Sự cân bằng tiệm cận của các phương trình vi - tích phân trong không gian Banach

TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 24. 2015 
5 
SỰ CÂN BẰNG TIỆM CẬN CỦA CÁC PHƢƠNG TRÌNH 
VI - TÍCH PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BANACH 
Lê Anh Minh
1, Đỗ Văn Lợi2, Lê Trần Tình1 
TÓM TẮT 
Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu sự cân bằng tiệm cận của một số lớp 
phương trình vi - tích phân trong không gian Banach, thỏa mãn một số điều kiện thích hợp. 
Từ khóa: Phương trình vi - tích phân, không gian Banach 
1. GIỚI THIỆU 
Bài toán cân bằng tiệm cận của các phƣơng trình vi phân từ lâu đã đƣợc nhiều 
nhà toán học quan tâm và đã có một số công trình đƣợc công bố. Mitchell trong [4], 
đƣa ra một số điều kiện dựa vào độ đo của tập không compact để thu đƣợc kết quả về 
sự cân bằng tiệm cận của các phƣơng trình vi phân thƣờng trong không gian Banach. 
Bên cạnh đó, ta có thể tìm thấy một số kết quả về sự cân bằng tiệm cận của các dạng 
phƣơng trình vi phân khác nhau: phƣơng trình vi phân đa trị, phƣơng trình vi phân mờ, 
phƣơng trình vi phân hàm,..., ở các tài liệu ([3], [6], [7],). Tuy nhiên, sự cân bằng 
tiệm cận của các lớp phƣơng trình vi - tích phân vẫn chƣa đƣợc trình bày rõ ràng. Bài 
báo này, xét sự cân bằng tiệm cận của một số lớp phƣơng trình vi - tích phân trong 
không gian Banach bằng cách đề xuất một số điều kiện phù hợp cho từng lớp. Cụ thể, 
với ( )A t là toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert H ta xét lớp phƣơng trình
0
0
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ,
t
t
dx t
A t x t m t s x s ds t t
dt
 (1) 
và trong không gian Banach tổng quát X ta xét lớp phƣơng trình 
0
0
( )
( , ( )) ( , , ( )) ,
t
t
dx t
f t x t k t s x s ds t t
dt
 (2) 
trong đó ,f k là các toán tử phi tuyến compact. 
Trƣớc tiên, ta nhắc lại một số khái niệm và mệnh đề sau (xem [4],[8]) 
Định nghĩa 1.1 ([8]). Phƣơng trình (1) (hay (2)) đƣợc gọi là có sự cân bằng tiệm cận 
nếu mọi nghiệm của nó đều có giới hạn hữu hạn tại vô cùng và với mọi 
0h H (hay X 
tƣơng ứng), đều tồn tại nghiệm ( )x t của (1) (hay (2)) sao cho 
0( )x t h khi t . 
1 
 ThS. Giảng viên Khoa Khoa học Tự nhiên, trường Đại học Hồng Đức 
2 
 TS. Giảng viên Khoa Khoa học Tự nhiên, trường Đại học Hồng Đức 
TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 24. 2015 
6 
Mệnh đề 1.2. ([8]). Cho :[0, ]f T X X là một toán tử compact. Khi đó, 
toán tử 
0
0
( )( ) ( , ( )) , [0, ],
t
Fx t x f x d t T x D   
cũng là một toán tử compact, với D là tập hợp tất cả các hàm liên tục 
:[0, ]x T X . 
Mệnh đề 1.3. ([5]) Cho , :[0, ] , ( , ) :[0, ] [0, ] ,u f T k t s T T với 
0t s t là các hàm khả tích và ( )g r với 0r là một hàm giá trị dương, liên tục, 
không giảm. Giả sử 
0 0
( ) ( ) ( ( )) ( , ) ( ( ))
t s
t t
u t c f s g u s k s g u d ds  
 (3) 
với mọi 
0t t , ở đây c là một hằng số không âm. Khi đó 
0 0
( )
( ) ( , ) .
( )
u t t s
c t t
ds
f s k s d ds
g s
 
 (4) 
2. SỰ CÂN BẰNG TIỆM CẬN CỦA MỘT LỚP PHƢƠNG TRÌNH DẠNG 
TUYẾN TÍNH 
Xét phƣơng trình (1) trong không Hilbert H . 
Giả sử: 
(M1) Với mỗi 0, ( )t t A t là toán tử tuyến tính liên tục mạnh và tự liên hợp; 
(M2) Hàm m thỏa mãn 
0
: | ( ) | .L m d 
 (M3) Tồn tại số dƣơng q sao cho 
(0,1)
1
sup | | ( ) ||
h S
T
A t h dt q

 với 0T , trong đó 1L . 
Ta có kết quả sau: 
TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 24. 2015 
7 
Định lý 2.1. Nếu các điều kiện (M1), (M2) và (M3) thỏa mãn thì phương trình (1) 
có sự cân bằng tiệm cận. 
Chứng minh. Trƣớc hết, ta chứng minh nếu các điều kiện (M1), (M2) và (M3) 
đƣợc thỏa mãn thì mọi nghiệm của phƣơng trình (1) đều có giới hạn hữu hạn tại vô 
cùng. Thật vậy, phƣơng trình (1) có thể đƣợc viết lại dƣới dạng: 
0
0
0
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .
tt
t
x t x t A x m x d d

      
Khi đó, với t s T ta có: 
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
st
s
x t x s A x m x d d

      
và 
(0,1)
0
(0,1)
0
(0,1)
0
(0,1)
 sup ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,
|| ( ) || sup ( ) ( ) ( ) ( ) ,
|| ( ) || sup ( ) ( ) ( ) ( ) ,
|| ( ) || sup
t
h S
s
st
h S
s
h S
h
s
st
s
S
x t x s A x m x d d h
x s A x m x d d h
x s A x m x d h d
x s



      
      
      
0
[0, ]
( ) ( ) ( ) , ( )
|| ( ) || sup || ( ) ||
t
t
s
s
x m x d A h d
x s q x


      
 
Ta đặt 
[0, ]
||| ( ) ||| sup || ( ) ||
t
x t x  
Khi đó, từ bất đẳng thức ở trên ta suy ra 
||| ( ) ||| || ( ) || ||| ( ) |||x t x s q x t 
hay 
|| ( ) ||
||| ( ) |||
1
x s
x t
q 
 (5) 
TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 24. 2015 
8 
Do 
1
0 1q q

nên từ (5), ta thấy ( )x t là bị chặn. 
Bây giờ, ta đặt 
0[ , )
sup || ( ) ||
t t
M x t
Suy ra, với 
1 2 0,t t t tùy ý và 2 1t t 
0
2
1
1
2
2 1 2 1
(0,1)
(0,1)
0
(0,1)
|| ( ) ( ) || sup ( ) ( ),
sup ( ) ( ) ( ) ( ) ,
sup | | ( ) || 0
h S
t
h S
t
t
t
h S
t
x t x t x t x t h
A x m x d h d
M A h d

      
  
khi 
2 1t t . Nhƣ vậy, tồn tại hữu hạn lim ( )
t
x t
. 
 Tiếp theo, ta chỉ ra rằng với 
0h H tùy ý, tồn tại nghiệm ( )x t của (1) sao 
cho 0lim ( ) .
t
x t h
 Thật vậy, với 
0h H , ta chọn 0 0( )x t h và xét phiếm hàm 
0
1 0 0 0
0
( , ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ,
t
t
g t h h h A x m x d h d

      
Ta có 
0
1 0 0 0
0
( , ) || |||| || ( ) ( ) ( ) || ( ) ||
t
t
g t h h h x m x d A h d

      
Từ 
0 0( )x h  ta đƣợc 
 1 0( , ) || || || || .g t h h h q 
Lúc này, theo định lý Riesz, tồn tại 
1( )x t H sao cho 
1 1( , ) ( ),g t h x t h 
Dễ thấy 
 1 0|| ( ) || || || 1x t h q 
TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 24. 2015 
9 
Bây giờ, ta xét phiếm hàm 
0
2 0 1 1
0
( , ) , ( ) ( ) ( ) ( ) , 
t
t
g t h h h A x m x d h d

      
Ta lại có 
0
2 0 1 1
0
0 0
2
0
( , ) || |||| || ( ) ( ) ( ) || ( ) ||
|| |||| || (1 ) || ||
|| || || || ( )
t
t
g t h h h x m x d A h d
h h q h q
h h q q

      
 
 
Khi đó, lại theo định lý Riesz, tồn tại 
2( )x t H sao cho 
 2 2, , g t h x t h 
và 
2
2 0|| ( ) || || || (1 ( ) )x t