Mô hình hóa hệ truyền động bánh răng

Lê Thị Thu Hà Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 118(04): 67 - 77
67 
MÔ HÌNH HÓA HỆ TRUYỀN ĐỘNG BÁNH RĂNG 
Lê Thị Thu Hà* 
 Trường ĐH Kỹ thuật Công nghiệp – ĐH Thái Nguyên 
TÓM TẮT 
Bài toán nghiên cứu động lực học hệ truyền động bánh răng trong các máy tổ hợp là một bài toán 
phức tạp, nhưng không thể bỏ qua, vì nó sẽ quyết định chất lượng điều khiển hệ truyền động sau 
này. Để có được một chất lượng điều khiển cao, cần có một mô hình toán mô tả động học hệ 
truyền động bánh răng đủ chính xác. Mục đích của bài báo này là xây một mô hình toán đủ chính 
xác về cấu trúc cho hệ truyền động bánh răng cho bài toán điều khiển. Mô hình toán của bài báo sẽ 
chứa đựng trong nó đầy đủ các thành phần quyết định đặc tính động học của hệ, bao gồm tính đàn 
hồi của vật liệu, khe hở và ma sát. Kết quả mô phỏng đã khẳng định khả năng ứng dụng tốt của mô 
hình vào điều khiển chất lượng cao cho hệ truyền động qua bánh răng. 
Từ khóa: Hệ truyền động bánh răng, mô hình toán, khe hở, moment ma sát. 
ĐẶT VẤN ĐỀ* 
Trong các máy chuyên dụng, máy tổ hợp và 
các máy tự động điều khiển theo chương trình 
không thể không có sự tham gia của các hệ 
truyền động và hệ truyền động qua bánh răng 
là một trong số các hệ truyền động được sử 
dụng rộng rãi nhất. Hình 1 mô tả cấu trúc vật 
lý cơ bản của hệ truyền động qua bánh răng. 
Hình 1. Cấu trúc vật lý hệ truyền động qua 
bánh răng 
Chất lượng điều khiển hệ truyền động nói 
chung và hệ truyền động qua bánh răng nói 
riêng giữ một vai trò quyết định tới năng suất, 
chất lượng của sản phẩm, tuổi bền của máy và 
đảm bảo môi trường làm việc cho người lao 
động. Vì vậy trong quá trình tính toán và thiết 
kế máy, người ta luôn phải tập trung nghiên 
cứu và áp dụng nhiều biện pháp kỹ thuật, để 
sao cho hệ truyền động nói riêng và các cơ 
cấu chấp hành nói chung làm việc được ổn 
định với dao động cho phép nằm trong giới 
hạn cho trước, tiếng ồn nhỏ, độ chính xác của 
biến đổi vận tốc, moment... cao [1]. 
*
 Tel: 0977008928; Email: hahien1977@gmail.com 
Thêm nữa, đối với các máy tổ hợp sau một 
thời gian làm việc các yếu tố tác động nhiễu 
không mong muốn vào hệ truyền động qua 
bánh răng như ma sát, khe hở giữa các bánh 
răng, độ không cứng vững của vật liệu, sự 
mài mòn của vật liệu theo thời gian..., đã dẫn 
tới sự mất ổn định động lực học trong hệ 
truyền động. Mất ổn định động lực học là 
trạng thái nguy hiểm nhất xẩy ra khi tần số 
lực kích động có giá trị bằng hoặc xấp xỉ với 
tần số dao động riêng của hệ. Khi một quá 
trình gia công bị rơi vào trạng thái mất ổn 
định thì biên độ dao động của hệ rất lớn, làm 
cho hệ thống rung động mạnh, gây ồn và 
giảm độ chính xác cũng như chất lượng của 
sản phẩm. 
Từ trước đến nay đã có nhiều công trình 
nghiên cứu về lý thuyết cũng như thực 
nghiệm nhằm giải thích nguyên nhân, bản 
chất của hiện tượng mất ổn định động lực 
học. Người ta đã đưa ra các giải pháp kỹ thuật 
chế tạo, bảo dưỡng cơ khí để tìm cách khống 
chế và loại trừ nó. Chẳng hạn như lắp thêm 
bánh đà, nâng cao độ chính xác khi chế tạo 
các chi tiết, điều chỉnh và lắp ráp theo các quy 
trình nghiêm ngặt, chấp hành các chế độ bảo 
quản bảo dưỡng và bôi trơn... [1],[4]. Mặc dù 
vậy các biện pháp này cũng chỉ giải quyết 
được một phần và có tính chất định kỳ. 
Trường hợp, do các yếu tố ngẫu nhiên xẫy ra 
bất thường tác động thì các biện pháp cơ khí 
không thể khắc phục ngay được. 
Lê Thị Thu Hà Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 118(04): 67 - 77
68 
Do đó, để đáp ứng được yêu cầu đặt ra về ổn 
định động lực học cho hệ truyền động trong 
suốt thời gian làm việc, nâng cao tuổi thọ 
thiết bị thì bên cạnh các giải pháp cơ khí, 
người ta thường phải kết hợp sử dụng thêm 
các giải pháp điều khiển cho hệ truyền động 
[6] mà ở đây được hiểu là hệ thống điều khiển 
động cơ tạo moment dẫn động cho hệ truyền 
động như mô tả ở hình 2. 
Hình 2. Điều khiển hệ truyền động qua bánh răng 
Đến đây, ta lại gặp vấn đề cơ bản khác liên 
quan tới điều khiển là bên cạnh phương pháp 
điều khiển hợp lý, thì để có chất lượng điều 
khiển càng cao, mô hình toán mô tả hệ thống 
càng phải chính xác [2]. Đây cũng là nhiệm 
vụ nghiên cứu của bài báo này. 
Trong bài báo này, tác giả sẽ trình bày kết quả 
nghiên cứu về việc xây dựng mô hình toán 
mô tả hệ truyền động qua bánh răng. Mô hình 
toán này thu được hoàn toàn dựa trên phân 
tích lý thuyết về động lực học hệ bánh răng và 
các định luật cân bằng vật lý giữa các thành 
phần cơ trong nó. Nói cách khác ở đây chưa 
áp dụng thêm các phương pháp thực nghiệm 
để xác định những tham số hay các thành 
phần bất định của mô hình. Bởi vậy tính 
chính xác của mô hình đề xuất trong bài báo 
mới chỉ khẳng định được ở phần cấu trúc của 
mô hình. 
Như vậy, tính chính xác của mô hình toán thu 
được cho hệ truyền động qua bánh răng ở đây 
mới chỉ được đảm bảo về mặt cấu trúc. Tuy 
nhiên mô hình toán này đã mô tả được chính 
xác tối đa quan hệ qua lại giữa các thành phần 
bất định tác động ngẫu nhiên trong hệ, như 
dao động, ma sát, khe hở giữa các bánh răng, 
độ không cứng vững của vật liệu, sự mài mòn 
của vật liệu.... 
PHÂN TÍCH ĐỘNG LỰC HỌC HỆ 
BÁNH RĂNG 
Động lực học có tính tới yếu tố đàn hồi 
Ảnh hưởng các yếu tố đàn hồi trong hệ thống 
truyền động có liên quan mật thiết tới chuyển 
động của cơ cấu chấp hành 0. Ví dụ như ảnh 
hưởng do biến dạng đàn hồi của các bộ truyền 
dây đai, các trục công tác đặc biệt trục chính của 
các máy công cụ, các cặp bánh răng bị biến 
dạng đàn hồi trong quá trình ăn khớp, các khâu 
thanh truyền trong các cơ cấu truyền động ví dụ 
như đối với cơ cấu bốn khâu bản lề... 
Để thấy rõ yếu tố đàn hồi có ảnh hưởng tới 
chuyển động của máy hãy xét các trường hợp 
hai bánh răng được gắn trên một trục, nếu 
xem chúng là một khâu rắn tuyệt đối thì rõ 
ràng vận tốc góc của bánh răng i sẽ có cùng 
giá trị và chiều quay với bánh răng 1i + ở 
hình minh họa 3, nhưng khi trục của nó có độ 
cứng ic thì trong quá trình chuyển động, ... ng nói riêng thường người ta giả thiết 
các vật liệu làm ra nó cứng tuyệt đối, có nghĩa 
hoàn toàn không bị biến dạng dưới tác động 
của lực, nhưng trong thực tế dưới tác động 
của lực bao giờ cũng xẩy ra biến dạng, tuy 
nhiên để làm việc được và không xẩy ra hiện 
tượng phá hủy, người ta chỉ cho phép lực tác 
động nằm trong một giới hạn nhất định, để 
sao cho sau khi hết tác động của lực chi tiết 
trở về trạng thái ban đầu, hay nói một cách 
khác nghiên cứu chi tiết làm việc trong giới 
hạn đàn hồi. 
Ngoài yếu tố kể trên khi xét tới khe hở của 
các ổ trục và khe hở giữa các cặp bánh răng 
ăn khớp δ thì bài toán trở nên phức tạp hơn 
rất nhiều. Dưới đây bài báo sẽ xây dựng mô 
hình tính toán động lực học đối với một cặp 
bánh răng và để từ đó xây dựng mô hình tính 
toán động lực học cho cả hệ bánh răng có tính 
đến yếu tố đàn hồi, khe hở và độ cứng của 
răng, từ đó để tiến hành nghiên cứu chất 
lượng của bộ truyền khi kể đến ảnh hưởng 
của các của yếu tố nói trên. Tuy nhiên, trong 
một số trường hợp ứng dụng người ta có thể 
bỏ qua các yếu tố như độ cứng của bánh răng 
hay giảm chấn, ma sát..., tùy theo mức độ 
chính xác yêu cầu. 
Trong quá trình làm việc, ở hệ truyền động 
bánh răng gồm hai bánh răng 1 và 2 có tính 
đến khe hở và biến dạng đàn hồi của răng 
thường xẩy ra hai trạng thái, đó là: 
Hai bánh răng chưa ăn khớp với nhau do có 
khe hở cạnh răng δ , khi đó ta có thể xem hai 
bánh răng đó chuyển động độc lập với nhau. 
Hai bánh răng khi tiếp xúc với nhau do tính 
chất đàn hồi của vật liệu, răng bị biến dạng, 
nên xuất hiện thành phần lực gây ra biến dạng 
đàn hồi tỷ lệ với độ cứng c và lực giảm chấn 
tỷ lệ với hệ số giảm chấn k . 
Hình 7. Cặp bánh răng có khe hở, đàn hồi và 
giảm chấn 
Hình 8. Mô hình động lực học hệ cặp bánh răng 
có khe hở, đàn hồi và giảm chấn 
Trên hình 7 cho thấy khi kể đến khe hở của 
hai ổ trục 1 2,o o và khe hở giữa các kẽ răng 
( )tδ δ= theo công thức (10), thì quá trình ăn 
khớp của hai bánh răng trở nên rất phức tạp 
và có thể chia làm hai giai đoạn trong một chu 
kỳ ăn khớp đó là giai đoạn chạy không trong 
vùng chết (deadzone) - va chạm - ăn khớp. 
Hình 8 là sơ đồ mô phỏng động lực học của 
một cặp bánh răng nói trên có kể tới khe hở 
Lê Thị Thu Hà Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 118(04): 67 - 77
73 
của các ổ trục và bánh răng cũng như biến 
dạng đàn hồi của răng trong quá trình ăn khớp. 
Để thiết lập phương trình động lực học tổng 
quát cho một hệ truyền động nói chung và hệ 
truyền động cơ khí gồm các bánh răng nói 
riêng trong các thiết bị, máy công tác trước 
hết ta phải quan tâm tới các thông số động 
học và động lực học của hệ thống cơ khí đó. 
Ngoài các thông số hình học của bộ truyền 
bánh [1] răng dưới đây chỉ quan tâm tới độ hở 
của các trục i∆ và khe của các cặp bánh răng 
iδ . Như vậy rõ ràng phương trình động lực 
học của bộ truyền bánh răng có thể được viết 
dưới dạng tổng quát: 
1( ) ( , , , , , , , , , , , , , )n n i i si i i Li i i i i i ir m m J c k y xω ω ω ϕ ω α δ= ∆z
 (12) 
với ký hiệu vector: 
1( , , , , , , , , , , , , , )Ti i si i i Li i i i i i ir m m J c k y xω ϕ ω α δ= ∆z 
và nω là vận tốc thực của khâu chấp hành n , 
1ω là tốc độ góc của khâu dẫn, ir là bán kính 
vòng tròn chia của các bánh răng, m là 
modyn của các bánh răng, im là khối lượng 
của các bánh răng, SiJ là moment quán tính 
khối lượng của các bánh răng đối với các trục 
đi qua trọng tâm iS , iϕ là vị trí của các bánh 
răng, iω là vận tốc góc của các bánh răng, 
Liα là góc ăn khớp của cặp bánh răng thứ i , 
iδ là khe hở cạnh răng giữa hai cặp biên dạng 
răng đối tiếp, i∆ là khe hở giữa các trục và ổ 
trục thứ i và ,i ix y là tọa độ trọng tâm của 
trục quay i . Rõ ràng để thiết lập được 
phương trình động lực học tổng quát của một 
hệ thống truyền động cơ khí khi kể đến các 
yếu tố, khe hở, đàn hồi thì trở nên phức tạp, 
tuy nhiên đó là một bài toán thực tế rất quan 
trọng, tùy thuộc vào mức độ chính các yêu 
cầu mà người ta có thể tìm các giải thuật khác 
nhau để ổn định thông số động lực học của 
khâu chấp hành nω . 
Hình 9. Trạng thái làm việc của hệ cặp bánh răng 
có khe hở khi chưa ăn khớp a) và khi hai bánh 
răng đã ăn khớp b) 
Tiếp theo, để thiết lập phương trình động lực 
học của bộ truyền bánh răng khi tính đến khe 
hở cạnh răng δ theo phương pháp tuyến -n n , 
ta hãy xét từng trường hợp cụ thể dưới đây. 
Khi bánh răng chưa tiếp xúc 
Khi hai bánh răng chưa tiếp xúc với nhau do 
có khe hở δ có thể xem hai bánh răng tách 
rời nhau xem trên hình 9a), ta có phương trình 
chuyển động của các bánh răng độc lập với 
nhau: 
 [ ]
[ ]
c o s (s in c o s )
s in (1 c o s )
S i i i m s
i i i
i i i
J M M
m x G f
m y G f
ϕ
γ γ γ
γ γ
= −

= − 

= − 
ɺɺ
ɺɺ
ɺɺ
(13) 
và 
 [ ]
[ ]
1 1
1 1 1
1 1 1
cos (sin cos )
sin ( cos )
Si i i ms
i i i
i i i
J M M
m x G f
m y G f
ϕ
γ γ γ
γ γ
+ +
+ + +
+ + +
= +

= − 

= − 
ɺɺ
ɺɺ
ɺɺ
 (14) 
trong đó: SiJ là moment quán tính khối lượng 
đối với trục đi qua trọng tâm bánh răng i , 
i iG m g= là trọng lượng của bánh răng i , f 
là hệ số ma sát trượt khô trong ổ đỡ trục, γ là 
góc ma sát, ρ là bán kính vòng tròn ma sát, 
i msG Mρ = là moment ma sát, iM là moment 
Lê Thị Thu Hà Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 118(04): 67 - 77
74 
tác động trên các bánh răng, thành phần 
moment ma sát có thể phụ thuộc vào vị trí 
hoặc vận tốc góc của trục tùy theo chế độ bôi 
trơn cho ổ trục. 
Quá trình trên biểu diễn khi hai bánh răng 
không tiếp xúc với nhau do có khe hở cạnh 
răng, nó chỉ xẩy ra trong một khoảng thời 
gian ngắn, được xác định theo công thức sau: 
i oi
t
r
δδ
ω
= (15) 
trong đó δ là khe hở cạnh răng, iω là vận tốc 
góc của bánh răng I , oir là bán kính vòng 
tròn cơ sở. 
Trường hợp khe hở của các ổ đỡ trục có rất 
bé, dao động của trục có thể xem không đáng 
kể, có thể bỏ qua, khi hai bánh răng chưa tiếp 
xúc với nhau, hay nói một cách khác hai bánh 
răng chuyển động độc lập với nhau, ta có: 
1 1 1
Si i i ms
Si i i ms
J M M
J M M
ϕ
ϕ+ + +
= − 

= + 
ɺɺ
ɺɺ
 (16) 
với giả thiết moment ma sát trong các ổ đỡ 
trục có cùng giá trị. 
Quá trình biến dạng 
Sau khi bánh răng chủ động vượt qua vùng 
chết δ (deadzone), ngay lập tức giữa hai bánh 
răng xẩy ra hiện tượng va chạm. Thời gian 
xảy ra va chạm τ rất bé với giả thiết va chạm 
ở đây là va chạm đàn hồi và vì thế độ dịch 
chuyển của các bánh răng trong thời khắc xẩy 
ra va chạm là không đáng kể. Khi đó hai biên 
dạng răng iL và 1iL + chịu tác động một lực 
va chạm N F+
 
, trong đó thành phần lực va 
chạm N

 lớn hơn nhiều so với thành phần lực 
tác dụng F

. 
Để tính vận tốc của hai bánh răng khi va 
chạm ta áp dụng định lý biến thiên moment 
động lượng. Nếu ta gọi Li và ( 1)L i + là 
moment động lượng của các bánh răng i và 
1i + trước khi xẩy ra va chạm, ta có: 
1 1T Si i Si iL J Jϕ ϕ+ += +ɺ ɺ (17) 
và sau va chạm: 
1( )S Si Si SL J J ϕ+= + ɺ (18) 
Từ đó ta rút ra được vận tốc của hệ bánh răng 
sau khi va chạm là: 
1 1
1
Si i Si i
S
Si Si
J J
J J
ϕ ϕϕ + +
+
+
=
+
ɺ ɺ
ɺ
 (19) 
Quá trình xẩy ra va đập trong phạm vi thời 
gian vô cùng bé và sau đó quá trình ăn khớp 
giữa hai bánh răng lại tiếp tục. 
Khi hai bánh răng tiếp xúc 
Khi hai bánh răng tiếp xúc với nhau sau va 
đập (xem trên hình 9b), sẽ xuất hiện các thành 
phần lực đàn hồi và giảm chấn. Lúc này ta có 
các phương trình sau: 
0
1 1 1 0 1 1 1
( )
( ) ( )
Si i i ms i i i
Si i i ms i i i
J M M r F D
J M M r F D
ϕ
ϕ+ + + + + +
= − − + 

= + − + 
ɺɺ
ɺɺ
(20) 
trong đó: 
nF c= ∆ 
với c là độ cứng đàn hồi của cặp bánh răng 
tiếp xúc, ∆ là biến dạng đàn hồi của răng, n 
là hệ số phụ thuộc vào số điểm tiếp xúc trong 
đoạn ăn khớp thực của cặp bánh răng. Thực 
nghiệm cho thấy 1 1,5n< < . 
Biến dạng đàn hồi của răng phụ thuộc và vị trí 
của cơ cấu của răng. Vậy có i i iF c ϕ= , còn 
i i iD k ϕ= ɺ là thành phần lực giảm chấn tỷ lệ 
với vận tốc góc của trục quay, ik là hệ số 
giảm chấn. 
Thay vào phương trình trên các ký hiệu 
*
i ms iM M M− = và 0i i ir c C= ta có: 
*
*
1 1 1 1 1 1 1
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ+ + + + + + +
+ + = /

+ + = / 
ɺɺ ɺ
ɺɺ ɺ
Si i i i i i i
Si i i i i i i
J K C M
J K C M
 (21) 
Khi hai bánh răng đã ăn khớp với nhau thì độ 
cứng thay thế và hệ số giảm chấn của nó được 
tính theo công thức: 1i iC c c += + và hệ số 
giảm chấn 1
1
i i
i i
k k
K
k k
+
+
=
+
. Vì vậy hệ phương 
Lê Thị Thu Hà Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 118(04): 67 - 77
75 
trình chuyển động của một cặp bánh răng ăn 
khớp trên có thể được viết dưới dạng tổng 
quát: 
( ) ( ) ( ) ( )J t K t C t M tϕ ϕ ϕ+ + =/ɺɺ ɺ (22) 
trong đó: 
1 1 1
1
1
1 1
0 1 1( ) , ( )
0 1 1
1 1( ) , , 
1 1
Si i i
Si i i
i i i
i i
i i i
J
J t K t k
J
k k
C t c c c c k
k k
ϕ ϕϕ ϕϕ ϕ
ϕ
ϕ ϕ
+ + +
+
+
+ +
+ −
= =
− +
+ −
= = + =
− + +
ɺɺ ɺ
ɺɺ ɺ
ɺɺ ɺ
và , C K được là hệ số độ cứng và độ giảm 
chấn thay thế. 
Thông thường trong bộ truyền bánh răng hệ 
số giảm chấn k rất bé có thể bỏ qua. Khi đó 
phương trình có dạng: 
( ) ( ) ( )J t C t M tϕ ϕ+ =ɺɺ 
Phương trình (22) là một phương trình vi 
phân cấp II có vế phải, vì vậy phương trình có 
nghiệm dạng tổng quát: 
* **
1 1 1( )i i itϕ ϕ ϕ+ + += + 
trong đó * 1iϕ + là nghiệm của phương trình vi 
phân không có vế phải hay còn gọi là nghiệm 
riêng của phương trình vi phân có dạng: 
*
1
t
i A e
αϕ + = 
Còn **1iϕ + là nghiệm của phương trình vi phân 
có vế phải, nghiệm này phụ thuộc hàm ( )M t 
và các hệ số giảm chấn K và độ cứng của 
răng các bánh răng C chứa trong phương 
trình (22). Nhưng dạng của nghiệm **1iϕ + có 
thể tìm được dưới dạng: 
**
1 cos( )i B tϕ α β+ = + 
Do đó nghiệm tổng quát của phương trình 
(22) khi bỏ qua hệ số giảm chấn k sẽ là: 
 1( ) cos( )ti t Ae B tαϕ α β+ = + + 
MÔ PHỎNG VÀ KIỂM CHỨNG 
Như vậy, ba trạng thái làm việc khác nhau 
của hệ truyền động bánh răng, bao gồm các 
trạng thái khi các bánh răng chưa tiếp xúc 
nhau (chạy trong đoạn khe hở), khi bánh răng 
va chạm (quá trình biến dạng) và khi bánh 
răng tiếp xúc sau va chạm, sẽ được mô tả bởi 
ba phương trình khác nhau, lần lượt là (16), 
(19) và (20). Nói cách khác, mô hình toán của 
hệ bánh răng là mô hình đa cấu trúc, hay 
nguời ta còn gọi là hệ có cấu trúc biến đổi. 
Để thực hiện mô phỏng, ta sẽ đơn giản hóa 
mô hình bằng cách sử dụng giả thiết là quá 
trình xẩy ra va đập trong phạm vi thời gian vô 
cùng bé [3]. Khi đó, bằng việc bỏ qua quá 
trình xung đập va chạm, mô hình hệ bánh 
răng chỉ còn lại hai phương trình (16) khi ở 
vùng deadzone và (20) sau khi va chạm. Ghép 
chung hai mô hình toán này lại với nhau nhờ 
tham số biến thiên: 
0 trong deadzone( )
1 ngoai deadzone
d t
=
= 
= ɺ
 (23) 
ta sẽ có mô hình chung của hệ bánh răng là: 
0
1 1 1 0 1 1 1
( ) ( )
( ) ( ) ( )
Si i i ms i i i
Si i i ms i i i
J M M d t r F D
J M M d t r F D
ϕ
ϕ+ + + + + +
= − − + 

= + − + 
ɺɺ
ɺɺ
(24) 
Mô hình toán chung (24) này là một mô hình 
bất định, vì trong nó có chứa các tham số chưa 
xác định được như moment ma sát msM và 
hàm bất định ( )d t . Hiện nay để xác định thành 
phần bất định msM , người ta chủ yếu áp dụng 
các phương pháp thực nghiệm [8]. Thành phần 
hàm bất định ( )d t còn lại sẽ được khử nhờ các 
phương pháp điều khiển thích hợp, chẳng hạn 
như phương pháp điều khiển thích nghi giả 
định rõ giới thiệu trong [4] và [7]. 
Hình 10 là sơ đồ mô phỏng hệ cặp bánh răng 
mô tả bởi (24) cho trường hợp 2=i . Đại 
lượng 1M là moment đầu vào, được cung cấp 
Lê Thị Thu Hà Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 118(04): 67 - 77
76 
từ động cơ dẫn động và 2M là moment đầu ra 
của hệ. Các thành phần bất định msM và ( )d t 
của mô hình được biểu diễn bởi nhiễu tác 
động vào hệ. 
Thành phần ( )+i iF D là lực biến dạng đàn hồi 
và lực giảm chấn giữa các bánh răng i và 
1i + được xác định theo công thức: 
2
0 L , 1 1( ) cos ( )i i i i i i i iF D c r iα ϕ ϕ+ ++ = + 
trong đó ở bánh răng cuối cùng, mà trong mô 
phỏng dưới đây với 2i = là bánh răng thứ 
hai, có 1 3 2ϕ ϕ ϕ+ = =i . Những tham số còn lại 
trong hệ được giả định là: 
2 2
1 2
01 02
0
1 2 12
0,01 , 0,02 ,
50 , 100 ,
30 , 10 , 2α
= =
= =
= = = =
S S
L
J kgm J kgm
r mm r mm
c c N i
Hình 10. Sơ đồ mô phỏng trên SimuLink 
Hình 11 là kết quả mô phỏng khi đầu vào 1M 
là hằng số. Kết quả mô phỏng này, về mặt 
định tính, đã cho thấy mô hình (24) mô tả sát 
thực với trạng thái làm việc thực tế của hệ 
truyền động qua một cặp bánh răng. 
KẾT LUẬN 
Bài báo đã xây đựng được mô hình toán (16), 
(19) và (20) cho hệ truyền động bánh răng ở ba 
trạng thái làm việc khác nhau gồm trạng thái 
khi bánh răng chưa ăn khớp, trạng thái va đập 
khi vừa ăn khớp và trạng thái ăn khớp sau va 
đập đàn hồi. 
Cả ba mô hình trên có thể được ghép chung lại 
thành một mô hình bất định hàm thống nhất là 
mô hình (24). Mô hình toán này, bên cạnh 
thành phần bất định hàm ( )d t còn chứa bên 
trong nó các tham số hằng bất định khác bao 
gồm độ cứng vững của vật liệu, khe hở, độ 
biến dạng và hệ số ma sát. 
Hình 11. Kết quả mô phỏng 
Để xây dựng tiếp được mô hình toán chính 
xác hơn, không chứa tham số bất định, ta phải 
tiến hành thực nghiệm nhằm xác định cụ thể 
các hằng số bất định trên. Và cũng đã có 
nhiều phương pháp thực nghiệm được giới 
thiệu phục vụ nhận dạng được độ cứng vững 
của vật liệu, khe hở, độ biến dạng, hệ số ma 
sát này. Tuy nhiên, điều này là thực sự không 
cần thiết, vì ta có thể sử dụng các phương 
pháp điều khiển hiện đại để khắc phục tính 
bất định tham số đó của mô hình. 
Mô hình hệ truyền động bánh răng (24) của 
bài báo, tuy rằng còn chứa nhiều tham số 
hằng bất định gồm độ cứng vững của vật liệu, 
khe hở, độ biến dạng, ma sát, song lại có cấu 
trúc mô tả được chính xác các quan hệ động 
lực học của chúng trong hệ truyền động bánh 
răng. Do đó nếu được áp dụng thêm phương