Về giá trị đặc biệt của L-hàm Spinor ứng với dạng cusp siegel bậc 3

TẠP CHÍ KHOA HỌC 
Khoa học Tự nhiên và Công nghệ, Số 8(3/2017) tr. 23 - 30 
23 
VỀ GIÁ TRỊ ĐẶC BIỆT CỦA L-HÀM SPINOR 
ỨNG VỚI DẠNG CUSP SIEGEL BẬC 3 
Đỗ Anh Tuấn4 
Học viện Kĩ thuật Quân Sự 
Tóm tắt: Trong bài báo này, chúng tôi tính toán giá trị đặc biệt của L-hàm spinor tổng quát ứng với dạng 
cusp Siegel bậc 3. Những giá trị này phân tích thành tích dạng Petersson của bình phương đối xứng của hàm 
Ramanujan và dạng cusp trọng số 20 trên (SL2)với một số hữu tỷ và một lũy thừa của . Chúng tôi sử dụng 
công thức Rankin-Selberg và áp dụng phép chiếu chỉnh hình để tính những giá trị này. 
Từ khóa: Giá trị đặc biệt, L-hàm, dạng cusp Siegel. 
1. Giới thiệu 
Trong Toán học, việc nghiên cứu các giá trị đặc biệt của các L-hàm có vai trò quan 
trọng. Một trong những ví dụ tiêu biểu nhất là giả thuyết được phát triển bởi Birch và 
Swinnerton-Dyer trong những năm đầu thập niên 60 của thế kỷ trước. Giả thuyết này liên 
quan đến giá trị của L-hàm ứng với đường cong elliptic epsilon tại điểm 1s với hạng của 
đường cong elliptic trên trường các số hữu tỷ (số các phần tử sinh tự do của nhóm các điểm 
hữu tỷ của nó). 
Một lý do khác dẫn tới việc nghiên cứu giá trị đặc biệt của L-hàm đó là tính đại số của 
các giá trị này. Cho 0
1
( ( ), )nn k
n
f a q S N 
  là dạng cusp trọng số 2k với đặc trưng 
Dirichlet mod N , L-hàm tương ứng với f là: 
( , , ) ( ) .
1
sL s f n a nn
n
  
Theo định lý của Shimura [14] và Manin [10] tồn tại hai hằng số phức khác không 
( ), ( )c f c f (gọi là chu kỳ của f ), sao cho 1,2,..., 1s k và với mọi đặc trưng 
Dirichlet  với tính chẵn lẻ cố định: ( 1) ( 1) 1k s , giá trị đặc biệt chuẩn hóa là các số 
đại số. Nghĩa là, *
(2 ) ( )
( , , ) ( , , ) .
( )
si s
L s f L s f
c f
 

Mục đích của bài báo này là chỉ ra tại mỗi điểm tới hạn s ta có thể chỉ ra số hữu tỷ hiện 
( )R s và lũy thừa của sao cho 
12 20 20( , , , ) ( ) , , .
sL s F Sp R s g g
    
Những điểm tới hạn của 12( , , , )L s F Sp  được chỉ ra bởi Deligne 
 12,13,14,15,16,17,18,19 .s 
4
 Ngày nhận bài: 31/8/2016. Ngày nhận đăng: 25/9/2016 
 Liên lạc: Đỗ Anh Tuấn, e - mail: doanhtuan_ktqs@yahoo.com 
 24 
Theo Miyawaki và Ikeda, L-hàm spinor ứng với dạng cusp Siegel bậc 3 12F được xây 
dựng từ tích của ba L-hàm Dirichlet bậc 1 như sau: 
12 20( , , , ) ( , , ) ( 9, , ) ( 10, , )L s F Sp L s g L s L s     (1). 
Định lý này là điểm xuất phát trong bài báo của chúng tôi. Chúng tôi tính toán kết quả 
theo hai bước: đầu tiên tính giá trị 20( , , )L s g   tại tất cả các điểm tới hạn và sau đó tính 
( 9, , ) ( 10, , )L s L s  . Chúng tôi sử dụng công thức Ranking-Selberg biểu diễn L-hàm 
dưới dạng tích phân trên miền cơ bản. Tích phân này có thể viết được dưới dạng tích vô 
hướng Petersson, và để tính giá trị của nó chúng tôi sử dụng phép chiếu chỉnh hình. Trước 
nghiên cứu của chúng tôi đã có một số tính toán về giá trị đặc biệt của L-hàm chuẩn tắc và L-
hàm spinor cho dạng cusp Siegel bậc 3 [3,5,17]. Tuy nhiên, những tính toán cho L-hàm spinor 
trong các công trình của Vankov và Chiera [3,17] chỉ xét với đặc trưng Dirchlet 1 . Bài 
báo này tính toán giá trị đặc biệt của L-hàm spinor ứng với dạng cusp Siegel bậc 3 với đặc 
trưng Dirichlet  bất kỳ. 
2. Một số khái niệm và ký hiệu 
Trước hết ta nhắc lại khái niệm về nhóm Simpletic 3Sp ( ) được định nghĩa như sau: 
  33 6 3 3 3
3
0 1
Sp ( ) ( ) | ,
1 0
TM M MJ M J J 
Khi đó dạng cusp Siegel 12F trọng số 12 bậc 3 tương ứng với nhóm Simpletic 3Sp ( ) 
được xác định trên nửa mặt phẳng Siegel 
 3 3H | , ( ), 0TZ Z X iY X Y M Y 
Khai triển Fourier của 12F có dạng như sau: 
1 1 1
1 3 0
2 2 2
1 1 1
1 0 1
2 2 21 0 0 2 0 0 2 1 1
1 1 1 10 1 0 0 1 0 1 2 11 1
0 0 1 0 0 1 1 1 22 2 2 2
12 1. 164. 1328. 1008. 131776. ...F q q q q q
 , 
ở đây 2 Tr( )N i NZq e 
Giả sử f là dạng cusp Siegel trọng số k , giống bằng n với p -tham biến Satake 
0 1, ,..., n . Khi đó L-hàm spinor ứng với f được định nghĩa dưới dạng tích Ơle: 
1
1 2
1
12 0 0 .
11 ...
( , , , ) (1 ( ) ) (1 ... ( ) p )
r
r
n
s s
i i
p r i i i n
L s F Sp p p p  
   
 25 
Cho f, g là hai dạng cusp trọng số k bậc 1 với hệ số Fourier tương ứng là na và nb . Ta 
nhắc lại định nghĩa L-hàm Dirichlet ứng với f và g :
1
( , , , ) ( ) sn n
n
L s f g a b n n 
  và L-hàm 
Rankin ứng với hai dạng cusp f và g được xác định bởi: 
( , , ) (2s 2 k l, ) ( , , , ),NL s f g L L s f g   trong đó L-hàm NL s, χ được định 
nghĩa bởi Panchishkin [2]. 
3. Nội dung chính 
3.1. Tính giá trị 20( , , )L s g   
Số hạng đầu tiên 20( , , )L s g   là bình phương đối xứng của dạng cusp . L-hàm 
này đã được xét đến rất đầy đủ bởi Rankin, Zagier, Li, Sturn và nhiều tác giả khác [8,9,14] . 
Sử dụng công thức của Rankin và Zagier [13,17], ta được giá trị của 20( , , )L s g   tại các 
điểm các điểm tới hạn. Để tính giá trị này ta sử dụng phép chiếu chỉnh hình 
19
19
20 20 8
(4 )
( , , ) , ( (4 ) ( , 19))
2 ( )
sL s g g Hol y E z s
s
   

trong đó Hol là toán tử chiếu trên không gian vectơ chiều 1 sinh bởi dạng cusp Siegel 
20g . Ta có: 
1
20 20 8,1
18 19
20 8,1
19
20 8,1
19
20 8,1
20
(4 )
( , , ) ( ) ( , 19)
2 ( )
(4 )
( ) ( , 19) y
2 ( )
(4 )
, ( ) ( , 19)
2 ( )
(4 )
, ( ) ( ( , 19))
2 ( )
(4 )
, (
2 ( )


 




  


  

  

 

s
s
s
s
s
s
s
s
s
L s g g s E z s y dxdy
s
g s E z s y dxdy
s
g s y E z s
s
g s Hol y E z s
s
g s
s
19
8,1) ( (4 ) ( , 19)) 
 sHol y E z s
Sử dụng công thức khai triển Fourier cho chuỗi Eisenstein 8,1( , 19)E z s ta có: 
19
8,14 19
s-
πy E z,s - 
2 30 19
s 19
2s 31
2 1 2 31
4 2 2 30 2 2 31
4 11 19
  
  
  
s s
i s
y s s
y s s
 2 30
1
W 4 , 11, 19 
  s n
n d\n
d ny s s q 
 26 
Sau khi tính tích phân, kết quả thu được như sau: 
19
20 20 20
(4 )
( , , ) .C. g ,
2 ( )
L s g g
s
   

với C là biểu thức của hàm ( )s . Sau đây là bảng giá trị c