Liên thông của môđun các đạo hàm

TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 21. 2014 
11 
LIÊN THÔNG CỦA MÔĐUN CÁC ĐẠO HÀM 
Nguyễn Viết Sơn1 
TÓM TẮT 
Trong bài viết này, chúng tôi trình bày một số tính chất của liên thông tuyến tính, 
đưa ra một số công thức tính đạo hàm Lie của liên thông tuyến tính và một số tính chất 
của đạo hàm Affin theo một hướng. 
Từ khóa: Đạo hàm Lie, Liên thông tuyến tính, Đạo hàm của liên thông, Đạo hàm 
Affin. 
Trong bài viết này, ta luôn xem K là 1 vành giao hoán có đơn vị 1 0 , A là một đại số 
giao hoán có đơn vị trên trƣờng P và B là một đại số kết hợp và giao hoán trên A, chiều của đại 
số A là hữu hạn, F là tập các đạo hàm trên đại số B. 
1. LIÊN THÔNG CỦA MÔĐUN CÁC ĐẠO HÀM 
Ta xét ánh xạ: : F F F 
 ( , ) , XX Y X Y Y  
Thỏa mãn (1) 
. . ,f X g Y X YZ f Z g Z f g B     
(2) . . ,X X XfY gZ f Y g Z Xf Y Xg Z f g B   
1.1. Định nghĩa 
1, Ánh xạ  thỏa mãn (1) và (2) đƣợc gọi là một liên thông tuyến tính trên B 
2, Với mỗi X F , định nghĩa: :X F F ; XY Y 
đƣợc gọi là đạo hàm hiệp biến của đạo hàm Y theo hƣớng X 
1.2. Định nghĩa: Các ánh xạ 
  : ; ( , ) , X , X YT F F F X Y T X Y Y X Y   
  ,: ; ( , , ) , , Z X Y Y X X YR F F F F X Y Z R X Y Z Z Z     
tƣơng ứng đƣợc gọi là ten xơ xoắn và ten xơ cong của B 
Tƣ̀ định nghĩa ta có: 
 1, , ,T X Y T Y X 
 2, , , , ,R X Y Z R Y X Z 
Chứng minh. 
1
 ThS. Khoa KHTN, trường Đại học Hồng Đức 
TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 21. 2014 
12 
      
  
   
,
,
, , , ,
, ,
 , ,
X Y Y X
X Y Y X X Y
Y X X Y Y X
T X Y Y X X Y X Y Y X T Y X
R X Y Z Z Z Z
Z Z Z R Y X Z
     
     
      
1.1. Mệnh đề: (xem [4]) Các ánh xạ T và R là B – tuyến tính theo từng biến . 
  
    
    
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 1 2 2
1 2
, , , ,
, ,
.
, , .
. , . ,
. , . ,
fX gX Y
X X Y Y
X Y X Y
f g B X X Y F
T fX gX Y Y fX gX fX gX Y
f Y g Y f X g X Y f X Y g X
f X Y g X Y Yf X Yg X
f Y X X Y g Y X X Y
f T X Y g T X Y
 
   
     
     
Do T có tính chất phản xứng nên hiển nhiên là B – tuyến tính theo biến còn lại. 
1 2, , , ,f g B X X Y Z F 
  
     
    
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
11 2
1 2 ,
, , ( ) ( )
, ,
, ,
. .
. . . . ( ).
. . ( )
fX gX Y Y fX gX fX gX Y
X Y X Y Y X X f X Y g X Y Y f X Y g X
X Y X Y Y X Y X X X
XX Y X Y
R fX gX Y Z Z Z Z
f Z g Z f Z g Z Z
f Z g Z f Z g Z Y f Z Y g Z
f Z g Z Y f Z Y g
     
        
           
     
    
2
1 1 2 21 2, ,
1 2
.
. , , . , ,
X
X Y Y X X Y Y XX Y X Y
Z
f Z Z Z g Z Z Z
f R X Y Z g R X Y Z đpcm
          
Do R là phản xứng với hai biến X,Y 
Nên : 1 2 1 2, , . , , . , ,R X fY gY Z f R X Y Z g R X Y Z 
Nhƣ vậy ta chỉ còn chƣ́ng minh: 
 1 2 1 2, , , , , ,R X Y fZ gZ fR X Y Z gR X Y Z 
Thật vậy 
TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 21. 2014 
13 
   
        
1 2 1 2 1 2 1 2,
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2, ,
1 2 1 2 1 2
1 2 1
, ,
. .
. , . , .
. .
. .
X Y Y X X Y
X Y Y Y X X
X Y X Y
X Y X Y X X Y Y
Y X
R X Y fZ gZ fZ gZ fZ gZ fZ gZ
f Z g Z Y f Z Y g Z f Z g Z X f Z X g Z
f Z g Z X Y f Z X Y g Z
f Z g Z Y f Z Y g Z X f Z X g Z
X Y f Z X Y g Z f Z
      
       
   
        
   
    
    
2 1
2 1 2 1 2
1 2 1 1, ,
2 2
1 1 1 2 2 2 2, ,
1 2
.
. . . . .
. . .
. .
. . , , , ,
Y X Y
Y X X
X Y X Y
X Y Y X X Y Y X Y XX Y X Y
g Z X f Z
X g Z Yf Z Y g Z Y X f Z Y X g Z
f Z g Z X Y f Z Y X f Z
X Y g Z Y X g Z
f Z Z Z g Z Z Z Z
f R X Y Z gR X Y Z
  
    
   
            
  
Vậy ta đã chƣ́ng minh T và R là B- đa tuyến tính. 
1.3. Định nghĩa: : * ; : *T F F F B R F F F F B thỏa mãn: 
 , , , ; , , , , ,T X Y T X Y R X Y Z R X Y Z    
T gọi là độ soắn của liên thông  
R gọi là độ cong của liên thông  
1.4. Định nghĩa: : F F F ;  ,X YY X X Y  
1.2. Mệnh đề:  là một liên thông trên B 
Chƣ́ng minh : 
  
    
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
,
. . . , ,
fX gX Y
Y Y
Y fX gX fX gX Y
f X g X Y f X Y g X f X Y g X Y
   
   
    1
21 1 2 2
, , XY Y Xf X X Y g X X Y f Y g Y     
  
  
1 2
1 2
1 2 1 2
1 1 2 1 2 1 2
,
,
X fY gY
X XY Y
fY gY X X fX gX
f X g X f X Y Xf Y X g Y f Y g Y Xf Y X g Y
   
     
1.3. Mệnh đề : (xem [4]) 1) ,X XY Y T X Y  
 2) X XY Y  
TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 21. 2014 
14 
Chƣ́ng minh : 
    1) , , ,X Y X X Y XY X X Y Y Y X X Y Y T X Y      
2)      , , ,X Y X XY X X Y Y y X X Y Y    
1.5. Mệnh đề: Các tensor T và R của liên thông  thỏa mãn 
, ,
, , , , , ,X Y
T X Y T X Y
R X Y Z R X Y Z T Y Z T X Y T X T Y Z
   
Ở đây: , , , ,X X X XT Y Z T Y Z T Y Z T Y Z    
Và , ,T X T Y Z là tổng 
 , , , , , , , ,T X T Y Z T X T Y Z T Y T Z X T Z T X Y 
Chƣ́ng minh: 
        
  
1) , , , , ,
, ,
X Y Y X
X Y
T X Y Y X X Y X X Y Y Y X X Y
Y X X Y T X Y
     
   
  
     
     
   
   
,
,
,
,
2) , ,
, , , ,
, , ,
, , , , ,
, , , ,
, , , , , ,
, ,
X Y Y X X Y
X YY X X Y
X Y Y
Y X X X Y
X Y Y X X YX Y
Y X
R X Y Z Z Z Z
Z T Y Z Z T X Z Z T X Y Z
Z T Y Z T X Z T Y Z
Z T X Z T Y Z T X Z Z T X Y Z
Z Z Z T Y Z T X Z T X T Y Z
T X Z T Y Z T Y T X Z T Z X Y
R X Y Z
     
      
    
     
        
   
  , , , , Y XT X Z T Y Z T X T Y Z  
Giả sử  là đơn vị của A , a A . Ta xác định ánh xạ : 
 : ;
a a
X XXF F F Y a Y a Y    
1.6. Mệnh đề: (xem [4]) 
a
X Y là một liên thông. 
Chƣ́ng minh: 
1 2 1 2
1 2
( ) . ( ).
a
fX gX fX gXfX gXY a Y a Y    
TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƢỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 21. 2014 
15 
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
. X XX X
X XX X
a a
X X
a f Y g Y a f Y g Y
f a Y a Y g a Y a Y
f Y g Y

 
    
 