So sánh một số hàm phi tuyến trong thuật toán phân tích phần tử song song thích nghi cho ten-xơ bậc 3 và áp dụng xử lý tín hiệu điện não đồ không đầy đủ

SO SÁNH MỘT SỐ HÀM PHI TUYẾN TRONG
THUẬT TOÁN PHÂN TÍCH PHẦN TỬ SONG SONG
THÍCH NGHI CHO TEN-XƠ BẬC 3 VÀ ÁP DỤNG
XỬ LÝ TÍN HIỆU ĐIỆN NÃO ĐỒ KHÔNG ĐẦY ĐỦ
TRƯƠNG MINH CHÍNH
Khoa Vật lý, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế
Tóm tắt: Bài báo trình bày kết quả khảo sát của chúng tôi trong việc sử dụng
các hàm phi tuyến trong thuật toán phân tích phần tử song song thích nghi cho
ten-xơ bậc 3 có kích thước một chiều tăng theo thời gian. Các thuật toán này
cũng được áp dụng trong bài toán khôi phục tín hiệu điện não đồ được biểu diễn
bằng ten-xơ bậc 3. Kết quả mô phỏng cho thấy chất lượng tương đương của các
thuật toán phân tích phần tử song song thích nghi khi sử dụng các hàm phi tuyến
khác nhau. Bên cạnh, chúng ta có thể sử dụng thuật toán phân tích phần tử song
song thích nghi này để khôi phục tín hiệu điện não đồ trong những ứng dụng cần
thời gian khôi phục ngắn.
Từ khóa: Hàm phi tuyến, phân tích phần tử song song thích nghi, điện não đồ.
1 GIỚI THIỆU
Phân tích ten-xơ (TD: Tensor Decomposition), bao gồm phân tích phần tử song song (CP:
Canonical Polyadic) và phân tích Tucker, là các công cụ hữu ích cho phân tích và tính
toán đối với dữ liệu dưới cấu trúc ten-xơ (hay mảng nhiều nhiều). TD thực hiện biến đổi
các phép tính đối với cấu trúc ten-xơ về các phép tính đối với các đối tượng thông dụng
là véc-tơ hoặc ma trận. Trong thời gian gần đây, CP đã được nghiên cứu áp dụng trong
nhiều lĩnh vực như vật lý, hóa học, xử lý tín hiệu, v. v. [8] Các thuật toán phân tích CP
đã đề xuất thực hiện ở chế độ khối (batch) hoặc chế độ thích nghi (adaptive) [2, 10, 12].
Các thuật toán hoạt động ở chế độ khối cần đầu vào là tất cả các dữ liệu của ten-xơ, vì
vậy các thuật toán này có độ chính xác cao, tuy nhiên độ phức tạp thuật toán cao và thời
gian tính toán dài, không phù hợp với các ứng dụng trực tuyến hoặc các ứng dụng có ràng
buộc về thời gian xử lý. Đối lập với các thuật toán xử lý khối, các thuật toán thích nghi
xử lý trên dữ liệu thu tại thời điểm hiện tại và những thông tin lưu trữ từ dữ liệu trong
quá khứ, vì vậy có thời gian xử lý và độ phức tạp thuật toán thấp hơn, phù hợp cho các
ứng dụng tính toán nhanh.
Điện não đồ bề mặt (EEG: Electroencephalography) là kỹ thuật không xâm lấn được ứng
dụng rộng rãi trong giao tiếp - điều khiển và trong y học cho mục đích chẩn đoán và điều
Tạp chí Khoa học, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế
ISSN 1859-1612, Số 03(51)/2019: tr. 50-63
Ngày nhận bài: 29/3/2019; Hoàn thành phản biện: 05/4/2019; Ngày nhận đăng: 08/4/2019
SO SÁNH MỘT SỐ HÀM PHI TUYẾN... 51
trị các tổn thương về não [13, 15]. Tín hiệu EEG phản ánh hoạt động điện của bộ não và
được thu bởi hệ thống các điện cực đặt trên da đầu người được đo, sau đó được lấy mẫu
để xử lý trong các hệ thống số. Tín hiệu EEG đơn kênh (tín hiệu thu từ một điện cực) là
các mẫu thời gian của một tín hiệu, vì vậy dữ liệu là một véc-tơ. Dữ liệu cho tín hiệu EEG
đa kênh (tín hiệu thu đồng thời từ nhiều điện cực) là một ma trận với hai chiều lần lượt
là không gian (các điện cực) và thời gian. Để có những đặc trưng trong miền tần số, tín
hiệu EEG thường được thực hiện biến đổi thời gian - tần số bởi các phép biến đổi thông
dụng như Fourier hay sóng con (wavelet), vì vậy dữ liệu EEG sẽ trở thành 3 chiều với các
chiều lần lượt là không gian (hay kênh), thời gian và tần số. Tùy theo mục đích của lưu
trữ và xử lý, tín hiệu EEG có thể có số chiều lớn hơn 3. Như vậy, do nhu cầu xử lý, số
chiều của tín hiệu EEG được tăng lên và cấu trúc phù hợp để biểu diễn tín hiệu EEG là
ten-xơ [5, 6, 14].
Mặt khác, xử lý tín hiệu EEG còn đối mặt với vấn đề mất mát dữ liệu, khi có một hoặc
vài điện cực tiếp xúc không tốt, tín hiệu từ các điện cực này hoặc không thu được, hoặc
không được tin tưởng trong quá trình xử lý nên bị loại bỏ. Đã có các nghiên cứu phân tích
CP cho dữ liệu không đầy đủ như [2, 9]. Trong [2], Acar và cộng sự đề xuất thuật toán
phân tích CP tối ưu trọng số (CP-WOPT: CP - Weighted OPTimization) thực hiện phân
tích CP cho ten-xơ không đầy đủ và áp dụng cho trích xuất thông tin từ dữ liệu EEG
không đầy đủ. Thuật toán CP-WOPT có hiệu suất cao, tuy nhiên thuật toán này có nhược
điểm là thời gian xử lý dài. Trong [9], Linh-Trung và các cộng sự đề xuất thuật toán ước
lượng không gian con phi tuyến tính (NL-PETRELS) cho dữ liệu không đầy đủ. Thuật
toán NL-PETRELS là một cải tiến của thuật toán ước lượng song song sử dụng đệ quy
bình phương tối thiểu (PETRELS: Parallel Estimation and Tracking by REcursive Least
Squares) đã được đề xuất trong [4]. Trên cơ sở thuật toán ước lượng không gian con phi
tuyến tính NL-PETRELS, các tác giả trong [9] đã đề xuất thuật toán phân tích CP thích
nghi cho ten-xơ bậc 3 có kích thước hai chiều cố định và kích thước một chiều tăng theo
thời gian. Việc xây dựng thuật toán phân tích CP thích nghi được thiết lập trên ý tưởng
của thuật toán phân tích CP cho ten-xơ bậc 3 dữ liệu đầy đủ của Nion và cộng sự [12],
đã được phát triển cho dữ liệu không đầy đủ trong [11].
Trong bài báo này, chúng tôi khai thác thêm ý tưởng sử dụng hàm phi tuyến tính trong [9]
để cải thiện hiệu năng của thuật toán ước lượng không gian con PETRELS, nhưng không
chỉ bó buộc trong việc sử dụng hàm tanh(x) mà còn xem xét các hàm phi tuyến khác.
Trên cơ sở đó, bài báo khảo sát thuật toán phân tích CP cho ten-xơ bậc 3 với các hàm phi
tuyến khác nhau và minh họa áp dụng cho khôi phục dữ liệu EEG không đầy đủ.
Phần còn lại của bài báo được cấu trúc như sau: Mục 2 trình bày cơ sở lý thuyết bao gồm
các thuật toán ước lượng không gian con PETRELS [4], NL-PETRELS [9] và thuật toán
phân tích CP thích nghi của Nion và cộng sự [12]; mục 3 trình bày các đề xuất khảo sát
của chúng tôi; mục 4 trình bày kết quả mô phỏng của thuật toán trên dữ liệu phân tích
và dữ liệu thật trong ứng dụng khôi phục dữ liệu cho ten-xơ EEG bậc 3; mục 5 là những
52 TRƯƠNG MINH CHÍNH
kết luận của bài báo.
Bài báo sử dụng các ký hiệu toán học như sau: Các chữ in hoa đậm nghiêng (ví dụ X ), in
hoa đậm ( ... , gọi
là CP-PETRELS, trong [9], gọi là CP-NLtanh tương tự như thuật toán 2. Các thuật toán
này chỉ khác thuật toán 2 ở bước 1 và 2: Sử dụng ước lượng không gian con cho dữ liệu
không đầy đủ.
SO SÁNH MỘT SỐ HÀM PHI TUYẾN... 57
3 ĐỀ XUẤT KHẢO SÁT
Trong bài báo này, chúng tôi đề xuất sử dụng các hàm phi tuyến khác nhau thay thế
cho hàm g(x) trong biểu thức (8). Các hàm phi tuyến sử dụng là các hàm có dạng chữ S
(S-shape) như hàm erf(x), arctan(x) và một hàm đại số, ký hiệu f(x), như sau:
erf(x) =
2√
pi
∫ x
0
e−t
2
dt, (17)
f(x) =
x√
1 + x2
. (18)
Từ đó, chúng tôi khảo sát thuật toán ước lượng CP thích nghi cho ten-xơ bậc 3 dữ liệu
không đầy đủ bằng cách thay thế các hàm phi tuyến tương ứng cho bước ước lượng không
gian con (bước 1, thuật toán 2). Các thuật toán khảo sát được gọi là CP-NLerf, CP-NLatan
và CP-NLalg lần lượt sử dụng các hàm phi tuyến tương ứng là erf(x), arctan(x) và f(x).
Các thuật toán khảo sát là các phiên bản khác nhau của thuật toán CP-NLtanh, sử dụng
các hàm phi tuyến khác nhau.
4 MÔ PHỎNG
Mục này trình bày hai mô phỏng như sau:
◦ Mô phỏng 1: Được thực hiện trên dữ liệu phân tích, để chứng minh các thuật toán
khảo sát có hiệu suất tương đương với thuật toán CP-NLtanh, khắc phục được nhược
điểm của thuật toán CP-PETRELS khi tỷ lệ quan sát là thấp;
◦ Mô phỏng 2: Minh họa thuật toán khảo sát cho ứng dụng khôi phục dữ liệu EEG
không đầy đủ.
4.1 Mô phỏng 1
Dữ liệu mô phỏng được tạo như sau.
Đầu tiên, ten-xơ X kích thước 20× 2000× 25 được tạo thành từ các ma trận A, B, C với
các thành phần là biến ngẫu nhiên Gauss, trung bình 0 và phương sai 1. Tiếp theo, nhiễu
là biến ngẫu nhiên Gauss, trung bình 0, phương sai σ2 được cộng vào ten-xơ X .
Tại lần ước lượng thứ τ , dữ liệu được chọn là slice thứ τ của ten-xơ X , tức là ma trận
X (:, τ, :); dữ liệu không đầy đủ sẽ được tạo thành bằng cách nhân dữ liệu đầy đủ với ma
trận quan sát, các vị trí được quan sát là ngẫu nhiên.
Các giá trị khởi tạo của thuật toán thích nghi được khởi tạo ngẫu nhiên, hệ số λ của các
thuật toán thích nghi giống nhau và bằng 0.91, đây là giá trị mà thuật toán PETRELS có
hiệu suất tốt nhất [4].
Khi ước lượng slice thứ τ , gọi ngắn gọn là x, ta được giá trị ước lượng là xˆ, tham số đánh
giá kết quả mô phỏng là
NRE(τ) =
‖x− xˆ‖2
‖x‖2
. (19)
Tham số NRE càng nhỏ (gần 0) càng chứng tỏ hiệu suất cao của việc ước lượng.
58 TRƯƠNG MINH CHÍNH
Kết quả mô phỏng được thể hiện trong hình 2 ứng với mức nhiễu 10−3.
0 500 1000 1500 2000
10-10
100
1010
1020
1030
1040
CP-PETRELS
CP-NLtanh
CP-NL
erf
CP-NL
atan
CP-NL
alg
Lần ước lượng (τ )
 N
R
E
(τ
)
(a) Tỷ lệ quan sát 10%
0 500 1000 1500 2000
10-4
10-2
100
102
104
CP-PETRELS
CP-NLtanh
CP-NL
erf
CP-NL
atan
CP-NL
alg
Lần ước lượng (τ )
 N
R
E
(τ
)
(b) Tỷ lệ quan sát 15%
0 500 1000 1500 2000
10-3
10-2
10-1
100
101
102
CP-PETRELS
CP-NLtanh
CP-NL
erf
CP-NL
atan
CP-NL
alg
Lần ước lượng (τ )
 N
R
E
(τ
)
(c) Tỷ lệ quan sát 20%
0 500 1000 1500 2000
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
CP-PETRELS
CP-NLtanh
CP-NL
erf
CP-NL
atan
CP-NL
alg
Lần ước lượng (τ )
 N
R
E
(τ
)
(d) Tỷ lệ quan sát 25%
Hình 2: Giá trị NRE theo thời gian ước lượng τ của các thuật toán tại các tỷ lệ quan
sát khác nhau.
Từ kết quả này, chúng ta có một số nhận xét sau:
◦ Khi tỷ lệ quan sát nhỏ (cỡ 10%), các thuật toán đều không thể khôi phục dữ liệu;
◦ Khi tỷ lệ quan sát tăng lên, các thuật toán ước lượng với độ chính xác (qua tham
số NRE) tăng lên;
◦ Các thuật toán ước lượng phi tuyến có hiệu suất tốt hơn thuật toán CP-PETRELS
khi tỷ lệ quan sát nhỏ, cỡ 15% và 20%;
◦ Các thuật toán ước lượng phi tuyến có hiệu suất tương đương nhau.
4.2 Mô phỏng 2
Mục này trình bày mô phỏng so sánh một thuật toán khảo sát (CP-NLatan) với thuật toán
CP-NLtanh và một thuật toán hoạt động chế độ khối là thuật toán CP-WOPT. Thuật toán
SO SÁNH MỘT SỐ HÀM PHI TUYẾN... 59
CP-WOPT đã được thực hiện trong bộ công cụ cho ten-xơ (Tensor Toolbox [3]), thực hiện
cùng Poplano Toolbox [7].
Mô hình xây dựng ten-xơ bậc 3 được thực hiện theo mô hình của Acar và cộng sự đề xuất
trong [1], cho ứng dụng phát hiện xung động kinh, được minh họa trong hình 3.
1
f1(s)
f2(s)
· · ·
fn(s)
GL(n)
C
ác
đặ
c
tr
ưn
g
K
ên
h
Thời gian
Kê
nh
Các khoảng thời gian
Ten-xơ
đặc trưng
Hình 3: Sơ đồ khối xây dựng ten-xơ EE đặc trưng của Acar và các cộng sự [1].
Trước hết, dữ liệu trên mỗi kênh được lấy mẫu và xử lý trên từng khoảng có độ dài N
mẫu (gọi là một epoch), các mẫu thời gian là s = {s(1), s(2), . . . , s(N)}; từ các mẫu trong
khoảng này, tiến hành xây dựng các hàm đặc trưng, ký hiệu là fi(s). Có 7 hàm đặc trưng
trong miền thời gian và miền tần số được xây dựng, các hàm này đã được mô tả chi tiết
trong [1]. Mỗi khoảng thời gian, trên mỗi kênh sẽ tương ứng với véc-tơ các hàm đặc trưng;
nếu đồng thời xem xét nhiều kênh thì dữ liệu là một ma trận. Thu dữ liệu EEG trong các
khoảng thời gian liên tiếp nhau sẽ có được ten-xơ bậc 3, các chiều tương ứng là số kênh,
hàm đặc trưng và các khoảng thời gian (epoch).
Dữ liệu EEG thô cho mô phỏng được sử dụng từ bệnh nhân 38, cơ sở dữ liệu nghiên
cứu gai động kinh thuộc đề tài QG-10.40, Phòng Thí nghiệm Tín hiệu và Hệ thống,
Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội. Dữ liệu được lưu trữ dưới dạng
ma trận, kích thước 19 × 133712 tương ứng với 19 kênh và 133712 mẫu thời gian, tần
số lấy mẫu là 256 Hz. Dữ liệu thô này được trích một khoảng, kích thước 19 × 32496 và
thực hiện biến đổi, tạo nên ten-xơ đặc trưng theo phương pháp trong [1], mã chương trình
tại:  với các tham số cụ thể như sau: Độ dài khoảng là
512 mẫu, bước dịch các khoảng là 16 mẫu (có nghĩa là nếu khoảng thứ nhất thực hiện
biến đổi từ mẫu 1 đến mẫu 512 thì khoảng thứ 2 từ mẫu 17 đến mẫu 528, tương tự cho
các khoảng tiếp theo). Dữ liệu thu được là ten-xơ kích thước 19× 2000× 7, 19 là số kênh,
2000 là số khoảng thời gian và 7 là số hàm đặc trưng.
Giả sử dữ liệu bị mất tại các khoảng thời gian trên các kênh ngẫu nhiên, lúc đó dữ liệu
trên kênh đó được gán là 0. Từ dữ liệu không đầy đủ, thực hiện các thuật toán CP-WOPT,
CP-NLtanh và CP-NLatan để khôi phục lại dữ liệu đã mất.
Đối với ten-xơ dữ liệu gốc X , mất dữ liệu tại các vị trí xác định bởi ten-xơ quan sát W
(bao gồm các thành phần có giá trị bằng 0 hoặc 1 tương ứng với vị trí dữ liệu mất và
60 TRƯƠNG MINH CHÍNH
không mất) các thuật toán sẽ ước lượng được ten-xơ Xˆ ; lúc đó tham số đánh giá các thuật
toán là chỉ số khôi phục ten-xơ (TCS: Tensor Completion Score) được xác định như sau:
TCS =
∥∥∥(1−W) ∗ (X − Xˆ )∥∥∥
2
‖(1−W) ∗X‖2
. (20)
TCS có giá trị không âm, giá trị TCS càng gần 0 chứng tỏ thuật toán càng tốt, theo nghĩa
dữ liệu được khôi phục hoàn toàn.
Thực hiện mô phỏng đối với các trường hợp số kênh mất khác nhau, tại một số lượng kênh
mất thực hiện 50 lần và tính giá trị TCS trung bình, kết quả có được như trong bảng 1.
Bảng 1: Quan hệ giữa giá trị TCS trung bình với số lượng kênh bị mất dữ liệu của
các thuật toán
Số kênh
CP-WOPT CP-NLtanh CP-NLatan
mất dữ liệu
1 0.0804 0.0911 0.0913
3 0.0866 0.0939 0.0937
5 0.0893 0.0967 0.0957
7 0.0938 0.1019 0.1022
9 0.0972 0.1108 0.1112
11 0.1037 0.1254 0.1246
Kết quả trong bảng 1 cho chúng ta thấy rằng, thuật toán CP-WOPT có hiệu suất cao hơn
các thuật toán thích nghi. Các thuật toán thích nghi có thể khôi phục dữ liệu khi số kênh
mất là 7, lúc này giá trị TCS xấp xỉ 0.1; trong lúc đó thuật toán CP-WOPT có thể khôi
phục được dữ liệu khi số kênh mất là 11. Tuy nhiên, sai khác về tham số TCS của các
thuật toán không quá lớn.
Để có thể nhìn trực quan hơn về việc khôi phục dữ liệu, một đoạn dữ liệu được hiển thị
dạng ảnh: Ten-xơ kích thước 19 × 100 × 7 được sắp xếp dưới dạng ma trận kích thước
133× 100 và hiển thị dạng ảnh như hình 4. Giá trị hiển thị là giá trị các hệ số (hình 4(a)
và 4(b)) và sai số tuyệt đối giữa ten-xơ ước lượng và ten-xơ dữ liệu gốc (các hình còn lại).
Kết quả trong hình 4 cho phép chúng ta củng cố đánh giá về sự khôi phục dữ liệu EEG
dạng ten-xơ bậc 3 thành công của các thuật toán và minh chứng về sự sai khác rất nhỏ
giữa thuật toán CP-WOPT và các thuật toán thích nghi. Các giá trị sai khác giữa dữ liệu
khôi phục và dữ liệu gốc rất nhỏ và có những vùng tương đồng nhau như các vùng có màu
vàng (giá trị lớn).
SO SÁNH MỘT SỐ HÀM PHI TUYẾN... 61
20 40 60 80 100
20
40
60
80
100
120
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
(a) Dữ liệu đầy đủ
20 40 60 80 100
20
40
60
80
100
120
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
(b) Dữ liệu không đầy đủ
20 40 60 80 100
20
40
60
80
100
120
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
(c) Sai số khôi phục bằng CP-WOPT
20 40 60 80 100
20
40
60
80
100
120
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
(d) Sai số khôi phục bằng CP-NLtanh
20 40 60 80 100
20
40
60
80
100
120
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
(e) Sai số khôi phục bằng CP-NLatan
Hình 4: Minh họa khôi phục dữ liệu bằng các thuật toán CP-WOPT, CP-NLtanh và
CP-NLatan
62 TRƯƠNG MINH CHÍNH
5 KẾT LUẬN
Với việc sử dụng yếu tố phi tuyến tính trong ước lượng không gian con dữ liệu không đầy
đủ, các thuật toán khảo sát trong bài báo có ưu thế hơn thuật toán PETRELS sử dụng
cho phân tích CP thích nghi, khi tỷ lệ quan sát là thấp. Các thuật toán khảo sát thực tế
chỉ là các thể hiện khác nhau của việc sử dụng hàm phi tuyến đã đề xuất trong [9]. Tuy
nhiên, việc mô phỏng với các hàm phi tuyến khác nhau có một ý nghĩa khác lớn hơn, đó là
khi áp dụng thuật toán cho các kiểu dữ liệu khác nhau, các kiểu hàm phi tuyến trở thành
các lựa chọn và có thể sẽ phù hợp với dữ liệu thực tế nào đó. Vì vậy, trong nghiên cứu áp
dụng, các hàm phi tuyến cần được mô phỏng và khảo sát nhiều hơn. Các thuật toán phân
tích CP thích nghi có ưu thế hơn các thuật toán phân tích CP chế độ khối trong ứng dụng
khôi phục tín hiệu EEG cấu trúc ten-xơ bậc 3 cần thời gian xử lý ngắn.
6 LỜI CẢM ƠN
Bài báo được hỗ trợ bởi Đề tài nghiên cứu khoa học số TN. 18-TN-04, Trường Đại học Sư
phạm, Đại học Huế.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] E. Acar, C. A. Bingol, H. Bingol, R. Bro, and B. Yener (2007), “Seizure recognition on
epilepsy feature tensor,” in Proceedings of the 29th Annual International Conference of
the Engineering in Medicine and Biology Society (EMBS 2007), IEEE, pp. 4273–4276.
[2] E. Acar, D. M. Dunlavy, T. G. Kolda, and M. Mørup (2011), “Scalable tensor factoriza-
tions for incomplete data,” Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems, 106 (1),
pp. 41–56.
[3] B. Bader and T. Kolda (2010), “Matlab tensor toolbox version 2.4: 
sandia. gov/˜tgkolda”.
[4] Y. Chi, Y. C. Eldar, and R. Calderbank (2013), “PETRELS: Parallel subspace estima-
tion and tracking by recursive least squares from partial observations,” IEEE Transac-
tions on Signal Processing, 61 (23), pp. 5947–5959.
[5] F. Cong, Q.-H. Lin, L.-D. Kuang, X.-F. Gong, P. Astikainen, and T. Ristaniemi (2015),
“Tensor decomposition of EEG signals: a brief review,” Journal of Neuroscience Meth-
ods, 248, pp. 59–69.
[6] M. De Vos, A. Vergult, L. De Lathauwer, W. De Clercq, S. Van Huffel, P. Dupont,
A. Palmini, and W. Van Paesschen (2007), “Canonical decomposition of ictal scalp
EEG reliably detects the seizure onset zone,” NeuroImage, 37 (3), pp. 844–854.
[7] D. M. Dunlavy, T. G. Kolda, and E. Acar (2010), “Poblano v1. 0: A matlab toolbox
for gradient-based optimization,” Sandia National Laboratories, Tech. Rep. SAND2010-
1422.
[8] T. G. Kolda and B. W. Bader (2009), “Tensor decompositions and applications,” SIAM
review, 51 (3), pp. 455–500, 2009.
SO SÁNH MỘT SỐ HÀM PHI TUYẾN... 63
[9] N. Linh-Trung, T. Minh-Chinh, V.-D. Nguyen, and K. Abed-Meraim (2018), “A Non-
Linear Tensor Tracking Algorithm for Analysis of Incomplete Multi-Channel EEG
Data,” in Proceedings of the 12th International Symposium on Medical Information and
Communication Technology.
[10] M. Mardani, G. Mateos, and G. B. Giannakis (2015), “Subspace learning and imputa-
tion for streaming big data matrices and tensors,” IEEE Transactions on Signal Pro-
cessing, 63 (10), pp. 2663–2677.
[11] T. Minh-Chinh, V.-D. Nguyen, N. Linh-Trung, and K. Abed-Meraim (2016), “Adaptive
PARAFAC decomposition for third-order tensor completion,” in Proceedings of the Sixth
International Conference on Communications and Electronics (ICCE), IEEE, pp. 297–
301.
[12] D. Nion and N. D. Sidiropoulos (2009), “Adaptive algorithms to track the PARAFAC
decomposition of a third-order tensor,” IEEE Transactions on Signal Processing, 57 (6),
pp. 2299–2310.
[13] S. Sanei and J. A. Chambers (2007), EEG signal processing, John Wiley & Sons.
[14] M. Weis, F. Romer, M. Haardt, D. Jannek, and P. Husar (2009), “Multi-dimensional
space-time-frequency component analysis of event related EEG data using closed-form
PARAFAC,” in Proceedings of the IEEE International Conference on Acoustics, Speech
and Signal Processing, IEEE, pp. 349–352.
[15] J. R. Wolpaw, N. Birbaumer, D. J. McFarland, G. Pfurtscheller, and T. M. Vaughan
(2002), “Brain–computer interfaces for communication and control,” Clinical Neuro-
physiology, 113 (6), pp. 767–791.
Title: A COMPARISON STUDY ON SEVERAL TYPES ON NON-LINEAR FUNC-
TIONS IN ADAPTIVE CANONICAL POLYADIC DECOMPOSITION OF THIRD-ORDER
TENSORS AND APPLICATION IN ANALYSIS OF INCOMPLETE EEG DATA
Abstract: In this paper, we compared several nonlinear functions used in adaptive canon-
ical polyadic (CP) decomposition of third-order tensors with one dimension growing with
time. We also applied these adaptive CP decomposition algorithms to analysis of incomplete
electroencephalogram (EEG) data under third-order tensor representation. The numerical
results showed comparable performance of the algorithms when different nonlinear func-
tions were used. The study also showed the applicability of adaptive canonical polyadic
decomposition in tensor completion for EEG data.
Keywords: Non-linear function, adaptive Canonical Polyadic algorithm, EEG.