Về một giải pháp nâng cao độ an toàn cho lược đồ chữ ký số trong vành hữu hạn Zn

Nghiên cứu Khoa học và Công nghệ trong lĩnh vực An toàn thông tin 
 Số 2.CS (08) 2018 3 
Nguyễn Đào Trường, Lê Văn Tuấn
Tóm tắt— Chữ ký số ngày càng được sử dụng 
rộng rãi và là yêu cầu bắt buộc đối với rất nhiều 
nền tảng an toàn. Bài báo đề xuất một giải pháp 
nâng cao độ an toàn cho lược đồ chữ ký số dựa 
trên bài toán logarit rời rạc trên vành hữu hạn Zn. 
Abstract— The digital signature is 
increasingly widely used, and it is the mandatory 
requirement for many security platforms. The 
paper proposes a solution to improve the security 
of digital signature scheme based on the problem 
of discrete logarithm on finite ring Zn. 
Từ khóa: chữ ký số; vành hữu hạn; logarit 
rời rạc. 
Keywords: Digital signature; finited rings; 
discrete logarithm. 
I. GIỚI THIỆU 
Lƣợc đồ ElGamal ([4-5]) và các biến thể của 
nó ([6-7]) tr n trƣờn hữu h n h n an toàn 
tron nhữn t nh huốn lộ h a phi n ho c 
tr n h a phi n và n uy n nh n d n đến mất 
an toàn cho các lƣợc đồ này là c n hai bậc 
của phần tử sinh, điều này đƣợc chỉ ra tron các 
 ết quả n hi n cứu li n quan [8-12]. Để hắc 
phục nhữn điểm tồn t i này, các nhà hoa học 
tron nƣớc ([1-3], [13]) và tr n thế iới đã 
n hi n cứu ([14-15]) và phát triển các lƣợc đồ 
chữ ý số tr n vành hữu h n . Một số lý do 
đƣợc đƣa ra nhƣ sau: Thứ nhất, trên vành cho 
phép che iấu bậc của phần tử sinh [3]; Thứ hai, 
 iải bài toán lo arit rời r c tr n vành 
( , tron đ là các số n uy n tố 
ph n biệt) đƣợc cho là h hơn iải bài toàn 
lo arít rời r c tr n trƣờn [3]; Thứ ba, cho 
đến nay, n oài thuật toán aby step - iant step 
của anied Shan c thể ứn dụn để iải bài 
toán lo arit rời r c tr n vành [1 ] th các 
thuật toán Rho của Pollard hay thuật toán 
Bài báo đƣợc nhận ngày 12/11/2018. ài báo đƣợc nhận 
xét bởi phản biện thứ nhất vào ngày 05/12/2018 và đƣợc chấp 
nhận đăn vào ngày 16/12/2018. ài báo đƣợc nhận xét bởi 
phản biện thứ hai vào ngày 06/12/2018 và đƣợc chấp nhận 
đăn vào ngày 20/12/2018. 
Pohli - ellman, chỉ c thể áp dụn để iải bài 
toán lo arit rời r c tr n trƣờn hữu h n 
 ài báo c bố cục nhƣ sau: Mục II nhắc l i 
một số ý hiệu và định n hĩa sẽ đƣợc sử dụn 
tron bài. Tiếp đến Mục III sẽ đƣa ra iải pháp 
đề xuất. Mục IV sẽ là các ết quả thực n hiệm 
và cuối c n là Mục Kết luận. 
II. MỘT SỐ KÝ IỆU VÀ ĐỊN NG ĨA 
A. Định nghĩa 1 
Hàm : { } : { } chuyển một xâu 
có độ dài h u h n bất kỳ thành u có độ dài 
512 bit (hàm là hàm SHA512). 
B. Định nghĩa 2 
Hàm đổi một xâu nhị phân thành số 
nguyên không quá T bit, ký hiệu là 
{ } . Tương ứng cặp 
thành số a tính theo công thức: 
 . 
C. Định nghĩa 3 
Hàm có chức năng đổi số nguyên 
không âm a thành xâu nhị phân. Ký hiệu là 
 { } . Giả sử ứng với số nguyên 
không âm , 
 thì 
 . 
D. Định nghĩa 4 
Hàm : Hàm lấy ngẫu nhiên một 
phần tử thuộc tập , giả sử phần tử đó là , ta 
ký hiệu 
III. GIẢI PHÁP ĐỀ XUẤT 
A. Ý tưởng 
Ý tƣởn cơ bản của iải pháp là đề xuất một 
lƣợc đồ tổn quát c độ an toàn dựa tr n tính 
 h iải của bài toán lo arit rời r c tr n vành 
 , đồn thời phát triển một lƣợc đồ chữ ý số 
cụ thể tr n lƣợc đồ cơ sở này và che iấu đƣợc 
bậc của phần tử sinh. ựa tr n phƣơn pháp x y 
dựn n ƣỡn an toàn của Arjen K. Lenstra, Eric 
R. Verheul [17], x y dựn c n thức tính 
Về một iải pháp n n cao độ an toàn cho 
lƣợc đồ chữ ý số tron vành hữu h n Zn 
Journal of Science and Technology on Information Security 
4 Số 2.CS (08) 2018 
n ƣỡn an toàn và x y dựn đƣợc hệ ti u chuẩn 
tham số an toàn cho lƣợc đồ đề xuất trong lĩnh 
vực kinh tế - xã hội và quốc phòn , an ninh t i 
Việt Nam tron thời ian tới. 
B. Đề uất lược đồ ch ký số cơ sở 
Tron lƣợc đồ cơ sở sử dụng ký hiệu 
 ) để biểu thị cho phép lấy ng u nhiên 
số nguyên trong khoảng ; sử dụng hàm 
Len(t) trả về cỡ của tính theo bit; hai hàm số 
 và với hai tham số đầu vào là 
thông báo cần ký, ký hiệu là và thành phần 
thứ nhất của chữ ký là . 
B1. Bài toán cơ sở 
Lƣợc đồ chữ ý số cơ sở c độ an toàn dựa 
tr n tính h iải của bài toán lo arit rời r c 
tr n vành hữu h n , tron đ n là tích của hai 
số n uy n tố lớn, ph n biệt. 
B2. Miền tham số 
Miền tham số của lƣợc đồ chữ ý số tr n 
vành , gồm có số modul là cỡ của vành , 
phần tử sinh c cấp là một hợp số, ý hiệu là 
t. ựa tr n một số cơ sở toán học iới thiệu 
trong [3], miền tham số cho lƣợc đồ chữ ý số 
tổn quát đƣợc x y dựng nhƣ sau: 
+ Số modul với là số nguyên tố 
lớn. Giá trị với là các nguyên 
tố thỏa mãn điều iện sau: 
 . 
+ Giá trị là cỡ của ký hiệu . 
+ là phần tử sinh của nhóm có cấp 
trong modul . 
+ Giá trị là khóa riêng phải đƣợc giữ bí 
mật; đƣợc chọn ng u nhi n tron đo n 
 sao cho tồn t i trong . 
+ Giá trị là khóa công khai, với 
 . 
+ Bộ giá trị là khóa bí mật và 
 là khóa công khai. 
B3. Thuật toán sinh ch ký số 
Input: tham số khóa bí mật và 
thông báo cần ký . 
Output: 
1. ). 
 . 
3. T o 
4. return ( ). 
B4. Thuật toán ác nhận ch ký số 
Input: , ( ) 
Output: "accept" ho c "reject". 
1. 
2. if ( ) return "accept‖ else 
return "reject". 
B5. Tính đúng đắn của lược đồ: 
Dễ thấy: ( 
C. Đề uất lược đồ ch ký số mới trên vành 
Bắt đầu
 t = p1.q1, ordn(g)= t
 N= Len(t)
 x=Random(t) sao cho tồn tại x-1
trong Zt, tính y = g
x
 mod t
Kết thúc
 (n, g, x, t) khóa bí mật
 (n, g, y, N) khóa công khai; 
Sinh tham ố
 r = g
k 
mod n. 
 z = Nnm(N, H(T||str(r)))
 s = x
-1
 (k-z) mod t 
z = number(N, H(T||str(r))) u=(g
z
.y
s
) mod n.
u=r
 ác nhận chữ kí
Sinh chữ kí
Accept Reject
k= Random(1,t)
t|s or t|r or t|k 
F
T
T F
Sinh ố nguyên tố p, q, p1, q1; 
p1|(p-1), q1|q-1,
 p1 (q-1), q1 (p-1);
 ửi chữ ký (r,s) là thông báo T tới nơi nhận 
Hình 1. Lưu đồ thuật toán lược đồ chữ ký 
Nghiên cứu Khoa học và Công nghệ trong lĩnh vực An toàn thông tin 
 Số 2.CS (08) 2018 5 
 ựa tr n lƣợc đồ chữ ý số cơ sở, chọn hàm 
 ; , 
 hi đ thuật toán ý và xác nhận chữ ý của 
lƣợc đồ chữ ý đề xuất nhƣ Hình 1. 
C1. Thuật toán sinh ch ký 
Input: (n, t, g, x), , { } . 
Output: (r ... nown-message attack, chosen-message 
attack và hả năn cao nhất là adaptive 
chosen-message attack. 
N i t m l i, lƣợc đồ đề xuất là an toàn với 
m h nh tấn c n existentially 
unforgeable under adaptively chosen-message 
attacks, tức là với hả năn cao nhất mà ẻ tấn 
Journal of Science and Technology on Information Security 
6 Số 2.CS (08) 2018 
công có adaptive chosen-message attack cũn 
 h n thực hiện đƣợc hành vi iả m o với mục 
đích yếu nhất Existential forgery. 
C5. Tính hiệu quả 
Để thuận tiện cho đánh iá độ phức t p tính 
toán, tron bài báo sẽ sử dụn là độ phức t p 
tính toán của phép nh n hai số tron modul n c 
 và ý hiệu là độ phức t p tính 
toán của phép nh n hai số tron modulo , 
 bit. 
Không gian lưu tr : 
Đối với các lƣợc đồ chữ ý số đề xuất, mỗi 
thành vi n thực hiện một phi n ý bắt buộc phải 
sử dụn một số modul ri n tránh tấn c n sử 
dụn modul chun ), n n tham số hệ thốn của 
các lƣợc đồ chữ ý số này y u cầu h n ian 
lƣu trữ ấp (số n ƣời dùng trong hệ thốn ) 
lần so với y u cầu về h n ian lữu trữ tron 
các lƣợc đồ chữ ý Elgamal, DSA và GOST. 
 ơn nữa, tron lƣợc đồ chữ ý số DSA và 
GOST, thành phần r tron mỗi chữ ý là 
 bit) tron hi đ thành phần 
tron lƣợc đồ đề xuất là bit), vậy 
là iá trị r của lƣợc đồ đề xuất lớn hơn 
 lần 
thành phần r tron lƣợc đồ DSA và GOST. 
Độ phức t p tính toán: 
Tron thuật toán ở phần C1, độ phức t p 
thuật toán tập trun ở phép lũy thừa 
 , do . Phép tính n hịch 
đảo đƣợc tính trƣớc, n n ta c ƣớc 
lƣợn thuật toán C1 nhƣ sau: 
Tron thuật toán ở phần C2, độ phức t p 
thuật toán tập trun ở phép lũy thừa 
 ; n n độ phức t p của n đƣợc 
ƣớc lƣợn nhƣ sau: 
Tóm l i: Lƣợc đồ chữ ý số do ch n t i đề 
xuất trong bài báo này sẽ y u cầu h n ian 
lƣu trữ lớn hơn nhiều so với lƣợc đồ chữ ý số 
El amal c n các biến thể do mỗi thành vi n 
tron hệ thốn phải sử dụn số modul riêng. 
IV. T Ử NG IỆM 
Do khuôn hổ bài báo iới h n n n hi thực 
nghiệm hệ thốn phải sử dụn số modul riêng, 
không ian lƣu trữ lớn hơn nhiều so với lƣợc đồ 
chữ ý số El amal c n các biến modul 
chung, nên ch n ta chỉ thực n hiệm xem thời 
 ian chi phí sinh chữ ý so với một số lƣợc đồ 
nhƣ DSA, Elgamal, RSA có đ t đƣợc hiệu quả 
hơn hay không. Chƣơn trình thử n hiệm đƣợc 
viết bằn n ôn n ữ lập tr nh C , đƣợc bi n 
dịch bởi tr nh QT Creater và ch y tr n hệ điều 
hành Window 7, bộ vi xử lý Core2 Duo 2.2 
G z, bộ nhớ 2G. Thử n hiệm sử dụn hàm băm 
SHA-512, giá trị băm của thông báo là 
 giá trị nhƣ sau: 
M=59435B969EDE967538BADAF898EBB
A0B250D8D38C470831258EFC998C0AAB66
369BD84E1267F73DA44F54050F8E52039DC
3A0751550F0EC64458B094759D62AD 
Tham số lƣợc đồ chữ ý 01 sử dụn cho thử 
n hiệm nhƣ sau: 
 =6117232749284706947203239371920572
68091358137434407990501953975709196977
96091958321786863938157971792315844506
87350904654445900835503615065033361689
02106256860644729714806220531089400240
94506365700177916771190231358376137402
77912667588523987386325141940487520935
46562908008350040591686377466667749882
58648861433470364994278050623230522174
541657083 (1152 bit) 
 =4282062924499294863042267560344400
87663950696204085593351367782996437884
57264370825250804756710580260672400007
91322088795620240478969863232527667660
99489202394111180624195546196660516663
93046202958794101132407478728356803474
00208517382980974369006684823954514907
73256943947680072169753715943893032043
22985544672631665200086624759308888712
641189831 (1152 bit) 
 =159053420634475654100247336136226
75177827513271326161374945890013417660
2566388781570317 (287 bit) 
 =410691128024884372186996428011050
43081818400392119678577960763040677317
21800104778492142688534555068052903852
9141 (375 bit) 
 = =26194375556244934026575998414
76825721458150176469303108543080910600
34337813539811582754711510075031043386
35765529637648387595679957492521915655
53009365604055819480299994209928601810
14578757178476999895866469961694570064
Nghiên cứu Khoa học và Công nghệ trong lĩnh vực An toàn thông tin 
 Số 2.CS (08) 2018 7 
86617551786770851453633653362183856600
24078214479813429710921560161880508366
34833745551784760910605275367624994988
47355926316147123775230243027332741683
11712936709164073665379449414487342329
47605764487479903531748721880414425677
33086667818412719740838103109503840665
57346820460178430326215099976065988325
22747842422157721670076921026427294679
91538476262870561877521658380305481498
68196526087198844717919344562235715742
94935048434003686179154837109997575283
0849664703508722973 (2304 bit) 
 = . =6532182873658922658765159327
99420561468453284243676831154063202757
45061486804439927848724577738030306577
07173194195978716418299094769284867308
69542446400108001210859733238775539835
3971483633945107697 (661 bit) 
 =2520282540263460346002270520243881
20486039468456693874563365740722521693
49314432852735427157646900299297632556
88464348734730446056510241575193634327
05973091551332786561304329148988099749
54831889806472612226113651575352642167
00421532347759924401547022719794905527
95193531213910542244142340199434112154
08715252135509110484803066859089749887
80974831681795165059387253550113667121
27814439563627312060145848722667274241
70704587916252625707820593784160110467
77258852823686463049657224087926953125
68243363368394839512347889185618903817
37224724661146324206106875975946866424
96693697439071578599392132177762571552
32397459032635404844500153154655206659
09326962817686052904862749090887606891
63691467097204 (2304 bit) 
Khóa bí mật : 
 =287388522792493159516358366964518
68788941020224796721694669863044372156
02628897423845060513108034000495251975
06289991005813142317625328753591750679
94473027302163086378118938194410541033
403 (623 bit) 
Khóa công khai : 
 =178611317356058133513470494721377
54369335340645732962272331002958960129
37992304251357048519890535386090955712
80887770182955466579932865987917791569
56515540013130905264905043564895350880
46594797129445841020528258349411155448
82017394661700966437918163392639362048
12700616188941467530942724084747235144
10632800226132741755417214023540720201
11694548556239002590973553350136796555
35461855683323778831634389133402137613
98507407377615042985371535375659225851
80875227329956180557971617199426694760
38673560328008717643816560448187310619
09732427987977097633281183942481885200
61678003258692517795272545794218876943
69995547000408242133633111059289607714
04843128788085348611331639643839101385
885906081012029 (2303 bit) 
- Sinh chữ ký 
+ Giá trị khóa phiên nhƣ sau: 
 =377871905155383211952717155097304
33103535727784043251199297416469498957
15311646193107426447769035621770080373
62105418985075795250840981311046771 
(477 bit). 
+ Kết quả sinh chữ ký cho thông báo nhƣ 
sau: 
 =1811641731281149446005386744088802
20254066915925288666650616443371356073
77821795614800636094272599721815883350
81810702355080251029475890942287431273
51792065304742162819243990086959108149
67237968274166244281692507662411972025
87456368441357652293188435157264107998
95003148184692198628335634419641557271
42414171300813285557990824733910725597
69438853276662604132325872316097828668
38261558764528550987031952370852574444
36563775728437429506645105560004917603
10065873278157925162410188096016544866
71038908233819076793550278713061881964
53967978687833513099103612734434095967
22764095897180488037669557138805393319
69748796578080193063372776048753970558
80823863033796838802705369332118803726
14687640511870 (2303 bit) 
 312815172992117955392683286
90893395234985510220789085109862681908
99836440179823587123106721560469182514
16793004653910715847575554659055392312
478 0 
Journal of Science and Technology on Information Security 
8 Số 2.CS (08) 2018 
 =302421577848021693271397115983105
48810972579494354938323537097201484810
52109237609270575091395332233870615686
39046348781127949365677813916823642923
21448086807221047606266895753846657697
12871192574824 (660 bit). 
 ẢNG 1. T ỜI GIAN SINH C Ữ KÝ 
Kích 
thước 
Modulus 
(bit) 
Thời gian sinh chữ ký 
DSA RSA EL 01 02 03 04 
1792 0.656 2.830 4.123 1.1060 1.108 0.800 0.712 
2048 0.856 3.760 6.300 1.3325 1.348 1.162 1.016 
2304 1.013 4.918 8.151 1.4590 1.495 1.425 1.352 
2560 1.196 6.300 10.29 1.8980 1.980 1.725 1.657 
2816 1.356 7.309 13.23 2.3870 2.414 2.076 1.992 
3072 1.810 8.762 14.35 2.8960 2.971 2.302 2.216 
 ẢNG 2. T ỜI GIAN XÁC N ẬN C Ữ KÝ 
Kích 
thước 
Modulus 
(bit) 
Thời gian xác nhận chữ ký 
DSA RSA EL 01 02 03 04 
1792 1.057 0.636 7.213 2.179 3.234 5.666 2.130 
2048 1.234 0.723 9.490 3.102 4.523 7.102 2.776 
2304 1.672 0.826 12.30 3.923 5.23 9.676 3.234 
2560 1.768 0.914 15.54 4.251 6.102 11.263 3.899 
2816 1.823 1.370 18.98 4.837 6.607 13.46 4.198 
3072 2.223 1.950 22.85 5.572 7.978 17.62 4.923 
Hình 2. So sánh thời gian sinh chữ ký 
Hình 3. So sánh thời gian xác nhận chữ ký 
V. KẾT LUẬN 
 ài báo đã đề xuất iải pháp n n cao độ an 
toàn cho lƣợc đồ chữ ý số tr n vành hữu h n 
 , tron đ đề xuất một lƣợc đồ chữ ý số cơ 
sở tr n vành hữu h n và đã phát triển một 
lƣợc đồ chữ ý số cụ thể tr n lƣợc đồ cơ sở này. 
Lƣợc đồ đề xuất hắc phục đƣợc một số nhƣợc 
điểm của lƣợc đồ chữ ý số El amal và biến thể 
của n , đ c biệt là hắc phục đƣợc sự mất an 
toàn tron t nh huốn lộ h a phi n ho c tr n 
 h a phi n. ơn nữa, bài báo đã chỉ ra một số 
điểm tồn t i tr n các lƣợc đồ chữ ý số tron 
vành của một số nhà hoa học [1-3], [13-15] 
chƣa x y dựn đƣợc cơ sở toán học cho các 
tham số tron lƣợc đồ của m nh; chƣa x y dựn 
đƣợc c n thức tính n ƣỡn an toàn và hệ ti u 
chuẩn cho các tham số an toàn.... 
TÀI LIỆU T AM K ẢO 
[1]. Ph m Văn iệp, N uyễn ữu Mộn , Lƣu ồn 
 ũn , ―Một thuật toán chữ ý x y dựn tr n tính 
 h của việc iải đồn thời hai bài toán ph n tích 
số và lo arit rời r c‖, T p chí K và CN, Đ i 
học Đà nẵn , 2018. 
[2]. L Văn Tuấn, i Thế Truyền, Lều Đức T n, 
―Phát triển lƣợc đồ chữ ý số mới c độ an toàn 
dựa tr n bài toán lo arit rời r c tr n vành ‖, 
T p chí K CN Th n tin và Truyền th n , ọc 
viện CN CVT, 10- 2018. 
[3]. Vũ Lon V n, ồ N ọc uy, N uyễn Kim 
Tuấn, N uyễn Thị Thu Thủy, ―Giải pháp n n 
cao độ an toàn cho lƣợc đồ chữ ý số‖, SOIS Tp 
HCM, 12 - 2017. 
[4]. T. ElGamal, ―A public key cryptosystem and 
si nature scheme based on discrete lo arithms‖, 
IEEE Transaction on Information Theory, IT-
31(4); pp.469-472, 1985. 
[5]. W. C. Kuo, ―On ElGamal Signature Scheme, 
Future Generation Communication and 
Networking‖ (FGCN 2007), Jeju, pp. 151-153. 
[6]. C. P. Schnorr, ―Efficient signaturegeneration 
for smartcards‖, Journal of Cryptology Vol. 4, 
pp. 161-174, 1991. 
[7]. B. Yang, ―A DSA-Based and Efficient Scheme 
for Preventing IP Prefix Hijacking‖, International 
Conference on Management of e-Commerce and 
e-Government, Shanghai, pp. 87-92, 2014. 
[8]. J.m.Liu, X.g.Cheng, and X.m.Wang, ―Methods 
to forge elgamal signatures and determine secret 
key‖, in Advanced Information Networking and 
Nghiên cứu Khoa học và Công nghệ trong lĩnh vực An toàn thông tin 
 Số 2.CS (08) 2018 9 
Applications, AINA 2006 20
th 
International 
Conferenceon, vol.1.IEEE, pp. 859–862, 2006. 
[9]. L. Xiao-fei, S. Xuan-jing and C. Hai-peng, ―An 
Improved ElGamal Digital Signature Algorithm 
Based on Adding a Random Number, Second 
International Conference on Networks Security, 
Wireless Communications and Trusted 
Computing‖, Wuhan, Hubei, pp. 236-240, 2010. 
[10].C. Y. Lu, W. C. Yang and C. S. Laih, ―Efficient 
Modular Exponentiation Resistant to Simple 
Power Analysis in DSA-Like Systems, 
International Conference on Broadband, Wireless 
Computing, communication and Applications‖, 
Fukuoka, pp. 401-406, 2010. 
[11].H. Zhang, R. Li, L. Li and Y. Dong, 
―Improved speed Digital Signature Algorithm 
based on modular inverse,Proceedings of 2013 
2nd International Conference on Measurement, 
Information and Control‖, Harbin, pp. 706-
710, 2013. 
[12].Z. Ping, W. Tao and C. Hao, ―Research on L3 
Cache Timing Attack against DSA Adopting 
Square-and-Multiply Algorithm‖, Fifth 
International Conference on Instrumentation 
and Measurement, Computer, Communication 
and Control (IMCCC), Qinhuangdao, pp. 1390-
1393, 2015. 
[13].L Văn Tuấn, i Thế Truyền, Lều Đức T n, 
―Contructing the digital signature besed on the 
discrete logaríthmic problem‖, The research 
journal of military science and technology, No 
51ª, ISSN 1859 – 1043, pp 44-56,11- 2017. 
[14].S. K. Tripathi and B. Gupta, ―An efficient 
digital signature scheme by using integer 
factorization and discrete logaríthm problem‖, 
International Conference on Advances in 
Computing, Communications and Informatics 
(ICACCI), Udupi, pp. 1261-1266, 2017. 
[15].Chik How Tan, Xun Yi and Chee Kheong Siew, 
―Signature scheme based on composite discrete 
logarithm‖, Fourth International Conference on 
Information, Communications and Signal 
Processing, pp. 1702-1706, 2003. 
[16].L Văn Tuấn, i Thế Truyền, ―Phát triển thuật 
toán của S ANK iải bài toán lo arít rời r c tr n 
vành ‖,T p chí N hi n cứu K & CNQS số 
48, 4- 2017. 
[17].Arjen K. Lenstra, Eric R. Verheul, Selecting 
Cryptographic Key Sizes, Springer-Verlag Berlin 
Heidelberger, pp. 446-465, 2000. 
SƠ LƢỢC VỀ TÁC GIẢ 
TS. Nguyễn Đào Trường 
Đơn vị c n tác: ọc viện 
KTMM, an Cơ yếu Chính phủ. 
Email: 
truongnguyendao@gmail.com 
Quá tr nh đào t o: Nhận bằn Kỹ 
sƣ Kỹ thuật mật mã và Kỹ sƣ tin 
học năm 2001, nhận bằn Th c sĩ C n n hệ th n 
tin năm 2010, nhận học vị Tiến sĩ Cơ sở toán học 
cho tin học năm 2018. 
 ƣớn n hi n cứu hiện nay: An toàn và bảo mật 
m n máy tính, An toàn m n IoT. 
ThS. Lê Văn Tuấn 
Đơn vị c n tác: ọc viện Khoa 
học qu n sự, ộ quốc phòn . 
Email: levantuan71@yahoo.com 
Quá tr nh đào t o: Nhận bằn cử 
nh n toán năm 1992, và Công 
n hệ th n tin năm 2000, nhận 
bằn th c sĩ c n n hệ th n tin năm 2007. 
 ƣớn n hi n cứu hiện nay: mật mã h a c n hai, 
chữ ý số, định danh và xác thực.