Về đồng nhất thức nhóm suy rộng của nhóm tuyến tính tổng quát trên vành chia có tâm hữu hạn

 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH 
TẠP CHÍ KHOA HỌC 
HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION
JOURNAL OF SCIENCE
ISSN: 
1859-3100 
KHOA HỌC TỰ NHIÊN VÀ CÔNG NGHỆ 
Tập 16, Số 6 (2019): 29-37 
NATURAL SCIENCES AND TECHNOLOGY
Vol. 16, No. 6 (2019): 29-37
 Email: tapchikhoahoc@hcmue.edu.vn; Website:  
29 
VỀ ĐỒNG NHẤT THỨC NHÓM SUY RỘNG CỦA NHÓM TUYẾN TÍNH 
TỔNG QUÁT TRÊN VÀNH CHIA CÓ TÂM HỮU HẠN 
Cao Minh Nam 
Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh 
Tác giả liên hệ: Cao Minh Nam – Email: caominhnam.dhsp@gmail.com 
Ngày nhận bài: 04-3-2019; ngày nhận bài sửa: 21-4-2019; ngày duyệt đăng: 05-6-2019 
TÓM TẮT 
Trong bài báo này, chúng tôi mở rộng kết quả nổi tiếng của I. Z. Golubchik và A.V. 
Mikhalev cho đồng nhất thức nhóm suy rộng của nhóm tuyến tính tổng quát trên vành chia trong 
trường hợp tâm không nhất thiết vô hạn. 
Từ khóa: vành chia, nhóm tuyến tính tổng quát, đồng nhất thức nhóm suy rộng. 
1. Giới thiệu 
Cho T là nhóm tự do sinh bởi k phần tử { 1 }ix i k và G là một nhóm với tâm 
( ) {Z G x G xy yx với mọi }y G . Kí hiệu G T là tích tự do của G và T . Một 
phần tử 1w  trong G T có dạng 
1 2
1 21 2 1 2 1
( , ,..., ) ... m
mk i i m i m
w x x x a x a x a x a  
với ja G , j  và {1,2,..., }ji k được gọi là đơn thức nhóm suy rộng trên G . Số 
nguyên dương 
1 2( ) ... ml w    
được gọi là độ dài của đơn thức nhóm suy rộng w . Không mất tính tổng quát, ta có thể 
biểu diễn sao cho các số mũ { 1,1}j . Trong trường hợp này thì độ dài ( )l w m . 
Cho H là một nhóm con của G . Ta nói 1 2( , ,..., ) 1kw x x x là đồng nhất thức nhóm 
suy rộng của H (hay H thỏa đồng nhất thức nhóm suy rộng 1 2( , ,..., ) 1kw x x x ) nếu 
1 2( , ,..., ) 1kw h h h với mọi 1 2, , ..., kh h h H . Thêm vào đó, nếu tất cả hệ số 1 2 1, , ..., ma a a 
đều bằng 1 thì 1 2( , ,..., )kw x x x được gọi là đồng nhất thức nhóm của H . Đồng nhất thức 
nhóm suy rộng của nhóm tuyến tính có lẽ được nghiên cứu đầu tiên bởi (Amitsur, 1966). 
Cụ thể như sau. Cho D là vành chia có tâm F . Năm 1966, Amitsur đã chứng minh rằng 
nếu F vô hạn và nhóm nhân \{0}D D thỏa một đồng nhất thức nhóm thì D giao hoán, 
tức là D F . Golubchik và Mikhalev (1982) đã mở rộng kết quả của Amitsur lên nhóm 
tuyến tính tổng quát GL ( )n D thỏa một đồng nhất thức nhóm suy rộng bằng cách chứng 
minh kết quả sau. Nếu F vô hạn và GL ( )n D thỏa đồng nhất thức nhóm suy rộng thì 1n 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 16, Số 6 (2019): 29-37 
30 
và D giao hoán. Chebotar và Lee (2004) đã xét bài toán trên trong trường hợp tâm F hữu 
hạn: Giả sử D thỏa đồng nhất thức nhóm 1 2( , ,..., ) 1kw x x x với 
1 2
1 21 2
( , ,... ) ... m
mk i i i
w x x x x x x   . Nếu F chứa ít nhất 3 ( )
2
l w phần tử thì D giao hoán. Gần 
đây nhất, Biên (2015), đã mở rộng các kết quả này khi xét trường hợp D thỏa một đồng 
nhất thức nhóm suy rộng với tâm không nhất thiết vô hạn. Cụ thể hơn, nếu D thỏa một 
đồng nhất thức nhóm suy rộng 1 2( , ,..., ) 1kw x x x và F có nhiều hơn ( )l w k phần tử thì 
D giao hoán. 
Trong bài báo này, chúng tôi chứng minh được rẳng nếu nhóm tuyến tính tổng quát 
GL ( )n D thỏa đồng nhất thức nhóm suy rộng 1 2( , ,..., ) 1kw x x x với D là vành chia có tâm 
F chứa ít nhất 2 ( ) 1l w phần tử thì D giao hoán và 1n (Định lí 2.7 trong bài báo này). 
Đây có thể xem là kết quả mở rộng của Định lí 2.6 trong bài báo (Biên, 2015) và mở rộng 
một phần của Định lí 1.2 trong bào báo (Kiani, Ramezan-Nassab, & Bien, 2016). 
Kĩ thuật mà chúng tôi sử dụng trong bài báo này là dựa trên chứng minh gốc của 
(Golubchik & Mikhalev, 1982). Các kí hiệu chúng tôi dùng là thông thường. Nói riêng, 
một số kí hiệu dùng trong bài chẳng hạn như số phần tử của F được kí hiệu là F , trong 
khi đó,với không gian vectơ V trên D , vành End ( )D V là vành các tự đồng cấu của V và 
1 2, ,..., mv v v là không gian vectơ con của V sinh bởi các phần tử 1 2, ,..., mv v v V . Với ma 
trận M ( )nA D , kí hiệu 
TA là ma trận chuyển vị của ma trận A . 
2. Đồng nhất thức nhóm suy rộng trên nhóm tuyến tính tổng quát 
Trong trường hợp D K là trường và V là không gian vectơ n chiều trên D , ta có 
M ( ) End ( )n DK V . Một cách tổng quát, ta cũng có kết quả tương tự cho vành chia. Để 
tiện theo dõi, chúng tôi trình bày chứng minh ở đây. 
Mệnh đề 2.1. 
Cho D là vành chia và M ( )n D là vành các ma trận vuông cấp n trên D . Khi đó, 
với mọi không gian vectơ phải n chiều V trên D , ta có M ( ) End ( )n DD V . 
Chứng minh. Gọi 1,{ }i i ne là cơ sở của không gian vectơ V . Xét ánh xạ 
: End ( ) M ( )D nV D  
với ( ) ff M , trong đó fM là ma trận xác định bởi ánh xạ tuyến tính f qua cơ sở { }ie . 
Dễ thấy, ánh xạ được xác định như trên là một đẳng cấu vành. Thật vậy, hiển nhiên bảo 
toàn phép cộng và bảo toàn đơn vị. Do đó, ta cần chỉ ra bảo toàn phép nhân. Giả sử 
( ) ( ) , ( ) ( )T Tij ijf x g y và ( ) ( )ijgf d . Đặt ( ) ( ) ( )ijf g c . Khi đó, 
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Cao Minh Nam 
31 
1
ij ki jk
k n
c y x
  với mọi , {1,2,..., }i j n . Mặt khác, do 1 1 2 2( ) ( ... )j j j n jngf e g e x e x e x 
nên 
1
ij ki jk
k n
d y x
  . Do đó ij ijd c . Từ đây, ( ) ( ) ( )gf g f . Hiển nhiên là song 
ánh. Từ những điều kiện trên ta kết luận được rằng End ( ) M ( )D nD D . 
Từ Mệnh đề 2.1, ta thu được kết quả sau 
GL ( ) Aut ( )n DD V 
Tiếp theo, ta có một kết quả về sự mở rộng của không gian vectơ một chiều thỏa điều 
kiện không chứa một số lượng vectơ nhất định. 
Mệnh đề 2.2. 
Cho D là vành chia tâm F và V là một không gian vectơ phải trên D có số chiều 
là n . Giả sử 1 2, ,... mv v v là m phần tử nằm trong V . Nếu 1F m và V chứa một không 
gian vectơ con một chiều L thỏa jv L với mọi {1,2,..., }j m thì tồn tại không gian con 
1n chiều 1nL của V và 1nL chứa L sao cho 1j nv L với mọi {1,2,..., }j m . 
Chứng minh. Vì 1F m , nên ta có thể cố định tập hợp I gồm 1m phần tử đôi 
một khác nhau trong F . Trong trường hợp 2n , mệnh đề cần chứng minh hiển nhiên 
đúng. D