Bài giảng Toán cao cấp 2 - Bài 1: Tập hợp - Ánh xạ - Trường Đại học Ngoại thương

V1.0018112205
BÀI 1
TẬP HỢP – ÁNH XẠ
1
V1.0018112205
TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG
Khi phân tích thị trường hàng hóa, người ta thường sử dụng hàm cung và hàm cầu để biểu diễn sự phụ
thuộc của lượng cung Qs và lượng cầu Qd đối với một loại hàng hóa vào giá của hàng hóa đó.
Hàm cung và hàm cầu có dạng: Qs = S(P), Qd = D(P) (*)
P là giá hàng hóa; 
Qs là lượng cung – lượng hàng hóa mà người bán bằng lòng bán với mức giá P; 
Qd là lượng cầu – lượng hàng hóa mà người mua bằng lòng mua với mức giá P. 
Ví dụ: 
Biết hàm cung, cầu của một loại hàng hóa cho bởi
Xác định giá của sản phẩm P theo hàm cung Qs , theo hàm cầu Qd
(Nghĩa là xác định hàm ngược của hàm F và G)
2
24 1 4s dQ F(P) P ; Q G(P) P 
V1.0018112205
MỤC TIÊU BÀI HỌC
• Hiểu về tập hợp và các phép toán về tập hợp;
• Nắm được khái niệm về quan hệ giữa các tập hợp, đặc biệt là quan hệ hai ngôi và các quan hệ cơ bản:
Quan hệ tương đương và quan hệ thứ tự;
• Khái niệm về ánh xạ với các ánh xạ cơ bản: Đơn ánh, song ánh, toàn ánh. Tiếp đó là ánh xạ ngược, thu
hẹp và mở rộng một ánh xạ;
• Cuối cùng là lực lượng của tập hợp;
• Giải được các bài toán thông thường về tập hợp, quan hệ, ánh xạ theo cách tự luận và theo trắc nghiệm.
3
V1.0018112205
CẤU TRÚC NỘI DUNG
Tập hợp, quan hệ và ánh xạ là các công cụ cơ bản để xây dựng nên các đối tượng của toán học nói chung và
của đại số tuyến tính nói riêng.
4
1.1 Tập hợp và các phép toán về tập hợp
Quan hệ1.2
1.3 Ánh xạ
V1.0018112205
1.1. TẬP HỢP VÀ CÁC PHÉP TOÁN VỀ TẬP HỢP
5
1.1.2 Mô tả tập hợp
1.1.3 Quan hệ giữa các tập hợp
1.1.4 Các phép toán về tập hợp
1.1.1 Khái niệm về tập hợp
V1.0018112205
1.1.1. KHÁI NIỆM VỀ TẬP HỢP
Người ta hiểu tập hợp là một sự tụ tập các đối tượng có tính chất chung nào đó. Các đối tượng đó gọi là các
phần tử của tập hợp đang xét.
6
V1.0018112205
1.1.2. MÔ TẢ TẬP HỢP
Để mô tả một tập hợp người ta thường dùng hai phương pháp sau:
• Phương pháp 1: Liệt kê các phần tử của tập hợp đó.
Ví dụ:
Tập hợp các số tự nhiên:
• Phương pháp 2: Chỉ ra những tính chất mà mọi phần tử của tập hợp đó đều có. Ví dụ như tập hợp A gồm
những phần tử x có tính chất p(x), ta viết A = {x | p(x)}.
Ví dụ:
Tập hợp các số chẵn: A = {m | m = 2n, n nguyên}.
   , , , ,..., ,... ; * , , ,..., ,... .0 1 2 3 n 1 2 3 n
7
V1.0018112205
1.1.3. QUAN HỆ GIỮA CÁC TẬP HỢP
• Tập hợp con
A là tập hợp con của B khi mọi phần tử của A đều thuộc về B
và ký hiệu A  B.
Đọc:
 A bao hàm trong B;
 B chứa A;
 A là tập con của B.
• Sự bằng nhau của 2 tập hợp
Nếu một phần tử bất kỳ của tập hợp A đều thuộc về tập hợp B
và ngược lại, thì ta nói A và B bằng nhau.
Hình 1.2
A
8
V1.0018112205
1.1.4. CÁC PHÉP TOÁN VỀ TẬP HỢP
a. Phép hợp
• Định nghĩa 1.1: Hợp của hai tập A và B là tập hợp tạo bởi
tất cả các phần tử thuộc A hoặc thuộc B (hình 1.2).
• Ký hiệu A B. Đọc A hợp B.
(x A  B) (x A hoặc x B)
Hình 1.3
9
A B
A  B
V1.0018112205
1.1.4. CÁC PHÉP TOÁN VỀ TẬP HỢP (tiếp theo)
Tính chất 1.1:
(1) A A = A (tích lũy đẳng)
(2) A B = B  A (tính giao hoán)
(3) A (B  C) = (A B)  C (tính kết hợp)
(4)   A = A  = A
10
V1.0018112205
1.1.4. CÁC PHÉP TOÁN VỀ TẬP HỢP (tiếp theo)
b. Phép giao
• Định nghĩa 1.2: Giao của hai tập hợp A và B là tập hợp tạo bởi
các phần tử vừa thuộc A và vừa thuộc B (hình 1.4).
• Ký hiệu A  B. Đọc A giao B
(x A  B) (x A và x B)
Hình 1.4
11
A B
A  B
V1.0018112205
1.1.4. CÁC PHÉP TOÁN VỀ TẬP HỢP (tiếp theo)
• Tính chất 1.2
(1) A A = A (tích lũy đẳng)
(2) A B = B  A (tính giao hoán)
(3) A (B  C) = (A B)  C (tính kết hợp)
(4)   A = A  = A
• Tính chất 1.3: (tính chất chung của  và )
(1) A (B  C) = (A B)  (A  C): Tính phân phối của  đối với 
(2) A (B  C) = (A B)  (A C): Tính phân phối của  đối với 
12
V1.0018112205
1.1.4. CÁC PHÉP TOÁN VỀ TẬP HỢP (tiếp theo)
c. Hiệu của hai tập hợp
• Định nghĩa 1.3: Hiệu của tập A và tập B là tập tạo bởi tất cả
các phần tử thuộc A mà không thuộc B (hình 1.5).
• Ký hiệu: \ và A B x A x B
B
Hình 1.5
A
13
V1.0018112205
1.1.4. CÁC PHÉP TOÁN VỀ TẬP HỢP (tiếp theo)
d. Tập bù
Khi A  E thì E\ A gọi là bù của A trong E.
Ký hiệu:
Luật DeMorgan
EC A hay A
 
 
 
A, B E 
Ta có:
A B A B 1
A B A B 2
A
E
Hình 1.6
A
14
V1.0018112205
1.1.4. CÁC PHÉP TOÁN VỀ TẬP HỢP (tiếp theo)
e. Tích của 2 tập hợp (tích Đề các)
• Định nghĩa 1.4: Tích của tập hợp A với tập hợp B (theo thứ tự ấy) là tập hợp gồm tất cả các cặp thứ tự (x, y)
với x A, y B. (hình 1.7).
• Ký hiệu: A x B hoặc A.B. Đọc là A nhân B.
 , và y . x y A B x A B
Hình 1.7: Mặt phẳng tọa độ xOy được đồng nhất 
với tích Đề các 
 . 
A.B
B
A 0
x
15
V1.0018112205
1.1.4. CÁC PHÉP TOÁN VỀ TẬP HỢP (tiếp theo)
g. Phân hoạch
Ta nói các tập con A1, A2,..., An của tập X tạo nên một phân hoạch của X nếu:
 ;
   A
n
i
i 1
i j
1 A X
2 A A i j
16
V1.0018112205
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Cho X = {a,b}, Y = {c,d}. Phần tử (b,c) thuộc tập nào trong các tập sau?
A. X Y
B. Y X
C. X  Y
D. X  Y
• Đáp án đúng là: X Y
• Vì: X Y = {(a,c),(a,d),(b,c),(b,d)}
Y X = {(c,a),(d,a),(c,b),(d,b)}
X  Y = {a,b,c,d}
X  Y = Ø
17
V1.0018112205
1.2. QUAN HỆ
18
1.2.2
Các tính chất có thể có của quan hệ trong một 
tập hợp
1.2.3 Quan hệ tương đương
1.2.4 Quan hệ thứ tự
1.2.1 Khái niệm về quan hệ hai ngôi
V1.0018112205
1.2.1. KHÁI NIỆM VỀ QUAN HỆ HAI NGÔI
Giả sử cho tập X khác rỗng và một tính chất  được thỏa mãn với một số cặp phần tử a, b nào đó của X.
Khi đó, ta nói a có quan hệ  với b và viết là ab, còn  được gọi là một quan hệ hai ngôi trong X.
Ví dụ:
1. Trong tập mọi số thực, quan hệ “a = b” hoặc quan hệ “a b” là các quan hệ hai ngôi.
2. Trong tập mọi đường thẳng trên mặt phẳng, quan hệ vuông góc giữa hai đường thẳng là quan hệ
hai ngôi.
19
V1.0018112205
1.2.2. CÁC TÍNH CHẤT CÓ THỂ CÓ CỦA QUAN HỆ TRONG MỘT TẬP HỢP
Quan hệ  trong tập X (tức   X2) có thể có các tính chất sau:
• Tính phản xạ: aa, a X (tức là (a,a) , a X);
• Tính đối xứng: ab ba (tức