Một vài kết quả về moodun bất biến đẳng cấu

MỘT VÀI KẾT QUẢ VỀ MÔĐUN BẤT BIẾN
ĐẲNG CẤU
ĐÀO THỊ TRANG
Khoa Khoa học ứng dụng, Trường Đại học Công nghiệp Thực phẩm TP. HCM
Tóm tắt: Trong bài báo này, chúng tôi tổng quan một số kết quả về các
môđun bất biến đẳng cấu, đồng thời nêu một số kết quả liên quan đến
lớp các môđun này. Ngoài ra, chúng tôi cũng đưa một số kết quả liên
quan đến lớp vành tựa Frobenius và chúng tôi chứng minh được một
vành R là vành tựa Frobenius nếu và chỉ nếu R là vành bất biến đẳng
cấu phải, ef-mở rộng phải và thỏa điều kiện ACC trên các linh hóa tử
phải.
Từ khóa: Môđun nội xạ, môđun giả nội xạ, môđun bất biến đẳng cấu
1 GIỚI THIỆU VÀ MỘT SỐ KHÁI NIỆM
Trong bài báo này, vành R đã cho luôn được giả thiết là vành kết hợp có đơn vị và mọi
R-môđun được xét là môđun unita. Trong mục này, chúng tôi giới thiệu những khái niệm
cơ bản được sử dụng trong bài báo. Với vành R đã cho, ta viết MR (tương ứng, RM) để
chỉ M là một R-môđun phải (t.ư, trái). Trong một ngữ cảnh cụ thể của bài báo, khi không
sợ nhầm lẫn về phía của môđun, để đơn giản ta viết môđun M thay vì MR. Chúng ta
dùng các ký hiệu A ≤ M để chỉ A là môđun con của M . Đồng cấu từ M đến N ; ký hiệu
M → N được hiểu là R-đồng cấu từ M đến N . Ký hiệu End(M) là tập tất cả các đồng
cấu từ M đến M (hay còn được gọi là tập tất cả các đồng cấu của M). Cho M là một
R-môđun phải và X là tập khác rỗng của M . Linh hóa tử phải của X trong R ký hiệu là
rR(X) và được xác định như sau:
rR(X) = {r ∈ R : Xr = 0}
Khi không sợ nhầm lẫn ta có thể viết gọn là r(X) thay vì rR(X). Khi X = {x1, x2, . . . , xn}
thì ta viết r(x1, x2, . . . , xn) thay vì r({x1, x2, . . . , xn}). Ta có rR(X) là một iđêan phải của
vành R.
Tạp chí Khoa học, Trường Đại học Sư phạm Huế, Đại học Huế
ISSN 1859-1612, Số 03(51)/2019: tr. 40-49
Ngày nhận bài: 26/02/2019; Hoàn thành phản biện: 03/4/2019; Ngày nhận đăng: 11/3/2019
MỘT VÀI KẾT QUẢ VỀ MÔĐUN BẤT BIẾN ĐẲNG CẤU 41
Phần tiếp theo của mục này, chúng tôi sẽ trình bày một số khái niệm liên quan. Môđun
con K của R−môđun M được gọi là môđun con cốt yếu trong M , kí hiệu K ≤e M , nếu
với mọi môđun con L của M mà K ∩L = 0 thì L = 0. Lúc này, ta cũng nói M là mở rộng
cốt yếu của K. Nếu mọi môđun con của M là cốt yếu thì M được gọi là môđun đều. Đối
ngẫu, chúng ta có khái niệm môđun con đối cốt yếu. Một môđun con K của R−môđun M
được gọi là môđun con đối cốt yếu trong M , kí hiệu K  M , nếu với mọi môđun con L
của M mà K + L = M thì L = M .
Liên quan đến tính cốt yếu và đối cốt yếu của các môđun con, chúng ta có khái niệm đơn
cấu cốt yếu và toàn cấu đối cốt yếu. Một đơn cấu f : K → M được gọi là cốt yếu nếu
Im(f) ≤e M . Toàn cấu g : M → N được gọi là đối cốt yếu nếu Ker(g)M .
Các môđun con phần bù và phần phụ đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu cấu
trúc của một số lớp vành. Cho N là môđun con của M , nếu N ′ ≤ M là cực đại với tính
chất N ∩N ′ = 0 thì ta nói N ′ là phần bù của N trong M . Cho A và A′ là các môđun con
của MR, khi đó A′ được gọi là phần phụ của A trong M nếu A′ là môđun con cực tiểu
với tính chất A+A′ = M , điều này tương đương M = A+A′ và A ∩A′  A′. Theo định
nghĩa, thì mọi môđun luôn có phần bù. Tuy nhiên, không phải môđun nào cũng có phần
phụ. Tiếp theo chúng tôi nêu một số khái niệm liên quan đến tính nội xạ và xạ ảnh của
các môđun. Một môđun U được gọi là M -nội xạ nếu với mỗi môđun con K của M thì mọi
đồng cấu v : K → U đều mở rộng được đến đồng cấu v¯ : M → U . Nghĩa là sơ đồ sau giao
hoán (v¯f = v).
0 K M
U
f
v
v¯
Nếu môđun M là M -nội xạ thì M được gọi là tựa nội xạ ([10]). Các tác giả Johnson và
Wong đã chứng minh rằng M là tựa nội xạ nếu và chỉ nếu M bất biến qua tất cả các tự
đồng cấu của bao nội xạ của nó.
Môđun U được gọi là M -giả nội xạ nếu với mỗi môđun con K của M thì mọi đơn cấu
v : K → U đều mở rộng được đến đồng cấu v¯ : M → U . Môđun M được gọi là giả nội xạ
nếu M là M -giả nội xạ ([9]).
0 K M
M
f
v
v¯
Rõ ràng mọi môđun tựa nội xạ là giả nội xạ. Tuy nhiên chiều ngược không đúng trong
trường hợp tổng quát.
42 ĐÀO THỊ TRANG
Môđun U được gọi là M -xạ ảnh nếu với mọi toàn cấu g : M → N và mỗi đồng cấu
v : U → N đều tồn tại một đồng cấu v¯ : U →M sao cho v = gv¯.
U
M N 0
v
v¯
g
Nếu môđun U là U - xạ ảnh thì U được gọi là tựa xạ ảnh. Nếu U là M -xạ ảnh với mọi
môđun M thì U được gọi là xạ ảnh.
Môđun U được gọi là M -giả xạ ảnh nếu mọi toàn cấu g : M → N và mọi toàn cấu
v : U → N có thể nâng lên đến một đồng cấu v¯ : U → M . Môdun M được gọi là giả xạ
ảnh nếu M là M -giả xạ ảnh
M
M N 0
v
v¯
g
Từ định nghĩa chúng ta thấy mọi môđun tựa xạ ảnh là giả xạ ảnh.
Tiếp theo, chúng ta xét các trường hợp tổng quát của môđun tựa nội xạ.
• Một môđun M được gọi là C1 (hoặc môđun CS hoặc môđun mở rộng) nếu với mọi
môđun con A của M , tồn tại một hạng tử trực tiếp B của M thỏa mãn A ≤e B.
• Một môđun M được gọi là C2 nếu môđun con A của M đẳng cấu với một hạng tử trực
tiếp của M thì A cũng là một hạng tử trực tiếp của M .
• Một môđun M được gọi là C3 nếu A và B là hai hạng tử trực tiếp của M thỏa mãn
A ∩B = 0 thì A⊕B cũng là một hạng tử trực tiếp của M .
Trong bài báo này, trước hết chúng tôi tổng quan lại một số kết quả quan trọng liên quan
đến lớp các môđun bất biến đẳng cấu. Các kết quả này thực sự là một mở rộng đẹp của
lớp các môđun tựa nội xạ. Sử dụng các kết quả đã tổng quan, chúng tôi chứng minh được
các kết quả sau:
(1) Nếu R là vành bất biến đẳng cấu phải và R/Soc(RR) thỏa điều kiện ACC trên các linh
hóa tử phải, thì J(R) là lũy linh.
(2) Một vành R là vành tựa Frobenius nếu và chỉ nếu R là vành bất biến đẳng cấu phải,
ef-mở rộng phải và thỏa điều kiện ACC trên các linh hóa tử phải.
MỘT VÀI KẾT QUẢ VỀ MÔĐUN BẤT BIẾN ĐẲNG CẤU 43
2 LỚP MÔĐUN BẤT BIẾN ĐẲNG CẤU
Từ kết quả M là tựa nội xạ nếu và chỉ nếu M bất biến qua tất cả các tự đồng cấu của bao
nội xạ của nó. Năm 2013, các tác giả Zhou và Lee đã đưa ra khái niệm môđun bất biến
đẳng cấu:
Định nghĩa 2.1 ([11]). Một môđun M được gọi là bất biến đẳng cấu nếu M bất biến
qua