Phát triển thuật toán chữ ký số dựa trên hệ mã Poligh - Hellman

Công nghệ thông tin 
 N.V. Thái, L.H. Dũng, “Phát triển thuật toán chữ ký số dựa trên hệ mã Poligh – Hellman.” 180 
PHÁT TRIỂN THUẬT TOÁN CHỮ KÝ SỐ DỰA TRÊN 
HỆ MÃ POLIGH - HELLMAN 
Nguyễn Vĩnh Thái1, Lưu Hồng Dũng2 
Tóm tắt: Bài báo đề xuất xây dựng thuật toán chữ ký số trên cơ sở phát 
triển hệ mã khóa bí mật Poligh – Hellman. Thuật toán chữ ký mới đề xuất có 
nguyên tắc làm việc tương tự thuật toán chữ ký RSA, song cho phép nhiều đối 
tượng ký có thể cùng sử dụng chung một modulo p trong các thuật toán ký và 
thuật toán kiểm tra chữ ký. Đồng thời, bài báo cũng phân tích mức độ an toàn 
của lược đồ mới đề xuất, cho thấy khả năng ứng dụng của nó trong thực tế. 
Từ khóa: Chữ ký số, thuật toán chữ ký số, lược đồ chữ ký số, hệ mật khóa bí mật, hệ mã Poligh – Hellman. 
 1. ĐẶT VẤN ĐỀ 
Hệ mã Poligh – Hellman [1] được đề xuất và công bố bởi S. Poligh và M. 
Hellman vào năm 1976. Đây là một hệ mã khóa bí mật nhưng được xây dựng theo 
phương pháp của các hệ mã lũy thừa RSA [2] , ElGamal [3],... Hệ mã Poligh – 
Hellman có phương pháp mã hóa hoàn toàn như hệ mật RSA. Song do hệ mã 
Poligh – Hellman sử dụng modulo p là số nguyên tố nên các khóa mã hóa và giải 
mã phải được giữ bí mật hoàn toàn, chính vì lý do này mà hệ mã Poligh – Hellman 
là một hệ mã khóa bí mật và không thực hiện được chức năng của một hệ chữ ký 
số như hệ mật RSA. 
Bài báo đề xuất một thuật toán chữ ký số được phát triển từ hệ mã Poligh – 
Hellman, lược đồ mới đề xuất có nguyên tắc làm việc tương tự lược đồ RSA, song 
lại cho phép các đối tượng ký cùng sử dụng chung một modulo p nguyên tố như 
các lược đồ DSA trong chuẩn DSS [4] của Hoa Kỳ hay GOST R34.10 – 94 của 
Liên bang Nga [5]. 
2. PHÁT TRIỂN THUẬT TOÁN CHỮ KÝ SỐ DỰA TRÊN HỆ MÃ 
POLIGH – HELLMAN 
 2.1. Hệ mã Poligh – Hellman 
2.1.1. Thuật toán hình thành tham số và khóa 
Thuật toán bao gồm các bước như sau: 
[1]. Sinh số nguyên tố p lớn, mạnh. 
[2]. Tính: )1()( −= ppϕ 
[3]. Chọn khóa mã hóa e là một giá trị ngẫu nhiên thỏa mãn: )(1 pe ϕ<< và: 
1))(,gcd( =pe ϕ 
[4]. Tính khóa giải mã d theo công thức: )(mod1 ped ϕ−= 
[5]. Khóa bí mật chia sẻ giữa đối tượng gửi/mã hóa và nhận/giải mã là các 
tham số: p, d và e. 
2.1.2 Thuật toán mã hóa và giải mã 
a) Thuật toán mã hóa: 
Thuật toán bao gồm các bước: 
[1]. Biểu diễn bản tin cần ký M thành một giá trị m tương ứng trong khoảng 
[0, p – 1] 
Công nghệ thông tin 
 Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san CNTT, 12 - 2017 181
[2]. Người gửi sử dụng khóa mã hóa (e) để mã hóa bản tin: 
 pmC e mod= 
Bản mã tương ứng với bản tin M là C. 
b) Thuật toán giải mã: 
Thuật toán kiểm tra bao gồm các bước: 
[1]. Người nhận sử dụng khóa giải mã (d) để giải mã bản tin nhận được: 
pCm d mod= 
[2]. Chuyển giá trị m thành bản tin ban đầu. 
Nhận xét: 
Trong hệ mã Poligh – Hellman, khóa mã hóa (e) và giải mã (d) là 2 giá trị 
nghịch đảo nhau theo modul )( pϕ . Do p là số nguyên tố, nên )1()( −= ppϕ . Như 
vậy, chỉ cần biết 1 trong 2 giá trị e hoặc d thì hoàn toàn dễ dàng tính được giá trị 
kia. Vì thế, cả 2 khóa e và d đều phải được giữ bí mật và do đó hệ Poligh – 
Hellman là một hệ mã khóa bí mật. Cũng vì lí do đó, hệ Poligh – Hellman không 
thể thực hiện vai trò của một hệ chữ ký số như hệ mật RSA. 
2.2. Thuật toán chữ ký mới đề xuất MTA 17.3 – 01 
Thuật toán chữ ký mới đề xuất, ký hiệu MTA 17.3 – 01, được xây dựng theo 
nguyên tắc của hệ mã Poligh – Hellman bao gồm các thuật toán hình thành tham số 
và khóa, thuật toán ký và kiểm tra chữ ký như sau: 
2.2.1 Thuật toán hình thành các tham số hệ thống và khóa 
a) Hình thành các tham số hệ thống 
Hình thành tham số bao gồm các bước thực hiện như sau: 
[1]. Chọn số nguyên tố p lớn sao cho việc giải bài toán logarit rời rạc trên Zp là 
khó. 
[2]. Lựa chọn hàm băm (hash function) H: {0,1}* a Zn , với: pn < . 
[3]. Công khai: p, H(.). 
Ghi chú: Trong ứng dụng thực tế, p là tham số hệ thống và do nhà cung cấp 
dịch vụ chứng thực số tạo ra. 
b) Thuật toán hình thành khóa 
Mỗi người dùng U hình thành cặp khóa bí mật và công khai của mình theo các 
bước như sau: 
[1]. Chọn giá trị ex thỏa mãn: 11 −<< pex và: 1)1,gcd( =−pex 
[2]. Tính giá trị: ( ) )1mod(1 −= − ped xx 
[3]. Chọn một giá trị ngẫu nhiên t thỏa mãn: 11 −<< pt 
[4]. Tính giá trị khóa e theo công thức: ( )( ) )1mod(mod −= ppee tx 
 Kiểm tra nếu: 1)1,gcd( =−pe thì thực hiện lại từ bước [3]. 
[5]. Tính giá trị khóa d1 theo công thức: ( )( ) )1mod(mod1 −= ppdd tx 
 Kiểm tra nếu: 1)1,gcd( 1 =−pd thì thực hiện lại từ bước [3]. 
[6]. Tính giá trị khóa d2 công thức: 
( ) ( ) ( ) ( )( ) )1mod(modmod)1mod()1mod(2 −×−−×−= ppepdpepdd txtxtxtx 
Kiểm tra nếu: 1)1,gcd( 2 =−pd thì thực hiện lại từ bước [3]. 
Công nghệ thông tin 
 N.V. Thái, L.H. Dũng, “Phát triển thuật toán chữ ký số dựa trên hệ mã Poligh – Hellman.” 182 
[7]. Công khai: e ; giữ bí mât: d1, d2. 
2.2.2 Thuật toán chữ ký số 
a) Thuật toán ký 
Thuật toán bao gồm các bước: 
[1]. Tính giá trị đại diện của bản tin cần ký (M): m = H (M) 
[2]. Hình thành phần thứ nhất của chữ ký: ( ) pmS d mod11 = 
[3]. Hình thành phần thứ hai của chữ ký: ( ) pmS d mod22 = 
[4]. Chữ ký số tương ứng với bản tin M là cặp: S = (S1, S2). 
b) Thuật toán kiểm tra 
Thuật toán kiểm tra bao gồm các bước: 
[1]. Tính giá trị đại diện của bản tin cần thẩm tra (M): m = H(M) 
[2]. Tính giá trị m theo công thức: ( ) pSSm e mod12 ×= 
[3]. Kiểm tra nếu m = m thì chữ ký là hợp lệ, nguồn gốc và tính toàn vẹn của 
bản tin cần thẩm tra được công nhận. 
2.2.4 Tính đúng đắn của thuật toán MTA 17.3 – 01 
Tính đúng đắn của thuật toán chữ ký mới đề xuất được chứng minh qua các bổ 
đề và mệnh đề sau đây: 
Bổ đề 1: 
Nếu: p là số nguyên tố, 11 −<< pe , 1)1,gcd( =−pe , )1mod(1 −= − ped và 
pm <≤0 thì: mpm de =mod. . 
Chứng minh: 
Thật vậy, ta có: )1mod(1 −= − ped . Nên: 1)1mod( =−× ped 
Do đó sẽ tồn tại số nguyên k sao cho: 1)1( +−×=× pked 
Theo định lý Euler [6] ta có: ( ) 1mod1 =− pm p 
Từ đây suy ra: 
( ) ( )( )
( )( )( ) mpmpmpm
pmpmpmpm
pk
pkpkde
=×=×=
×==
−
−+−
mod1modmod
modmodmodmod
1
1.11..
Bổ đề được chứng minh. 
Bổ đề 2: 
Nếu: p là số nguyên tố, 11 −<< pe , 1)1,gcd( =−pe , )1mod(1 −= − ped , 
pm <≤0 thì: ( ) ( ) mpm
tt de
=mod. . 
Chứng minh: Thật vậy, theo Bổ đề 1 ta có: 
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) mpmppm
pmppmpm
pmppm
pmppmpm
ppmpmpm
dedede
dededede
dedede
dededede
dededede
tt
ttt
tttt
===
===
==
===
==
−
−
−
−
−
−
modmodmod
modmodmodmod
............................................................................................
modmodmod
modmodmodmod
modmodmodmod
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
..
.
...
223
33
221
1
Công nghệ thông tin 
 Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san CNTT, 12 - 2017 183
Bổ đề được chứng minh. 
Mệnh đề: 
Cho p là số nguyên tố, 11 −<< pex , 1)1,gcd( =−pex , ( ) )1mod(1 −= − ped xx , 
pm <≤0 , 11 −<< pt , ( )( ) )1mod(mod −= ppee tx , 
( )( ) )1mod(mod1 −= ppdd tx , 
( ) ( ) ( ) ( )( ) )1mod(modmod)1mod()1mod(2 −×−−×−= ppepdpepdd txtxtxtx , 
pm <≤0 , ( ) pmC d mod11 = , ( ) pmC d mod22 = . Nếu: ( ) pCCm e mod12 ×= thì: 
mm = . 
Chứng minh: 
Thật vậy, do: 
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) pmpm
pm
m
pmmppmpm
pCCm
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
x
edped
ppeppd
ppepdpepd
eddedd
e
modmod
mod
modmodmodmod
mod
.1mod.
1modmod.1modmod
1modmod.mod1mod.1mod
.
12
1212
==
×
×=
×=×=
=×=
−
−−
−−−−
Theo Bổ đề 2, ta có: ( ) ( ) mnm
t
x
t
x de
=mod. 
Từ đây suy ra: m = m 
Mệnh đề được chứng minh. 
2.2.5 Mức độ an toàn của thuật toán MTA 17.3 – 01 
Mức độ an toàn của thuật toán mới đề xuất có thể đánh giá qua các khả năng sẽ 
được xem xét dưới đây: 
a) Khả năng tấn công làm lộ khóa mật 
Với thuật toán hình thành khóa ở mục 2.1.1, hoàn toàn có thể chọn giá trị của t 
sao cho d1, d2 và e không nghịch đảo với nhau theo cả modulo p và modulo (p-1). 
Nghĩa là từ e không thể tính được d1 và d2 bằng phép nghịch đảo theo modulo p và 
modulo (p-1). Ngoài ra, việc tính d1, d2 bằng cách giải bài toán logarit rời rạc từ: 
( ) pmS d mod11 = và: ( ) pmS d mod22 = cũng không khả thi, vì đây là bài toán khó 
nếu giá trị của tham số p được chọn đủ lớn. 
b) Khả năng tấn công thuật toán chữ ký số 
Bảng 1 và 2 cho thấy các thuật toán ký và kiểm tra chữ ký của MTA 17.3 – 01 
và của thuật toán chữ ký số RSA có cơ chế làm việc tương tự như nhau. Vì vậy, 
các chứng minh và đánh giá về tính an toàn của RSA cũng hoàn toàn có thể áp 
dụng đối với MTA 17.3 – 01. 
Bảng 1. Thuật toán ký của RSA và MTA 17.3 – 01 
Thuật toán Thuật toán ký 
RSA ( ) nmS d mod= 
MTA 17.3 – 01 ( ) pmS d mod11 = 
( ) pmS d mod22 = 
Công nghệ thông tin 
 N.V. Thái, L.H. Dũng, “Phát triển thuật toán chữ ký số dựa trên hệ mã Poligh – Hellman.” 184 
Bảng 2. Thuật toán kiểm tra của RSA và MTA 17.3 – 01 
Thuật toán Thuật toán kiểm tra 
RSA ( ) nSm e mod= 
 if )(MHm = then S = true 
MTA 17.3 – 01 ( ) pSSm e mod12 ×= 
if )(MHm = then (S1,S2) = true 
2.2.6 Hiệu quả thực hiện của thuật toán MTA 17.3 – 01 
Hiệu quả thực hiện của các thuật toán có thể được đánh giá thông qua số phép 
toán cần thực hiện hay tổng thời gian cần thực hiện các phép toán để hình thành và 
kiểm tra chữ ký. Để so sánh hiệu quả thực hiện của thuật toán mới đề xuất với 
thuật toán chữ ký số RSA, ở đây qui ước sử dụng các ký hiệu: 
Texp : thời gian thực hiện một phép toán mũ modul; 
Th : thời gian thực hiện hàm băm (hash function). 
Tmul : thời gian thực hiện một phép toán nhân modul; 
a) Thời gian thực hiện của thuật toán RSA: 
Thời gian hình thành chữ ký là: (Texp + Th) 
Thời gian kiểm tra chữ ký là: (Texp + Th) 
Tổng thời gian thực hiện: (2Texp + 2Th ) 
b) Thời gian thực hiện của thuật toán MTA 17.3 – 01: 
Thời gian hình thành chữ ký là: (2Texp + Th) 
Thời gian kiểm tra chữ ký là: (Texp + Th + Tmul) 
Tổng thời gian thực hiện: (3Texp + 2Th +Tmul ) 
Tổng hợp thời gian thực hiện của thuật toán mới đề xuất MTA 17.3 – 01 và 
của RSA được chỉ ra trên Bảng 3 như sau: 
Bảng 3. Thời gian thực hiện của các thuật toán MTA 17.3 – 01 và RSA 
Nhận xét: 
Từ Bảng 3 có thể thấy rằng hiệu quả thực hiện của thuật toán MTA 17.3 – 01 
thấp hơn thuật toán RSA. 
3. KẾT LUẬN 
Bài báo đề xuất một thuật toán chữ ký mới từ việc phát triển hệ mã khóa bí mật 
Poligh – Hellman. Thuật toán mới đề xuất có nguyên tắc làm việc cơ bản như lược 
đồ chữ ký RSA, song các đối tượng ký có thể sử dụng chung modulo p mà không 
ảnh hưởng đến độ an toàn của lược đồ. Một số phân tích sơ bộ về độ an toàn và 
hiệu quả thực hiện cho thấy khả năng ứng dụng của thuật toán mới đề xuất là hoàn 
toàn thực tế. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
TT Thuật toán Tổng thời gian thực hiện 
1 RSA 2Texp + 2Th 
2 MTA 17. 3 – 01 3Texp + 2Th + Tmul 
Công nghệ thông tin 
 Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số Đặc san CNTT, 12 - 2017 185
[1] Pohlig, S. and Hellman, M., ”An Improved Algorithm for Computing Logarithms over 
GF(p) and its Cryptographic Significance,” IEEE Trans. on Info. Theory Vol. IT-
24(1) pp. 106-110 (Jan. 1978). 
[2] R. L. Rivest, A. Shamir, L. M. Adleman, “A Method for Obtainỉng Digital Signatures 
and Public Key Cryptosystems”, Commun. of the ACM, Voi. 21, No. 2, 1978, pp. 120-
126. 
[3] ElGamal T., “ A public key cryptosystem and a signature scheme based on discrete 
logarithms”. IEEE Transactions on Information Theory. 1985, Vol. IT-31, No. 4. 
pp.469–472. 
[4] National Institute of Standards and Technology, NIST FIPS PUB 186-3. Digital 
Signature Standard, US Department of Commerce, 1994. 
[5] GOST R 34.10-94. Russian Federation Standard. Information Technology. 
Cryptographic data Security. Produce and check procedures of Electronic Digital 
Signature based on Asymmetric Cryptographic Algorithm. Government Committee of 
the Russia for Standards, 1994 (in Russian). 
[6] R. Kenneth, “Elementary Number Theory and its Applications”, AT & T Bell 
Laboratories, 4th Edition, ISBN: 0-201- 87073-8, 2000. 
[7] Mark Stamp, Richard M. Low , “Applied cryptanalysis: Breaking Ciphers in the Real 
World”. John Wiley & Sons, Inc., ISBN 978-0-470-1. 
[8] D. Boneh, “Twenty Years of Attacks on the RSA Cryptosystem, Notices of the 
American Mathematical Society”, 46(2), 1999, pp. 203-213. 
DEVELOPING NEW DIGITAL SIGNATURE ALGORITHM BASED ON 
POLIGH – HELLMAN EXPONENTIATION CIPHER 
ABSTRACT— This paper proposes new digital signature algorithm based on the Poligh – Hellman 
exponentiation cipher. The proposed signature algorithm has the same working principle as the RSA signature 
algorithm, but allows multiple signatures to share the modulo p in signed algorithms and signature verification 
algorithms. In addition to information security capabilities, the new algorithm has the ability to validate the 
integrity and origin of the message is confidential. 
KEYWORDS — Public - Key Cryptosystem, Secret - Key Cryptosystem, Digital Signature Algorithm, Poligh 
– Hellman exponentiation cipher. 
Nhận bài ngày 16 tháng 8 năm 2017 
Hoàn thiện ngày 26 tháng 11 năm 2017 
Chấp nhận đăng ngày 28 tháng 11 năm 2017 
Địa chỉ: 1 Viện CNTT, Viện KH và CN QS 
2
 Khoa CNTT, Học viện KTQS. 
 Email: nguyenvinhthai@gmail.com.