Bài giảng Toán cao cấp cho các nhà kinh tế 2 - Bài 7: Tích phân xác định
MỤC TIÊU
• Nắm được định nghĩa tích phân xác định qua công thức Newton – Leibnitz;
• Nắm được ý nghĩa hình học của tích phân xác định;
• Đổi biến thành thạo các dạng tích phân cơ bản, đặc biệt là tích phân các
hàm chứa căn;
• Sử dụng tốt phương pháp tích phân từng phần.
Trang 1
Trang 2
Trang 3
Trang 4
Trang 5
Trang 6
Trang 7
Trang 8
Trang 9
Trang 10
Tải về để xem bản đầy đủ
Bạn đang xem 10 trang mẫu của tài liệu "Bài giảng Toán cao cấp cho các nhà kinh tế 2 - Bài 7: Tích phân xác định", để tải tài liệu gốc về máy hãy click vào nút Download ở trên
Tóm tắt nội dung tài liệu: Bài giảng Toán cao cấp cho các nhà kinh tế 2 - Bài 7: Tích phân xác định
v1.0014105206 1 BÀI 7 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ThS. Đoàn Trọng Tuyến Trường Đại học Kinh tế Quốc dân v1.0014105206 2 TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG • Giả sử một cái hồ nước có hình dạng một tam giác cong như sau: • Trong đó điểm B có hoành độ x = 20 (m), cạnh cong OA có phương trình y = x2. Hãy tính diện tích của cái hồ hình tam giác cong này. y x0 A B y = x 2 4 v1.0014105206 3 MỤC TIÊU • Nắm được định nghĩa tích phân xác định qua công thức Newton – Leibnitz; • Nắm được ý nghĩa hình học của tích phân xác định; • Đổi biến thành thạo các dạng tích phân cơ bản, đặc biệt là tích phân các hàm chứa căn; • Sử dụng tốt phương pháp tích phân từng phần. v1.0014105206 4 NỘI DUNG Khái niệm tích phân xác định và ý nghĩa hình học Các tính chất cơ bản của tích phân xác định Phương pháp đổi biến số Phương pháp tích phân từng phần v1.0014105206 5 1.2. Ý nghĩa hình học của tích phân xác định 1. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH VÀ Ý NGHĨA HÌNH HỌC 1.1. Tích phân xác định của hàm số liên tục v1.0014105206 6 1.1. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ LIÊN TỤC • Định nghĩa: Cho f(x) là hàm số xác định và liên tục trên một khoảng X, a, b là hai số thực bất kỳ thuộc khoảng X. Tích phân xác định từ a đến b của hàm số f(x) là hiệu số: F(b) – F(a) với F(x) là một nguyên hàm bất kỳ của f(x). • Ký hiệu: • Công thức trên được gọi là công thức Newton – Leibnitz. b b a a f(x).dx F(b) F(a) F(x) Chú ý: Định nghĩa nêu trên chỉ áp dụng cho hàm liên tục v1.0014105206 7 1.1. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ LIÊN TỤC Ví dụ: 222 1 1 1 66 2 0 0 2 2 3 1 1 x 3I x.dx 2 2 cos2x 1I sin2x.dx 2 4 dx 1 ln3I .ln 2x 1 2x 1 2 2 v1.0014105206 8 1.2. Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH • Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục và không âm trên [a, b]. • Khi đó tích phân xác định của f(x) trên [a, b] là diện tích của hình thang cong AabB giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b. y = f(x ) a b x A B y b a S f(x).dx v1.0014105206 9 2. CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Với giả thiết các tích phân tồn tại, ta có: 6) Nếu f(x) liên tục trên [a;b] thì tồn tại ít nhất một điểm (a; b) sao cho: c b b a c a 2) f(x)dx f(x)dx f(x)dx b b b a a a 3) f(x) g(x) dx f(x)dx g(x)dx b b a a 4) k.f(x)dx k. f(x)dx, k b b a a 5) f(x) g(x), x [a;b] f(x)dx g(x)dx b a f(x)dx f( ).(b a) a a b a b a 1) f(x)dx 0; f(x)dx f(x)dx v1.0014105206 10 3. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Xét tích phân: Đặt x = (t) với t [ ; ] thỏa mãn các điều kiện: (t) xác định, liên tục và có các đạo hàm liên tục trên [ ; ] ( ) = a; () = b. Khi đó: b a I f(x)dx f (t) . '(t)dt f(t)dt b a I f(x)dx v1.0014105206 11 VÍ DỤ 1 Tính tích phân • Đặt • Ta có • Đổi cận theo t: x = 1 ↔ t = 2; x = 2 ↔ t = 3 • Theo công thức đổi biến ta có: 2 1 1 dx I 1 5x 1 t 5x 1 2t 1 2t x , dx dt 5 5 3 3 31 2 2 2 3 2 2t.dt 2 t.dt 2 1 I 1 .dt 5 1 t 5 1 t 5 1 t 2 2 4 t ln 1 t 1 ln 5 5 3 v1.0014105206 12 VÍ DỤ 2 Tính tích phân • Đặt: x = sin t • Ta có: dx = cos t. dt • Đổi cận theo t: • Theo công thức đổi biến ta có: 1 2 2 2 0 I 1 x .dx 1x 0 t 0; x t 42 4 4 4 2 2 2 0 0 0 44 0 0 I 1 sin t.cos t.dt cos t.cos t.dt cos t.dt 1 1 sin2t 11 cos2t .dt t 2 2 2 8 v1.0014105206 13 4. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Công thức tích phân từng phần trong tích phân xác định có dạng trong đó u = u(x) và v = v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên [a;b]. b bb a a a udv uv vdu v1.0014105206 14 VÍ DỤ 1 Tính tích phân Ta đặt: Theo phương pháp tích phân từng phần ta có: 1 3x 1 0 I x.e .dx 3x 3x 3x du dxu x edv e .dx v e .dx 3 1 1 13x 3x 3x 31 3x 1 00 0 0 e 1 e e 1 2eI x. e .dx x. 3 3 3 9 9 v1.0014105206 15 VÍ DỤ 2 Tính tích phân Ta đặt: Theo phương pháp tích phân từng phần ta có: 2 0 xI x.sin .dx 3 u x du dx x x xdv sin .dx v sin .dx 3cos 3 3 3 2 00 0 0 x x x xI 3xcos 3 cos .dx 3xcos 9sin 3 3 3 3 9 3 3 2 v1.0014105206 16 GIẢI QUYẾT TÌNH HUỐNG Theo ý nghĩa hình học của tích phân xác định, diện tích của tam giác cong OAB là 20320 2 0 0 x 8000S x .dx 2666,67 3 3 (m2) v1.0014105206 17 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 1 Giá trị của là: A. 9/2 B. 4/3 C. 3/2 D. 5/2 Trả lời: • Đáp án đúng là: A. 9/2 • Vì: Sử dụng công thức Newton – Leibnitz ta có: → Chọn đáp án A 8 3 1 dx x 8 8 1 28 8 233 3 3 1 1 1 1 dx 3 3 3 9x dx x x (4 1) 2 2 2 2x v1.0014105206 18 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 2 Giá trị của tích phân là: Trả lời: Đáp án đúng là: D. 1 x 2 0 (x 3e ) dx 2 2 2 2 2 7 9 12A. 6 2e e 7 5 1B. 9 3e e 5 4 3C. e 3e 4 7 9 12D. 6 2e e 2 7 9 12 6 2e e v1.0014105206 19 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 2 Vì: • Khai triển tích phân • Lại có: • (Sử dụng tích phân từng phần) • Tích phân có giá trị là: 1 1 x 2 2 x 2x 0 0 (x 3e ) dx (x 6xe 9e )dx 131 2 0 0 1 12x 2x 2 2 0 0 x 1x dx 3 3 9 9 99e dx e (e 1) (1 e ) 2 2 2 2 7 9 12 6 2e e 1 x 1 0 6xe dx 6[1 2e ] v1.0014105206 20 CÂU HỎI TỰ LUẬN Tính tích phân xác định: Giải: Đặt 2 3 1 x 3I dx 1 x 1 3 23 3 5 21 1 2 0 0 1 1 4 3 2 0 0 15 4 3 2 1 0 0 t x 1 x t 1 dx 3t dt t 4 t 4tI .3t dt 3 dt 1 t t 1 dt3 [t t t 3t 3]dt 9 t 1 t t t 3t3 3t 9ln t 1 5 4 3 2 73 9ln2 20 x 1 2 t 0 1 v1.0014105206 21 TÓM LƯỢC CUỐI BÀI • Tích phân xác định với F(X) là một nguyên hàm của f(x). • Các tính chất của tích phân xác định giống như tích phân bất định. • Khi sử dụng phương pháp đổi biến, đổi biến phải kèm theo đổi cận tính tích phân. • Công thức tích phân từng phần: • Các dạng tích được bằng tích phân từng phần: b b a a f(x)dx F(x) F(b) F(a) b bb a a a udv uv vdu b b x a a b b n a a P(x)e dx P(x)cosax dx P(x)sinax dx x ln (kx)dx
File đính kèm:
- bai_giang_toan_cao_cap_cho_cac_nha_kinh_te_2_bai_7_tich_phan.pdf