Bài giảng Đồ họa và hiện thực ảo - Lesson 7: Đường cong trong không gian 3D CURVE

CNTT-DHBK Hanoi
hunglt@it-hut.edu.vn
1
Khoa CNTT DHBK Hanoi1
Đường cong trong không gian 
3D CURVE
Khoa CNTT DHBK Hanoi2
Đường cong - Curve
z Why use curves? Quỹ đạo chuyển động của 1 điểm trong không gian 
z Điểm biểu diễn Đường cong -curve represents points: 
– là phương pháp được sử dụng trong khoa học vật lý và kỹ nghệ nói 
chung.
– Các điểm dữ liệu được đo chính xác trên các thực thể sẽ chính đối 
tượng cơ sở. Đường cong đi qua các điểm dữ liệu hiển thị hỗ trợ cho 
việc nhận ra xu hướng và ý nghĩa cả các điểm dữ liệu.
– Các kỹ thuật phức tạp “vd bình phương sai số” được dùng đưa đường 
cong hợp với 1 dạng toán học cơ bản.
z Biểu diễn Điểm và kiểm soát đường cong -Points represent-and 
control-the curve.
– đường cong là các đối tượng cơ bản thường là kết quả của tiến trình 
thiết kế và các điểm đóng vai trò là công cụ để kiểm soát và và mô hình 
hoá đường cong.
– Cách tiếp cận này là cơ sở của lĩnh vực Computer Aided Geometric 
Design (CAGD).
Khoa CNTT DHBK Hanoi3
Phân loại
z Trên cơ sở ràng buộc giữa điểm và đường trong cả ứng dụng khoa 
học và thiết kế ta co thể phân làm 2 loại:
z Nội suy-Interpolation - đường cong đi qua các điểm, trong ứng 
dụng khoa học các yêu cầu về ràng buộc sử dụng đa thức hay các 
hàm bậc cao tuy nhiên kết quả thường có những hiệu ứng phụ như 
sai số phóng đại hay độ nhấp nhô của đường cong do đa thức bậc 
cao tạo nên.
z Trong thiết kế nôi suy là cần thiết với các đối tượng nhưng không 
phù hợp với các đối tượng có hình dáng bất kỳ "free form“.
z Xấp xỉ-Approximation - đường cong không cần đi qua các điểm,với 
các ứng dụng khoa học ta gọi là trung bình dữ liệu- data averaging 
hay trong thiết kế điểu khiển đường cong.
Khoa CNTT DHBK Hanoi4
Polynomial Parametric Curves
z What degree should we use to represent a 
curve?
– We choose the third degree:
z Cubic polynomials
– Higher degrees:
z Require more computation
z Have extra “wiggles”
z Provide more flexibility than is required.
z Are often used to model cars and aeroplanes 
Khoa CNTT DHBK Hanoi5
Tính chất cả đường cong bậc 3
z Tham biến – parametric sử dụng tham biến ngoài để biểu diễn cho 
các tham biến trong
z Độ mượt - smooth. Với đường cong Hermite and Bézier tính liên 
tục continuity của đường cong hay đạo hàm bậc 1-first derivative tại 
các điểm kiểm soát-control point. Với B-splines tính liên tục trên đạo 
hàm bậc 2 second derivative hay độ cong được đảm bảo curvature. 
z Độ biến đổi -"variation diminishing." đường cong ít bị khuếch đại 
sai số bởi các điểm kiểm soát hay tính nhấp nhô của đường cong 
hạn chế -oscillate. 
z Ví dụ Bézier curve, for instance, lies within the convex hull (polygon 
envelope) of the set of control points. 
z Điêm kiểm soát cục bộ-local control. đường cong bị ảnh hưởng 
mạnh nhất với chính các điểm kiểm soát gần chúng nhất.
Khoa CNTT DHBK Hanoi6
Đường cong đa thức bậc ba 
z Phải đảm bảo là đường cong không gian với 3 trục toạ
độ x, y, z
z tránh được những tính toán phức tạp và những phần
nhấp nhô ngoài ý muốn xuất hiện ở những đường đa
thức bậc cao
z Why cubic?
– lower-degree polynomials give too little flexibility in controlling the 
shape of the curve
– higher-degree polynomials can introduce unwanted wiggles and 
require more computation
– lowest degree that allows specification of endpoints and their 
derivatives
– lowest degree that is not planar in 3D
CNTT-DHBK Hanoi
hunglt@it-hut.edu.vn
2
Khoa CNTT DHBK Hanoi7
z Kinds of continuity:
– G0: two curve segments join together
– G1: directions of tangents are equal at the joint
– C1: directions and magnitudes of tangents are equal 
at the joint
– Cn: directions and magnitudes of n-th derivative are 
equal at the joint
Khoa CNTT DHBK Hanoi8
P0
P1 p2
p3
P0
P'0 P1
P'1
Đường cong bậc 3
z Theo Lagrange:
z x = a1 + b1u + c1u2 + d1u3
z y = a2 + b2u + c2u2 + d2u3
z z = a3 + b3u + c3u2 + d3u3
z 3 phương trinh với 12 ẩn số
z Với 3 điểm P0, P1, P2, P3 phương trình xác định
Khoa CNTT DHBK Hanoi9
Đường cong Hermite
z Phương pháp Hermite dựa trên cơ sở của cách biểu diễn 
Ferguson hay Coons năm 60
z đường bậc ba sẽ xác định bởi hai điểm đầu và cuối cùng với hai góc 
nghiêng tại hai điểm đó
z p = p(u) = k0 + k1u + k2u2 + k3u3
z p(u) = ∑kiui i∈n
z p’ = p(u) = k1 + 2k2u + 3k3u2
z p0 và p1 ta có hai độ dốc p0’ và p1’ với u = 0 và u = 1 tại hai điểm đầu 
cuối của đoạn [0,1].
z k1 + 2k2 + 3k3 = p1’
z k0 = p0 k1 = p1’
z k2 = 3(p1 – p0) - 2p0’ – p1’
z k3 = 2(p0-p1) + p0’ + p1’ Khoa CNTT DHBK Hanoi10
z Thay vào:
z p = p(u) = p0(1-3u2+2u3) + p1(3u2-2u3) 
+ p0’(u-2u2+u3) + p1’(-u2+u3)
p = p(u) = [ 1 u u2 u3 ] 
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−−−
1
0
1
0
1122
1233
0100
0001
'
'
.
p
p
p
p
Khoa CNTT DHBK Hanoi11 Khoa CNTT DHBK Hanoi12
Đường cong Bezier
z Sử dụng điểm và các vector kiểm soát được độ dốc
của đường cong tại nhưng điểm mà nó đi
qua.(Hermit)
z không được thuận lợi cho việc thiết kế tương tác, 
không tiếp cận vào các độ dốc của đường cong
bằng các giá trị số (Hermite).
z Paul Bezier, RENAULT, 1970 đường và bề mặt
UNISURF
CNTT-DHBK Hanoi
hunglt@it-hut.edu.vn
3
Khoa CNTT DHBK Hanoi13
z po, p3 tương đương với p0, p1 trên đường Hermite. 
diểm trung gian p1, p2 được xác định bằng 1/3 theo 
độ dài của vector tiếp tuyến tại điểm po và p3
z p0’ = 3(p1 – p0)
z p3’ = 3(p3 – p2)
z p = p(u) = p0(1-3u2+2u3) + p1(3u2-2u3) + p0’(u-
2u2+u3) + p1’(-u2 + u3)
z p = p(u) = p0(1 - 3u + 3u2 - u3) + p1(3u-6u2+3u3) 
+ p2(3u2 - 3u3) + p3u3
Khoa CNTT DHBK Hanoi14
p = p(u) = [ 1 u u2 u3 ] 
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
−
3
2
1
0
1331
0363
0033
0001
p
p
p
p
Khoa CNTT DHBK Hanoi15
Ưu điểm
z dễ dàng kiểm soát hi`nh dạng của đường cong hơn 
vector tiếp tuyến tại p0’ và p1’ của Hermite. 
z Nằm trong đa giác kiểm soát với số điểm trung gian 
tuỳ ý( số bậc tuỳ ý)
z đi qua điểm đầu và điểm cuối của đa giác kiểm soát, 
tiếp xúc với cặp ha