp cho các nhà kinh tế 2 - Bài 7: Tích phân xác định", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên

Tóm tắt nội dung tài liệu: Bài giảng Toán cao cấp cho các nhà kinh tế 2 - Bài 7: Tích phân xác định

Bài giảng Toán cao cấp cho các nhà kinh tế 2 - Bài 7: Tích phân xác định
v1.0014105206 1
BÀI 7
TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
ThS. Đoàn Trọng Tuyến
Trường Đại học Kinh tế Quốc dân
v1.0014105206 2
TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG
• Giả sử một cái hồ nước có hình dạng một tam giác cong như sau:
• Trong đó điểm B có hoành độ x = 20 (m), cạnh cong OA có phương trình y = x2.
Hãy tính diện tích của cái hồ hình tam giác cong này.
y
x0
A
B
y 
=
 x
2
4
v1.0014105206 3
MỤC TIÊU
• Nắm được định nghĩa tích phân xác định qua công thức Newton – Leibnitz;
• Nắm được ý nghĩa hình học của tích phân xác định;
• Đổi biến thành thạo các dạng tích phân cơ bản, đặc biệt là tích phân các
hàm chứa căn;
• Sử dụng tốt phương pháp tích phân từng phần.
v1.0014105206 4
NỘI DUNG
Khái niệm tích phân xác định và ý nghĩa hình học
Các tính chất cơ bản của tích phân xác định
Phương pháp đổi biến số
Phương pháp tích phân từng phần
v1.0014105206 5
1.2. Ý nghĩa hình học của tích phân xác định
1. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH VÀ Ý NGHĨA HÌNH HỌC
1.1. Tích phân xác định của hàm số liên tục
v1.0014105206 6
1.1. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ LIÊN TỤC
• Định nghĩa: Cho f(x) là hàm số xác định và liên tục trên một khoảng X, a, b là hai số
thực bất kỳ thuộc khoảng X. Tích phân xác định từ a đến b của hàm số f(x) là hiệu số:
F(b) – F(a)
với F(x) là một nguyên hàm bất kỳ của f(x).
• Ký hiệu:
• Công thức trên được gọi là công thức Newton – Leibnitz.
b b
a
a
f(x).dx F(b) F(a) F(x) 
Chú ý: Định nghĩa nêu trên chỉ áp dụng cho hàm liên tục
v1.0014105206 7
1.1. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ LIÊN TỤC
Ví dụ:
222
1
1 1
66
2
0 0
2
2
3
1 1
x 3I x.dx
2 2
cos2x 1I sin2x.dx
2 4
dx 1 ln3I .ln 2x 1
2x 1 2 2
v1.0014105206 8
1.2. Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 
• Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục và không âm trên [a, b].
• Khi đó tích phân xác định của f(x) trên [a, b] là diện tích của hình thang cong AabB
giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b.
y =
 f(x
)
a b x
A
B
y
 b
a
S f(x).dx
v1.0014105206 9
2. CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Với giả thiết các tích phân tồn tại, ta có:
6) Nếu f(x) liên tục trên [a;b] thì tồn tại ít nhất một điểm  (a; b) sao cho:
c b b
a c a
2) f(x)dx f(x)dx f(x)dx 
b b b
a a a
3) f(x) g(x) dx f(x)dx g(x)dx 
b b
a a
4) k.f(x)dx k. f(x)dx, k  
b b
a a
5) f(x) g(x), x [a;b] f(x)dx g(x)dx  
b
a
f(x)dx f( ).(b a)  
a a b
a b a
1) f(x)dx 0; f(x)dx f(x)dx 
v1.0014105206 10
3. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
Xét tích phân:
Đặt x = (t) với t [ ; ] thỏa mãn các điều kiện:
 (t) xác định, liên tục và có các đạo hàm liên tục trên [ ; ]
 ( ) = a; () = b.
Khi đó:
 b
a
I f(x)dx f (t) . '(t)dt f(t)dt
 
b
a
I f(x)dx 
v1.0014105206 11
VÍ DỤ 1
Tính tích phân
• Đặt
• Ta có
• Đổi cận theo t: x = 1 ↔ t = 2; x = 2 ↔ t = 3
• Theo công thức đổi biến ta có:
2
1
1
dx
I
1 5x 1
 t 5x 1
2t 1 2t
x , dx dt
5 5
 3 3 31
2 2 2
3
2
2t.dt 2 t.dt 2 1
I 1 .dt
5 1 t 5 1 t 5 1 t
2 2 4
t ln 1 t 1 ln
5 5 3
v1.0014105206 12
VÍ DỤ 2
Tính tích phân
• Đặt: x = sin t
• Ta có: dx = cos t. dt
• Đổi cận theo t:
• Theo công thức đổi biến ta có:
1
2
2
2
0
I 1 x .dx 
1x 0 t 0; x t
42
4 4 4
2 2
2
0 0 0
44
0
0
I 1 sin t.cos t.dt cos t.cos t.dt cos t.dt
1 1 sin2t 11 cos2t .dt t
2 2 2 8
v1.0014105206 13
4. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Công thức tích phân từng phần trong tích phân xác định có dạng
trong đó u = u(x) và v = v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên [a;b].
b bb
a
a a
udv uv vdu 
v1.0014105206 14
VÍ DỤ 1
Tính tích phân
Ta đặt:
Theo phương pháp tích phân từng phần ta có:
1
3x
1
0
I x.e .dx 
3x
3x 3x
du dxu x
edv e .dx v e .dx
3
1 1 13x 3x 3x 31
3x
1
00 0 0
e 1 e e 1 2eI x. e .dx x.
3 3 3 9 9
v1.0014105206 15
VÍ DỤ 2
Tính tích phân
Ta đặt:
Theo phương pháp tích phân từng phần ta có:
2
0
xI x.sin .dx
3
u x du dx
x x xdv sin .dx v sin .dx 3cos
3 3 3
2
00 0 0
x x x xI 3xcos 3 cos .dx 3xcos 9sin
3 3 3 3
9 3 3
2
v1.0014105206 16
GIẢI QUYẾT TÌNH HUỐNG
Theo ý nghĩa hình học của tích phân xác định, diện tích của tam giác cong OAB là
20320
2
0 0
x 8000S x .dx 2666,67
3 3
 (m2)
v1.0014105206 17
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 1
Giá trị của là:
A. 9/2
B. 4/3
C. 3/2
D. 5/2
Trả lời:
• Đáp án đúng là: A. 9/2
• Vì: Sử dụng công thức Newton – Leibnitz ta có:
→ Chọn đáp án A
8
3
1
dx
x
8 8
1 28 8
233 3
3
1 1 1 1
dx 3 3 3 9x dx x x (4 1)
2 2 2 2x
v1.0014105206 18
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 2
Giá trị của tích phân là:
Trả lời:
Đáp án đúng là: D.
1
x 2
0
(x 3e ) dx 
2
2
2 2
2
7 9 12A.
6 2e e
7 5 1B.
9 3e e
5 4 3C.
e 3e 4
7 9 12D.
6 2e e
2
7 9 12
6 2e e
v1.0014105206 19
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 2
Vì:
• Khai triển tích phân
• Lại có:
• (Sử dụng tích phân từng phần)
• Tích phân có giá trị là:
1 1
x 2 2 x 2x
0 0
(x 3e ) dx (x 6xe 9e )dx 
131
2
0 0
1 12x 2x 2 2
0
0
x 1x dx
3 3
9 9 99e dx e (e 1) (1 e )
2 2 2
2
7 9 12
6 2e e
1
x 1
0
6xe dx 6[1 2e ] 
v1.0014105206 20
CÂU HỎI TỰ LUẬN
Tính tích phân xác định:
Giải:
Đặt
2
3
1
x 3I dx
1 x 1
3 23
3 5 21 1
2
0 0
1 1
4 3 2
0 0
15 4 3 2
1
0
0
t x 1 x t 1 dx 3t dt
t 4 t 4tI .3t dt 3 dt
1 t t 1
dt3 [t t t 3t 3]dt 9
t 1
t t t 3t3 3t 9ln t 1
5 4 3 2
73 9ln2
20
x 1 2
t 0 1
v1.0014105206 21
TÓM LƯỢC CUỐI BÀI
• Tích phân xác định với F(X) là một nguyên hàm của f(x).
• Các tính chất của tích phân xác định giống như tích phân bất định.
• Khi sử dụng phương pháp đổi biến, đổi biến phải kèm theo đổi cận tính tích phân.
• Công thức tích phân từng phần:
• Các dạng tích được bằng tích phân từng phần:
b b
a
a
f(x)dx F(x) F(b) F(a) 
b bb
a
a a
udv uv vdu 
b b
x
a a
b b
n
a a
P(x)e dx P(x)cosax dx
P(x)sinax dx x ln (kx)dx

File đính kèm:

  • pdfbai_giang_toan_cao_cap_cho_cac_nha_kinh_te_2_bai_7_tich_phan.pdf