Bài giảng Toán cao cấp 2 - Bài 4: Không gian véc tơ - Trường Đại học Ngoại thương

v1.0018112205
BÀI 4
KHÔNG GIAN VÉC TƠ
1
v1.0018112205
TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG
Không gian trạng thái của nền kinh tế quốc dân
Ký hiệu K(t) là vốn, Y(t) là tổng sản phẩm, L(t) là lao động, I(t) là vốn đầu tư thêm, s(t) là tỷ
trọng tích lũy ở năm t đều là các véc tơ có nhiều thành phần. Ta có các hệ thức sau :
Hàm sản xuất Y(t) = F[L(t), K(t)]
K(t + 1) – K(t) = I(t) – μ K(t), μ là hệ số hao mòn vốn 0 < μ < 1
I(t) = s(t) Y(t).
Từ các hệ thức trên suy ra :
K(t + 1) = K(t) + s(t).[L(t), K(t)] – μ K(t)
Coi K(t) là trạng thái, s(t) là biến điều khiển. Phương trình trên gọi là phương trình trạng thái.
Biết K(0) là trạng thái ở thời điểm ban đầu và luật tác động s(t), L(t) ta sẽ suy được K(t) tại mọi
thời điểm, tức là biết quỹ đạo của nền kinh tế trong không gian trạng thái. 
2
v1.0018112205
MỤC TIÊU BÀI HỌC
• Nắm được khái niệm về không gian véc tơ;
• Nắm được khái niệm về không gian con và hệ sinh;
• Nắm được khái niệm về không gian hữu hạn chiều;
• Giải được các bài toán về không gian véc tơ.
3
v1.0018112205
CẤU TRÚC NỘI DUNG
4
4.1 Định nghĩa không gian véc tơ
Không gian con và hệ sinh4.2
4.3 Không gian hữu hạn chiều
v1.0018112205
4.1. ĐỊNH NGHĨA KHÔNG GIAN VÉC TƠ
5
4.1.2 Ví dụ
4.1.1 Định nghĩa và tính chất
v1.0018112205
4.1.1. ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT
Định nghĩa 4.1: Xét tập V khác rỗng, trong đó mỗi phần tử ta quy ước gọi là một véc tơ và trường số thực .
Tập V được gọi là một không gian véc tơ trên trường số thực , nếu tập V được trang bị hai phép toán: Phép
cộng hai véc tơ và phép nhân véc tơ với một số thực sao cho các điều kiện sau đây được thỏa mãn:
1) (V,+) là một nhóm Abel
2) (x + y) = x + y,  , x, y V
3) ( + )x = x + x,  ,  , x V
4) (x) = ( )x,  ,  , x V
5) 1x = x, x V.
6
v1.0018112205
4.1.1. ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT (tiếp theo)
• Phần tử trung hòa của nhóm Abel (A, +) gọi là véc tơ không, ký hiệu là θ. Phần tử đối của phần tử x trong
nhóm Abel (V, +) gọi là véc tơ đối của véc tơ x, ký hiệu là -x. Ta có:
x + θ = x
x + (–x) = θ, x V
• Các tính chất:
1) 0x = θ, x V
2) θ = θ,  
3) x = θ ( = 0)  (x = θ)
4) (–x) = –( x),  , x V
7
v1.0018112205
4.1.2. VÍ DỤ
Xét n là tập mà mỗi phần tử là một bộ n số thực có thứ tự còn gọi là một véc tơ n thành phần.
Xét x = (x1, x2,..., xn) và y = (y1, y2,, yn).
Phép cộng véc tơ và phép nhân với một số thực được định nghĩa như sau:
x + y = (x1 + y1, x2 + y2,, xn + yn) (4.1)
 x = ( x1, x2,, xn) (4.2)
Ngoài ra, x = y xi = yi i.
Dễ dàng kiểm tra được n là một không gian véc tơ.
8
v1.0018112205
4.1.2. VÍ DỤ (tiếp theo)
Chú ý:
• Mỗi cặp số (a1, a2) 2 có hai ý nghĩa hình học: Có thể biểu diễn nó bằng một điểm M trong mặt phẳng tọa
độ, trong đó a1 là hoành độ, còn a2 là tung độ. Mặt khác, cũng có thể biểu diễn nó như là một véc tơ mà a1
là thành phần thứ nhất và a2 là thành phần thứ hai. Ta viết
• Mỗi bộ ba số (a1, a2, a3) 3 có thể biểu diễn bằng một điểm M(a1, a2, a3) với a1 là hoành độ, a2 là tung độ
và a3 là cao độ. Ta cũng có thể biểu diễn như một véc tơ với ba thành phần.
• Mỗi bộ n số (a1, a2,..., an) n có thể xem là điểm M có n tọa độ, hay véc tơ có n thành phần.
( , )1 2a a a
x1
a2
a1
M
Hình 4.1 Hình 4.2
a
x2
0
x2
x1
a2
a1
(a1,a2)
0
a
a
9
v1.0018112205
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Véctơ không của không gian véc tơ ℝ3 thông thường là:
A. (0;0;0)
B. (1;0;0)
C. (0;1;0)
D. (0;0)
• Đáp án đúng là: A. (0;0;0)
• Vì:
và
10
3
1 2 3 1 2 3
x x x x x x {( ; ; ) | , , }
1 2 3 1 2 3 1 2 3
x x x 0 0 0 x 0 x 0 x 0 x x x ( ; ; ) ( ; ; ) ( ; ; ) ( ; ; )
v1.0018112205
4.2. KHÔNG GIAN CON VÀ HỆ SINH
11
4.2.2 Không gian con sinh bởi một họ véc tơ
4.2.3 Họ véc tơ độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
4.2.1 Không gian con
v1.0018112205
4.2.1. KHÔNG GIAN CON
Định nghĩa 4.1: Bộ phận W khác rỗng của không gian véc tơ V gọi là một không gian con của V nếu các điều
kiện sau đây được thỏa mãn:
(a) x, y W x + y W
(b) , x W x W.
Vì W khác rỗng nên tồn tại x W. Theo điều kiện (b) ta có: θ = 0x W, do đó mỗi không gian con đều chứa
véc tơ θ.
Nếu x W thì theo điều kiện (b) ta có: -x = (-1)x W
Vậy mỗi không gian con của không gian véc tơ V cũng là một không gian véc tơ.
12
v1.0018112205
4.2.2. KHÔNG GIAN CON SINH BỞI MỘT HỌ VÉC TƠ
Định lý 4.2: Để bộ phận khác rỗng W của không gian véc tơ V là một không gian con của V thì điều kiện cần và đủ
là điều kiện sau được thỏa mãn:
Với mọi x, y W x + y W, đối với mọi ,  .
Ví dụ: Mỗi phần tử của 2 là một cặp số x = (x1,x2) biểu diễn bằng một điểm trong mặt phẳng tọa độ Ox1x2.
Xét tập W = {(x1, x2) 2 ax1+ bx2 = 0}
W là tập điểm thuộc đường thẳng đi qua gốc tọa độ có phương trình:
ax1+ bx2 =0
a và b không đồng thời bằng 0.
Giả sử x = (x1, x2), y = (y1, y2) W và 
Ta có
nghĩa là x + y W; (ax1) + (bx2) = 0, nghĩa là x W
Do đó, W là không gian con của 2.
1ax
( ) ( )
2
1 1 2 2
1 2
bx 0
a x y b x y 0
ay by 0
13
v1.0018112205
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Cho V1 và V2 là hai không gian con của không gian véctơ V. Khẳng định nào sau đây có thể SAI?
A. V1  V2 là không gian con của V
B. V1  V2 
C. V1  V2 là không gian con của V
D. V1  V2 
• Đáp án đúng là: V1  V2 là không gian con của V
• Vì: Nếu ta đặt
Khi đó x = (0,1); y = (1,0) V1  V2. Nhưng x + y = (1,1) V1  V2. Theo mục 4.2, V1  V2 không phải là
không gian con của V.
14
  1 2 2V 0 V 0 1 2 1 1 2x ,x x , x ,x x
v1.0018112205
4.2.3. HỌ VÉC TƠ ĐỘC LẬP TUYÊN TÍNH VÀ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH
• Định nghĩa 4.4: Cho V là một không gian véc tơ,
• Xét điều kiện
• C1x1 + C2x2 +...+ Cnxn = θ (4.3)
• Trong đó
• Nếu điều kiện (4.3) chỉ xảy ra khi C1= 0, C2 = 0,, Cn = 0 thì ta nói họ S độc lập tuyến tính (không biểu diễn qua
nhau được).
• Nếu tồn tại các số thực C1, C2,, Cn không đồng thời bằng 0 để (4.1) thỏa mãn thì ta nói họ S phụ thuộc tuyến
tính.
• Ví dụ: Xét họ S = {e1, e2}, e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) trong 2.
• Điều kiện (4.3) viết c1(1, 0) + c2 (0, 1) = (0, 0)
• (c1, c2) = (0, 0)
• Vậy điều kiện (4.3) chỉ xảy ra khi c1= 0, c2= 0.